Pöördpendli mudel, järgimissüsteem (0)

Tallinna Tehnikaülikool
Automaatikainstituut
Kodutöö 3
Pöördpendli mudel, järgimissüsteem
Rain Jõearu
040737 IASB
Tallinn 2008
1. Mudeli lähteandmed

- pendli nurk [rad] 0.2 rad
x – käru asend
M – käru mass [kg]
m – pendli mass [kg]
ℓ – kaugus pendli raskuskeskmeni [m]
g – raskuskiirendus [m/s2]
F – liikumise jõud (mudeli sisend )
B=
G X0
A – olekumaatriks, B – sisendmaatriks , G – häiringu ülekandemaatriks, X0 – olekuvektor
2. Vormistatud eksperimendi lühiselgitus
Eksperimendi eesmärk on tasakaalustada käru peal asetsevat pöördpendlit, samal ajal käru mingist asendist teise liigutades. Maksimaalne lubatud pendli kõrvalekalle ei tohi ületada 0,2rad; maksimaalne juhttoime 40V. Lubatud viga ei tohi ületada 5%
Xs – valitud seadesuurus, XS
Seekord kasutatakse süsteemi juhtimiseks järgivsüsteemi integraalse regulaatoriga. Kuna süsteemil endal integraalseid omadusi pole, kasutatakse abimuutujat Z.
U=KX Kr Z , Z˙ =YS−Y=Y S−CX
Diskreetaja järgivsüsteemi süntees erineb pidevast laiendatud süsteemi maatriksite sisu poolest, mis on tingitud summa kasutamisega integraalse regulaatori koosseisus .
U (k)=−KX(k)+Kr Z(k) ,
Z(k)=Z(k−1)+Y S (k)-Y(k)=Z(k−1)+YS (k)−CX(k)
3. Diskreetimissammu valik, arvutused.
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0]), R=5/(100*M*M)
td=0.1
[Ad,Bd]=c2d(A,B,td)
[Ad,Gd]=c2d(A,G,td)
Kd=dlqr(Ad,Bd,Q,R)
Q ja K on kaalumaatriksid, kus: ja
Mudelid on adekvaatsed, sest nad langevad kokku ning käituvad samamoodi.
4. Regulaatorite süntees pidevajas.
C = [0 0 1 0]
PI_yreg %käsufail pidevaja regulaatori sünteesiks
PI_yreg.m käsufaili sisu:
% PI järgivsüsteemi süntees
% Integraalne TS väljundi järgi (järgimiseks) + TS oleku järgi
% Laiendatud olekuvektoriga süsteem
% X = [ X ; Z ]
% Z = R - Y = R - CX
% ! ~ ~ ~
% U = +K*X +Ki*Z = -K*X , K = [-K -Ki]
% P - soovutud suletud süsteemi pooluste paigutus n + dim(Y) tükki.
nnn= size (A,1); rrr=size(B,2); % olekumuutujate arv ja sisendite arv
if exist ('C'),
y_r=size(C,1);
A2=[A zeros(nnn,y_r); -C zeros(y_r,y_r)];
B2=[B;zeros(y_r,rrr)];
r2= rank (ctrb(A2,B2)) % juhitavuse maatriksi astak
else
disp('C maatriks puudub!')
end
5. Regulaatorite süntees diskreetajas.
Q2=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0 10])
R2=5/(100*M*M)
K2=lqr(A2, B2, Q2, R2) % Q2 ja K2 on laiendatud olekuvektoriga mudeli kaalumaatriksid, R2 on laiendatud olekuvektoriga mudeli juhitavuse maatriksi astak.
pi_yregd %käsufail diskreetaja regulaatori sünteesiks
PI_yreg.m käsufaili sisu:
% PI järgivsüsteemi süntees DISKREETNE
% Integraalne TS väljundi järgi (järgimiseks) + TS oleku järgi
% = väljundite arv
% U(k)=-K*X(k)+Ki*Z(k), Z(k)=Z(k-1)+Ys(k)-Y(k)
% X(k)=[Xe(k); Ze(k)] laiendatud süsteemi olekuvektor
% ~ ~ ~ ~ ~
% A=[A 0; -CA I], B=[B; -CB], U(k)=-K*X(k),
%
% Z - soovutud suletud süsteemi pooluste paigutus n + dim(Y) tükki.
nnn=size(Ad,1); rrr=size(Bd,2);
y_r=size(C,1);
A2d=[Ad zeros(nnn,y_r); -C*Ad eye(y_r)];
B2d=[Bd; -C*Bd];
r2=rank(ctrb(A2d,B2d))
6. Põhimõtteskeemid.
Joonis: Oleku- ja integraalse regulaatoriga järgivsüsteem.
Joonis: Oleku- ja integraalse regulaatoriga diskreetaja järgivsüsteem.
7. Simulatsioonskeem.
C ja Cd on tagasisideregulaatorid. Uh ja Uhd on häiringud. Xs maatriksi kolmandat elementi kasutatakse mudeli arvutustes. -K2 ja -K2d on regulaatorid (compensator). „ Constant “ plokk joonistab graafikule veapiirid 5% sisse Xs(3) väärtusest.
8. Siirdeprotsesside graafikud .
9. Katseandmete ja tulemuste esitus
Valitud ja arvutatud väärtused
Nõutud ja eksperimentides saavutatud väärtused

Häiringu mõju

  10·M = 50 V
  0.2 [rad]
parim
 5 %
graafik
[N]
≤±5%
Q|Q2
td
R|R2
Umax
X1max
treg e. ts
 e. 
Nr.
Uh
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0])
0
R=1/(100*M*M)
-97
0,15
2,1 s
4,5
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0])
td = 0,1
R=1/(100*M*M)
-47
0,15
2,1 s
4,5
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0])
0
R=5/(100*M*M)
-50
0,12
2,3 s
4,5
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0])
td = 0,1
R=5/(100*M*M)
-30
0,12
2,3 s
4,5
Q=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0])
0
R=5/(100*M*M)
-37
0,11
2,2 s
4,5
±3,5
0 / 10
Q2d=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0 0.1])
td = 0,1
R2d=5/(100*M*M)
-26,3
0,12
2,2 s
4,5
±1,7
0 / 0,1
10. Kommentaare tulemuste sobivuse ja uuritud küsimuste kohta.
R-i tõstmine tegi süsteemi aeglasemaks, kuid viis ka maksimaalse juhttoime väiksemaks. Q väärtused võtsime lubatud maksimaalväärtuste ruutudepöördväärtused.Nulliks valisime q22 ja q44 sest nad ei oma maksimume. Laiendatud tagasisidega võtsime C maatriksi üherealiseks. Antud katsest saime teada, et järgivsüsteem talub sisendviga rohkem, kui järgijata süsteem.