Hägusad süsteemid (1)

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool
HÄGUSAD SÜSTEEMID Õppematerjal
Koostas: Andri Riid
Tallinn 2004 Sissejuhatus 2
Sissejuhatus
Viimaste aastakümnete jooksul on hägus loogika leidnud edukat rakendust mitmesuguste juhtimis- ja modelleerimisprobleemide lahendamisel. Informatsiooni esitus hägusloogikasüsteemides on lähedane nendele mehhanismidele, mida inimene igapäevaelus otsuste tegemisel kasutab, mis võimaldab hägusloogikasüsteemide kaudu teha kättesaadavaks traditsioonilistele vahenditele halvasti alluv inimteadmus näiteks protsesside modelleerimis- ja juhtimisrakendustes. Teksti esimeses peatükis antakse kompaktne, kuid piisav ülevaade hägusloogikasüsteemide aluseks olevast hägusast hulgateooriast, hägusloogikasüsteemide arhitektuurist ja erinevat tüüpi hägusloogikasüsteemidest. Peatüki teine pool käsitleb hägusloogikasüsteemide interpreteeritavusega seonduvaid probleeme (tegu ei ole süsteemi vaikimisi tagatud omadustega ja selleks et saaksime hägusloogikasüsteemide reeglite interpretatsiooni usaldada , on vajalik, et rahuldatud oleksid nn. läbipaistvuse tingimused). Lisaks vaadeldakse reeglite interpolatsiooni iseloomu ja selle sõltuvust süsteemi erinevatest parameetritest. Peatüki lõpetab lühiülevaade hägusate süsteemide konstrueerimispõhimõtetest. Sisukord 3
Sisukord
1. Hägusad süsteemid .................................................. 4 1.1 Hägus hulgateooria .............................................. 4 1.2 Hägusate hulkade omadused .................................... 5 1.3 Hägus tükeldus ................................................... 7 1.4 Tehted hägusate hulkadega ..................................... 7 1.5 Hägusad süsteemid............................................... 11 1.6 Järeldusalgoritm üldkujul ....................................... 12 1.7 Järeldusalgoritmi töö näide ..................................... 16 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud ........................ 16 1.9 Takagi-Sugeno süsteemid ....................................... 22 1.10 Hägusate süsteemide läbipaistvus ....................... 24 1.11 Interpolatsioon hägusates süsteemides .................. 26 1.11.1 Häguärastamine ........................................... 27 1.11.2 Liikmesfunktsioonide tüübi roll......................... 28 1.11.3 Järeldusalgoritmi parameetrid .......................... 29 1.11.4 Interpolatsioon mitmemõõtmelises ruumis ........... 31 1.12 Esimest järku TS süsteemide läbipaistvus ............. 32 1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine .................. 33 Kasutatud kirjandus ................................................... 36 1.1 Hägusad hulgad 4
1. Hägusad süsteemid
1.1 Hägusad hulgad
Hägusa hulga mõiste ja vastav teooria pärineb L.A. Zadeh'lt [1]. Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt: 1, if x A (1) µ A ( x) = . 0, if x A Reaalne elu pakub seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud liikmesus pole hulgakuuluvuse kirjeldamiseks piisavalt paindlik, kuna sellest tuleneb järsk piir kuuluvuse ja mittekuuluvuse vahel. Tüüpiline näide oleks situatsioon, kus lähtuvalt inimese vanusest aastates peame me järeldama, kas tegu on noore inimesega (näiteks, et arvutada mingit terviseriski). Küsimuse lahendamiseks vajame hulga "noor" definitsiooni. On ilmne, et nooremad kui 20-aastased inimesed võib sellesse hulka paigutada pikemalt mõtlemata, samamoodi nagu võib hulgast välja jätta üle 40-aastased inimesed. Vanusevahemik 20-40 a. on lood pisut keerukamad. Siin ongi abiks hägus hulgateooria, mis lubab liikmesusele anda kõiki väärtusi nulli ja ühe vahel, viimased kaasa arvatud (vt. joonis 1). Erinevalt klassikalisest hulgateooriast kus peale kuuluvuspiiri kindaksmääramist tuleb meil tegeleda olukorraga, kus päev vanem inimene arvatakse noorte hulgast välja, võimaldab hägus hulgateooria sujuvat siiret kuuluvusest mittekuuluvusse, mis on ühtlasi paremas kooskõlas üldise ettekujutusega nooruse mõistest. Hägusaid hulki võib esitada järjestatud paaride hulgana µ A ( x), (2)
kus igale x-i väärtusele vastab tema kuuluvus hulka A. Kuigi selline esitusviis on väga paindlik (lubades kirjeldada suvalisi liikmesusseoseid), on hägusa hulgateooria rakendustes eelkõige arvutuslikel põhjustel enamasti kasutusel funktsionaalne esitusviis µ A ( x) = f ( x) . (3) 1. 2 Hägusate hulkade omadused. 5
1.0
0.8
µ(iga) 0.6 0.4
0.2
0 20 25 30 35 40 45 50 iga
Joonis 1. Klassikaline hulk ja hägus hulk.
Ehk siis joonisel 1 oleva hägusa hulga näitel: 0, x 40 (4) µ noor ( x) = 1, x 20 (40 - x) 20, 20 1. 2 Hägusate hulkade omadused.
Selles jaotises on antud mõningad hägusate hulkade põhimõisted ja omadused, mis on vajalikud järelejääva materjali mõistmiseks. Hägusa hulga kõrgus on antud avaldisega (5) hgt ( A) = sup µ A ( x) (5) xX
Hägusaid hulki mille kõrgus on võrdne ühega nimetatakse normaalseteks. Hägusa hulga tuum on universaalhulga X mittehägus alamhulk, mis rahuldab tingimust (6) core ( A) (6)
Hägusa hulga alus on universaalhulga X mittehägus alamhulk, mis rahuldab tingimust (7) supp ( A) (7)
Kui hägusa hulga alus on lõplik hulk, nimetatakse seda kompaktseks aluseks. Kumer hägus hulk rahuldab tingimust (8) x1 , x 2 , x3 X , x1 x 2 x3 µ A ( x 2 ) min( µ A ( x1 ), µ A ( x3 )) (8) 1. 2 Hägusate hulkade omadused. 6
Normaalseid, tükati pidevaid ja kumeraid hägusaid hulki, mille tuum koosneb ühest elemendist, nimetatakse hägusateks numbriteks. Sarnaseid hägusaid hulki, mille tuum moodustub rohkem kui ühest elemendist, nimetetakse hägusateks intervallideks. Rakendustes kasutatavad hägusad hulgad ongi enamasti hägusad numbrid või intervallid . Tihti on kasutusel tükati lineaarsed standartsed funktsioonid nagu trapets- ja kolmnurkfunktsioon. Trapetsikujuline liikmesfunktsioon (9) on määratud nelja parameetriga a b c d, kusjuures a = min(supp(A)), b = min(core(A)), c = max(core(A)), d = max(supp(A)) (joonis 2). Kolmnurkne liikmesfunktsiooni saab käsitleda trapetsikujulise liikmesfunktsiooni erijuhuna (b = c).
1.0
0.8 µA(x) 0.6 hgt (A) 0.4
0.2
0 a b c d x core (A)
supp (A)
Joonis 2. Trapetsikujulise hägusa hulga alus, tuum ja kõrgus
x - a b - a , a xb d - x , cxd µ A ( x) = (9) d - c 1, bxc 0, d 0 , (12)
elik S (13) x X : µ Ai ( x) > 0 , s =1 1.3 Hägus tükeldus 8
kus S on hägusate alamhulkade arv (antud juhul 3), millest tükeldus koosneb. Öeldakse, et tükeldus, mis rahuldab tingimust (13), katab muutujat x.
IGA Lingvistiline muutuja
noor keskealine vana Lingvistilised märgendid 1.0 0.8 µA(x) 0.6 Liikmesfunktsioonid
0.4
0.2 0 0 20 40 60 80 100 Numbrilised väärtused
x (iga) Numbriline muutuja
Joonis 3. Muutuja hägus tükeldus.
Teised tükelduse omadused on empiirilisemalt määratletud. Reeglina on soovitatav, et hägusad hulgad, mis tükelduse moodustavad on kumerad, normaalsed, "piisavalt" eristuvad ja et nende arv on suhteliselt väike (maksimaalselt 7-10 [2]). Hägusa tükelduse semantiline adekvaatsus.ripub ära jooksva ülesande kontekstist ja kujutab endast lingvistiliste märgendite ja neile vastavate liikmesfunktsioonide kooskõla. Siinkohal on oluline märkida, et mitte alati ei kasutata ära hägusloogikasüsteemide semantilisi tõlgendusvõimalusi (s.o. lingvistilised märgendid võivad kanda minimaalset infot väljendavaid nimetusi nagu "liikmesfunktsioon 1", "liikmesfunktsioon 2"). Kujutlegem ette hägusat hulka, mis on tähistatud märgendiga "noor" ja mille alus paikneb vahemikus [30, 40]. Semantiline kooskõla sõltub sellest, milline on muutuja universaalhulk X, näiteks kui X = [30, 100], on kõik korras, kuid juhul kui X = [0, 40], on raske rääkida tükelduse semantilisest mõtestatusest. Samamoodi on oluline hulkade järjestus, näiteks kui hägus hulk, mis vastab lingvistilisele märgendile "vana", asetseb vasakul lingvistilise märgendile "noor" vastavast liikmesfunktsioonist on ilmselgelt tegu valesti moodustatud tükeldusega. 1. 4 Tehted hägusate hulkadega 9
1. 4 Tehted hägusate hulkadega
Selles lõigus käsitleme põhilisi tehteid hägusate hulkadega nagu ühisosa, ühend ja täiend. Erinevalt klassikalisest hulgateooriast pole need tehted üheselt määratud, kuna liikmesfunktsioon võib omada suvalist väärtust vahemikus [0, 1]. Ühisosa ja ühend on üldkujul esitatud vastavalt kolmnurksete normide (t-normid) ja kolmnurksete kaasnormide (s-norm või t-kaasnorm) kaudu. T-norm on kahe muutuja funktsioon ([0,1] × [0,1] [0,1]), mis rahuldab järgmisi tingimusi: T(a,1) = a T(a, b) T(c, d), kui a c, b d T(a, b) = T(b, a) T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) Tingimused mis defineerivad s-normi (t-kaasnormi), (S: [0,1] × [0,1] [0, 1]), on S(a,0) = a S(a, b) S(c, d), kui a c, b d S(a, b) = S(b, a) S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) Hägusa hulga A täiend on antud järgnevalt: c(0) = 0, c(1) = 1 c(a) b c(c(a)) = a Tüüpilised praktikas kasutatavad t-normid on miinimum (14) ja korrutis (15). Vt. ka joonis 4. A I B = min(µ A ( x), µ B ( x)) (14)
A I B = µ A ( x) µ B ( x) (15) Tüüpilised s-normid on maksimum (16) ja tõenäosuslik summa 1 (17). Vt. ka joonis 5.
1 Siinkohal on huvitav märkida, et tegelikes rakendustes on kõige tüüpilisem s-
normi valik tavaline summa, seda hoolimata asjaoluks, et resulteeruv hägus hulk võib osutuda supernormaalseks (s.t. et tema kõrgus ületab ühte, s.o. tegu pole üldse s-normiga). Viimast asjaolu praktikas siiski kuigi oluliseks ei peeta. 1. 4 Tehted hägusate hulkadega 10
A U B = max(µ A ( x), µ B ( x)) (16)
A U B = µ A ( x) + µ B ( x) - µ A ( x) µ B ( x) (17)
1.0 1.0
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0 x x
Joonis 4. Kahe hägusa hulga ühisosa arvutatuna miinimumi (vasakul) ja korrutise (paremal) kaudu.
1.0 1.0
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.6 0.6
0 0 0 x x
Joonis 5. Kahe hägusa hulga ühend arvutatuna maksimumi (vasakul) ja tõenäosuslik summa (paremal) kaudu.
Nii nagu klassikaline hulgateooria on aluseks klassikalisele loogikale, on hägus hulgateooria aluseks hägusale loogikale, mis tähendab, et juba defineeritud tehetele hägusate hulkadega (ühend, ühisosa, täiend) vastavad loogilised operatsioonid (või, ja, mitte) mis baseeruvad sarnaselt t- normil , s-normil ja tingimustel, mis on antud täiendi jaoks.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0 x
Joonis 6. Hägus hulk ja tema täiend. 1.5 Hägusad süsteemid 11
1.5 Hägusad süsteemid
Hägus hulgateooria ja hägus loogika varustavad meid aparatuuriga põhjuslike seosete kirjeldamist lubavate hägusloogikasüsteemide konstrueerimiseks [3]. Hägus süsteem koosneb KUI-SIIS tüüpi reeglite kogumist, mis määravad süsteemi sisend - ja väljundmuutujate vahelise lingvistilise seose. Iga üksik hägus reegel (18) on sedastus, mille eeldus ja järeldus koosnevad määratlustest a la "x on suur", mis seovad muutuja sellele muutujale defineeritud lingvistilise märgenditega. KUI U1 on A1r JA U2 on A2r ... JA Ui on Air ... JA UN on ANr (18) SIIS V1 on B1r JA V2 on B2r ... JA Vj on Bjr ... JA VM on BMr VÕI... Air ja Bjr tähistavad siin vastavalt i­nda sisendmuutuja xi ja j-nda väljundmuutuja yj (i = 1 ... N, j = 1 ... M) lingvistilisi märgendeid, mis on seotud r-nda reegliga (r = 1 ... R). Selline tähistusviis ei tähenda, et üht lingvistilist märgendit tohib kasutada vaid ühe korra ühesainsas reeglis. Üldjuhul on olukord hoopis vastupidine ­ vabade kohtade arv reeglites ületab tunduvalt lingvistiliste märgendite koguarvu ning konkreetne lingvistiline märgend esineb tavaliselt mitmetes reeglites. Eeldades et iga sisendmuutuja Ui on tükeldus koosneb Si hägusast alamhulgast, iga väljundmuutuja Vj tükeldus koosneb Tj hägusast alamhulgast ja et hägus süsteem koosneb R reeglist , vajame me eraldi struktuuri mis defineerib lingvistiliste märgendite ja nende kasutamise erinevates reeglites. MATLABi pakett Fuzzy Logic Toolbox säilitab sellekohast informatsioon R × (N + M) maatriksis, kus iga element mrp, kujutab endast kas sisend- (if p N) või väljundmuutuja (if p > N) liikmesfunktsiooni indeksit, mida kasutatakse r­ndas reeglis. m11 ... m1 p ... m1, M + N ... ... ... .... ... mr1 ... m rp ... m r , M + N , (19) ... ... ... ... ... m ... m Rp ... m R , M + N R1 Hägusa süsteemi reeglite maksimaalne arv (sisendi lingvistiliste märgendite kõikvõimalikud kombinatsioonid) on antud järgnevalt 1.6 Järeldusalgoritm üldkujul. 12
N Rmax = S i . (20) i =1
Süsteemi tegeliku reeglite arvu võrdlus arvuga Rmax annab informatsiooni selle kohta, kas reeglibaas on korralikult koostatud: i. R Rmax tähendab seda, et eksisteerib mitu ekvivalentse tingimuspoolega, mis on seotud kas · samade väljundi lingvistilisete märgenditega ­ tulemuseks on redundantne reeglibaas; · erinevate väljundi lingvistilisete märgenditega ­ tulemuseks on vastuolusid sisaldav reeglibaas. iii. R = Rmax ­ tavaliselt soovitud situatsioon
Reeglibaas annab lingvistilise seose süsteemi sisend-väljundmuutujate vahel. Samas on tegu vaid hägusate süsteemide ühe osaga, täpsemalt selle lingvistilise pealiskihiga (joonis 8). Muutujatevahelise numbrilise seose arvutamiseks kasutatakse alumist, nn. järelduskihti, mis sisaldab hägustamise, häguärastamise ning järeldamise protseduure ning mis opereerib lingvistilistele märgenditele vastavate hägusate hulkadega (liikmesfunktsioonidega). Hägusa süsteemi järelduskihti on detailsemalt käsitletud järgmises osas.
Teadmusbaas Reeglid Liikmesf.-d
Hägustamine Hägus järeldusalgoritm Häguärastamine
Joonis 7. Hägusa süsteemi kahekihiline olemus
1.6 Järeldusalgoritm üldkujul.
Lihtsuse huvides vaatleme esialgu mitme sisendi ja ühe väljundiga süsteeme (M = 1). Järeldusalgoritm, millele sisend-väljundseose arvutamise protsessis eelneb sisendite hägustamine ja järgneb häguärastamine väljundis, on ise neljaetapiline protseduur, mille etapid on 1.6 Järeldusalgoritm üldkujul. 13
koos igale etapile vastavate lingvistiliste operaatoritega näidatud joonisel 5. Sisendite hägustamine osutub vajalikuks juhul, kui meil on vaja modelleerida määramatust või ebatäpsust süsteemi sisendis. Hägustamise käigus asendatakse reaalsuses süsteemi sisendisse antavad konkreetsed arvud hägusate numbritega. Tegelikkuses jäetakse see samm siiski tihti ära kuna too lisab järeldusmehhanismile lihtsalt ebavajalikku keerukust ja samas pole ka eriti palju näiteid, kus sisendite hägustamine ennast õigustaks. Järeldusalgoritmi esimeses etapis leitakse reeglite tingimuspoole eelduste täidetus, mida iseloomustab liikmesfunktsiooni µir väärtus kohal x ir = hgt ( µ i' µ ir ) , kus µ i' on i-nda sisend hägus väärtus. Kui aga hägustamist ei toimu, taandub operatsioon kujule ir = µ ir ( xi ) , (i = 1, ..., N; r = 1, ..., R) (21)
Järeldusalgoritmi teises etapis arvutatakse mil määral jooksvad sisendid aktiveerivad kogu reegli (ehk reegli tabatusmäär r). Operaator JA, mis seob tingimuspoole eeldusi vastab hägusas loogikas t- normile , seega N (22) r = I ir , (r = 1, ..., R) i =1
Järeldusalgoritmi järgmiseks sammuks on iga üksiku reegli (hägusa) väljundi Fr(y) arvutamine e. implikatsioon, mida esindab lingvistiline operaator SIIS. Klassikalises loogikas on implikatsioon defineeritud kui A B = ¬A U B . (23) Selle (materiaalse) implikatsiooni ebasoovitavate interpolatsiooniomaduste tõttu leiab too hägusloogikas siiski vähe kasutamist; reeglina on SIIS realiseeritud t- normina 2 Fr ( y ) = r r , (r = 1, ..., R) (24)
Kus r tähistab r-nda reegliga seotud väljundi liikmesfunktsiooni. Süsteemi summaarne (hägus) väljund saadakse üksikute reeglite väljundite agregeerimisel lingvistilisele operaatorile VÕI vastava s- normiga.
2 Robert Babuska [4] väitel esindab materiaalne implikatsioon suunatud seost "Ast järeldub B", samas kui t-normi peaks antud juhul interpreteerima kui suunamata seost "A kehtib ja B kehtib". 1.6 Järeldusalgoritm üldkujul. 14
R (25) F ( y ) = U Fr ( y ) r =1
Pannes kokku avaldised (21,22,24,25) saame, et R N (26) F ( y ) = U I µ ir ( xi ) r r =1 i =1
implikatsioon
reegli aktivatsioon
eelduste täidetus
IF U1 is A11 AND U2 is A21 THEN V1 is B1 agregeerimine OR IF U1 is A12 AND U2 is A22 THEN V1 is B2 Joonis 8. Järeldusalgoritmi operatsioonid ja nendele vastavad lingvistilised operaatorid.
Mitme väljundiga süsteemide hägusa väljundi arvutamise eripäraks on, et operaatorit JA reegli väljundpooles ei käsitleta loogilise JA-na (mida tuleks realiseerida t-normi kaudu), vaid et iga hägus väljund F(yj) arvutatakse sõltumatult R N F ( y j ) = U I µ ir ( xi ) jr . (27) r =1 i =1 Viimasest asjaolust tuleneb ühtlasi, et iga mitme sisendi ja mitme väljundiga süsteemi võib tükeldada M-iks mitme sisendi ja ühe väljundiga süsteemiks. Süsteemi hägus väljund (26) omab reaalelus väikest praktilist väärtust. Süsteemi numbrilise väljundi tuletamiseks kasutatakse häguärastamis- protseduuri. Kaks levinumat häguärastamismeetodit on raskuskeskme ja maksimumide keskmise meetodid. 1.6 Järeldusalgoritm üldkujul. 15
Neist esimene on tegelikult sama meetod, mida kasutatakse massi raskuskeskme arvutamiseks. Erinevus seisneb selles, et punktmasside asemel on liikmesuse väärtused F(y).
yF ( y)dy Ycog ( F ( y )) = Y (28) F ( y)dy Y
Praktikas kasutatakse enamasti avaldise diskreetset vormi: Q
F(y q =1 q ) yq Ycog ( F ( y )) = Q . (29) F(y q =1 q )
Maksimumide keskmise meetod kuulub indekseeritud häguärastamismeetodite hulka, mis jätavad arvestamata hägusa väljundi selle osa, mille liikmesfunktsiooni väärtus jääb alla teatud taset. Maksimumide keskmise meetodi puhul võetakse arvesse ainult see osa hägusast väljundist, mis vastab maksimaalsele liikmesusele 1 Ymom ( F ( y )) = q F(y j ) , (30) jJ *
kus J* tähistab F(y) maksimaalväärtuste alamhulka ja q on tema elementide arv. Pannes avaldise (26) avaldisse (29) saame me lõpliku valemi hägusa süsteemi väljundi arvutamiseks R U r I r Y T y = Ycog ( F ( y )) = R r =1 , (31) U r I r 1 r =1 [ ] [ kus r = r ( y1 ) r ( y 2 ) ... r ( y q ) ... r ( y Q ) , Y = y1 y 2 ... y q ... y Q ] ja 1 on Q-elemendiline ühtedest koosnev veeruvektor. 1.7 Järeldusalgoritmi töö näide 16
1.7 Järeldusalgoritmi töö näide
Toome illustratiivse näite eelnevale. Vaatleme kahe sisendi ja ühe väljundiga süsteemi, mille kumbki sisendmuutuja omab kahte liikmesfunktsiooni ja väljund kolme. Süsteemi (täielik) reeglibaas on antud järgmiselt 1. IF U1 is A11 AND U2 is A21 THEN V is B2 2. IF U1 is A11 AND U2 is A22 THEN V is B1 3. IF U1 is A12 AND U2 is A21 THEN V is B3 4. IF U1 is A12 AND U2 is A22 THEN V is B2
Lähtuvalt etteantud reeglitest
1 1 2 1 2 1 M = . 2 1 3 2 2 2
Antud hägusat süsteemi on võimalik kujutada võrkstruktuurina (joonis 9). Iga võrgu kiht esindab vastavat sammu järeldusalgoritmis. Liikmesfunktsioonide parameetrid on talletatud hägustamis/eelduse tabatuse kihis. Seos M on määratud ühendustega esimese ja teise kihi ning väljundi liikmesfunktsioonide ja järelduskihi vahel. Me vaatleme, kuidas jõutakse süsteemi väljundini y etteantud sisendite väärtuste x1 = x1* , x 2 = x 2* puhul kui i) Järeldusalgoritmi operaatorid konjunktsiooni, implikatsiooni ja agregatsiooni osas on minimum, minimum ja maksimum ning häguärastamiseks kasutatakse raskuskeskme meetodit (lk 20). ii) Korrutis-korrutis-summa järeldusskeem on kombineeritud maksimumide keskmise meetodiga (lk 21).
1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud
Lõplik süsteemi sisendite ja väljundi vahelist seost esitav avaldis (31) on küll üldine, kuid kohmakas ja reaalsuses palju arvutusvõimsust nõudev. Järgnevas näitame, kuidas teatud järeldusalgoritmi parameetrite korral on võimalik jõuda lihtsamate kujudeni. Kasutades implikatsioonioperaatorina korrutist ja agregeerimiseks summat , teiseneb avaldis (28) kujule 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 17
R y max (32) r R
yF ( y)dy r =1 r ( y) ydy y min r Cr S r y = Ycog ( F ( y )) = Y = = r =1 , F ( y)dy y max R
r S r R
Y r =1 r r ( y )dy r =1 y min
kus y max (33) r ( y ) ydy (liikmesfunktsiooni r raskuskese) y min Cr = y max
y min r ( y )dy
ja y max (34) Sr = r ( y)dy ( liikmesfunktsiooni r pindala). y min
eelduste reegli täidetuse implikatsioon agregeerimine aktivatsioon kontroll x1 µ11
µ12 F(y) x2 µ21
µ22
1 2 3
Joonis 9. Hägus süsteem võrkstruktuurina
Kuna antud järeldusalgoritmi operaatorite valikuga omavad väljundi liikmesfunktsiooni seisukohast tähtsust ainult nimetatud kaks suurust 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 18
(33,34), tähendab see seda, et piisab kui väljundi liikmefunktsioonina kasutada sümmeetrilist kolmnurkfunktsiooni, mille puhul Cr = br. ja Sr = sr/2, kus br on sümmeetrilise kolmnurga keskpunkt ja sr selle alus. Tulemusena teiseneb avaldis (28) kujule R R (35) y = r br s r r s r , r =1 r =1
Juhul kui süsteemi (32) kõikide väljundi liikmesfunktsioonide pindalad (e. alused) on võrdsed, lihtsustub avaldis veelgi kuna need võib avaldisest (35) välja taandada R R (36) y = r br r r =1 r =1
Viimasel juhul on tegu hägusa süsteemiga, mille väljundi liikmesfunktsioonideks on numbrid väärtustega br. Võrreldes avaldisega (28) on lihtsama järeldusfunktsiooni avaldiseni võimalik jõuda ka siis kui kui implikatsioonioperaatoriks on korrutise asemel miinimum (väljundi liikmesfunktsioondeks sümmeetrilised kolmnurgad) [5]. R R (37) y = r br s r (1 - r / 2) r s r (1 - r / 2) r =1 r =1
Mõnedes rakendustes [6] on hägusad reeglid varustatud lisaparameetri ­ reegli kaaluga, mis peaks (sõltuvalt interpretatsioonist) väljendama reegli olulisust, usaldatavust või tõenäosust. Iga r-nda reegli järelduspool sisaldab T-d erinevat järeldust (kus T on süsteemi väljundi liikmesfunktsioonide arv), mida kirjeldavad vastavad kaalud wtr. KUI U1 on A1r JA ... JA Ui on Air ... JA UN on ANr (38) SIIS V on B1 kaaluga w1r V on B2 kaaluga w2r ..... V on BT kaaluga wTr VÕI... Reegli kaalu olemasolu mõjutab süsteemi järeldusalgoritmis iga üksiku reegli väljundi arvutamist Ftr ( y ) = wtr r t , (t = 1, ..., T), (r = 1, ..., R). (39) 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 19
mistõttu üldine avaldis (31) teisendub kujule
R T (40) UU wtr r I tr Y T y = Ycog ( F ( y )) = R T r =1 t =1
UU wtr r I tr 1 r =1 t =1 ning taaskord , on võimalik summa ja korrutise valikuga vastavalt agregeerimis- ja implikatsioonioperaatoriteks jõuda lihtsama avaldiseni R T (41) r bt s t wtr y= r =1 t =1 R T , r =1 t =1 r s t wtr
kusjuures avaldise (41) võib edukalt asendada avaldisega (35), kus T T T (42) br = bt wtr s t wtr st , s r = wtr st t =1 t =1 t =1 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 20
A11 A12 A2 1 A2 2 B1 B2 B3 1 1 1 µ11(x1) µ21(x2) 1 0 0 0 x1 x2 y x1* x 2*
A11 A12 A21 A22 B1 B2 B3 1 1 1 µ11(x1) µ22(x2) 2
0 0 0 x1 x2 y x1* x 2*
A11 A12 A21 A22 B1 B2 B3 1 1 1
µ12(x1) µ21(x2) 3 0 0 0 x1 x2 y x1* x 2*
A11 A12 A21 A22 B1 B2 B3 1 1 1 µ22(x2) µ12(x1) 4 0 0 0 x1 x2 y x1* x 2* B1 B2 B3 1
0 y* y 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 21
A 11 A12 A21 A22 B1 B2 B3 1 1 1 µ11(x 1) µ21(x 2) 1 0 0 0 x1 * x2 y x1* x2
A 11 A12 A21 A122 B1 B2 B3 1 1 1 µ11(x 1) µ22(x 2) 2
0 0 0 * x1 * x2 y x1 x2
A 11 A12 A21 A122 B1 B2 B3 1 1 1
µ12(x 1) µ21(x2) 3 0 0 0 * x1 x2 y x1 x *2 1 A 11 A12 A21 A22 B1 B2 B3 1 1 1 µ 22(x2) µ12(x 1) 4 0 0 0 x1 x2 y x1* x *2 B1 B2 B3 1
0 * y y 1.9 Takagi-Sugeno süsteemid 22
1.9 Takagi-Sugeno süsteemid
Hägusad süsteemid, mida oleme siiamaani käsitlenud, nimetatakse klassikalisteks hägusateks süsteemideks (ka lingvistilised, Mamdani). Klassikalised hägusad süsteemid osutuvad kasulikuks, kui rakenduse eesmärgina nähakse mingit inimese ja arvuti vahelise liidese vormi. Teisalt on aga nende piiratud või pole neid küllalt efektiivsed. Seda lünka oli mõeldud täitma Takagi ja Sugeno [7] poolt väljapakutud reegliformaat ja vastav järeldusfunktsiooni kuju. IF U1 is A1r AND U2 is A2r ... AND Ui is Air ... AND UN is ANr (43) THEN yr = p0r + p1rx1 + ... + pirxi + ... + pNrxN Takagi-Sugeno (TS) reeglites on hägus sedastus asendatud süsteemile täiendavaid vabadusastmeid pakkuva funktsiooniga; enamikul juhtudel on selleks lineaarkombinatsioon sisendite väärtustest ja täiendav vabaliiga (esimest järku funktsioon). Iga süsteemi üksikut reeglit võib seega käsitleda lokaalse lineaarse mudelina, mis on seejärel agregeeritud saamaks süsteemi globaalset väljundit y. Järeldusalgoritmis on eelnevast käigust mõjutatud järeldusalgoritmi kolmas etapp ­ implikatsioon N Fr ( y ) = r y r = r ( p0 r + pir xi ) . (44) i =1
ning häguärastamine. TS süsteemides on implikatsiooni ja agregeerimisoperaatorid fikseeritud (vastavalt korrutis ja summa), mille järel raskuskeskme häguärastamine teiseneb algoritmiks, mida tuntakse hägusa c-keskmistamise nime all. Viimane ühendab agregeerimise ja häguärastamise üheks operatsiooniks ja on seetõttu midagi enamat kui pelgalt häguärastamismeetod [8]. R N
r ( p0r + pir xi ) r =1 i =1 y = Y fcm ( F ( y )) = R (45) r r =1
Üheks 2.37 erijuhuks on kui reegli väljundpooles kasutatav funktsioon on konstant (pir = 0, i =1...N, r = 1...R), mille tagajärjel saame, et (43) asemele tekib (46) ja (45) asemele (47). IF U1 is A1r AND U2 is A2r ... AND Ui is Air ... AND UN is ANr (46) THEN yr = p0r 1.9 Takagi-Sugeno süsteemid 23
R R y = Y fcm ( F ( y )) = r p0 r r (47) r =1 r =1
On kerge näha, et tegu pole millegi muu kui eelmises jaotises käsitletud süsteemiga (35).
p11x1 + p21x2 +
µ11 x1
µ12 N y µ21 x2 N µ22
p12x1 + p22x2 +
Joonis 10. Esimest järku TS süsteem ja tema esitus närvivõrguna.
Mõnedes rakendustes on kasutatud hägusat c-keskmistamist klassikaliste hägusate süsteemid häguärastamisprotseduurina, nii et kaalutud keskmise arvutamisel asendatakse iga väljundi liikmesfunktsioon tema numbrilise ekvivalendiga, milleks on tavaliselt liikmesfunktsiooni raskuskese Cr. Tulemuseks on aga järeldusfunktsiooni kuju, mis on sisuliselt ekvivalentne avaldisega (47), seega taandab hägus c- keskmistamine hägusa süsteemi 0-ndat järku TS süsteemiks, kuna liikmesfunktsiooni muud parameetrid ei oma mitte mingit mõju süsteemi väljundile. Samuti võib lisada, et 0-ndat järku TS süsteemid (vastandina tavalistele, 1-st järku TS süsteemidele) on interpretatsiooni seisukohast analoogilised klassikaliste hägusate süsteemidega. 1.10 Hägusate süsteemide läbipaistvus 24
Ka TS süsteeme võib esitada võrkstruktuurina, sel juhul on analoogia närvivõrkudega veelgi ilmsem3 (joonis 10).
1.10 Hägusate süsteemide läbipaistvus
Süsteemi läbipaistvuse mõiste antud tekstis baseerub Browni ja Harrise definitsioonil [10], mille järgi läbipaistvus on omadus, mis võimaldab meil mõista iga üksiku süsteemi parameetri mõju süsteemi väljundile. Hägusa süsteemi läbipaistvus iseloomustab seda, mil määral on kehtiv või usaldatav on süsteemi reeglite lingvistiline interpretatsioon. Mitteläbipaistva hägusa süsteemi puhul võiks tõmmata kaudse paralleeli inimesega, kes mõtleb ühte kuid räägib teist. Osutub, et läbipaistvus ei ole hägusate süsteemide vaikimisi tagatud omadus. Üks tähtis tegur, mis mõjutab niihästi interpolatsiooni hägusas süsteemis kui süsteemi läbipaistvust, on sisendi liikmesfunktsioonide eristatavus, mida näiteks kolmnurksete liikmesfunktsioonide puhul iseloomustab liikmesuse väärtus punktis, kus naaberliikmesfunktsioonid lõikuvad (ülekate). Praktikas jääb see näitaja enamasti 0.25 ja 0.75 vahele [11] ning tüüpiline väärtus on 0.5. Vaatleme ülekatte mõju reeglite interpolatsioonile lihtsa näite abiga. Kontrueerime viis 6-reeglilist hägusat süsteemi, mille sisendliikmesfunktsioonide ülekate on vastavalt 0.0, 0.25, 0.5, 0.75 ja 1.0. Kuigi muud parameetrid (miinimum t-norm, maksimum s-norm ja raskuskeskme häguärastamine) on kõigil süsteemidel samad, tingib ülekatte varieerimine üsna drastilised resultaadid (Joonis 11). Ülekatte puudumisel, puudub reeglitevaheline interpolatsioon, süsteemis puudub sealjuures ka hägusus ja väljund lülitub relee kombel ühelt jooksva reegliga määratud väljundliikmesfunktsiooni raskuskeskme väärtuselt teisele. 0.25-se ülekattega säilib mingi osa neist konstantse väärtusega lõikudest, kuid tänu ülekatte eksisteerimisele tekib interpolatsioon, mistõttu lülitumine ühelt etteantud väljundi väärtuselt teisele on sujuvam. 0.5-se ülekattega jäävad intervallidest kus süsteemi väljund on määratud vaid ühe reegli poolt järgi vaid üksikud punktid. Veel suurema ülekatte määra puhul, on iga sisendi väärtuse puhul aktiivsed vähemalt kaks reeglit, seega on süsteemi väljund alati interpoleeritud kahest või enamast reeglist. See asjaolu muudab reegli globaalses väljundis teatud mõttes nähtamatuks (eristamatuks). Nähtus on viidud äärmuseni 1.0-se ülekatte puhul, kus kõik reeglid on ühekorraga täielikult aktiveeritud ja
3 Jang [9] ja mitmed teised autorid on oma töödes näidanud ekvivalentsi 0-ndat järku TS süsteemide ning radiaalbaasi närvivõrkude vahel. 1.10 Hägusate süsteemide läbipaistvus 25
süsteem väljastab konstantse väärtuse, milleks on väljundi liikmesfunktsioonide ühendi raskuskese. Vaatleme veelkord lähemalt 0.5-se ülekatte juhtumit ja nimetagem punkte, kus globaalne väljund on määratud vaid ühe, täielikult aktiveeritud reegli poolt, läbipaistvuse kontrollpunktideks (joonis 12). Läbipaistvuse kontrollpunktid eksisteerivad vaid juhul kui liikmesfunktsioonide ülekate on 0.5 või vähem. Nende punktide koordinaadid sisendtelgedel on määratud tingimusega x i* = arg(µ ir ( x i ) = 1) . Punkti väljundkoordinaat on määratud analoogiliselt y * = arg( r ( y ) = 1) . Läbipaistvuse kontrollpunktide olemasolu tagab, et reeglibaasi ja liikmesfunktsioonide kombineeritud tähendus omab korrektset seost süsteemi poolt genereeritud sisend-väljundseosega nendes punktides. Viimane ongi see, mida me antud kontekstis nimetame läbipaistvuseks. 4 50% 3 0% 75%
2 0% 100% 25% 1
y 0 50% IF x is mf1 THEN y is mf3 -1 IF x is mf2 THEN y is mf1 -2 IF x is mf3 THEN y is mf2 75% IF x is mf4 THEN y is mf4 -3 25% IF x is mf5 THEN y is mf5 IF x is mf6 THEN y is mf3 100% -4 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 x x
Joonis 11. Liikmesfunktsioonide ülekate (paremal) ja selle mõju süsteemi väljundile (vasakul).
Definitsioon 1: Mitme sisendi ja mitme väljundiga hägusa süsteemi r-s reegel on läbipaistev, kui reegli täieliku tabatuse korral N r = I µ ir ( xi ) = 1 , (48) i =1
on süsteemi numbrilised väljund(id) võrdsed avaldisega 1.11 Interpolatsioon hägusates süsteemides 26
y max
y jr ( y )dy y j = cog ( jr ( y j )) = = core( jr ( y j )) y min y max (49) y min jr ( y )dy
kus jr on j-nda väljundi r-nda reegliga seotud liikmesfunktsioon. mf1 mf2 mf3 mf4 mf5 mf6 5
4 mf1 3
2 mf2
1 mf3 y 0
-1 mf4 -2
-3 mf5 -4
-5 0 2 4 6 8 10 x
Joonis 12. Läbipaistvuse kontrollpunktid tähistatuna sümboliga .
Definitsioon 2: Hägus süsteem on läbipaistev kui kõik tema reeglid on läbipaistvad. Teatud liikmesfunktsioonide (9,11) tüüpide puhul võib läbipaistvuse tingimuse sisendi liikmesfunktsioonidele esitada järgnevalt: Si x X : µis ( xi ) 1 (47) s =1
1.11 Interpolatsioon hägusates süsteemides
Hägusa süsteemi läbipaistvuse korral on võimalik ennustada tema väljundit läbipaistvuse kontrollpunktides ilma järeldusalgoritmi kasutamata. Nendes muudes punktides on globaalne väljund reeglite interpolatsiooni resultaat . Interpolatsiooni olemus sõltub süsteemi parameetritest ­ häguärastamine, järeldusalgoritmi parameetrid, 1.11 Interpolatsioon hägusates süsteemides 27
liikmesfunktsioonide kuju. Järgnevates osades vaatleme nende rolli lähemalt.
1.11.1 Häguärastamine
Antud jaotises vaatleme peamiste häguärastamismeetodite mõju interpolatsioonile süsteemis, 0.5-se liikmesfunktsioonide ülekattega süsteemi näitel jättes muud süsteemi parameetrid samaks. Kõige silmatorkavam on asjaolu, et maksimumide keskmise meetod realiseerub omalaadses treppfunktsioonis. See on ka põhjus miks arvutuslikult odav maksimumide keskmise meetod on modelleerimises, kus me enamasti ootame sujuvat interpolatsiooni, harva kasutusel. Samuti muutub antud meetodi puhul muude interpolatsiooni iseloomule mõjutavate tegurite roll olematuks ja multitasemeline relee, milleks hägus süsteem maksimumide keskmise meetodiga muutub (eeldusel, et väljundi liikmesfunktsioonid on sümmeetrilised), võib hägusloogika asemel realiseerida klassikalise loogika vahenditega 4
3
2
1
y 0
-1
-2
-3
-4 0 2 4 6 8 10 x
Joonis 13. Läbipaistvuse kontrollpunktide vahel interpoleeritud süsteemi väljund maksimumide keskmise (tavaline joon), hägusa c-keskmistamise (paks joon) ja raskuskeskme (katkendlik joon) häguärastamismeetoditega.
Nagu näidatud jaotises 8 on hägusa c-keskmiste häguärastusmeetodi rakendamise tulemuseks 0-ndat järku TS süsteemiga ekvivalentne süsteem ja läbipaistvuse kontrollpunktide vaheline interpolatsioon on sel juhul lineaarne (joonis 13). Raskuskeskme meetodiga interpoleeritakse kõver, mille täpne kuju sõltub süsteemi ülejäänud parameetritest, millest olulisemaks on aktiivsete reeglitega seotud väljundi liikmesfunktsioonide aluste suhe teineteise 1.11.2 Liikmesfunktsioonide tüübi roll 28
suhtes. Kui kaks liikmesfunktsiooni on võrdsed, kulgeb väljund ümber lineaarse interpolatsiooni lõigates seda keskpunktis . Kui üks liikmesfunktsioonidest on teisest suurem, kaardub interpoleeritud väljund suurema liikmesfunktsiooni suunas (joonis 14). A B 1.0
µ(x)
0 bA bB y
A B supp(A) µ(x) supp(A) = supp(B)
y 0 bA bB y
A B supp(A) > supp(B) 1.0
bA µ(x) x
0 bA bB y
Joonis. 14. Reeglite interpolatsioon raskuskeskme häguärastusmeetodiga (lineaarne intepolatsioon läbipaistvuse kontrollpunktide vahel on kujutatud punkt- kriipsjoonega).
1.11.2 Liikmesfunktsioonide tüübi roll
Liikmesfunktsioonide kuju järgi võib neid jagada kahte kategooriasse a) Tükati lineaarsed liikmesfunktsioonid (kolmnurksed, trapetsikujulised) b) Siledad liikmesfunktsioonid (splainipõhised liikmesfunktsioonid)
Veel on võimalik rühmitada liikmesfunktsioone selle järgi, kas nende tuum koosneb ühestainsast või rohkemast punktist. a) hägusad numbrid (kolmnurkne liikmesfunktsioon, 3- parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon ­ s.o. b = c avaldises (11)) b) hägusad intervallid (trapetsikujuline liikmesfunktsioon, 4- parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon (11)) 1.11.3 Järeldusalgoritmi parameetrid 29
Hägusate intervallide kasutamine tingib omalaadse tundetuse tsooni tekke läbipaistvuse kontrollpunkti ümbruses, mille suurus on proportsionaalne asjassepuutuva liikmesfunktsiooni tuuma suurusega. Efekt sarnaneb sellega, mida kogesime 0.5-st väiksema sisendi liikmesfunktsioonide ülekattega (vt. jaotis 1.10). Tulemuseks on lineaarsest interpolatsioonist tunduvalt erinev sisend-väljundseos (joonis 15, vasakul) Siledad liikmesfunktsioonid lisavad väljundisse mittelineaarsust. Jällegi on erinevus lineaarsest interpolatsioonist proportsionaalne liikmesfunktsioonide erinevusega originaalliikmesfunktsioonidest (joonis 15, paremal). 4 4
3 3
2 2
1 1
y 0 y 0
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
mf1 mf2 mf3 mf4 mf5 mf6 mf1 mf2 mf3 mf4 mf5 mf6 1.0 1.0
0 0 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 x x
Joonis 15. Trapetsikujuliste ja siledate liikmesfunktsioonide kasutamise mõju reeglite interpolatsioonile.
1.11.3 Järeldusalgoritmi parameetrid
On huvitav märkida, et järeldusalgoritmi parameetrid mõjutavad interpolatsiooni oluliselt vaid siis kui kasutatakse raskuskeskme häguärastamismeetodit. Vastavalt jaotisele 1.12.1 nimetatule muutis maksimumide keskmise meetod hägusa süsteemi interpolatsiooni mittesõltuvaks muudest parameetritest, hägusa c-keskmistamise puhul võib lisada järgmist. 1.11.3 Järeldusalgoritmi parameetrid 30
a) Väljundi liikmesfunktsioonid pole hägusad, järelikult r p0 r min( r , p 0 r ) R b) r p0r max( 1 p01 , ... , R p0 R ) kui väljundparameetrid p0r ei r =1 osutu samaväärtuslikuks. Tegelikkuses see enamasti ongi nii, kuna reeglina on 0ndat järku reeglid varustatud igaüks unikaalse parameetriga. Eelnevast võib üldistada, et interpolatsioon 0-ndat järku TS süsteemides sõltub vähe järeldusalgoritmi parameetritest (samuti mängib väikest rolli tingimuste eelduste täidetuse arvutamiseks kasutatav operaator) Raskuskeskme häguärastusega on siiski nii agregeerimis- kui implikatsioonioperaatoreil tuntav mõju interpolatsioonile. Joonisel 16 kujutatud süsteemi väljundi liikmefunktsioonid on erineva suurusega ja osalise ülekattumisega (mis tingib erinevuse summa ja maksimumiga agregeerides). On näha et mitteanalüütilised operaatorid (s.o. minimum ja maksimum) tingivad suurema mittelineaarsuse. Samas on maksimumiga agregeerimisel teatud negatiivsed kõrvalnähud, mida illustreerib joonisel 17 kujutatud näide. 0.8 0.8
0.75 0.75
0.7 0.7
0.65 0.65
y 0.6 y 0.6 minimum minimum 0.55 0.55
0.5 0.5
0.45 product 0.45 product
0.4 0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x x 0.6 mf1 mf2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y
Joonis 16. Implikatsioon korrutise ja miinimumiga koos agregeerimisega summa kaudu (ülal vasakul) ja maksimumi kasutades (ülal paremal). Väljundmuutuja liikmesfunktsioonid (all) 1.11.4 Interpolatsioon mitmemõõtmelises ruumis 31
(a) (b) br + 1 (c) µ (d)
(b) br br + 1 br br + 1 y y (a)
(c) (d) µ br
br br + 1 br br + 1 ar ar + 1 y x
Joonis 17. Hägusa süsteemi reeglite interpolatsioon, kui agregeerimisoperaatorina kasutatakse summat.
Me kasutame nelja erineva väljundi liikmesfunktsiooniga mudelit, mis erinevad liikmesfunktsioonide aluste suuruse ja sellest tuleneva ülekattumise määra poolest. Samas on suhe sr/sr + 1 on kõikidel juhtudel sama, mistõttu agregeerimisoperaatorina summat (ja implikatsioonioperaatorina korrutist) kasutades oleks sisend-väljundseos kõikidel juhtudel sama (kõver (a), parempoolsel joonisel). Kui väljundi liikmesfunktsioonid ei kattu, on ka maksimumiga agregeerimisel tulemuseks kõver (a). Mida suurem on ülekate, seda rohkem hakkab interpolatsioonis domineerima liikmesfunktsioon, mille keskpunkt on punktis br + 1. Suurte ülekattumiste määrade korral (nagu variant (d)) hakkab domineeriv reegel teist reeglit "lämmatama" tekitades konstantse väärtusega piirkonnad sisend-väljundseoses. Veelgi olulisem on aga asjaolu, et sel moel muutub väljundi liikmesfunktsioonide ülekate teguriks, mis mõjutab interpolatsiooni rohkem kui liikmesfunktsioonide suurus ja on seetõttu eksitava kõrvaltoimega.
1.11.4 Interpolatsioon mitmemõõtmelises ruumis
Kuigi järeldused süsteemide interpolatsiooni kohta, mis baseeruvad toodud lihtsatel näidetel võib üldjuhul üldistada keerukamatele süsteemidele, eksisteerivad siiski mõningad erinevused, näiteks pole vaadeldud lineaarne seos 1 sisendi ja 1 väljundiga 0-ndat järku TS süsteemides mitmedimensionaalses ruumis enam lineaarne. 1.12 Esimest järku Takagi-Sugeno süsteemide läbipaistvus 32
Põhjus on lihtne: 2 sisendiga süsteemis 4-st reeglist interpoleeritud väljund (joonis 18) pole lineaarne kuna tasapinna defineerivad 3 punkti. Erinevus interpoleerivate reeglite arvu (2N ) ja hüpertasapinda defineerivate punktide arvu (N + 1) vahel kasvab sedavõrd kuidas kasvab sisendite arv N (need kaks arvu on võrdsed vaid siis kui N = 1).
y
x2 x1
Fig. 18. Interpolation between 4 rules in a MISO 0th order TS system.
1.12 Esimest järku Takagi-Sugeno süsteemide läbipaistvus
Erinevalt intuitiivselt interpreteeritavatest klassikalistest hägusatest süsteemidest, toimub esimest järku TS süsteemide interpreteerimine lokaalsete mudelite kaudu (mille mõjupiirkond on määratud vastava reegli tabatusega). Seda tüüpi süsteemide vabadusastmete suur arv, mis ühest küljest tagab ülihead aproksimatsiooniomadused tingib aga selle, et süsteemide, mille lokaalsed mudelid omavad kardinaalselt erinevaid parameetreid, reeglite interpolatsiooni kaudu saadavad globaalsed väljundid võivad erineda ainult pisiasjades (joonis 19). Teatud piirini on võimalik süsteemi vabadusastmeid piirata ning läbipaistvust suurendada reeglite isoleerimisega üksteisest (liikmesfunktsioonide ülekatte vähendamise kaudu) kuna sisendruumi piirkondades kus on aktiivne vaid üks reegel on globaalne väljund y paratamatult identne vastava lokaalse mudeli väljundiga yr, kuid see ei ole optimaalne lahendus antud probleemile, kuivõrd kõige läbipaistvama TS süsteemi same situatsioonis, kus liikmesfunktsioonide ülekate puudub ja on raske rääkida hägusast süsteemist. 1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine 33
2 2 y1 = 7.897x ­1.248 1.5 y1 = 0.191x + 1.081 1.5 1 y2 = -0.333x + 0.804 1 y2 = 7.306x - 6.453 0.5 0.5
0 0
-0.5 y3 = 8.046x - 12.87 -0.5 y3 = 0.341x - 0.556 -1 -1 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
2 2
1.5 y1 = -0.502x + 1.282 1.5 y2 = -9.831x + 9.827 1 y2 = -1.076x + 1.513 1
0.5 0.5 y3 = -9.089x + 14.55 0 0 y3 = -0.355x + 0.555 y1 = -9.239x + 3.892 -0.5 -0.5
-1 -1 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Joonis 19. Neli sisuliselt identse globaalse väljundiga TS süsteemi. Pöörake tähelepanu lokaalsete mudelite (näidatud punktiirjoonega) erinevustele. Vaid alumisel vasakul joonisel kujutatud süsteemi lokaalsed mudelid annavad adekvaatse pildi süsteemi käitumisest. 3
2.8 0% 50% 2.6 0% 2.4 25% 100% 2.2
y 2 75% 50% 1.8 25% 1.6 75% 1.4
1.2
1 100% 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x x
Joonis 20. TS süsteemi läbipaistvuse suurendamine liikmesfunktsioonide ülekatte vähendamise kaudu
Teatud kompromisslahendusi on probleemile võimalik leida, kuid tegu on keeruka probleemiga, mille lähem käsitlemine väljub käesoleva teksti raamest (detailsem analüüs allikates [12] ja [13]).
1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine
Kaks tähtsat hägusate süsteemide rakendusala on protsesside hägus modelleerimine ja protsesside hägus juhtimine. Allikateks, millest hägusaid süsteeme luuakse, on protsessi alane inimteadmus ja protsessi 1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine 34
käitumist kajastavad mõõteandmed. Inimteadmus, mis enamasti tuleb "ekspertidelt" (nt. vaadeldava protsessi operaatorid või insenerid , kellel palutakse oma know -howd väljendada hägusate reeglite vahendusel), võib olla esitatud üsnagi ähmasel kujul. Järelikult võib selliseid hägusaid süsteeme nimetada hägusateks ekspertsüsteemideks. Paljude protsesside puhul on käitumise monitoorimine ja andmete jooksev salvestamine tavaline tegevus. Kui see ka pole nii, on võimalik sooritada spetsiaalseid eksperimente vajalike andmete hankimiseks. Hägusa süsteemi konstrueerimine andmete baasil eeldab vastava algoritmi olemasolu. Nimetatakse hägusaks identifitseerimiseks. The acquisition or tuning of fuzzy systems by means of data is usually termed fuzzy identification. Eelnevas võib täheldada teatud sarnasust klassikalise modelleerimisega. Teadmuspõhine meetod on mõnes mõttes analoogiline esimese printsiibi modelleerimisele ning hägus identifitseerimine kuulub ühte gruppi süsteemide identifitseerimiseks kasutatavate statistiliste meetoditega. Klassikalises modelleerimises on võrdlemisi tihti kasutusel kombineeritud lähenemine, kus füüsikaseaduste baasil konstrueeritakse üldised diferentsiaalvõrrandid, mida loodetakse süsteemi käitumist kajastavat ning seejärel viiakse läbi eksperimente määramaks teatud süsteemi parameetrid või funktsioonid. Sarnast lähenemist on kasutatud ka hägusate süsteemide konstrueerimisel. Hägusate süsteemide konstrueerimist võib käsitleda kui 6-st sammulise eeskirja järgi toimuvat protseduuri [6]. i. Sisend- ja väljundmuutujate valik; ii. Hägusa süsteemi järeldusalgoritmi parameetrite valik; iii. Muutujate muutumispiirkondade määramine; iv. Lingvistiliste märgendite ja vastavate hägusat tükeldust moodustavate liikmesfunktsioonide defineerimine ; v. Hägusa süsteemi reeglibaasi konstrueerimine; vi. Süsteemi adekvaatsuse hindamine.
Küllaltki tihti realiseerub eeltoodud tegevuste sooritamine vaid lõppresultaadina soovitud hägusa süsteemi alghinnangus (seda juhul kui süsteemi kvaliteeti hinnates selgub , et advekvaatsuse mõõt ei ole soovitud tasemel), mistõttu osutub vajalikuks edasine süsteemi parameetrite optimeerimise faas, milles süsteemi liikmesfunktsioonide parameetrid omandavad eeldatavalt optimaalsed väärtused. Kui eksisteerivad sisend- väljundmõõtmised, mis peegeldavad süsteemi optimaalset käitumist, on loomulik kasutada andmepõhiseid identifitseerimistehnikaid, mis leiavad 1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine 35
lähema käsitluse allpool. Samas eksisteerib ka olukordi kus kogu konstrueerimisprotsessi tuleb puhtalt lehelt alata . Keerukate süsteemide puhul pole alati selge, milliseid muutujaid tuleks kasutada mudeli sisenditena. Eelnevalt teadaolev informatsioon, arusaam protsessi olemusest ja modelleerimise eesmärk on tüüpilised infoallikad sellise valiku jaoks. Hägusa süsteemi järeldusmootori kindlaksmääramisel (mille alla kuuluvad süsteemi tüüp, järeldusalgoritmi parameetrid, häguärastamismeetod, liikmesfunktsioonide tüübid) on otsustavateks faktoriteks jällegi modelleerimise eesmärk ja teadaolev informatsioon. Tähtsust võib selles mõttes omada ka identifitseerimiseks kasutatav algoritm, nt. tuletise arvutamisel põhinevad algoritmid eeldavad, et hägusa süsteemi väljundi arvutamiseks kasutatav avaldis peab olema diferentseeritav, mis oluliselt piirab järeldusalgoritmi parameetrite valikut. Samuti võib määravaks osutuda järeldusavaldise arvutuslik "maksumus" ­ nt. on raskuskeskme häguärastamine arvutuslikult kulukam kui maksimumide keskmise meetod või hägus c-keskmistamine (samuti on siinkohal ilmne eelis lihtsustatud järeldusalgoritmidel). Valikul võib olla oma osa ka järeldusmootori poolt süsteemile dikteeritud interpolatsiooniomadustel. Hägusa süsteemi disain on suuresti sõltuv konkreetsest rakendusest, mistõttu täpset konstrueerimiseeskirja anda pole võimalik. Siinkirjeldatud üldised põhimõtted üritasid kaardistada mängumaad, mille piires see toimub. Konstrueerimise põhimõtted modelleerimise ning juhtimise kontekstis leiavad lähemat käsitlust järgnevates peatükkides. Kasutatud kirjandus 36
Kasutatud kirjandus
1. Zadeh, L.A. (1965), "Fuzzy Sets ," Information and Control , vol. 8, pp. 338-353. 2. de Oliveira J.V (1999) "Semantic constraints for membership function optimization ". IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, vol. 29, no. 1, pp. 128 -138. 3. Zadeh L.A. (1973), " Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes," IEEE Trans. On Systems, Man, and Cybernetics, vol. 3, pp. 28-44. 4. Babuska, R. (1997), Fuzzy Modeling and Identification, Ph.D. dissertation. Technical University of Delft , Delft. 5. Riid, A. and Rüstern, E. (2003), "On the interpretability and representation of linguistic fuzzy systems", Proc . IASTED International Conference on Artificial Intelligence and Applications, Benalmadena, Spain , pp. 88-93 6. Yager, R. and Filev, D. (1994), Essentials of Fuzzy Modeling and Control. Wiley, New York . 7. Takagi, T. and Sugeno, M. (1985), "Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control," IEEE Trans. Syst., Man, Cybern., vol. SMC-15, no. 1, pp. 116-132. 8. Jager, R. (1995), Fuzzy Logic in Control, Ph.D. dissertation, Technical University of Delft, Delft. 9. Jang, J.-S.R. (1993), " Functional equivalence between radial basis function networks and fuzzy inference systems," IEEE Trans. Neural Networks, vol. 4, no.1, pp. 156-159. 10. Brown , M. and Harris , C.J. (1994), Neurofuzzy Adaptive Modelling and Control, Prentice Hall, Englewood Cliffs . 11. Shaw, I.S. (1998), Fuzzy Control of Industrial Systems, Kluwer Academic Publishers, Boston . 12. Yen, J., Wang , L. and Gillespie, C.W. (1998) "Improving the Interpretability of TSK Fuzzy Models by Combining Global Learning and Local Learning", IEEE Trans. Fuzzy Systems, vol. 6, no. 4, pp. 530-537. Kasutatud kirjandus 37
13. Riid, A. and Rüstern, E. (2004) "Takagi-Sugeno Systems with Improved Interpretability and Interpolation using a Complementary Interpolation Model", ootab publitseerimist.