Põhikooli matemaatika kordamine (0)

Q: Kui raadius suureneb 2 korda 6 korda väheneb 3 korda 5 korda?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Kui suur oli mängitud partiide arv y?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Millistes punktides lõikab parabool x telge millistes y telge?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Millist x telje punkti läbib selle parabooli telg?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Millist punkti x-teljel läbib parabooli y 2x2 6x telg?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Kui pleki kulu valtsimiseks mitte arvestada?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Kui valtsimiseks kulub 10 materjalist?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Kui pikk on telglõike diagonaal?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Kui diameeter on 76 cm?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Q: Palju pinnast tuleb välja kaevata?

Vastus leiad õppematerjalist: Põhikooli matemaatika kordamine

Keskkool - Matemaatika - Matemaatika

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Kui raadius suureneb 2 korda 6 korda väheneb 3 korda 5 korda?
Kui suur oli mängitud partiide arv y?
Millistes punktides lõikab parabool x telge millistes y telge?
Millist x telje punkti läbib selle parabooli telg?
Millist punkti x-teljel läbib parabooli y 2x2 6x telg?
Kui pleki kulu valtsimiseks mitte arvestada?
Kui valtsimiseks kulub 10 materjalist?
Kui pikk on telglõike diagonaal?
Kui diameeter on 76 cm?
Palju pinnast tuleb välja kaevata?
Kui ühte koormasse pannakse 2 m3 pinnast?

Ruutfunktsioon
Sissejuhatav kordamine

Teosta tehted . Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:

Lihtsusta avaldis .
a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 – 2xy – y2)
Lahendus:
xy(x + 3y) + (x + y)(x2 – 2xy – y2) =
= x2y + 3xy2 + x3 – 2x2y – xy2 + x2y – 2xy2 – y3 =
= x3 – y3 =
= (x – y)(x2 + xy + y2)
b) (3a – 2)2 + (2 + 3a)(2 – 3a)
Lahendus:
(3a – 2)2 + (2 + 3a)(2 – 3a) = 9a2 – 12a + 4 + 4 – 9a2 =
= 8 – 12a

Lahenda võrrand.
a) 24x2 + 5x – 1 – (24x2 – 6x – 12x + 3) = 111
Lahendus:
24x2 + 5x – 1 – (24x2 – 6x – 12x + 3) = 111;
24x2 + 5x – 1 – 24x2 + 6x + 12x – 3 = 111;
23x – 115 = 0;
23x = 115 ;
x = 5.
Kontroll:
Võrrandi vasak pool:
24 . 52 + 5 . 5 – 1 – (24 . 52 – 6 . 5 – 12 . 5 + 3) =
= 600 + 25 – 1 – 600 + 30 + 60 – 3 = 111.
Parem pool: 111
Võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = 5
b) (2y + 1)(5 – 2y)2 – (2y – 3)3 = 4
Lahendus:
(2y + 1)(5 – 2y)2 – (2y – 3)3 = 4
(2y + 1)(25 – 20y + 4y2) – (8y3 – 3 . (2y)2 . 3 + 3 . 2y . 32 – 33) = 4;
50y – 40y2 + 8y3 + 25 – 20y + 4y2 – 8y3 + 36y2 – 54y + 27 – 4 = 0;
– 24y + 48 = 0;
– 24y = – 48 ;
y = 2.
Kontroll:
Võrrandi vasak pool:
(2 . 2 + 1)(5 – 2 . 2)2 – (2 . 2 – 3)3 = 5 . 12 – 13 = 4.
Parem pool: 4
Võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: y = 2

Lahenda võrrandisüsteem.
a)
Lahendus:
;
u – v – 4 = 0;
u = 4 + v;
– 4(4 + v) + 3v + 9 = 0;
– 16 – 4v + 3v + 9 = 0;
– v – 7 = 0;
v = – 7;
u = 4 – 7 = – 3;
Kontroll:
Esimese võrrandi vasak pool:
(– 3 + 4)( – 7 + 5) = 1 . (– 2) = – 2,
Esimese võrrandi parem pool:
– 3 . (– 7) + 8 . (– 3) – 7 + 8 = 21 – 24 + 1 = – 2.
Esimese võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Teise võrrandi vasak pool:
2(5 . (– 3) – 6)( – 7 + 1) = 2 . (– 21) . (– 6) = 252,
Teise võrrandi parem pool:
10 . (– 3) . (– 7) + 14 . (– 3) – 15 . (– 7) – 21 =
= 210 – 42 + 105 – 21 = 252.
Teise võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:
b)
-2x + 4y + 5 = 0;
x = 2y + 2,5;
6(2y + 2,5) – 2y – 25 = 0;
12y + 15 – 2y – 25 = 0;
10y – 10 = 0;
y = 1;
x = 2 . 1 + 2,5 = 4,5.
Kontroll:
Esimese võrrandi vasak pool:
Esimese võrrandi parem pool: 2.
Esimese võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Teise võrrandi vasak pool:
Teise võrrandi parem pool: 2.
Teise võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:

Leia ring pindala, kui raadius on
a) 5,36 m. Vastus ümarda sajandikeni.
Lahendus:
r = 5,36 m
S = πr2
S = π . 5,362 = 3,14 . 28,7296 ~ 90,21 (m2)
b) 51,24 m. Vastus ümarda sajandikeni.
Lahendus:
r = 51,24 m
S = πr2
S = π . 51,242 = 3,14 . 2625,54 ~ 824419 (m2)

Leia arvuti abil arvu ruutjuur . Vastus ümarda sajandikeni.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Leia ringi raadius, kui ringi pindala on
a) 38,67 cm2. Vastus ümarda kümnendikeni.
Lahendus:
S = 38,67 cm2
S = πr2;
(cm)
b) 0,98 cm2. Vastus ümarda kümnendikeni.
Lahendus:
S = 0,98 cm2
S = πr2,
(cm)

Arvuta.
a)
Lahendus:

b)
Lahendus:
c)
Lahendus:

Lihtsusta.
a)

Lahendus:

b)
Lahendus:

Lahenda võrrand.
a) x2 + 11x + 30 = 0
Lahendus:
;
Kontroll:
x1 = – 5
(– 5)2 +11 . (– 5) + 30 = 25 – 55 + 30 = 0;
x2 = – 6
(– 6)2 +11 . (– 6) + 30 = 36 – 66 + 30 = 0;
Vastus: x1 = – 5, x2 = – 6
b) (3y + 1)2 = (2y + 5)2 – 33
Lahendus:
9y2 + 6y + 1 – 4y2 – 20y – 25 + 33 = 0;
5y2 – 14y + 9 = 0;
Kontroll:
x1 = 1,8
vasak pool:
(3 . 1,8 + 1)2 = 6,42 = 40,96
parem pool:
(2 . 1,8 + 5)2 – 33 = 8,62 – 33 = 40,96
Vasak pool on võrdne parema poolega.
x2 = 1
vasak pool:
(3 . 1 + 1)2 = 42 = 16
parem pool:
(2 . 1 + 5)2 – 33 = 72 – 33 = 16
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x1 = 1,8; x2 = 1
c) (2x + 3)3 – 316 = (2x – 1)3
Lahendus:
8x3 + 3 . (2x)2 . 3 + 2x . 3 . 32 + 33 – 316 = (2x)3 – 3 . (2x)2 . 1 + 3 . 2x . 1 – 13
8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 316 = 8x3 – 12x2 + 6x + 1
8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 316 – 8x3 + 12x2 – 6x – 1 = 0
x2 + x – 6 = 0
x1 = – 0,5 + 2,5 = 2
x2 = – 0,5 – 2,5 = – 3
Kontroll:
x1 = 2
vasak pool:
(2 . 2 + 3)3 – 316 = 73 – 316 = 27
parem pool:
(2 . 2 – 1)3 = 33 = 27
Vasak pool on võrdne parema poolega.
x2 = – 3
vasak pool:
(2 . (– 3) + 3)3 – 316 = (– 3)3 – 316 = – 343
parem pool:
(2 . (– 3) – 1)3 = (– 7)3 = – 343
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x1 = 2 ja x2 = – 3
Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni
Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos
ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = ax + b. Kordame neid seoseid .
Edasi vaatame ülesandeid.

Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui
Lahendus:
Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on
y = 1,5 . 0 = 0.
Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis
y = 1,5 . 2 = 3.
Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame.
Vaatame ainult kahte punkti, kui x = –2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
Kui x = – 2, siis otsime x-teljelt üles väärtuse –2. Tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge nii kaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame horisontaalse (ristipidi) sirge, kuni tuleb vastu y- telg . Punkt y- teljel ongi muutuja y väärtus antud x-i korral. Ehk siis antud juhul –3. Saime punkti, mille koordinaadid on (–2; –3).
Muutuja y väärtust on lihtne kontrollida. Paneme võrdelisse seosesse y = 1,5x muutuja x asemele –2 ja saame y = 1,5 . (–2) = –3.
Kui y = 3, siis otsime y-teljelt üles väärtuse 3. Tõmbame horisontaalselt (ristipidi) joone niikaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge, kuni tuleb vastu x-telg. Punkt x-teljel ongi muutuja x väärtus antud y-i korral. Ehk siis antud juhul 2. Punkti koordinaadid on (2; 3).
Muutuja x väärtust on lihtne kontrollida. Paneme võrdelisse seosesse y = 1,5x muutuja y asemele 3 ja saame
3 = 1,5 . x;
x = 2.
NB! Sageli läheb inimestel segamini, mis on vertikaalne ja mis horisontaalne. Hea on meelde jätta nii... Lähete armsamaga õhtul mere äärde päikeseloojangut vaatama. Päike ‘’ kukub ’’ horisondi kohal merre. Meri laiub paremalt vasemale (J mõningatel juhtudel ka vastupidi). Järelikult, horisontaalne joon on ka paremalt vasemale. Vertikaalne aga risti vastupidi. See tähendab, et vertikaalne on ülevalt alla.

Otsusta, missuguseid koordinaattasandi veerandeid läbib antud seose graafik.
1) y = 1,2x
2) y = – 0,6x
Lahendus:
Nende seoste puhul kehtib alati reegel: kui x = 0, siis on ka y = 0. See tähendab, et kõik graafikud läbivad koordinaatide alguspunkti. Kui muutuja x ees olev kordaja on positiivne, siis graafik läbib I ja III veerandit. Kui muutuja x ees olev kordaja on negatiivne, siis graafik läbib II ja IV veerandit.
Seega, kui
1) y = 1,2x, siis läbib antud seose graafik I ja III veerandit;
2) y = – 0,6x, siis läbib antud seose graafik II ja IV veerandit.
Joonestame kontrolli mõttes graafikud.

Joonesta pöördvõrdelise seose graafik. Leia graafiku abil

Lahendus:
Joonestame graafiku. Selleks tuleb teha väärtuste tabel. Mida rohkem muutujale x väärtusi annate, seda täpsem tulemus tuleb.
Koostame nüüd väärtuste tabeli. Võtame näiteks needsamad punktid, mida küsitakse ja lisaks veel mõned. Peame arvestama ka sellega, et nulliga jagada ei saa. Seega x-i väärtuseks ei saa nulli võtta.
x
–2
–1,2
–0,5
0,4
0,8
2
3
y
1,2
–2
–4,8
6
3
1,2
0,8
Kui x = –2, siis y = 2,4 : (–2) = –1,2;
kui x = –1,2, siis y = 2,4 : (–1,2) = –2;
kui x = –0,5, siis y = 2,4 : (–0,5) = –4,8;
kui x = 0,4, siis y = 2,4 : 0,4 = 6;
kui x = 0,8, siis y = 2,4 : 0,8 = 3;
kui x = 2, siis y = 2,4 : 2 = 1,2;
kui x = 3, siis y = 2,4 : 3 = 0,8.
Joonestame nüüd graafiku ja kirjutame välja otsitavad punkid.
1)
x
–1,2
0,4
0,8
2
y
–2
6
3
1,2
2)
x
–1,2
– 4
4,8
2
y
–2
– 0,6
0,5
1,2
Ruutfunktsioon
Ruutfunktsioon y = ax2 ja tema graafik
NÄIDE 1.
Kui kuubi serva pikkus on u cm, siis kuubi ühe tahu pindala on u2 cm2. Kuubi pindala avaldub sel juhul valemiga
S = 6u2.
Andes muutujale u vää, saame arvutada muutuja S vastavad väärtused. Koostame tabeli
u (cm)
0,5
1
2
3
5
10
S (cm2)
1,5
6
24
54
150
600
See tabel esitab seost kuubi serva pikkuse ja kuubi pindala vahel.
NÄIDE 2.
Kui võrdhaarse kolmnurga kaatetite pikkus on v cm, s.o. AC = BC = v (vt joonist),
siis selle kolmnurga pindala
Saadud valem
esitab seost antud kolmnurga kaateti pikkuse v ja pindala S vahel.
Edasi vaatame ülesandeid.

On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus . Koosta muutujate x ja y vastavate väärtuste tabel ning esita selle ruutfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste piirkond nende elementide loeteludena.
Lahendus:
On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus .
Kui x = – 4, siis y = 3 . (– 4)2 = 3 . 16 = 48,
x = – 3, siis y = 3 . (– 3)2 = 3 . 9 = 27;
x = – 2, siis y = 3 . (– 2)2 = 3 . 4 = 12;
x = – 1, siis y = 3 . (– 1)2 = 3 . 1 = 3;
x = 0, siis y = 3 . 02 = 3 . 0 = 0;
x = 1, siis y = 3 . 12 = 3 . 1 = 3;
x = 2, siis y = 3 . 22 = 3 . 4 = 12.
x
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
y
48
27
12
3
0
3
12
Vastus: Antud ruutfunktsiooni määramispiirkond on
ja väärtuste hulk on .

Arvutada ruutfunktsiooni y = – 2x2 väärtused, kui . Esitada selle ruutfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste piirkond nende elementide loeteluna.

Lahendus:
On antud ruutfunktsioon y = –2x2, kui ehk –3 Kui x = – 3, siis y = –2 . (– 3)2 = –2 . 9 = –18;
x = – 2, siis y = –2 . (– 2)2 = –2 . 4 = –8;
x = – 1, siis y = –2 . (– 1)2 = –2 . 1 = –2;
x = 0, siis y = –2 . 02 = –2 . 0 = 0;
x = 1, siis y = –2 . 12 = –2 . 1 = –2;
x = 2, siis y = –2 . 22 = –2 . 4 = –8;
x = 3, siis y = –2 . 32 = –2 . 9 = –18.
x
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
y
- 18
- 8
- 2
0
- 2
- 8
- 18
Vastus: Antud ruutfunktsiooni määramispiirkond on
ja väärtuste hulk on .

Tee kindlaks, kuidas muutub ruudu pindala, kui ruudu külje pikkust suurendada 3 korda, 5 korda; vähendada 2 korda, 4 korda.
Lahendus:
Selleks kasutame ruudu pindala valemit S = a2, kus a on ruudu külje pikkus.
1) Kui ruudu külge suurendada 3 korda, siis saame ruudu pindalaks
S = (3a)2 = 9a2,
st, et ruudu pindala suureneb 9 korda.
2) Kui ruudu külge suurendada 5 korda, siis ruudu pindala suureneb 52 = 25 korda.
3) Kui ruudu külge vähendada 2 korda, siis saame ruudu pindalaks
st, et ruudu pindala väheneb 4 korda.
4) Kui ruudu külge vähendada 4 korda, siis ruudu pindala väheneb 42 = 16 korda.

Teame, et ringi pindala S arvutatakse valemi abil. Kuidas muutub ringi pindala, kui raadius suureneb 2 korda, 6 korda; väheneb 3 korda, 5 korda?
Lahendus:
Kasutades ringi pindala valemit , saame, et
1) kui raadius suureneb 2 korda, siis on ringi pindala
,
st, et pindala suureneb 4 korda;
2) kui raadius suureneb 4 korda, siis ringi pindala suureneb 42 = 16 korda;
3) kui raadius väheneb 3 korda, siis on ringi pindala
,
st, et pindala väheneb 9 korda;
4) kui raadius väheneb 5 korda, siis ringi pindala väheneb 52 = 25 korda.

On antud ruutfunktsiooni y = ax2 muutujate x ja y üks vastavate väärtuste paar. Leia kordaja a väärtus ja esita see seos valemina, kui x = 2 ja y = 8.
Lahendus:
Asetame muutujate x ja y väärtused ruutfunktsiooni y = ax2. Saame
8 = a . 22.
4a = 8;
a = 2.
Vastus: Muutujate x = 2 ja y = 8 korral on kordaja a = 2.

Tee kindlaks, kas punktid K(1,5; – 225), L(–3; –900), M(2; 400), N(–0,01; –1) läbivad ruutfunktsiooni y = – 100x2 graafikut .
Lahendus:
Meie kontrollime ainult kahte esimest punkti. Punktid M ja N jäävad lahendajaile iseseisvaks tööks.
Vaatame punkti K(1,5; – 225). Siin on x = 1,5 ja y = – 225. Paneme antud ruutfunktsiooni muutuja x asemele tema väärtuse ja vaatame, mis tuleb muutuja y väärtuseks. Kui saame, et y = – 225, siis punkt K läbib antud ruutfunktsiooni graafikut. Vastasel korral mitte. Saame
y = – 100 . 1,52 ;
y = – 225.
Seega punkt K läbib ruutfunktsiooni y = – 100x2 graafikut.
Uurime veel punkti L(–3; –900). x = –3 ja y = –900. Saame, et
y = – 100 . (–3)2 ;
y = – 900.
Ka punkt L on ruutfunktsiooni y = – 100x2 punkt.
Ruutfunktsioon
Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik
Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a ≠ 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk .
NÄIDE 1.
Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud.
Lahendus:
Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli.
x
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2x2
8
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
8
2x2 + 2
10
6,5
4
2,5
2
2,5
4
6,5
10
Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0).
Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole.
Vaatame edasi ülesandeid.

Joonesta ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = – 2x2, y = – 2x2 + 2 ja
y = – 2x2 – 2 graafikud. Leia iga graafiku abil vastava ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti koordinaadid.
Lahendus:
Joonestame kõigepealt graafikud:
y = –2x2 – punane graafik;
y = –2x2 + 2 – roheline graafik;
y = –2x2 – 2 – lilla graafik.
Kasulik on teha iga ruutfunktsiooni kohta vastav väärtuste tabel (jätame iseseisvaks tööks). Meie kasutame selleks Funktion programmi.
Ruutfunktsiooni y = –2x2 (punane graafik) nullpunktiks on punkt (0; 0), mis on ka haripunktiks;
ruutfunktsiooni y = –2x2 + 2 (roheline graafik) nullpunktiks on punktid (–1; 0) ja (1; 0), haripunktiks punkt (0; 2);
ruutfunktsiooni y = –2x2 – 2 (lilla graafik) nullpunkte ei olegi, sest ta ei puutu ega lõika x-telge. Haripunktiks punkt (0; –2)
Ruutfunktsioon
Ruutfunktsioon y = ax2 + bx ja tema graafik
NÄIDE 1.
Maleturniirist võttis osa x maetajat. Iga maletaja mängis iga osavõtjaga ühe partii. Kui suur oli mängitud partiide arv y?
Lahendus:
Et iga maletaja mängis iga ülejäänud osavõtjaga ühe partii, siis igaüks mängis x – 1 partiid. Turniirist osavõtjaid oli x. Seega peaks mängitud partiide arv olema x(x – 1). Kuid nüüd on iga partii kaks korda arvesse võetud. Tõeline partiide arv on
Vastus: y = 0,5x2 – 0,5x
Vastuseks saime valemi, mida nimetatakse ruutfunktsiooniks ning mille määramispiirkonnaks on kas kõikide reaalarvude hulk või selle mingi osahulk. Ruutfunktsiooni üldkuju on y = ax2 + bx, kus a ja b on antud arvud ning .
Selgitamaks seda, milline on ruutfunktsiooni y = ax2 + bx graafik, joonestame algul ühes ja samas teljestikus näiteks ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 – 2x graafikud, kui . Selleks koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli.
x
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2x2
2
0,5
0
0,5
2
4,5
8
2x2 – 2x
4
1,5
0
–0,5
0
1,5
4
Kanname saadud punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Saime kaks parabooli .
Must parabool kujutab ruutfunktsiooni y = 2x2 ja punane y = 2x2 – 2x graafikut.
Vaatame edasi ülesandeid.

Joonesta ruutfunktsiooni y = x2 + 2x graafik, kui . Leia graafiku abil selle ruutfunktsiooni nullkohad ja muutuja y väärtused, kui .
Lahendus:
Joonestame graafiku.
Jooniselt näeme, et antud ruutfunktsiooni nullkohtadeks on punktid (0; –2) ja (0; 0). Uurime nüüd muutuja y väärtusi, kui .
Kui x = – 4, siis y = 8;
kui x = – 3, siis y = 3;
kui x = – 2, siis y = 0;
kui x = – 1, siis y = – 1;
kui x = 0, siis y = 0;
kui x = 1, siis y = 3;
kui x = 2, siis y = 8.

On antud ruutfunktsioon y = –1,5x2 + 3x.
1) Millistes punktides lõikab parabool x – telge, millistes y – telge?
2) Millist x – telje punkti läbib selle parabooli telg?

Lahendus:
Kõige lihtsam on koostada väärtuste tabel ja joonestada selle põhjal graafik. Seejärel kirjutada vastus.
x
–1
0
1
2
3
y = –1,5x2 + 3x
– 4,5
0
1,5
0
– 4,5
Vastus: Antud parabool lõikab x-telge punktides (0; 0) ja (2; 0), y-telge punktis (0; 0) ning parabooli telg läbib punkti x = 1.

Tee kindlaks, kas punktid A(2; – 3), B (1; 1) ja C (– 1; – 5) asetsevad paraboolil y = –2x2 + 3x.
Lahendus:
Teeme joonise ja vaatame, kas punktid kattuvad graafikuga või mitte.
Teie ülesanne on vaadata, milline punkt kuskil on. Aga, kes ei saa arvutiprogrammi graafiku joonestamisel kasutada, pole ka hullu. Väga lihtne on kontrollida arvutamise teel.
Võtame punkti A(2; -3). Esimene arv on muutuja x väärtus, teine muutuja y väärtus. Nüüd võtame funktsiooni y = -2x2 + 3x ning asendame muutuja x tema väärtusega, milleks antud juhul on 2. Lahendame .
y = –2 * 22 + 3 * 2 = –2 * 4 + 6 = –8 + 6 = –2.
Meie pidime tulemuseks saama aga väärtuse –3. Järelikult see punkt ei asu antud paraboolil.
Proovime teise punktiga B(1; 1).
y = –2x2 + 3x = –2 * 12 + 3 * 1 = –2 + 3 = 1.
Muutuja y väärtus peabki 1 olema, järelikult see punkt asub paraboolil.

Ruutfunktsioon y = – 3x2 + bx läbib punkti A(–1; – 9). Leia kordaja b väärtus.
Lahendus:
Kui muutuja x = –1 korral on muutuja y väärtus – 9, siis järelikult asetades mõlema muutuja väärtused ruutfunktsiooni, saame tõese võrrandi, milles on üks tundmatu, kordaja b. Teeme seda.
– 9 = –3 . (–1)2 + b . (–1);
– 9 = –3 . 1 – b
– 9 = –3 – b
– 9 + 3 = – b
– 6 = – b
b = 6
Vastus: Kordaja b väärtus on 6.

Millist punkti x-teljel läbib parabooli y = – 2x2 – 6x telg?
Lahendus:
Teeme joonise. (Joonise tegemisel on kasutatud Funktion programmi. Saab teha ka väärtuste tabeli abil. Jäägu see aga lahendajaile iseseisvaks tööks.)
Samas saame selle punkti ka välja arvutada. Parabool on alati sümmeetriline. Järelikult, kui parabool lõikab x-telge ehk tal on nullkohad, siis kahe nullkoha keskpunkti läbibki parabooli sümmeetriatelg.
Arvutame. Nullkohad saavad vaid siis olla, kui muutuja y = 0. See tähendab, et paneme võrrandi y = –2x2 – 6x võrduma väärtusega 0. Saame
0 = –2x2 – 6x.
Antud juhul võtame muutuja x sulgude ette. Saame
x(–2x – 6) = 0.
Kasutame loogikat. Korrutise tulemus on ainult siis 0, kui üks korrutatavatest on 0. Meil on kaks korrutise tegurit: x ja –2x – 6. Et korrutis tuleks null, peavad mõlemad võrduma nulliga. Nii saamegi, et
x1 = 0 ja
–2x – 6 = 0.
Viimasest seosest saame, et
–2x = 6, millest
x2 = –3.
See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega.
[0 – (–3)] : 2 = 1,5.
1,5 ühikut on nende kahe punkti vahemaa .
Vastus: x = 1,5.

On teada, et kui muutuja x väärtus on –1, siis ruutfunktsiooni y = 2x2 + bx väärtus on 10. Leia kordaja b väärtus.
Lahendus:
Asetame igale poole selles võrrandis, kus on muutuja x, tema arvulise väärtuse –1. Teades, et y = 10, saame
10 = 2 . (–1)2 + b . (–1);
10 = 2 – b;
10 – 2 = – b;
8 = – b;
b = – 8.
Iseseisvalt teha kontroll!
Vastus: Kordaja b väärtus on – 8.
Ruutfunktsioon
Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ja tema graafik
Ruutfunktsioonid etendavad tähtsat osa nii matemaatikas endas kui ka mitmesuguste nähtuste ja protsesside kirjeldamisel. Nii saame ruutfunktsiooni abil kirjeldada ühtlaselt kiireneva liikumise aja ja selle aja jooksul läbitud teepikkuse vahelist seost, kahurist väljatulistatud mürsu trajektoor on paraboolikujuline jne.
Ruutfunktsiooni üldkuju ongi y = ax2 + bx + c, mille määramispiirkonnaks on kas kogu reaalarvude hulk või selle osahulk.
Valemi y = ax2 + bx + c paremal pool olev summa sisaldab kolme liiget:
ruutliige: ax2, arv a on ruutliikme kordaja;
lineaarliige bx, arv b on lineaarliikme kordaja;
vabaliige c.
Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool, mis lõikab y-telge punktis (0;c).
NÄIDE 1.
Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 – 3x ja
y = 2x2 – 3x – 2 graafikud ning uurime neid paraboole.

Lahendus:
Koostame algul muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli.
x
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2x2 – 3x
9
5
2
0
–1
–1
0
2
2x2 – 3x – 2
7
3
0
–2
–3
–3
–2
0
Punasega on märgitud y = 2x2 – 3x – 2 ja mustaga y = 2x2 – 3x graafik.
Mõlemad paraboolid avanevad ülespoole, sest ruutliikme kordaja a on positiivne. Kui oleks aga negatiivne, siis parabool avaneks allapoole.
Ruutfunktsiooni y = 2x2 – 3x nullkohad on (0; 0) ja (1,5; 0) ning y = 2x2 – 3x – 2 nullkohtadeks on punktid (– 0,5; 0) ja (2; 0).
Edasi vaatame ülesandeid.

Joonesta ruutfunktsiooni y = x2 – 2x – 3 graafik, kui . Leia graafiku abil selle ruutfunktsiooni nullkkohad ja haripunkti koordinaadid.
Lahendus:
Koostame väärtuste tabeli ja joonestame graafiku.
x
– 2
–1
0
1
2
3
4
x2 – 2x – 3
5
0
– 3
– 4
– 3
0
5
Vastus: Antud ruutfunktsiooni nullkohad on (– 1; 0) ja (3; 0) ning haripunkti koordinaadid (1; – 4).

Tee kindlaks, kas ruutfunktsiooni y = – 2x2 + 3x + 4 graafik läbib punkte A(0; 4), B(1; 5), C(3; 10), D(– 2; 5).
Lahendus:
Kontrollime kahte esimest punkti. Punktid C ja D jäävad iseseisvaks tööks.
Vaatame punkti A(0; 4). Siin on x = 0 ja y = 4. Asendame antud ruutfunktsiooni muutuja x väärtusega ja vaatame, mis tuleb muutuja y väärtuseks. Saame
y = – 2 . 02 + 3 . 0 + 4;
y = 4.
Seega punkt A läbib antud ruutfunktsiooni, sest arvutuste käigus saime muutuja y väärtuseks 4. Koradme sama protseduuri ka punkti B(1; 5) korral. Siin on x = 1. Tehes vastavad asendused, saame
y = – 2 . 12 + 3 . 1 + 4;
y = 5.
Ka punkt B läbib antud ruutfunktsiooni.

Leia lineaarliikme kordaja b väärtus, kui ruutfunktsiooni y = – 3x2 – bx + 4 graafik läbib punkti A(– 2; 2).
Lahendus:
Siin tuleb muutujate x ja y asemel panna vastavad väärtused ehk x = –2 ja y = 2. Saame
2 = – 3 . (–2)2 – b . (–2) + 4;
2 = –12 + 2b + 4;
2b = 10;
b = 5.
Vastus: b = 5
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Ruutkolmliikme tegurdamine

Tegurda ruutkolmliige x2 – x – 30.
Lahendus:
Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi
x2 – x – 30 = 0.
Siis saame:
Võrduse ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) järgi saame tulemuseks, et
x2 – x – 30 = (x – 6)(x + 5)

Tegurda ruutkolmliige 2x2 – 5x – 3.
Lahendus:
Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi
2x2 – 5x – 3 = 0.
Siis saame:
Võrduse ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) järgi saame tulemuseks, et
2x2 – 5x – 3 = 2(x – 3)(x + 0,5).

Tegurda ruutkolmliige 4x2 + 13x – 12.
Lahendus:
Leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi
4x2 + 13x – 12 = 0.
Siis saame:
Võrduse ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) järgi saame tulemuseks, et

Tegurda ruutkolmliige 2t2 – 5t – 7.
Lahendus:
Leiame nullkohad ruutvõrrandi järgi. Saame
Võrduse ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) järgi saame tulemuseks, et
2t2 – 5t – 7 = 2(t – 3,5)(t + 1).
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Murru taandamine

Taanda järgnevad murrud .
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:
e)
Lahendus:
f)
Lahendus:

Taanda järgnevad murrud.
a)
Lahendus:
Selle murru nimetaja on hulkliige ( kaksliige ). Et murru taandamine saaks võimalikuks, tegurdame nimetaja. Saame
b)
Lahendus:
Tegurdades murru lugeja ja nimetaja, saame
c)
Lahendus:
Tegurdame eraldi lugeja ja nimetaja.
Lugeja: a2 – 5a = a(a – 5).
Nimetaja: Et nimetaja on muutuja a suhtes ruutkolmliige, siis tuleb esmalt leida selle nullkohad. Saame, et
2a2 – 11a + 5 = 0;
Valemi ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) kohaselt, kus x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid , saame kirjutada
2a2 – 11a + 5 = 2(a – 5) (a – 0,5).
Nüüd saame, et
d)
Lahendus:
Murdu taandades saame, et
Toodud teisenduses on kasutatud seoseid
b – a = – (a - b) ja
e)
Lahendus:
f)
Lahendus:

Taanda järgnevad murrud.
a)
Lahendus:
Tegurdame nimetajat. Saame, et
ax – 2a + 3x – 6 = (ax + 3x) + (– 2a – 6) =
= (ax + 3x) – (2a + 6) = x(a + 3) – 2(a + 3) = (x – 2) (a + 3).
Nüüd saame
b)
Lahendus:
Tegurdame lugejat ja nimetajat.
Lugeja:
ac – bc + ad – bd = (ac – bc) + (ad – bd) = c(a – b) + d(a – b) = (c + d) (a – b).
Nimetaja:
am – bm – an + bn = (am – bm) – (an – bn) = m(a – b) – n(a – b) = (m – n) (a – b).
Saame, et

c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Murdude korrutamine

Arvuta järgnevad korrutised.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Lihtsusta järgnevad avaldised .
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Korruta järgnevad avaldised.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Murdude jagamine ja astendamine

Jaga.

a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:
e)
Lahendus:
f)
Lahendus:
g)
Lahendus:
h)
Lahendus:
i)
Lahendus:
j)
Lahendus:

Astenda.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:

c)
Lahendus:
d) Lahendus:

e)
Lahendus:
f)
Lahendus:
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Ühenimeliste algebraliste murdude liitmine ja lahutamine

Arvuta.

a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Lihtsusta.

a)
Lahendus:

b)
Lahendus:

c)
Lahendus:

d)
Lahendus:

e)
Lahendus:

f)
Lahendus:
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Murdude teisendamine ühenimelisteks

Laienda järgnevaid murde vastava laiendajaga.
a) laiendajaga 2
Lahendus:
b) laiendajaga 5
Lahendus:
c) laiendajaga a
Lahendus:
d) laiendajaga m2
Lahendus:
e) laiendajaga a2b
Lahendus:

Laienda järgnevaid murde vastava nimetajani.

a) nimetajani 18
Lahendus:
Sobiva laiendaja leidmiseks tegurdame uut nimetajat. Saame, et
18 = 6 . 3.
Nüüd selgub , et antud murru nimetajast st 6 uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada arvuga 3. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame
b) nimetajani 49
Lahendus:
Sobiva laiendaja leidmiseks tegurdame uut nimetajat. Saame, et
49 = 7 . 7.
Nüüd selgub, et antud murru nimetajast st 7 uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada arvuga 7. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame
c) nimetajani b2
Lahendus:
Sobiva laiendaja leidmiseks tegurdame uut nimetajat. Saame, et
b2 = b . b.
Nüüd selgub, et antud murru nimetajast st b uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada avaldisega b. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame
d) nimetajani p3
Lahendus:
Tegurdame uut nimetajat. Saame, et
p3 = p2 . p.
Nüüd selgub, et antud murru nimetajast st p2 uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada avaldisega p. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame
e) nimetajani p3r2
Lahendus:
Tegurdame uut nimetajat. Saame, et
p3r2 = p2r . pr.
Nüüd selgub, et antud murru nimetajast st p2r uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada avaldisega pr. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame
f) nimetajani 12mn4
Lahendus:
Tegurdame uut nimetajat. Saame, et
12mn4 = 4mn3 . 3n.
Nüüd selgub, et antud murru nimetajast st 4mn3 uue nimetaja saamiseks tuleb esimest korrutada avaldisega 3n. Viimane ongi antud murru laiendaja. Nii saame

Teisenda ühenimelisteks.
a)
Lahendus:
Ühiseks nimetajaks on iga korrutis, mille tegurite hulka kuuluvad antud nimetajate kõik tegurid. Selliseid korrutisi on aga lõpmata palju. Lihtsaim ühine nimetaja saadakse, kui võetakse selle tegureiks ühe nimetaja kõik tegurid ja neile lisatakse teisest nimetajast need, mis eelnevas puuduvad. Praegu on selliseks avaldiseks korrutis 3 . 5. Saame
b)
Lahendus:
Ühine nimetaja on bn.
c)
Lahendus:
Ühine nimetaja on c2d. Vaadates esimest murdu, näeme, et seda polegi vaja laiendada. Laiendame ainult teist murdu laiendajaga d.
d)
Lahendus:
Ühine nimetaja on 12x2yu2v.
e)
Lahendus:
Ühine nimetaja on 15a2bc3d.
f)
Lahendus:
Ühine nimetaja on 6a3b4. Uurides murde, näeme, et teist murdu pole vaja laiendada.

Laienda järgnevaid murde antud kaksliikmega.

a) kaksliikmega (a + b)
Lahendus:
b) kaksliikmega (x – y)
Lahendus:
c) kaksliikmega 2(n – 2m)
Lahendus:
d) kaksliikmega (a2 + b)
Lahendus:

Teisenda murrud ühenimelisteks.
a)
Lahendus:
Ühine nimetaja on (a + b)(a – b).
b)
Lahendus:
Ühine nimetaja on (m + n)(m – n).
c)
Lahendus:
Tegurdame antud murdude nimetajad :
4a2 – b2 = (2a + b)(2a – b);
(2a – b)2 = (2a – b)(2a – b).
Ühiseks nimetajaks on avaldis (2a + b)(2a – b)(2a – b) ehk (2a + b)(2a – b)2. Laiendame nüüd murde. Saame
d)
Lahendus:
Tegurdame antud murdude nimetajad:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Ühiseks nimetajaks on avaldis (a + b)2(a – b). Laiendame nüüd murde. Saame
e)
Lahendus:
Tegurdame nende murdude nimetajad:
4a – 4b = 4(a – b);
6a + 6b = 6(a + b);
8a2 – 8b2 = 8(a + b)(a – b).
Ühise nimetaja saamiseks kirjutame välja ühe nimetaja, näiteks esimese: 4(a – b). Teise nimetaja 6(a + b) teguritest puuduvad esimeses arv 3 ja kaksliige (a + b) – need tuleb esimese nimetaja tegureile lisada. Saame 12(a – b)(a + b), milles kolmandast nimetajast 8(a + b)(a – b) puuduvad veel arv 2 (8 = 2 . 2 . 2, kuid 12 = 2 . 2 . 3). Otsitav ühine nimetaja on seega
24(a + b)(a – b).
Nüüd määrame laiendajad ja viime murrud ühisele nimetajale.
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Erinimeliste murdude liitmine ja lahutamine

Arvuta.

a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Lihtsusta järgnevad avaldised.
a)
Lahendus:
Ühine nimetaja on (a + b)(a – b).
b)
Lahendus:
Siin saab iga murru nimetaja tegurdada. Saame
Näeme, et antud murdude ühiseks nimetajaks sobib korrutis 2(a + b)(a – b).
c)
Lahendus:
Selles avaldises on kahe esimese murru nimetajad vastandmärgilised. Need murrud saab teisendada ühenimelisteks sel teel, et kasutame võrdusi
Saame
d)
Lahendus:
Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid
Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Lihtsusta avaldist.
a)
Lahendus:
Lihtsustame selle avaldise tehete kaupa. Selleks teostame kõigepealt tehted sulgudes ja seejärel leiame vajaliku jagatise . Saame
Vastus:
b)
Lahendus:
Vastus:

Lihtsusta avaldis ja arvuta siis selle väärtus.
a) kui a = 5 ja b = 3
Lahendus:
Kui a = 5 ja b = 3, siis
b) kui a = 3
Lahendus:
Kui a = 0,5, siis
Täisnurkse kolmnurga lahendamine
Pythagorase teoreem

Leia täisnurkse kolmnurga
1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm;
Lahendus:
Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: hüpotenuus c = 13 cm.
2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm;
Lahendus:
Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: kaatet a = 8 cm.
3) Kaatet b, kui hüpotenuus c = 13 m ja teine kaatet a = 12 m.
Lahendus:
Kaateti b arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: kaatet b = 5 m.

Leia täisnurkse kolmnurga
1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 2,8 cm ja b = 4,5 cm;
Lahendus:
Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: hüpotenuus c = 5,3 cm.
2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 7,3 m ja teine kaatet b = 5,4 m;
Lahendus:
Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: kaatet
m.
3) kaatet b, kui hüpotenuus c = 0,89 km ja teine kaatet a = 0,39 km.
Lahendus:
Kaateti b arvutamiseks kasutame valemit
Vastus: kaatet b = 0,8 km.
Täisnurkse kolmnurga lahendamine
Nurga mõõtmine

Arvuta.
1) 20° + 45°
Lahendus: 20° + 45° = 65°
2) 65° – 42°
Lahendus: 65° – 42° = 23°
3) 42° + 51°30´
Lahendus: 42° + 51°30´ = 93°30´
4) 90° – 38°44´
Lahendus: 90° – 38°44´ = 51°16´
5) 64°37´ + 18°11´
Lahendus: 64°37´ + 18°11´ = 82°48´
6) 72°29´ – 42°24´
Lahendus: 72°29´ – 42°24´ = 30°05´
7) 48°54´ + 46°21´
Lahendus: 48°54´ + 46°21´ = 95°15´
8) 56°45´ – 29°58´
Lahendus: 56°45´ – 29°58´ = 26°47´

Teisenda minutiteks.
1) 6°
Lahendus: 6° = 6 . 60´ = 360´
2) 12°28´
Lahendus: 12°28´ = 12 . 60´ + 28´ = 748´
3) 46°1´
Lahendus: 46°1´ = 46 . 60´ + 1´ = 2761´
4) 115°33´
Lahendus: 115°33´ = 115 . 60´ + 33´ = 6933´

Teisenda täiskraadideks ja -minutiteks.
1) 218´
Lahendus:
218´ = 218 : 60 = 3 (kraadi), jääk 38 (minutit);
218´ = 3°38´.
2) 4751´
Lahendus:
4751´ = 4751 : 60 = 79 (kraadi), jääk 11 (minutit);
4751´ = 79°11´.
3) 82´
Lahendus:
82´ = 82 : 60 = 1 (kraad), jääk 22 (minutit);
82´ = 1°22´.
4) 5560´
Lahendus:
5560´ = 5560 : 60 = 92 (kraadi), jääk 40 (minutit);
5560´ = 92°40´.
Pöördkehad
Silinder

Silindri põhja raadius on 2 cm ja kõrgus 5 cm. Leia silindri külgpindala, põhjapindala ja täispindala.
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on r = 2 cm;
h = 5 cm.
Leiame Sk; Sp; St.
Külgpindala Sk = 2πrh; Sk = 2π . 2 . 5 = 20π (cm2);
põhjapindala Sp = π r2; Sp = π . 22 = 4π (cm2);
täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 4π + 20π = 28π (cm2).
Vastus: Silindri külgpindala on 20π cm2, põhjapindala 4π cm2 ja täispindala 28π cm2.

Silindri põhja raadius on 2,5 cm ja kõrgus 1,2 cm. Leia silindri külgpindala, põhjapindala ja täispindala.
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on r = 2,5 cm;
h = 1,2 cm.
Leiame Sk; Sp; St.
Külgpindala Sk = 2πrh; Sk = 2π . 2,5 . 1,2 = 6π (cm2);
põhjapindala Sp = π r2; Sp = π . 2,52 = 6,25π (cm2);
täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 6,25π + 6π = 18,5π (cm2).
Vastus: Silindri külgpindala on 6π cm2, põhjapindala 6,25π cm2 ja täispindala 18,5π cm2.

Silindri põhja raadius on 0,7 cm ja kõrgus 3,5 cm. Leia silindri külgpindala, põhja pindala ja täispindala.
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on r = 0,7 cm;
h = 3,5 cm.
Leiame Sk; Sp; St.
Külgpindala Sk = 2πrh; Sk = 2π . 0,7 . 3,5 = 4,9π (cm2);
põhjapindala Sp = π r2; Sp = π . 0,72 = 0,49π (cm2);
täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 0,49π + 4,9π = 5,88π (cm2).
Vastus: Silindri külgpindala on 4,9π cm2, põhjapindala 4π cm2 ja täispindala 5,88π cm2.

Kui palju kulub silindrikujulise raudahju külgpindala katmiseks, kui ahju kõrgus on 1,3 m ja läbimõõt 0,7 m?
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise ahju.
Antud on ahju läbimõõt d = 0,7 m;
kõrgus h = 1,3 m.
Leiame raudahju külgpindala Sk.
Külgpindala Sk = 2πrh = πdh; Sk = π . 0,7 . 1,3 = 0,91π ~0 2,86 (m2);
Vastus: Silindrikujulise raudahju külgpindala on 2,86 m2.

On tarvis valmistada plekist silindrikujuline nõu (ilma kaaneta). Nõu läbimõõt peab olema 24 cm ja kõrgus 35 cm. Kui palju plekki kulub selle nõu valmistamiseks, kui pleki kulu valtsimiseks mitte arvestada? Vastus anda täisarvudes.
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise nõu (ima kaaneta).
Antud on nõu läbimõõt d = 24 cm;
raadius seega r = 12 cm;
kõrgus h = 35 cm.
Leiame plekknõu täispindala St, arvestades, et kaant ei ole.
Täispindala St = Sp + Sk = π r2 + 2πrh; St = π . 122 + 2π . 12 . 35 = 984π ~ 3090 (cm2).
Vastus: Silindrikujulise plekknõu valmistamiseks kulub 3090 cm2 plekki.

Vaja on krohvida silindrikujulise silotorni sisepind. Torni seesmine läbimõõt on 3,6 m ja kõrgus 6,8 m. Arvuta täpsusega 0,1 m2, mitu ruutmeetrit pinda tuleb krohvida, kui kogu pinnast tuleb välja jätta luukide kohad, mille kogupindala on 1,8 m2.
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise silotorni.
Antud on torni seesmine läbimõõt d = 3,6 m;
raadius seega r = 1,8 m;
kõrgus h = 6,8 m;
silotorni luukide kogupindala S = 1,8 m2.
Arvutame kõigepealt silotorni täispindala St ja seejärel lahutame saadud täispindalast luukide kogupindala, mis on antud.
Silotorni täispindala koos luukidega on St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2π (1,8 + 6,8) = 17,2π ~ 54,0 (m2).
Silotorni pindala ilma luukideta on 54 m2 – 1,8 m2 = 52,2 m2.
Vastus: Krohvida tuleb 52,2 m2 pinda.

Mitu ruutmeetrit plekki kulub vihmaveetoru valmistamiseks, kui toru pikkus on 10 m ja läbimõõt 12 cm ning valtsimiseks kulub 5 % materjalist? Vastus anda täpsusega 0,1 m2.
Lahendus:
Joonistame vihmaveetoru, mis on silindrikujuline.
Antud on toru pikkus h = 10 m;
läbimõõt d = 12 cm = 0,12 m;
ning valtsimiseks kulub 5 % materjalist.
Arvutame kõigepealt vihmaveetoru külgpindala ja seejärel liidame saadud pindalale 5 % külgpindalast, mis kulub valtsimiseks.
Vihmaveetoru külgpindala on seega Sk = 2πrh = πdh; Sk = π . 0,12 . 10 ~ 3,768 (m2) ehk materjali kulub 3,8 m2.
Valtsimiseks kulub 5 % materjalist ehk 0,05 . 3,8 = 0,19 m2.
Vihmaveetoru valmistamiseks on vaja 3,8 + 0,19 = 3,99 ~ 4 (m2) plekki.
Vastus: Vihmaveetoru valmistamiseks on vaja 4 m2 plekki.

Silindrikujulise korstna kõrgus on 10 m ja läbimõõt 0,5 m. Mitu ruutmeetrit plekki kulub korstna valmistamiseks, kui valtsimiseks kulub 10 % materjalist? Vastus anda täpsusega 0,1 m2.
Lahendus:
Joonistame korstna, mis on silindrikujuline.
Antud on korstna kõrgus h = 10 m;
läbimõõt d = 0,5 m;
ning valtsimiseks kulub 10 % materjalist.
Arvutame kõigepealt korstna külgpindala – saame teada, kui palju kulub plekki korstna valmistamiseks. Peame arvestama, et kosrtna valmistamiseks kulub 10 % materjalist valtsimiseks.
Korstna külgpindala on seega Sk = 2πrh = πdh; Sk = π . 0,5 . 10 = 5 π ~ 15,7 (m2) ehk materjali kulub 15,7 m2.
Valtsimiseks kulub 10 % materjalist ehk 0,1 . 15,7 = 1,57 m2.
Korstna valmistamiseks on vaja 15,7 + 1,57 = 17,27 ~ 17,3 (m2) plekki.
Vastus: Korstna valmistamiseks on vaja 17,3 m2 plekki.

On vaja värvida 100 silindrikujulist posti. Iga posti kõrgus on 1,5 m ja läbimõõt 2,8 dm. Kui palju kulub värvimisel värnitsat, kui 1 m2 jaoks on seda tarvis 0,25 kg?
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise posti.
Antud on posti kõrgus h = 1,5 m;
läbimõõt d = 2,8 dm = 0,28 m;
postide arv n = 100;
1 m2 posti värvimise jaoks on värnitsat vaja 0,25 kg.
Leiame kõigepealt ühe posti külgpindala ja seejärel värnitsa hulga, mis kulub 100 posti värvimiseks.
Ühe posti külgpindala on Sk = 2πrh = πdh; Sk = π . 0,28 . 1,5 = 0,42π ~ 1,32 (m2).
Värnitsat kulub 100 posti värvimiseks 100 . 1,32 . 0,25 = 33 (kg).
Vastus: 100 posti värvimiseks kulub 33 kg värnitsat.

Silindrikujuline korsten on valmistatud pekist, mille ruutmeeter kaalub 7 kg. Korstna kõrgus on 15 m ja diameeter 40 cm. Valtsimiseks kulub 8 % materjalist. Arvuta korstna kaal täpsusega 0,1 kg.
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise korstna.
Antud on korstna kõrgus h = 15 m;
diameeter d = 40 cm = 0,4 m;
pleki ruutmeeter kaalub 7 kg;
pleki valtsimiseks kulub 8 % materjalist.
Korstna külgpindala on Sk = 2πrh = πdh; Sk = π . 0,4 . 15 = 6π ~ 18,84 (m2).
Pleki valtsimiseks kulub 8 % materjalist s.o. 0,08 . 18,84 = 1,5 (m2).
Kokku on materjali vaja osta 18,84 + 1,5 = 20,34 (m2).
Korsten kaalub seega 7 . 20,34 = 142,4 kg.
Vastus: Silindrikujuline korsten kaalub 142,4 kg.

Silindri telglõige on ruut, mille külg on 12 cm. Leia silindri täispindala.
Lahendus:
Joonistame silindri, mille telglõige on ruut.
Antud on silindri telglõike külje pikkus, mis on 12 cm;
silindri diameeter on ka 12 cm ehk raadius r = 6 cm.
Leiame silindri täispindala St.
Täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 6π(6 + 12) = 216π (cm2).
Vastus: Silindri täispindala on 216π cm2.

Silindri kõrgus on 5 cm ja põhja raadius 6 cm. Kui pikk on telglõike diagonaal ?
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on silindri kõrgus h = 5 cm;
põhja raadius r = 6 cm.
Leiame silindri telglõike diagonaali d.
Telglõike diagonaali leiame Pythagorase teoreemi põhjal: d2 = h2 + (2r)2;
Saame d2 = 52 + (2 . 6)2;
d2 = 25 + 144;
d2 = 169;
d = 13 (cm).
Vastus: Silindri telglõike diagonaali pikkus on 13 cm.
Pöördkehad
Silinder

Arvuta silindri külgpindala, täispindala ja ruumala, kui silindri raadius on 7 cm ja kõrgus 2,8 cm.
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on r = 7 cm;
h = 2,8 cm.
Leiame Sk; St; V.
Külgpindala Sk = 2πrh; Sk = 2π . 7 . 2,8 = 39,2π (cm2);
põhjapindala Sp = π r2; Sp = π . 72 = 49π (cm2);
täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 49π + 39,2π = 137,2π (cm2);
ruumala V = hSp; V = 2,8 . 49π = 137,2π (cm3).
Vastus: Silindri külgpindala on 39,2π cm2, täispindala 137,2π cm2 ja ruumala 137,2π cm3.

Silindri põhja raadius on 3 cm ja kõrgus 10 cm. Arvuta silindri ruumala.
Lahendus:
Teeme joonise.
Antud on r = 3 cm;
h = 10 cm.
Leiame Sk; St; V.
Külgpindala Sk = 2πrh; Sk = 2π . 3 . 10 = 60π (cm2);
põhjapindala Sp = π r2; Sp = π . 32 = 9π (cm2);
täispindala St = 2Sp + Sk = 2π r2 + 2πrh = 2πr(r + h); St = 2 . 9π + 60π = 78π (cm2);
ruumala V = hSp; V = 10 . 9π = 90π (cm3).
Vastus: Silindri külgpindala on 60π cm2, täispindala 78π cm2 ja ruumala 90π cm3.

Mitu liitrit vett mahutab silindrikujulin nõu, mille kõrgus on 9 dm ja seesmine läbimõõt 6 dm? Vastus anda täpsusega 1 liiter .
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise nõu.
Antud on nõu kõrgus h = 9 dm;
seesmine läbimõõt d = 6 dm ehk raadius r = 3 dm.
Teame, et 1 dm3 = 1 liiter.
Leiame nõu ruumala V.
Ruumala V = hSp = πr2h; V = π . 32 . 9 = 81π ~ 254,34 (dm3) ehk 254 liitrit.
Vastus: Silindrikujuline nõu mahutab 254 liitrit vett.

Silindrikujulise kaevu läbimõõt on 12 dm. Mitu liitrit vett on selles kaevus , kui veepinna kaugus kaevu põhjast on 2,1 m? Vastus anda täpsusega 1 liiter.
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise kaevu.
Antud on kaevu läbimõõt d = 12 dm ehk r = 6 dm;
veepinna kaugus kaevu põhjast h = 2,1m = 21 dm.
Teame, et 1 dm3 = 1 liiter.
Leiame kaevu selle osa ruumala, mis on täidetud veega.
Ruumala V = hSp = πr2h; V = π . 62 . 21 = 756π ~ 2373,8 (dm3).
Antud kaevus on seega 2374 liitrit vett.
Vastus: Silindrikujulises kaevus on 2374 liitrit vett.

Tarvis on valmistada silindrikujuline anum , mille maht on 500 l. Kui kõrge peab see anum olema, kui diameeter on 76 cm? Vastus anda täpsusega 1 dm.
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise anuma.
Antud on anuma maht V = 500 l = 500 dm3;
diameeter d = 76 cm = 7,6 dm ehk raadius r = 3,8 dm.
Leiame anuma kõrguse h.
Anuma ruumala avaldub valemi V = hSp = πr2h järgi.
Siit leiame kõrguse h. Saame
Vastus: Silindrikujulise anuma kõrgus peab olema 11 dm.

Kaevatakse silindrikujuline kaev läbimõõduga 1,5 m ja sügavusega 12 m. Kui palju pinnast tuleb välja kaevata? Mitme autokoormaga saab väljakaevatud mulla ära vedada, kui ühte koormasse pannakse 2 m3 pinnast?
Lahendus:
Joonistame silindrikujulise kaevu.
Antud on kaevu läbimõõt d = 1,5 m ehk r = 0,75 m;
sügavus h = 12 m;
autokoorma suurus 2 m3.
Leiame kui palju pinnast tuleb välja kaevata ehk soovitava kaevu ruumala ja seejärel mitme autokoormaga saab selle mulla ära vedada.
Kaevu ruumala on V = hSp = πr2h; V = π . 0,752 . 12 = 6,75π ~ 21,2 (m3).
Kui ühte koormasse pannakse 2 m3 pinnast, siis 21,2 m3 mulla äravedamiseks peab auto sõitma 11 korda.
Vastus: Pinnast tuleb välja kaevata 21,2 m3 ja ära vedamiseks peab auto sõitma 11 korda.

Silindrikujulise pooleliitrise mõõteklaasi diameeter on d = 69 mm ja kõrgus h = 134 mm ning veerandliitrisel on läbimõõt d = 55 mm ning kõrgus h = 106 mm. Kui on vaja mõõta pool- või veerandliitrit vett, siis kas need mõõteklaasid tuleb ääreni täis panna või mitte?
Lahendus:
Joonistame ühe silindrikujulise mõõteklaasi.
Antud on pooleliitrise mõõteklaasi diameeter d1 = 69 mm = 0,69 dm ehk r1 = 0,345 dm;
kõrgus h1 = 134 mm = 1,34 dm;
veerandliitrise mõõteklaasi läbimõõt d2 = 55 mm = 0,55 dm ehk r2 = 0,275 dm;
kõrgus h2 = 106 mm = 1,06 dm.
Teame, et 1 dm3 = 1 liiter.
Leiame kõigepealt pooleliitrise mõõteklaasi ruumala ja seejärel veerandliitrise ruumala.
Pooleliitrise mõõteklaasi ruumala V = hSp = πr2h; V = π . 0,3452 . 1,34 = 0,159π ~ 0,5 (dm3), mis ongi pool liitrit;
veerandliitrise mõõteklaasi ruumala V = hSp = πr2h; V = π . 0,2752 . 1,06 = 0,0801π ~ 0,25 (dm3), mis on veerand ehk 0,25 liitrit.
Vastus: Mõõteklaasid tuleb ääreni vett täis panna.

.DOC Laadi alla originaalfail 63 lk · .doc · 137 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 63 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2018-04-09 Kuupäev, millal dokument üles laeti

137 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kaspar99 Õppematerjali autor

Põhikooli matemaatika kordamine matemaatika

Sarnased õppematerjalid

100

pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………?

Matemaatika

pdf

Geomeetria stereomeetria

STEREOMEETRIA Risttahukas S  2ab  bc  ac  c V  S p  H  abc d d  a2  b2  c2 b a Kuup S  6a 2 d a V  a3 d a 3 a a Püstprisma S t  2S p  S k H= l Kü lg pindala S k  P  H V  Sp  H A B C Kaldprisma S t  2S p  S k Ris

Geomeetria

docx

VÕRRANDID (mõisted)

VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole

Matemaatika

doc

Mõisted matemaatikas

Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vaba

Matemaatika

246

pdf

Funktsiooni graafik I õpik

1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene

Matemaatika

pdf

Keskkooli lõpueksam (2008)

2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)

Algebra ja analüütiline geomeetria

doc

Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid

Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kog

Algebra I