Kõrgem matemaatika (8)

Eesti Maaülikool - Matemaatika - Kõrgem matemaatika

4 HEA

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks

Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis
Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti.
Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse .
Ühikvektoriks nim vektorit , mille pikkus võrdub ühega. .
Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. .
Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta.
Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest.
Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. .
Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasandil.
Kahe vektori skalaarkorrutiseks nim vektorite moodulite ja nende vahelise nurga cos korrutist. .
Omadused:

Vektorite skalaarkorrutis võrdub 0-ga, kui üks teguritest võrdub nulliga või vektorid on omavahel risti. .
Vektorite skalaarkorrutis on kommutatiivne. .
Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes. .
Skalaariga korrutamise on distributiivne. .
Vektori sklaarruuduks nim vektori skalaarkorrutist iseendaga . .

.
Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi

Moodul võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga.
Omadused:

Vektorkorrutis on antikommutatiivne

Vektorkorrutis on assotsiatiivne arvulise teguri suhtes

Vektorkorrutis on distriutiivne

Maatriksid
Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit.
Maatriksis on m rida ja n veergu.
Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj.
Maatriksi peadiogonaali elemendid on a11; a22; amn
Erikujulised maatriksid:

Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks. Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui m≠n, siis nim maatriksit ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element ≠0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks. Tähistatakse E.
Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; kl), siis nim seda maatriksit kolmnurkseks maatriksiks.
Öeldakse, et maatriks Am*n on trapetsikujuline, kui elemendid tema nullist erinevate elementide aaa, a22...akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest.

Tehted maatriksitega:

Maatriksite transponeerimine

Operatsiooni, mille käigus Am*n=(aij) read ja veerud vahetavad oma osad, nim maatriksite transponeerimiseks.
Bn*m=(aji)=AT

Maatriksi elementaarteisenduseks on operatsioon , mille korral ühele reale (veerule) liidetakse element haaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg).
Maatriksite liitmine . Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid. Am*n+Bm*n=Cm*n
Maatriksi korrutamine arvuga. Korrutamisel arvuga λ saame samade parameetritega maatriksi, mille elemedniks saadakse lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel selle arvuga.
Maatriksi korrutamine. Korrutada saab ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga.

Am*n*Bn*p=Cm*p; Maatriksi korrutamine ei ole kommutatiivne. A*B≠B*A
Kui maatriksis leidub vähemalt 1 nullist erinev r-järku miinor ja mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. r= rank A
Maatriksi astakut määravat miinorit nim baasimiinoriks. Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud.
Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele reale k-kordse teise rea liitmine; * maatriksi ridade ümberpaigutamine.
Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Nende abil teisendatakse maatriksid nii, et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiogonaali võrduksid nulliga.
Maatriksit AT=(aki) nim maatriksi A=(aik) transponeeritud maatriksiks. See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel.
Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks.
Pöördmaatriksiks nim maatriksit

Lineaarsed võrrandisüsteemid
Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks.
Korrastatud süsteem:
Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks.
Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks.
Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid , mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks.

Kronecker -Capelli teoreem
Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r’

Sirge tasandis , sirge ja tasand ruumis

Joone võrrand

Vaatleme matemaatilist avaldist , mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused.
Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks.

Kahe sirge vastastikused asendid

Ühtivad sirged s=t
Paralleelsed sirged s||t
Lõikuvad sirged s∩
Kiivsirged s

Nurk sirgete vahel

Tasandi üldvõrrand

Ax+By+Cz+D=0
Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid.
Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga.
Tasand on I järku algebraline pind.
Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga.
Kui B=0, siis risti x-z tasandiga.
Kui C=0, siis risti x-y tasandiga.
Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti.
Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga.
Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge.

Tasandi võrrand telglõikudes

Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0

Kahe tasandi vastastikused asendid

Olgu 2 tasandit
α: A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor
β: A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor
Ühtivad tasandid α= β
Paralleelsed tasandid α||β
Lõikuvad tasandid α∩ β=l
Tasandid on risti kui

Nurk tasandite vahel

Sirge ruumis

Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega.
Sirge kanooniline võrrand
Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori .
Kui asendada kanoonilisse võrrandisse mingi punkti koordinaadid, siis kõik 3 suhet on omavahel võrdsed.
Sirge parameetriline võrrand
Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus.
Sirge kanooniliste ja parameetriliste võrrandite leidmiseks on vaja punkti, mis asuks sirgel ja sirge sihivektorit.

Sirge ja tasandi vastasikused asendid

Olgu sirge s:
A(xo;yo;zo);
Tasand α:
Ax+By+Cz+D=0;
Sirge asetseb tasandil s
; A
Sirge on tasandiga paralleelne s||α
; A
Sirge lõikab tasandit s∩α
Kahe punktiga määratud sirge võrrand
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand
Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. Tähistatakse k.

Teist järku algebralised jooned

Ringjoon

Ringjooneks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus tasandi antud punktist on konstantne .
Koostame ringjoone võrrandi, kui keskpunkt Q(a;b) ja raadius on r. Tähistame ringjoonel suvalise punkti M(x;y) ja arvutame selle kauguse keskpunktist, siis MQ=r.
Kui keskpunkt Q(0;0), siis on ringjoone võrrand x2+y2=r

Ellips

Ellipsiks nim tasandi punktide hulka, mille kauguste summa tasandi kahest antud punktist on konstantne. Neid punkte nim ellipsi fookusteks (tähistatakse F1 ja F2). Fookuste vahelist kaugust tähistatakse F1+F2=2c.
Ellipsi punkti kauguste suummat fookustest tähistatakse 2a.
Kui on punkt M(x;y), siis selle kaugus fookustest MF1+MF2=2a.
Ellipsi kanooniline võrrand: (F1(-c;0), F2(c,0)
Ellipsi fookuste vahekauguse suhet ellipsi suure telje pikkusesse nimetatakse ellipsi eksentrilisuseks (tähistatakse e).
; 0≤e0 parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja avaneb y-telje positiivses suunas.
2p0 parabool on sümmeetriline x-telje suhtes ja avaneb x-telje postiivses suunas.
2p

.DOC Laadi alla originaalfail 7 lk · .doc · 477 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 7 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-06-01 Kuupäev, millal dokument üles laeti

477 laadimist Kokku alla laetud

8 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Felicity Õppematerjali autor

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks.
Sisaldab järgmisi teemasid: Kahe vektori skalaar- ja vektorikorrutis (vektori mõiste, vektori moodul, ühik-, vaba- ja nullvektor); Maatriksid (mõiste, erikujulised maatriksid, tehted maatriksitega); Lineaarsed võrrandisüsteemid; Kronecker-Capelli teoreem; Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis (joone võrrand, kahe sirge vastastikused asendid, nurk sirgete vahel, tasandi üldvõrrand, tasandi võrrand telglõikudes, kahe tasandi vastastikused asendid, nurk tasandite vahel, sirge ruumis, sirge ja tasandi vastastikused asendid); Teist järku algebralised jooned (ringjoon, ellips, hüperbool, parabool).
Sisaldab vajalikke valemeid.

kõrgem matemaatika vektor skalaarkorrutis vektorkorrutis maatriks lineaarsed võrrandisüsteemid sirge tasandis sirge ruumis tasand ruumis ringjoon ellips hüperbool parabool

Sarnased õppematerjalid

doc

algebra konspekt

Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L k?

Algebra ja analüütiline geomeetria

docx

Lineaaralgebra eksami kordamisküsimused vastused

1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend

Matemaatiline analüüs 1

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetami

Lineaaralgebra

doc

Algebra ja geomeetria kordamine

MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv

Algebra ja geomeetria

pdf

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt

Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo

Algebra ja analüütiline geomeetria

doc

Kõrgema matemaatika eksam

1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·

Kõrgem matemaatika

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen

Algebra I

doc

Kõrgem matemaatika

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks.

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid