Näide2. : Arvutada kolmandat järku determinant Sarruse reegliga. Lahendus: Kasutame valemit (2.3) 2 -3 4 5 0 -1 2 0 4 + (-3) (-1) 6 + 5 (-2) 4 - 4 0 6 - (-3) 5 4 - (-2) (-1) 2 = 6 -2 4 = 0 + 18 - 40 - 0 + 60 - 4 = 34 . 14. Kõrgemat (neljandat, viiendat jne), järku (2.1) determinantide väärtused leitakse kasutades determinantide omadusi. 2.2. Determinantide omadused. Miinorid. Alamdeterminandid. Vaatleme determinandi põhiomadusi, piirdudes näidetega teist ja kolmandat järku determinantide kohta. 1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3 Antud : = 8 + 15 = 23; Transponeerime : = 8 + 15 = 23 .
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on
1. Kui vahetada omavahel 2 rida või 2 veergu, siis determinandi märk muutub vastupidiseks ( + - , - + ). 2. Kui maatriksi 2 rida või 2 veergu on võrdsed, siis vastuseks on ,,0", või kui kõik elemendid reas või veergus on ,,0"-id, siis selle maatriksi determinant on ,,0". 23. september 2008.a. KÕRGEMAT JÄRGU DETERMINANDID Need on kõik determinandid alates 4-st järgust. MIINORID ja ALAMDETERMINANDID 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) Elemendi aij miinoriks (Mij) nimetatakse D-di, mis saadakse antud maatriksist või D-st vastava rea (i-nda rea) ja veergu (j-nda veergu) ära jätmisel. esimene veerg jääb välja
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
Lahendus: Kasutame valemit (2.3) 2 -3 4 2 0 4 + ( -3) ( -1) 6 + 5 (-2) 4 - 4 0 6 - ( -3) 5 4 - ( -2) ( -1) 2 = 5 0 -1 = 0 +18 - 40 - 0 + 60 - 4 = 34 . 6 -2 4 · Kõrgemat (neljandat, viiendat jne), järku (2.1) determinantide väärtused leitakse kasutades determinantide omadusi. 2.2. Determinantide omadused. Miinorid. Alamdeterminandid . Vaatleme determinandi põhiomadusi, piirdudes näidetega teist ja kolmandat järku determinantide kohta. 1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3 Antud : = 8 +15 = 23; Transponeerime : = 8 +15 = 23 .
DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on
DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on
on 1). Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. kui ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks, siis on see üheselt määratud. kehtivad järgmised omadused: Ruutmaatriksil A=(aij) leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. pöördmaatriksi leidmine: 1) veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust
.. .. An1 An2 . . . Ann T~ oestus. Kasuta determinantide arendusteoreeme. 5.5 N¨ aide Arvutame maatriksi 1 -2 2 A = 2 1 1 1 0 1 p¨o¨ordmaatriksi. K~oigepealt arvutame determinandi 1 -2 2 1 -2 2 1 -2 2 det A = 2 1 1 = 0 1 -1 = 0 1 -1 = 1 1 0 1 0 2 -1 0 0 1 N¨ uu¨d leiame alamdeterminandid 1 1 A11 = (-1)1+1 =1 0 1 2 1 A12 = (-1)1+2 = -1 1 1 2 1 A13 = (-1)1+3 = -1 1 0 -2 2 A21 = (-1)2+1 =2 0 1
annaabi.ee 
