Lineaarsed võrrandi süsteemid (0)

Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.ht m Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks.
Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4
on vabaliikmeks arv ­4, kordajateks arvud 5, 3 ja ­2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4
üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse:
5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4 Lineaarse võrrandi lahend Võrrandi (1) lahendit c1 , ... , cn võib vaadelda ka reavektorina c1 ; c2 ; ... ; cn
või veeruvektorina c1 c2 cn Näited Võrrandi 2x = 4 ainsaks lahendiks on üheelemendiline vektor 2 . Võrrandi 2 x1 + 6 x2 = 5 lahendiks on vektor (d, (5 ­ 2d )/6), kus d on suvaline reaalarv. Kuked -kanad- tibud Talupoeg läinud laadale linde müüma. Teel tulnud talle vastu valitseja. Valitseja tahtnud teada, kui palju linnud maksavad. «Kukk maksab 5 münti, kana 3 ning kolm kanapoega saab 1 mündi eest,» vastanud talupoeg . Valitseja mõtelnud pisut ja käskinud siis endale tuua 100 mündi eest 100 lindu . Talupoeg läinud murelikult koju. Seal aga lahendanud ta kaheksa- aastane poeg kiiresti ülesande. Järgmisel päeval tahtnud valitseja taas 100 mündi eest 100 lindu, kuid ei kukkesid, kanu ega tibupoegi tohtinud olla niisama palju, kui eelmisel korral. Ja jällegi lahendanud poeg ülesande. Veel kolmas ja neljaski kord küsinud valitseja talupojalt 100 mündi eest 100 lindu, kusjuures nii kukkesid, kanu kui tibupoegi pidanud igaühte taas uus kogus olema. Poiss lahendanud ülesande seegi kord. Mitu kukke , kana ja tibupoega tõi talumees valitsejale esimesel, teisel, kolmandal ja neljandal korral? Lineaarne võrrandisüsteem Definitsioon Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
............................................. (2) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Arve b1, b2 , ... , bm nimetatakse võrrandisüsteemi (2) vabaliikmeteks, arve aij aga kordajateks. Definitsioon
Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi - x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x1 - x2 + 3 x3 = -2 üheks lahendiks on (0; 7/5; -1/5) . Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Definitsioon Lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A = aij = am1 am 2 amn nimetatakse süsteemi (2) maatriksiks . Lisades maatriksi A parempoolsesse serva vabaliikmete veeru , saame süsteemi (2) laiendatud maatriksi: a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 B= am1 am 2 amn bm Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Defineerime veel maatriksid x1 b1 x2 b2 x= , b= . xn bm Siis saame võrrandisüsteemi (2) esitada maatrikskujul: a11 a12 a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 a22 a2 n x2 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn b2 Ax = = = = b. .............. am1 am 2 amn xn am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn bm Seega on lineaarne võrrandisüsteem (2) esitatav maatrikskujul Ax = b. (3) Samaväärsed võrrandisüsteemid Definitsioon
Kaht lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on ühed ja samad lahendid.
Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi:
1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga;
2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega. Gaussi meetod Teoreemist selgub , et teisenduste 1) ja 2) rakendamine võrrandisüsteemile on samaväärne võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi ridade elementaarteisendustega. On lihtne näha, et kui võrrandisüsteemi maatriks A on nullmaatriks, siis peab tema lahenduvuseks olema ka vabaliikmete maatriks b nullmaatriks. Sel korral on lahendiks suvaline n-mõõtmeline aritmeetiline vektor. 1 0 0 0 1 0 Maatrikseid käsitleval loengul sõnastatud teoreemi kohaselt on maatriks A ridade 0 0 1 elementaarteisendustega 0 0 0 teisendatav kujule. 0 0 0 Gaussi meetod Rakendades samu teisendusi laiendatud maatriksile ||A, b||, saame maatriksi Veeruindeksid, millele vastavad maatriksi ühikveerud j1 j2 jk 1 0 0 b^1 1. rida 0 1 0 b^2 2. rida .... ^ , b^ = 0 A 0 1 b^k k. rida
0 0 0 b^k +1 0 0 0 b^m
Sellele laiendatud maatriksile vastav võrrandisüsteem on 1) mittelahenduv, kui arvude b^k +1 , ...., b^m seas on nullist erinevaid. Gaussi meetod 2) Kui b^k +1 = b^k +2 = ... = b^m = 0 ja k = n , siis on võrrandisüsteemil parajasti üks lahend: x j1 = b^1 , x j 2 = b^2 , ..., x jn = b^n .
3) Kui b^k +1 = b^k +2 = ... = b^ x j1 = b^1 - a^ ..................................... x jk = b^k - a^
kus cj on mistahes reaalarvud. Gaussi meetod Saadud lahendit nimetatakse üldlahendiks. Fikseerides suvaliste arvude cj väärtused, saame erilahendid
Tundmatuid, millele vastavaid lahendi väärtusi saab vabalt valida, nimetatakse vabadeks tundmatuteks. Näide Gaussi meetodi rakendamisest Lahendame lineaarse võrrandisüsteemi 3 x1 - 5 x2 + x3 + 10 x5 = 6 x1 - x2 + x4 + 2 x5 = 2 x1 - 4 x2 + x3 - 3 x4 + 9 x5 = 3 x1 + 3 x2 - 4 x3 + 9 x4 - 2 x5 = 6 Lahendus Võrrandisüsteemi laiendatud maatriks on 3 - 5 1 0 10 6 1 -1 0 1 2 2 1 -4 1 -3 9 3 1 3 -4 9 -2 6 Vahetame selles esimese ja teise rea. Saame Näide (2) 1 -1 0 1 2 2 3 -5 1 0 10 6 1 -4 1 -3 9 3 1 3 -4 9 -2 6 Uue esimese rea abil, kasutades ridade elementaarteisendusi saavutame nullid esimesse veergu (välja arvatud esimese rea esimene element): 1 -1 0 1 2 2 1 -1 0 1 2 2 3 -5 1 0 10 6 -3I 0 -2 1 -3 4 0 1 -4 1 -3 9 3 -I 0 -3 1 -4 7 1 1 3 -4 9 -2 6 -I 0 4 -4 8 -4 4 Nüüd jagame viimase rea neljaga ja vahetame viimase ja teise rea asukoha. Saame Näide (3) 1 -1 0 1 2 2 +II 1 0 -1 3 1 3 0 1 -1 2 -1 1 0 1 -1 2 -1 1 0 -3 1 -4 7 1 +3II 0 0 -2 2 4 4 :(-2) 0 -2 1 -3 4 0 +2II 0 0 -1 1 2 2
1 0 -1 3 1 3 +III 1 0 0 2 -1 1 0 1 -1 2 -1 1 +III 0 1 0 1 - 3 -1 0 0 1 -1 - 2 - 2 0 0 1 -1 - 2 - 2 0 0 -1 1 2 2 +III 0 0 0 0 0 0
Kuna ülemisse vasakusse nurka tekkinud ühikmaatriksi veerud vastavad muutujatele x1, x2 ja x3, siis x4 ja x5, on vabad muutujad. Tähistame nende väärtused x4 = c1 ja x5 = c2. Esimesele kolmele reale vastavad võrrandid Näide (4)
x1 + 2 x4 - x5 = 1 x1 = 1 - 2 x4 + x5 x1 = 1 - 2c1 + c2 x2 + x4 - 3 x5 = -1 x2 = -1 - x4 + 3 x5 x2 = -1 - c1 + 3c2 x3 - x4 - 2 x5 = -2 x3 = -2 + x4 + 2 x5 x3 = -2 + c1 + 2c2
Üldlahendiks on seega x1 = 1 - 2c1 + c2 x2 = -1 - c1 + 3c2 x3 = -2 + c1 + 2c2 x4 = c1 x5 = c2