2)telgede moondetegurite vahekorra alusel: *isomeetriline e võrdmõõduline (isomeetria- mx=my=mz)- ristisomeetria, kaldisomeetria *dimeetriline e kahemõõduline (dimeetria- mx=mz; mxmy)- ristdimeetria, kalddimeetria *trimeetriline e kolmemõõduline (trimeetria- mxmymz) risttrimeetria, kaldtrimeetria Moondetegur- lõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja lõigu enda suhet nimetatakse lõigu moondeteguriks. Taandatud moondetegur tähendab suurendatud moondetegurit. Ristisomeetria: on ristprojektsioon, kus teljestik on kujutise saamiseks paigutatud ekraani suhtes võrdkaldeliselt. (nurgad telgede kujutiste vahel on 1200). Ristdimeetria: on ristprojektsioon, kus teljestiku kujutamisel kaks telge asetsevad ekraani suhtes võrdse nurga all. Objektist saadakse 1,06 korda suurendatud kujutis. Aksonomeetrilise kujutise tuletamise käik: 1.objekt seotakse ruumilise ristteljestikuga, mille tulemusel objekti iga punkt saab endale kindlad koordinaadid. 2
siht. ristprojektsiooni suurus? 0<<180. 2. Kuidas jaguneb paralleel projektsioon ja 12. Mis kujundiks projekteerub ring paralleel mille poolest need alaliigid üksteisest projekteerimisel, kui ta on paralleelne erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kiirtega (paralleelne ekraaniga)? Sirglõiguks kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. (kaldprojektsioon-ellipsiks, ristprojektsioon- Kaldprojektsiooni puhul langevad ringiks). projekteerimis kiired tasapinnale kaldu, 13. Nimetage objekti määravate jooniste ristprojekteerimisel langevad saamise meetodid. 1) Monge'i meetod, 2) projekteerimiskiired ekraanile risti. kvooditud ristprojektsiooni meetod, 3) 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on aksonomeetria meetod. punkt
ristprojektsiooni vahel. Kui cos=1; siis AB ll , siis A'B'=AB. Kui cos=0 (=90); siis AB on risti , siis A'B'=0. Sirglõigu moondetegur: sirgjoone projektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkse suhe. 0m1 ; A'B'/ AB =m=cos. Ristprojektsiooni omadus: täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti. Teravnurga ristprojektsioon võib olla 0-st kuni 180-ni. Nõuded: lihtsus, mõõdetavus, piltlikkus, objekti üheselt määratavus. Kujutatava geomeetria põhilised meetodid: lisaandmete valikust lähtuvalt eristatakse järgmisi objekti määravate jooniste saamise meetodeid: *Monge'i ehk mituvaate meetod *Aksonomeetria meetod * Kvooditud ristprojektsiooni meetod. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega. Punkti kaksvaade määrab punkti asukoha
h vasatava jälje ristsirged sellel tasandil. Iga ekraani suhtes on tasandil oma langusjoonte süsteem. Põhilangusjoonteks (l) nim langusjooni, mis on risti tasandi horisontaalidega (ka põhijäljega); Tunnus: l' risti h' ja l' risti p. Esilangusjoonteks (g) nim langusjooni, mis on risti tasandi frontaalidega (ka esijäljega); Tunnus- g'' risti f'' ja g'' risti e. Tasandi kaldenurgad Langusjoonte abil saab tuletada tasandi kaldenurki ekraanide suhtes. Et landusjoon ja tema ristprojektsioon on mõlemad tasandi jäljega risti, siis langusjoone kaldenukr võrdub tasandi kaldenurgaga. Seega: tasandi põhikaldenurk fi1= (, 1) = fi (l, l') Esiakldanurk 1= ( , 2) = (g, g')
1. tsentraalprojektsiooni puhul väljuvad kõik kujutamiskiired ühest punktist (tsentraalsed kujutamiskiired). Paralleelprojektsiooni puhul on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. 2. kaldprojektsioon - kujutamiskiired langevad ekraaniga kaldu. Ristprojektsioon - kujutamiskiired ekraaniga risti. 3. sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt, kui sirgjoon ühtib kujutamiskiirega. 4. tasapinnalise kujundi paralleelprojketsiooniks sirglõik, kui kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis 5. sirglõigu moondetegur - sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu enda tõelise pikkuse suhe 6. sirglõigu moondetegur võib muutuda järgmistes piirides: 1) ristprojekteerimisel nullist üheni; 2)
pinnaga? Ellips/ring 94. Mis kujund on ringjoone ristisomeetriline kujutis, kui ringjoon on paralleelne xy (xz, yz)-pinnaga? Ellipsid 95. Skitseerige ristisomeetrilise teljestiku konstruktsioon (märkida juurde telgede moondetegurid). 96. Skitseerige kabinetprojektsiooni teljestik (märkida juurde telgede moondetegurid). 97. Skitseerige standardse ristdimeetrilise teljestiku konstruktsioon (märkida juurde telgede noondetegurid). Ristdimeetria on ristprojektsioon, kus teljestiku kujutamisel kaks telge asetsevad ekraani suhtes võrdse nurga all. Kui telgede kaldenurgad on valitud nii, et ühe telje ühiku kujutis tuleb kahe ülejäänud telje omast kaks korda lühem, on tegemist nn. standardse ristdimeetriaga. 98. Skitseerige konstruktsioon koordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede pikkuse määramiseks taandatud moondeteguritega ristisomeetria jaoks. 99
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks.
Näiteks võlli treimisel saab mõõta võlli läbimõõtu, mitte raadiust. Sellepärast tuleb ka joonisel anda võlli läbimõõt. Projekteerimine Joonised sisaldavad eseme ühte või mitut kujutist. Kujutist saadakse esemest projekteerimise teel tasapinnale. Projektsioonide saamise viisid Tsentraalprojektsioon Tsentraalprojektsiooni meetodil saadud piltkujutis. Kaldprojektsioon Kaldprojektsiooni meetodil saadud piltkujutis. Ristprojektsioon Ristprojektsioon ühel ekraanil Kujutised ja kujutiste liigid · Joonisel esinevaid kujutisi võib nende sisu järgi liigitada vaadeteks, ristlõigeteks ja lõigeteks. Vaade ·Vaade on kujutis vaatleja poolt paistvatest eseme pinnaosadest. Mitme vaatega kujutist saame ühest esemest? Põhilised vaated. a - põhilised vaate suunad; b - põhiliste vaadete paigaldus; 1 - eestvaade; 2 - pealtvaade; 3 - vasakultvaade; 4 - paremaltvaade; 5 - altvaade; 6 -
Esimesel juhul lähtuvad projekteerimiskiired ühest punktist ( tsenter), teisel juhul on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. Paralleelprojekteerimist võiv vaadelda ka tsentraalprojekteerimise erijuhina, kus silmapunkt on viidud lõpmata kaugele. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Olenevalt kas projektsioonikiired langevad ekraanile kaldu või risti: kaldprojektsioon ja ristprojektsioon. 3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirge projekteerub punktiks, kui ta ühtib kujutamiskiirega 4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis, siis see kujund projekteerub sirglõiguks. 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Sirglõigu paralleelprojektsioon pikkuse ja selle tegeliku pikkuse suhe. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur:
Paralleelprojekteerimisel üldiselt võib moondetegur muutuda vahemikus (0; ) 7. Kui ring on paralleelne kiirtega, projekteerub ta sirgeks.Kui ring on paralleelne ekraaniga, prjekteerub ta ringiks. 8. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. A'B'=AB cos 9. Sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. (0-90) 10. Teravnurga ristprojektsioon võib nurga asendist tingitult olla 0-180 11. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar pole aga ekraaniga risti. 12. Projektsioonidele esitatavad nõuded: - Lihtsus - Mõõdetavus - Piltlikkus - Objekti üheselt määratavus 13. Objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid:' - Monge`i meetod e mituvaate meetod - Aksonomeetria meetod
1. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Kujutamiskiirte asend on erinev, tsentraalprojektsiooni puhul algavad need ühest punktist, paralleelprojekteerimisel asetsevad kujutamiskiired paralleelselt. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Kaldprojektsioon (kiired ekraani suhtes kaldu) ja ristprojektsioon (kiired ekraani suhtes risti). 3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Kui sirgjoon on ühtib projekteeritavate kiirtega. 4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millistes piirides võib sirglõigu moondetegur muutuda: a) ristprojekteerimisel
0 kraadi kuni 180. 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonis peab olema võimalikult lihtne, mõõdetav ja piltlik. 13.Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge´i meetod, aksonomeetria, kvooditud ristprojektsioon. 14. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot? Põhikvoot z-koordinaatlõik, esikvoot y-koordinaatlõik, külgkvoot x-koordinaatlõik. 15. Missugust joont kaksvaatel nimetatakse sidejooneks? Kaht projektsiooni ühendav lõik, mis on risti kaksvaate teljega. 16. Sõnastage kolmvaate põhiomadus. Ax A´= Az A´´´=A´´ A 19. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Põhijälg- sirge ja põhiekraani lõikepunkt Esijälg- sirge ja esiekraani lõikepunkt
12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonised peavad olema objekti määravad. St, et peavad määrama üheselt objekti kõik omadused. Joonis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik. 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge`i meetod (kaksvaade-obj. määramiseks kasutatakse selle objekti 2 ristprojektsiooni teineteisega ristuvatel ekraanidel. Kvooditud ristprojektsiooni meetod (antakse objektile ristprojektsioon horisontaalsel ekraanil ja seda täiendatakse objekti oluliste punktide või horisontaalsete joonte kaugusega/kõrgusega ekraanist.) Aksonomeetria meetod (objekt seotakse ristteljetsikuga, kusjuures konstrueeritakse esialgu teljestikku rist- või kaldprojektsioon, mille baasil tuletatakse objekti kujutis objekti koordinaatide abil.) 14. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot? Põhikvoot - z-koordinaatlõik Esikvoot - y-koordinaatlõik
2. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Tsentraal projektsiooni puhul on silmapunkt lähedal. Ning kujutamiskiired lähtuvad kõik ühest punktist S. Paralleelprojektsiooni (on tsentraalprojektsiooni eriliik) korral on silmapunkt lõpmata kaugel. Ja kujutamiskiired on omavahel paralleelsed. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Paralleelprojektsioon jaguneb: Ristprojektsioon ja Kaldprojektsioon. Ristprojektsiooni korral on kujutamiskiired risti ekraaniga, kaldprojektsiooni korral on nad kaldu ekraani suhtes. 4. Miks ühest projektsioonist koosnev joonis ilma lisaandmeteta ei määra objekti? Sest ühest projektsioonist ei ole võimalik määrata objekti erinevaid vaateid ja tema geomeetrilisi omadusi. 5. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt kui ta ühtib kujutamiskiirega. 6
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4
moondeteguriks m. 7. Paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged. Nad projekteeruvad punktiks, kui sirged on kujutamiskiirte sihis, ja üheksainsaks jooneks, kui sirged asetsevad ühel tasandil, mis on kujutamiskiirtega paralleelne. 8. Kui tasandiline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on vrdne kujundi enesega. Ristprojektsiooni kohta kehtivad kik eelnevad laused ja lisanduvad järgmised. 9. Täisnurga ristprojektsioon on täisnurk, kui tema üks haar on paralleelne ekraaniga vi asetseb sellel ning teine pole risti ekraaniga. 10. Sirgligu ristprojektsiooni pikkus vrdub sirgligu enda ja kaldenurga koosinuse korrutisega (joon. 3). m = cos; 0 m 1 Tehnikas vajatakse jooniseid, mis üheselt määraksid objekti kik geomeetrilised omadused, selliseid jooniseid nimetatakse määravateks. 3
Esimesel juhul lähtuvad projekteerimiskiired ühest punktist (tsenter), teisel juhul on kujutamis kiired omavahel paralleelsed. Paralleelprojekteerimist võib vaadelda ka tsentraalprojekteerimise erijuhuna, kus silmapunkt on viidud lõpmata kaugele. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Olenevalt kas projektsioonikiired langevad ekraanile kaldu või risti: KALDPROJRKTSIOON ja RISTPROJEKTSIOON. 4. Miks ühest projektsioonist koosnev joonis ilma lisaandmeteta ei määra objekti? (lihtsus, mõõdetavus, piltlikus) Sest kujutise lihtsuse ja mõõdetavuse saavutamiseks joonisel tuleb kasutada objekti eriasendit kiirte ja ekraanide suhtes, kuid piltlikkus nõuab üldasendit. 5. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirge projekteerub punktiks, kui ta ühtib kujutamiskiirega. 6. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik?
Joon.1.2 L Punktikujutiseksekraanilon seda punkti ldbiva kujutamiskiire ja ekraanil6ikepunkt ( A' = SA x e , j o o n .1 .1 ). Kui tasandilinekujund on paralleelne ekraaniga,siis tema paralleelprojektsioon 4 on kongruentnekujundienesega$dreldub 1.4 Ristprojektsioon lausest6). g Paralleelsetesirgete paralleelprojektsioo- Et ristprojektsioonon paralleelprojektsiooni nid on Uldjuhuljdlle paralleelsedsirged; alaliik,siis kehtivadsiin k6ik eespooltoodud erijuhtudel punktikujulised v6i uhine laused1...9.Lisaksselleleon ristprojektsioonil joonkujutis (Kui AB llCD, siis A'B' llC'D'. veeljdrgmised eriomadused. Vastupidine ei kehti,sest MNllCD, ehkki M ' N 'l lC ' D '; o o n .1 .3 ).
kaksvaade (vt mituvaade) – põhiekraan – горизонтальная плоскость комплексный чертеж проекции kaksvaate telg – ось проекции telg – ось Punkti kolmvaade Keerukama ehitusega detailidest tuletatakse lisaks kahele projektsioonile ka kolmas ristprojektsioon, see saadakse esi – ja põhiekraani suhtes ristiseisval tasandil, mida nimetatakse külgekraaniks (ε3). Selel 12a selgitatakse näitlikult ruumipunkti A kujutiste tekkimist kolmele risttasapinnale. Ekraanil ε3 saadud punkti ristprojektsiooni A''' nimetatakse punkti vasakultvaateks. Kaugust külgekraanist (AA''') nimetatakse selle punkti külgkvoodiks. Punkt Ax on punkti A projektsioon x-teljel, punkt Ay projektsioon vastavalt y– teljel ning ja Az projektsioon vastavalt z– teljel
2) Nüüd vaatame natuke üldisemat juhtu, kus jõud pole kangi suhtes risti, vaid moodustab selle suhtes mingi nurga : l O r F Ilmselt avaldab kangile pööravat mõju ainult jõu F ristprojektsioon kangi suhtes, mis võrdub F = F sin . Kangiga paralleelne projektsioon F|| = F cos põhjustaks ainult kangi libisemist pikisuunas. Seega kui tähistaksime jõu F rakenduspunkti kauguse punktist O nüüd tähega r, saaksime kangile mõjuva jõumomendi väärtuseks M O = Fr sin , (6.3) Et jõumomendi definitsioonvalem (6.2) jääks ka selle juhu jaoks kehtima, peame jõu õla
Teoreetiliste aluste andmine jooniste valmistamiseks ja lugemiseks. 02) Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimisel? Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist, aga paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine siht. 03) Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? a) kaldprojektsioon projekteerimiskiired langevad ekraanile kaldu b) ristprojektsioon projekteerimiskiired langevad ekraanile risti 04) Miks ühest projektsioonist koosnev joonis ilma lisaandmeteta ei määra objekti? Joonised peavad üheselt määrama kõik objekti geomeetrilised omadused. 05) Millisel juhul tuleb sirgjoone projektsiooniks punkt? Kui sirgjoon ühtib kujutamiskiirtega. 06) Millisel juhul tuleb tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis.
Vektorite summa projektsioon on võrdne nende vektorite projektsioonide summaga, s.t. pra ( x + y ) = pra x + pra y 2. Mistahes reaalarvu R ja mistahes vektori korral pra (x ) = pra x 3. pra 0 = 0 Ühikvektor Vektorit pikkusega üksnimetame ühikvektoriks. Ristprojektsioon Projektsiooni pra x nim. ristprojektsiooniks, kui sirge l (tasand ) on risti vektori a poolt määratud sirgega s. Vektorite vaheline nurk Vektorite x 0 ja y 0 vaheliseks nurgaks nimetame nurka (lõigust [0; ]), mis tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC. Tähistame seda nurka ( x , y ) abil
s.* b ti s fti -$ ri r 26 14, /l,,rlo .1 =5 :! / =J 1 7g+ .i i 75. Tuletada ant'ud objekfi rist'projekfsioon ekraanil er(e.J-e.). 76, Konstrueerida prisna ja ptlraniidi ldikejoone kaksvaade, vaadeIdes liit'nudelif nassiivse kehana, 77,* Tulet'ada poolkera ristprojektsioon ekraanil er(erler). 78.* Lahendada prisna ja puraniidi tdikunisulesanne. 27 /4, lt .,to 13. HARJUTUSTUND ru' a +- q.J a L qJ o
Ülesande lahendamine toetub joonisele, rõhutame seejuures - joonist tuleb õigesti kasutada. Antud ülesande puhul tuleb silmas pidada, et 5 trapetsi diagonaalid ei poolita trapetsi nurki; 5 diagonaalid pole risti; 5 diagonaalid ei poolita teineteist; 5 trapetsi kesklõik ei läbi diagonaalide lõikepunkti; 5 diagonaalide lõikepunkt ei jaota diagonaale suhtes 2:1; 5 diagonaalide lõikepunkti ristprojektsioon trapetsi alustel ei poolita aluseid. Nimetatud punktide vastu eksimine lihtsustab oluliselt antud ülesande lahenduskäiku ja annab vale vastuse. 23 24 6. ÜLESANNE (10 punkti)
Omadus 14.5 Tasandite 1 ja 2 vahelise nurga koosinus leitakse valemiga | n1 , n2 | cos((1 , 2 )) = , (14.18) |n1 | · |n2 | kus n1 on tasandi 1 ja n2 on tasandi 2 normaalvektor. 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel Olgu antud sirge l ja tasand ruumis E3 . Olgu sirge l sihivektor u ja tasandi normaalvektor n. Projekteerime (ristprojektsioon) sirge l tasandi peale ja tähistame tasandil olevat sirget l . Definitsioon 14.16 Sirge l ja tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse sirge l ja tasandile projekteeritud sirge l vahelist nurka ning seda tähistatakse (l, ) abil. Sirgete l ja l vahelise nurga võib leida vektorite n ja u vahelise nurga abil: (l, l ) = - (u, n). 2 Seega
2) Nüüd vaatame natuke üldisemat juhtu, kus jõud pole kangi suhtes risti, vaid moodustab selle suhtes mingi nurga : l O r F Ilmselt avaldab kangile pööravat mõju ainult jõu F ristprojektsioon kangi suhtes, mis võrdub F F sin . Kangiga paralleelne projektsioon F|| F cos põhjustaks ainult kangi libisemist pikisuunas. Seega – kui tähistaksime jõu F rakenduspunkti kauguse punktist O nüüd tähega r, saaksime kangile mõjuva jõumomendi väärtuseks M O Fr sin , (6.3)
annaabi.ee 
