Kasutatava mudeli eristusvorm sõltub rakendusest. Tehnikaaladel kasutatakse reeglina matemaatilisi mudeleid, mis lähtuvalt esitusvormist jagunevad analüütilisteks mudeliteks (võrrandid, võrrandisüsteemid) ja mitteanalüütilisteks mudeliteks (programmid), need võimaldavad süsteemi omadusi nii teoreetiliselt kui ka arvutuslikult uurida nt ohtlikes olukordades. sisend-väljund mudelid (nö must kast, ei huvita mis sees toimub, huvitab ainult sisend ja väljund) ja sisend-olek-väljund mudel (huvitab mis mustas kastis sees on). Muutujad ja parameetrid: Muutujad - süsteemi iseloomustavad suurused, ajast sõltuvad (sest enamik süsteeme on pidevalt muutuvas seisundis), nt sisend, väljund, olek, häiringud (mürad), üldiselt mõõdetavad. Kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse. Orienteeritud süsteemis, kus on põhiliselt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid ka signaalideks
süsteemil eripärased. Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest
aga ka võimalus mudeli parameetreid piisava täpsusega määrata. 1.3, Muutujad ja parameetrid Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest
................................................................................10 1.3.3. Iseorganiseeruvad närvivõrgud ........................................................................11 1.4. Õppimine, õpiprotsessid, õpialgoritmid .................................................................12 1.4.1. Gradient vea pöördlevi meetod ........................................................................14 1.4.2. Widrow-Hoff'i algoritm ...................................................................................15 1.4.3. Kohonen'i iseorganiseerumise algoritm ..........................................................16 1.5. Õppimise ülesanded ...............................................................................................16 2. Teoreetilised alused ............................................................................................................19 2.1
................................................................................10 1.3.3. Iseorganiseeruvad närvivõrgud ........................................................................11 1.4. Õppimine, õpiprotsessid, õpialgoritmid .................................................................12 1.4.1. Gradient vea pöördlevi meetod ........................................................................14 1.4.2. Widrow-Hoff'i algoritm ...................................................................................15 1.4.3. Kohonen'i iseorganiseerumise algoritm ..........................................................16 1.5. Õppimise ülesanded ...............................................................................................16 2. Teoreetilised alused ............................................................................................................19 2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iv
¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu
Tallinna Tehnikaülikool Automaatikainstituut Kodutöö 3 Pöördpendli mudel, järgimissüsteem Rain Jõearu 040737 IASB Tallinn 2008 1. Mudeli lähteandmed - pendli nurk [rad] 0.2 rad x käru asend M käru mass [kg] m pendli mass [kg] kaugus pendli raskuskeskmeni [m] g raskuskiirendus [m/s2] F liikumise jõud (mudeli sisend) B= G X0 A olekumaatriks, B sisendmaatriks, G häiringu ülekandemaatriks, X0 olekuvektor 2. Vormistatud eksperimendi lühiselgitus Eksperimendi eesmärk on tasakaalustada käru peal asetsevat pöördpendlit, samal ajal käru mingist asendist teise liigutades. Maksimaalne lubatud pendli kõrvalekalle ei tohi ületada 0,2rad; maksimaalne juhttoime 40V. Lubatud viga ei tohi ületada 5% Xs valitud seadesuurus, XS Seekord kasutatakse süsteemi juhtimise
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
' ' x @ x @ x ' x 3 ehk ' x 6&3 ' x 3 ; x 3 x@x@x x3 ( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4 Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1. Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0
trigonomeetrilise funktsiooni väärtus on null. Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x = 0 x = n , cos x = 0 x = n + , 2 tan x = 0 x = n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
y () = lim sY ( s ) = lim e -2 s = =0 s 0 s 0 ( s + 2) ( s + 4) 2 2 16 11 Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks IL 2.1 Antud: väljund y (t ) ja ülekandefunktsioon H (s ) 2( s + 2) y (t ) = 3 × 1(t ) - 2e -t - e -4t H (s) = s ( s + 1) Leida sisend u (t ) ning selle alg- ja lõppväärtused. IL 2.2 Antud: ülekandefunktsioon H ( s ) ja sisend u (t ) ( s + 1)e - s
.7 1.12. Aritmeetilised operatsioonid kahendsüsteemis.......................................................8 1.12.1. Positiivsete arvude liitmine..............................................................................8 1.12.2 Algebraline liitmine pöörkoondis.....................................................................8 1.12.3. Algebraline liitmine täiend koodis...................................................................8 2.1. Loogikafunktsioon ja loogika seade....................................................................... 10 2.2. Ühe argumendi loogikafunktsioonid.......................................................................10 2.3. Kahe argumendi loogikafunktsioonid.....................................................................11 2.4. Loogikaseadused.....................................................................................................12 Loogikaelemendid...............................................
Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x 0 x n , cos x 0 x n , 2 tan x 0 x n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
.7 1.12. Aritmeetilised operatsioonid kahendsüsteemis.......................................................8 1.12.1. Positiivsete arvude liitmine..............................................................................8 1.12.2 Algebraline liitmine pöörkoondis.....................................................................8 1.12.3. Algebraline liitmine täiend koodis...................................................................8 2.1. Loogikafunktsioon ja loogika seade.......................................................................10 2.2. Ühe argumendi loogikafunktsioonid.......................................................................10 2.3. Kahe argumendi loogikafunktsioonid.....................................................................11 2.4. Loogikaseadused.....................................................................................................12 Loogikaelemendid................................................
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi)
a a a a a a × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . (1) b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r Tähistades koordinaattelgede suunalisi ühikvektoreid vastavalt i , j ja k , on avaldis (1) esitatav kujul a a r a a r a a r × = 2 3 i - 1 3 j + 1 2 k = b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r i j k (2) = a1 a2 a3
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
Arendusteoreemid. Olgu antud n-järku ruutmtx A=(aij) kuulub Rnxn ning olgu Aij elemendi aij alamdet;Võttes arendusteoreemides i=j, saame nn arendusvalemid.Det arendus i-nda rea järgi: detA=ai1Ai1+..+ainAin .Det arendus j-nda veeru järgi: detA=a1jA1j+..+anjAnj. Det-de arendusvalemeid kasutatakse deti arvutamiseks. Otstarbekas on arendada nende ridade/veergude järgi, mis sisaldavad palju nulle. Det arvutamine. Kasutades ülaltoodud omadusi saab det arvutada järgmise algoritmi põhjal: 1)valime ühe veeru(võimaluse korral rohkete nullidega). Valime veerus juhtelemendi 2) Punktis 1 valitud veeru ülejäänud elemendid(va juht) teisendame nullideks, liites deti reidadele sobiv arv kordi juhtelemendile vastavat rida. 3) Arendame deti valitud veeru järgi. Nii saame ühe võrra mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste
rakendada numbrilise infotöötluse meetodeid ja programmjuhtimise põhimõtteid ning kasutada selleks universaalseid mikroprotsessorseadmeid. Selle tulemusena vähenevad seadmete mõõtmed, mass ja hind. Tänapäva arvutustehnika on kujunenud hiigelpüramiidiks, mille vundament on mikro- protsessorid, selle peale aga kerkivad üha uued tarkvarakorrused. Paljukihiline hierarhiline tarkvarasüsteem on lahutanud inimese protsessorist ning vaevalt suudab arvutiklahvistikul klõbistav operaator tunnetada oma tegevuse seost protsessori registrite ja siinidega ning kahendsõna bittide ja baitidega. Universaalarvutite riist- ja tarkvara arendavad tänapäeval vähesed tippspetsialistid, nende tööd kasutavad peaaegu kõik. Ja vaevalt et enamikule arvutioperaatoreist pakub lähemat huvi mikroprotsessorite ehitus Tehniliste seadmete ja tehnoloogiaprotsesside juhtimisel on riist- ja tarkvaraprobleemid sageli spetsiifilised ning üldlahendid puuduvad. Programmeerijalt eeldatakse riistvara
Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi. Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a kordaja, x muutuja, b vabaliige): a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n = bm Lineaarse vôrrandsüsteemi laiendatud maatriks moodustatakse normaalkujul vôrrandisüsteemi elementidest ja vabaliikmeid on eraldatud püstkriipsuga. Lubatavad elementaarteisendused: 1) Rea korrutamine nullist erineva arvuga 2) Ridade vahetamine
determinandi väärtusi . Praktilisel arvutamisel on otstarbekas omaduste 4 ja 6 abil teisendada maatriksi mõnda rida või veergu nii, et sellesse jääks täpselt üks nullist erinev element ja rakendada seejärel 7 omadus. 11. omadus : suvalise rea elementide ja teise rea alamdeterminantide korrutiste summa võrdub nulliga. Näiteks, a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0. 2.3.Determinandi det A arvutamise algoritm - 16 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. Valida maatriksis A juhtrida või veerg (soovitavalt selline, milles leidub element ,,1" või ,,-1" ja mille ülejäänud elemendid on absoluutväärtuse poolest võimalikult väikesed); 2
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2
determinandi väärtusi . Praktilisel arvutamisel on otstarbekas omaduste 4 ja 6 abil teisendada maatriksi mõnda rida või veergu nii, et sellesse jääks täpselt üks nullist erinev element ja rakendada seejärel 7 omadus. 11. omadus : suvalise rea elementide ja teise rea alamdeterminantide korrutiste summa võrdub nulliga. Näiteks, a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0. 2.3.Determinandi det A arvutamise algoritm 17. Valida maatriksis A juhtrida või veerg (soovitavalt selline, milles leidub element ,,1" või ,,-1" ja mille ülejäänud elemendid on absoluutväärtuse poolest võimalikult väikesed); 18. Valida juhtreast või veerust juhtelement (soovitavalt 1 või -1; kui sellist elementi maatriksis ei ole , võib selle sinna teisendada kasutades omadusi 4 ja 6); 19
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t) x2 = 2(t) .... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis.
Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t) x2 = 2(t) .... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis.
Leidmine-maatriksi ridade(veergude) elementaarsete teisenduste abil. 19. Pöördmaatriks ja selle leidmise 2 moodust. Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on ruutmaatriks, 2) maatriksi pöördtähis on ,2) kui pöördmaatriksi determinant ei võrdne nulliga. 2 moodust-1) valemi järgi ,2) kasutades ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, 20. Maatriksi võrrandi lahendamine. On avaldis AX=B kus , -on antud maatriks ja -on tundmatu maatriks.maatriksvõrrandi abil saab esitada lin.võrrandi süsteemi. Et lahendada maatriksvõrrandi AX=B võrrandi mõlemaid pooli vasakult maatriksi A pöördmaatriksiga .asamas lahendamiseks kasutatakse ka elementaar teisendusi. Kui on XA=B siis korrutatakse parema poolega maatriksi ,et leida lahendust on vaja transponeerida võrrandit. 21. Afiinse ruumi mõiste,kordinaadid afiinses ruumis.
On eeldused ja järeldused. Teoreetiline analüüs (statistilised probleemid jäetakse kõrvale) *Mat majteaduse mudeli puhul ei arvestata kõiki aspekte, sest see on võimatu, valitakse põhifaktorid (mida asendavad muutujad) ja antakse ette seosed (võrranditena). Matemaatiline mudel koosneb võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel -> analüütilised eeldused -> loogilised järeldused. 3. Funktsiooni mõiste: Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X on vastavusse seotud muutuja y väärtus, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. y=f(x) eeskiri; üksühene vastavus. Liigid: a) konstantne f. N. y=f(x)=7 b) polünoomid y=a0+a1x+a2x2+...+anxn n=0 konstantne f., n=1 linearne f., n=2 ruutf. (0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega)
Osa A Variatsioonrida: N=25 1 4 6 7 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 98 0 1 2 5 1 5 7 3 8 6 2 2 2 1 4 1 7 4 5 6 N 1 1. ´x = N x i=45 i=1 N 1 s 2= N-1 i=1 ( xi -´x )2=1170 s= s2=34 Mediaan: variatsioonrea 13. element 38 x max-x min =97 Haare: 2. =0,10 t 0,95 ( 24 )=1,71 t 0,95 ( 24 ) s = =12 N Keskväärtuse alumine piir: ´x - =33 Ülemine piir: ´x + 57 20,05 (24)=13,85 20,95 (24)=36,42
Tallinna Tehnikaülikool Ehitiste projekteerimise instituut Kursuseprojekt aines "RAUDBETOONKONSTRUKTSIOONID. PROJEKT" Üliõpilane: S. Avdejev Matr. nr.: 000342 Juhendaja: J. Pello Esitatud: Arvestatud: Tallinn 2004 sisukord 1. LÄHTEÜLESANNE.................................................................................. 2 2. PLAADI ARVUTUS.................................................................................. 3 2.1. Koormused plaadile.........................................................................3 2.2. Plaadi sisejõud................................................................................ 3 2.3. Armatuuri dimensioneerimine..........................................
K arakteris tl ik võrrand t 2 - 2 * t + 1 = 0 S elle lahendid: t= 1 on kordne lahend. K aks järj es tus t mis on lahendid rekures nts ele seos ele........... Teoree m 3 põhj al s aame 1, 1, 12 ,..., 1n 0, 1,2* 12 ,....n* 1n Lineaarko mb inats ioon................... an = C * 1n + D * n * 1n ehk lihts amalt : an = C + D * n C j a D määra me es imes tes te väärtus e j ärgi............. C + D *0= 1 C + D *1= 4 S eega C= 1 j a D =3 A s endame C ja D lineaarkombi nats iooni avaldis s e................... an = 1+ 3* n D ef: F unkts iooni nime tame rekurs iivs elt defineerituks ehk rekurs iivs eks kui te ma defineeri mi s e reegel viitab s ellele s amal e funkts ioonile. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, N äide: faktoriaali arvuta mis e võib defineerida rekurs iivs e funkts iooni abil nii: Ü les anne 362: a0 = 1 a1 = 2 an = 2an-1 + 3an-2 n 2 Ü les anne (korduva lahendi j uht): a0 = 2 a1 = 3
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
