VÕRRANDID (mõisted) (0)

5 VÄGA HEA

VÕRRANDID
Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).
Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks . Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi.
Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised:

võrrandi pooli võib vahetada;

võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis -piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse , mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks;

võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral
LINEAARVÕRRAND
Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist.
Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud).
Lineaarvõrrandi lahendiks on
Kui a = 0 ja b  0, st. võrrand on kujul , siis võrrandil lahendid puuduvad.
Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv.
Näide 1
3x = -9 on lineaarvõrrand
x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed koonduvad välja)
a2 = 25 ei ole lineaarvõrrand, sest tundmatu suurim astendaja on 2.
(x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine.
Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures:
Tegevuste järjekord

Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega.
2. Kui võrrand sisaldab sulge , siis avatakse sulud .
3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele .
4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud , koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b).
5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a)
Näide 2
Lahenda võrrand ja kontrolli saadud lahendit.
a) 4(x + 3) – 3(x + 2) – 2(x + 1) + x = 0
Lahendus:
4(x + 3) – 3(x + 2) – 2(x + 1) + 2x = 0;
4x + 12 – 3x – 6 – 2x – 2 + 2x = 0;
4x – 3x – 2x + 2x = – 12 + 6 + 2;
x = – 4.
Kontroll:
Vasak pool:
4 . (– 4 + 3) – 3 . (– 4 + 2) – 2 . (– 4 + 1) + 2 . (– 4) =
= 4 . (– 1) – 3 . (– 2) – 2 . (– 3) – 8 = – 4 + 6 + 6 – 8 = 0.
Parem pool: 0
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = – 4
Näide 3
Lahendus:
Kontroll:
Vasak pool:
Parem pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = 3.
Näide 4
Lahenda muutuja x suhtes võrrand 2ax + c = bx + 3d.
Lahendus:
Kuna antud võrrandis esineb peale x veel teisi tähti, siis loetakse need konstantideks.
2ax + c = bx + 3d;
2ax – bx = 3d – c;
(2a – b)x = 3d – c; : (2a – b)
Saadud lahendil on arvu tähendus tingimusel, kui
Kontroll:
Vasak pool:
Parem pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:
Näide 5
Lahenda võrrand tähe a suhtes.
Lahendus:
Antud võrrandis on muutujaks a, ülejäänud tähed on parameetrid.
Kontroll:
Vasak pool: S
Parem pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:
Näide 6
Lahenda võrrand
ehk
Vastus: lõpmata palju lahendeid ehk
Näide 7
Lahenda võrrand
Vastus: Võrrandil ei ole lahendeid ehk
Näide 8
Lahendada võrrand
Lahendus. Teeme vajalikud teisendused:
Kontroll.
Vastus. Võrrandi lahend
Näide 9
Lahendada võrrand
Lahendus. Avame sulud:
Vastus. Võrrandi lahenditeks on kõik reaalarvud.
Näide 10
Lahendada võrrand
Lahendus. Teeme vajalikud teisendused:
Vastus. Võrrandil puudub lahend.
RUUTVÕRRAND
Ruutvõrrandiks (teise astme algebraliseks võrrandiks) nimetatakse võrrandit, mis avaldub kujul , kus a  0. Siin a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav).
Täielikud ruutvõrrandid :

täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1
Üldkuju :
Lahendivalem:
Näide 11
x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit
x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete ’i teoreemiga
Viete`i teoreem:
Võrrandi
korral ja .

täielik taandamata ruutvõrrand
Üldkuju: ax2 + bx + c = 0
Lahendivalem:
Avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.

Kui D  0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit.
Kui D  0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad.
Kui D = 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit.

Näide 12
Lahendamine:
3x2 – 8x – 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit
x1 =
x2 = -3
Näide 13
Lahenda võrrand.
3x2 – 20x + 25 = 0
Lahendus:
Kasutame üldise ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalemit
Saame
Kontroll:
x1 = 5
Vasak pool:
3 . 52 – 20 . 5 + 25 = 75 – 100 + 25 = 0
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vasak pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x1 = 5 ja x2 = 5/3
Näide 14
Lahenda võrrand
x2 + 4x – 5 = 0
Lahendus:
Kasutame taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalemit
Saame
Kontroll:
x1 = 1
Vasak pool:
12 + 4 . 1 – 5 = 1 + 4 – 5 = 0.
Parem pool on võrdne vasaku poolega.
x2 = – 5
Vasak pool:
(– 5)2 + 4 . (– 5) – 5 = 25 – 20 – 5 = 0.
Parem pool on võrdne vasaku poolega.
Vastus: x1 = 1 ja x2 = – 5
Näide 15
Lahendada võrrand
Lahendus. Ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt
Vastus.
Näide 5. Lahendada võrrand .
Lahendus. Taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt
Vastus.
Näide 16
Lahendada võrrand
Lahendus. See on taandatud ruutvõrrand, milles tundmatu x kordaja
ja vabaliige . Olgu lahendid
ja . Viète’i valemite kohaselt
Leiame proovimise teel sellised kaks täisarvu (üks nendest on negatiivne, sest lahendite korrutis on negatiivne), mille korrutis on – 6 ja summa 1. Need arvud on –2 ja 3. Seega võrrandi lahendid on
ja .
Vastus.
Näide 17
Lahenda parameetrit sisaldav ruutvõrrand.
x2 – 8ax + 12 = 0
Lahendus:
Antud ruutvõrrandis on muutujaks x ja parameetriks a.
1) Lahendame selle esialgu tingimusel . Vastavalt taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalemile
saame kirjutada
2) Kui a Lahendid kehtivad parameetri a suvalise väärtuse korral.
BIRUUTVÕRRAND
Neljanda astme võrrandit, mis sisaldab ainult tundmatu paarisastmeid, nimetatakse biruutvõrrandiks. Biruutvõrrandi üldkuju on . Lahendamiseks kasutatakse abitundmatut . Saadakse uus võrrand , mille lahendid on
ja. Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse , saame
1) , millest
2) , millest
Näide 18
Lahendada võrrand
9x4–10x2+1=0
Tähistame x2=у
Saame ruutvõrrandi y suhtes 9y2–10y+1=0, kust y1=, y2=1
Seega x2 = või x2 = 1.
Võrrandist x2 = saame
Võrrandist x2 =1, saame
Vastus: algse võrrandi lahendiks on
,
Näide 19
Lahendada võrrand .
Lahendus. See on biruutvõrrand. Lahendamiseks kasutame abitundmatut . Saame uue võrrandi
, mille lahendid on
ja
Paigutades y väärtused võrdusesse , saame
1) , millest
2)
, millest
Vastus. , .
Biruutvõrrandi võib lahendada ka ilma abitundmatuta, kasutades vaid ruutvõrrandi lahendivalemit tundmatu ruudu leidmiseks.
Näide 20
Lahendada võrrand
(2х – 1)4 – 25(2х – 1)2 + 144 = 0
Tähistame (2х – 1)2 = t.
t2 – 25t + 144 = 0 kust t1 = 9 и t2 = 16.
(2х – 1)2 = 9 või (2х – 1)2 = 16.
2х – 1 = ±3 või 2х – 1 = ±4.
Esimesest võrrandist : х = 2 и х = -1, teisest võrrandist: х = 2,5 и х = -1,5.
Vastus: -1,5; -1; 2; 2,5.
MURDVÕRRAND
Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu on murru nimetajas.
Murdvõrrandi lahendamiseks viiakse kõik võrrandi liikmed ühele poole võrdusmärki ja leitakse ühine nimetaja . Seejärel kasutatakse murru nulliga võrdumise tunnust:
Murd võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null.
Näide 21
Lahendame võrrandi

Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud
tingimused
                        2x – 3 = 0, millest x = 1,5 ning
                        x + 2 ¹ 0, ehk x ¹ –2.
Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja
eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed.
Vastus: x = 1,5.
Näide 22
Lahendame võrrandi
Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist:
Seega tuleb lahendada võrrand
millest võrde põhiomaduse järgi saame, et
(x+2)(x–2)=4x–7  ehk
x2 – 4 = 4x – 7,
x2 – 4x + 3 = 0.
Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3.

Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll !

Kontrollimine näitab, et mõlemad lahendid sobivad.

Näide 23
Lahendame võrrandi

Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise
Nimetaja ja lihtsustame avaldist:
.
Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd
millest
2x(x–2)=4x–12 ehk
2x2 –8x + 12 = 0,
x2 – 4x + 6 = 0.
Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil.

Näide 24
Lahendame võrrandi

Lihtsustame võrduse vasakut ja paremat poolt:
,
Lahendame nüüd võrrandi
Nüüd
Ruutvõrrandi  –t2 + 42t – 80 = 0 lahendid on 40 ja 2. Lahenditeks ei saa olla (–7) ja 7.

Mõningate murdvõrrandite puhul tuleb kasutada asjaolu, et näiteks x – 1 =–(1 +x) vms.

Näide 25
Lahendame võrrandi
Et , siis tuleb lahendada võrrand
millest järeldub, et x = 1.

Vahetevahel on mõistlik kasutada asendusvõtet.

Näide 26
Lahendame võrrandi

Teeme asenduse , siis saame esialgse võrrandi ümber kirjutada kujule
x2 + 4 = 5x, ehk
x2 – 5x + 4 = 0, millest
x1 = 1    ja    x2 = 4.

Nüüd leiame otsitavad t väärtused.
Kui , siis t = t – 1, ehk 0 = –1. Sellel võrrandil pole lahendeid,
Kui , siis t = 4/3.
JUURVÕRRAND
Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuremärgi all.

Lahendamisel tuleb kõigepealt lahti saada juuremärgist. Selleks tõstetakse võrrandi mõlemad pooled sobivasse astmesse (kui juurijad on erinevad, siis sobib selleks astendajaks kõikide juurijate vähim ühiskordne). Kui valitud astendajaks on paarisarv , siis võime saada mittesamaväärse võrrandi. St saadud lahendeid tuleb kontrollida, sest paarisarvulise astendajaga astendamisel võivad tekkida võõrlahendid.

Üks võimalus seda teha, on vaadata, kas lahendi asendamisel algvõrrandisse tekib samasus , teine võimalus on leida võrrandi määramispiirkond ja siis uurida, kas saadud lahendid sinna kuuluvad.
Näide 27
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Jätame võrrandi vasakule poolele ainult juure ja tõstame siis mõlemad pooled ruutu :
Kontroll:
x1 = 7
Vasak pool:

Parem pool: 7
Vasak pool on võrdne parema poolega.
x1 = 2
Vasak pool:

Parem pool: 2
Parem pool ei ole võrdne vasaku poolega, seega x = 2 on võõrlahend.
Vastus: x = 7
Näide 28
Lahendus:
Jätame ühele poole võrdusmärki ühe juure:
Tõstame mõlemad pooled ruutu:
Kuna juur jäi alles, siis tõstame veelkord ruutu:
Kontroll:
x1 = 3
Vasak pool:
Parem pool: 1
Vasak ja parem pool on võrdsed.
x2 = – 1
Vasak pool:
Parem pool: 1
Vasak pool ja parem pool on võrdsed.
Vastus: x1 = 3 ja x2 = – 1
Näide 29
Lahenda võrrand.
a)
Lahendus:
Tõstame mõlemad pooled ruutu. Saame
Kuna võrrandisse jäi ikka veel juur sisse, siis tuleb ka teist korda võrrandi mõlemad pooled ruutu tõsta.
Kontroll:
Vasak pool:
Parem pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = 4
Näide 30
Lahendus:
Viime ühe kuupjuurega avaldise paremale poole võrdusmärki. Seejärel tõstame mõlemad pooled kuupi ja leiame lahenduse.
Kontroll:
Vasak pool:
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = 10
Näide 31
Lahenda parameetrit a sisaldav võrrand.

Lahendus:
Murru kaotamiseks korrutame võrrandi kõiki liikmeid avaldisega , kus a > 0.
Jätame vasakule poole võrdusmärki ainult juure ja tõstame siis mõlemad pooled ruutu.
Kontroll:
Vasak pool:
Parem pool:
Teisendused kehtivad tingimusel a > 0. Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: , kus a > 0.

.DOCX Laadi alla originaalfail 17 lk · .docx · 20 allalaadimist

5 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.

~ 17 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2014-10-24 Kuupäev, millal dokument üles laeti

20 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kisko Õppematerjali autor

VÕRRANDID matemaatika Võrrand LINEAARVÕRRAND

Sarnased õppematerjalid

pdf

Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine

Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . a Nä

Matemaatika

100

pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………?

Matemaatika

doc

Ruutvõrrand

1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka üles

Matemaatika

doc

Ruutvõrrandi lahendamine

Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1. 10 10 10 10 Näide 2. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + x - 15 = 0.

Matemaatika

doc

Ruutvõrrandid

- b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.

Algebra I

doc

Põhikooli matemaatika kordamine

Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x

Matemaatika

pdf

Murd- ja juurvõrrand

Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele

Matemaatika

doc

Reaalarvud. Võrrandid

ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x 2 on a b + a b = ab ( a+ b ) ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 lahendid. 2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas. b Murru väärtus on null siis ja ainult siis, kui x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ;

Matemaatika

Rohkem sarnaseid