Süsteemiteooria kordamisküsimused (0)

Süsteemi mõiste. Süsteemimudel. Muutujad ja parameetrid. Sisend-, oleku- ja 
väljundmuutujad. Millest sõltub süsteemi käitumine. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle 
koostamine. Algolek ja selle sisu. Dünaamiline süsteem. Pidev- ja diskreetaja süsteemid.
Süsteemi mõiste:  Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteem on see, mida 
saab vaadelda süsteemina (süsteem on subjektiivne – kui tahan, vaatan süsteemina, kui ei taha, ei 
vaata). Süsteem on funktsioon sisendist ja siseolekust, kui see võrrand teada, siis see võrrand on 
süsteem ehk süsteemimudel.
Süsteemi omadused: element/objekt, sidemed (mistahes seosed elementide vahel, võivad olla 
orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne), terviklikkus, süsteemil on hierarhia, 
süsteemil on kindel käitumine.
Põhiülesanded: süsteemide modelleerimine (mudelite koostamine), süsteemide analüüs (meetodid 
süsteemide uurimiseks), süsteemide süntees (meetodid süsteemide loomiseks).
Süsteem võib olla avatud (süsteem, mis suhtleb ümbritseva keskkonnaga või teiste süsteemidega, 
saab neilt mõjutusi), suletud (toimetab ise), hägus (ei ole juhuslik, aga sisaldab määramatust, 
suvalised väärtused mingist hulgast. Vajalik kirjeldamaks täpseid piire mitteomavate nähtuste ja 
mõistete süsteemis ilmnevaid suheid ja seoseid), orienteeritud (eristatakse sisendit ja väljundit, 
sisend mõjutab väljundit, väljundi tagasimõju sisendile aga puudub).
Süsteemid võivad olla füüsikalised, bioloogilised, sotsiaalsed, mõttelised, abstraktsed jne.
Süsteemimudel: Süsteemimudel on süsteemi käitumine ja/või struktuuri idealiseeritud kirjeldus. 
Mudeli koostamine algab vajalike muutujate valikust ning seoste kirjeldamise detailsusastme 
määramisest, Süsteemimudelit võib kirjeldada verbaalselt, formaalselt, matemaatiliselt võrrandina 
või võrrandite süsteemina, programmina, riistavaralise seadmena. Kasutatava mudeli eristusvorm 
sõltub rakendusest. Tehnikaaladel kasutatakse reeglina matemaatilisi mudeleid, mis lähtuvalt 
esitusvormist jagunevad analüütilisteks mudeliteks (võrrandid, võrrandisüsteemid) ja 
mitteanalüütilisteks mudeliteks (programmid), need võimaldavad süsteemi omadusi nii teoreetiliselt 
kui ka arvutuslikult uurida nt ohtlikes olukordades.
sisend-väljund mudelid (nö must kast, ei huvita mis sees toimub, huvitab ainult sisend ja väljund) ja 
sisend-olek-väljund mudel (huvitab mis mustas kastis sees on).
Muutujad ja parameetrid: Muutujad -  süsteemi iseloomustavad suurused, ajast sõltuvad (sest 
enamik süsteeme on pidevalt muutuvas seisundis), nt sisend, väljund, olek, häiringud (mürad), 
üldiselt mõõdetavad. Kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse. Orienteeritud 
süsteemis, kus on põhiliselt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid ka 
signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja 
funktsioonidena. Hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate (sama või varjasema ajamomendi) 
hetkväätustest.
Parameetrid- süsteemi või tema elementide iseloomustavad suurused, mis esinevad dimensiooniga 
kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavas võrrandis (nt. matemaatilises mudelis). 
Parameetrid võivad olla konstantsed, sõltuda ajast või mudeli muutujatest. Parameetri muutumisel 
muutuvad ka võrrandite lahendid ja sellest tulenevalt süsteemi omadused. Süsteemi parameetrid 
moodustuvad elementide parameetritest keerukal individualiseeritud viisil, mille tõttu on süsteemi 
hindamine ainuüksi elementide omaduste põhjal praktiliselt võimatu (oluline ühendusstruktuuri 
roll).
Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad: võivad olla ühemõõtmelised (nt 1 sisend ja 1 väljund) kui ka 
mitmemõõtmelised.
sisendmuutujad – u(t), funktsioon ajast, sõltub ajast ja on ajas muutuv. Kajastab välist toimet 
süsteemile, orienteeritud süsteemis on sõltumatu süsteemist.
Olekumuutujad – x(t), olekumuutja ehk mis toimub protsessis. Kajastavad süsteemisiseseid 
akumulatsioone, vahetult mõõdetavad olekumuutjuad võivad samal ajal olla ka väljunditeks. 
Olekumuutujate kogum määrab täielikult ära süsteemi oleku. Olekumuutujate koguarvu nimetatakse 
süsteemi järguks.
Väljundmuutujad – y(t),  sõltub sisendist ja siseolekust. Esitavad süsteemi reaktsiooni sisenditele ja 
on süsteemis otseselt kättesaadavad.


Millest sõltub süsteemi käitumine: Süsteemi käitumine sõltub süsteemi parameetrite muutumisest. 
Mida tundlikum süsteem seda rohkem mõjutavad parameetrite muutumised süsteemi käitumist. 
Süsteemi väljund sõltub sisendist ja süsteemi algväärtusest ehk kuidas mõjutab sisend süsteemi 
olekuid ja need omakorda väljundit. Lisaks on olemas ka häiringud ehk sisendid süsteemil, mis on 
enamasti juhusliku iseloomuga ning mõjutavad/häirivad süsteemi käitumist, kontrollimatult ja 
tundmatu algupäraga. Ka häiringu rakenduskoht süsteemis on tihti ebaselga. Häiringuid saab 
käsitleda väljundsignaali tundmatu komponendina, ei ole mõõdetavad.
Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon ajast, statsionaarse puhul mitte.
Kui igale sisendile vastab sama väljund, siis süsteem on staatiline ehk samale sisendile pannakse 
vastu konkreetne väljund, (väga aeglaselt muutuvate olekutega süsteem). Väljund sõltub ka sellest 
olekust, mis tal on või oli ja siis on protsess dünaamiline (muutuvad ajas).
Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine: Süsteemi matemaatiline mudel on süsteemis 
toimivate füüsikaliste või muu päritoluga protsesside seaduspärasuste alusel koostatud 
matemaatiliste seoste (võrrandite) kogum, mis orienteeritud süsteemi puhul seob oleku- ja 
väljundmuutujaid sõltumatute sisendmuutujatega, võimaldades arvutada süsteemis toimuvaid ajalisi 
protsesse. Enamasti matemaatiline mudel esitatakse süsteemi ja ülekande iseloomule sobivas 
kokkuleppeliselt standardses vormis. Matemaatilise mudeli kirjeldamiseks tuleb iga muutuja jaoks 
valida sobiv mõõtühik, mille kaudu saadakse nii muutujate kui ka parameetrite arvulised väärtused. 
Vatavate füüsikaliste suuruste põhiühikute kasutamine pole vajalik, oluline on vaid võrrandites 
kasutatavate muutujate ühikute kooskõla. Süsteemi matemaatilised mudelid võimaldavad loodava 
süsteemi omadusi nii teoreetiliselt kui ka arvutuslikult uurida.
Algolek ja selle sisu: Algolek on süsteemi muutujate või parameetrite teadaolevad väärtused 
analüüsi alghetkel, ajahetkel t = 0. Süsteemi olekut võib võrrelda mäluga, siis tähendab see, et 
süsteemi algolek sisaldab tema minevikku iseloomustavat informatsiooni. Kui väljundmuutuja ühtib 
olekumuutujaga kirjeldatakse mittenullist olekut väljundmuutuja algväärtusega.
Dünaamiline süsteem: Süsteem, milles võivad nii süsteemi elemendid kui ka karakteristikud 
ajaliselt muutuda (siirdeprotsessid) ehk aeg on üheks süsteemi mudeli muutujaks. Dünaamilise 
süsteemi mudel seob muutujate väärtusi erinevatel ajahetkedel või muutujate tuletisi. Kõik 
süsteemid on põhimõtteliselt dünaamilised (muutuvad).
Pidev- ja diskreetaja süsteemid: pidevajasüsteemil on ajalised protsessid määratud kõigil, ka 
lõpmata lähedastel ajahetkedel. Muutujate väärtused on määratud iga reaalarvulise ajahetke jaoks, 
seega aeg on pidevalt ja sõltumatult muutuv argument. Reaalsed süsteemid on pidevad. Igas 
protsessis pidevajasüsteemide puhul, muutub väljund pidevalt ja süsteemi väärtus mingil ajahetkel 
on välja arvutatav.
Diskreetaja süsteem (diskreetne ehk tükiti). Süsteemi käitumist iseloomustavate muutujate 
hetkväärtused (diskreedid) on määratud ainult teatavatel isoleeritud ajahetkedel, muud 
(vahepealsed) ajahetked loetakse süsteemi jaoks mitteeksisteerivaiks. Sageli diskreetsed ajahetked 
erinevad võrdse ajaintervalli võrra, mida tavaliselt nimetatakse taktiks ehk taktikestuseks (aeg 
mõõdetakse taktides, väärtused kindlal ajal mõõdetud, mis vahepeal toimub ei tea) ning ajahetki 
taktihetkedeks. Enamik tehnilisi süsteeme on diskreetsed, diskreetne signaal on arvude jada. Dünaamiliste süsteemide modelleerimine. Milliseid mudeleid kasutatakse lineaarsete 
statsionaarsete pidevaja süsteemide kirjeldamisel? Algolekud – nullised ja mittenullised. 
Avage nende sisu. Millistel tingimustel ja eeldustel on pidevaja süsteem esitatav ekvivalentse 
diskreetaja süsteemina? Avage probleemi olemus ja tähtsus süsteemiteooria seisukohalt.
Dünaamiliste süsteemide modelleerimine: Modelleerimisel tehakse kindlaks vajalik sisendite arv 
ning sisendite seos väljunditega. Süsteemi matemaatilise mudeli liigid:
1.Algebralised, seovad omavahel muutujate iga ajahetke väärtusi.
2. Diferentsiaalvõrrandid, seovad muutujaid kirjeldavaid ajafunktsioone.
3. Lineaarsed võrrandid, võivad sisaldada liikmetena vaid muutujaid esimeses astmes, muutujate 
korrutisi konstantsete või ajast sõltuvate parameetritega ning liikmete summat ja vahet.
4. Mittelineaarsed ehk kõik mis ei ole lineaarsed.


5. Abstraktne süsteem on konkreetsete süsteemimudelite ekvivalentsiklassi ühtne esindaja, milles on 
säilitatud matemaatilised funktsionaalsed seosed ja võrrandid, kuid on kõrvaldatud muutujate ja 
parameetrite füüsikaline või muu päritolu ning mõõtühikud. Abstraktset süsteemimudelit kasutades 
on lihtne käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht-
matemaatiliste ülesannetena. Kui abstraktset mudelit ei saa realiseerida konkreetse süsteemina, siis 
peab formuleerima sellised piirangud või lisatingimused, mis tagaks mudeli realiseeritavuse. Mudeli 
koostamise ehk modelleerimise eesmärk on lihtsad mudelid, mis kindlustavad vajaliku täpsuse. 
Peavad olema algtingimused, sisend, vä.
Kui p=const, siis on statsionaarne süsteem;
kui on p(t) ehk funktsioon ajast, siis on mittestatsionaarne süsteem.
Reaalne süsteem —> (modelleerimine) —> Mudel —> (realiseerimine) —> Reaalne süsteem. 
Väljund on sisendist sõltuv, sisendmuutuja aga ei sõltu süsteemist.
Milliseid mudeleid kasutatakse lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide kirjeldamisel? Nt. 
Ühe sisendi ja ühe väljundiga süsteemi matemaatiline mudel, mis väljendab süsteemi sisend-ja 
väljundmuutujate otsest seost. Tüüpiline ühe sisendmuutujaga u(t) ja väljundmuutujaga y(t) 
lineaarse süsteemi mudel on kirjeldatav diferentsiaalvõrrandiga. Statsionaarse süsteemi analüüsi 
võib alustada meelevaldsest ajahetkest t0 (lugeda seda null-ajahetkeks). Väljundmuutuja ajaline 
käitumine leitakse diferentsiaalvõrrandi lahendamisel etteantud sisendmuutuja korral. 
Algtingimused, mis väljendavad süsteemisiseseid akumulatsioone, peavad olema fikseeritud, et 
saada üheselt määratud lahendit. Alghetkel sisemised akumulatsioonid peavad alati puuduma. Seega 
algtingimused väljenduvad kujul: y(0)=0; dy(0)/dt=0; d2y(0)/dt2=0; … ; dn-1y(0)/dtn-1=0 Tulemusena 
on väljundmuutuja y(t) üheselt määratud sisendmuutujaga u(t) y(t)=H(u(t)), kus H tähistab süsteemi 
ülekandeoperaatorit.
Algolekud – nullised ja mittenullised. Avage nende sisu: Algtingimused on süsteemi muutujate või 
parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel.
Nullised algolekud, teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0, pole 
reaktsiooni väljundis üheselt määratud. Põhjuseks on süsteemi akumulatsiooni toime, mis on 
põhjustatud võimalikest protsessidest enne ajahteke t0. Sõltuvus ainult sisendsignaalist tekib, siis 
kui hetkel t0 süsteemisisene akumulatsioon puudub täielikult, sellisel juhul on tegemist nullise 
algtingimusega. Nulliste algtingimuste juures saab kasutada ülekandemudelit ja ülekandefunktsioon 
on siis süsteemi karakteristik. Nullistel algtingimustel ei ole teada mida süsteem enne teinud on.
Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut 
kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega.
Millistel tingimustel ja eeldustel on pidevaja süsteem esitatav ekvivalentse diskreetaja süsteemina? 
Avage probleemi olemus ja tähtsus süsteemiteooria seisukohalt: Eeldame,et nii sisend kui ka 
väljundi muundurid toimivad sama taktiperioodiga T. Sel puhul toimib süsteemi U[k] ja  Y[k] 
suhtes normaalse diskreetaja süstemina. Süsteemi omadustele avaldab olulist mõju diskreetse 
sisendsignaali pidevaks muundamise viis. Eeldame,et see toimub signaali taseme fikseerimisega  takti ulatuses nii nagu näha joonisel    tingimus: peab kehtima X[k+1]=FX[k]+GU[k] nõudes ,et mõlemad mudelid peavad andma 
taktihetkedel identseid muutujate väärtusi, jõuame tingimuseni F=eAT  GU[k]= tk+Ttk∫eaτBU(T-τ)d 
τ=0T∫eA τBU(T- τ)d τ teisendus viimases avaldises tuleneb sellest, et integreeriv suurus ei sõltu 
statsionaarsuse tõttu Tk väärtusest, seepärast võib tk=0. Kui pidevaja süsteemi sisendsignaal on 
takti kestel joonisele 4.2 vastavalt konstantne, siis saame GU[k]= T0∫eaτBd τU(k) millest G=∫eaτdτB, 
kui detA pole 0 siis on G arvutatav valemiga G=A-1(eAT-E)B Eelnevast analüüsist selgub asjaolu, et 
diskreetsignaaalilt analoogsignaalile üleminekul peame täpsustama signaali muutumisviisi takti 
ulatuses, millega me lisame mudelile uut informatsiooni. Selle tulemusena varieeruvad mingil 


määral ka süsteemi mudeli omadused. Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi sisend-väljund mudelid.Ülekandefunktsioon. 
Ülekandefunktsiooni realiseeritavus. Siirdeprotsessid ja nende arvutamine. Impulss- ja 
hüppekajad. Hilistumine pidevaja süsteemides. Mitmemõõtmeliste statsionaarsete pidevaaja 
süsteemi sisend-väljund mudelid.
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi sisend-väljund mudelid: Lineaarse statsionaarse pidevaja 
süsteemi sisend-väljund mudelid kirjeldavad signaalide ülekannet. Näiteks ülekandefunktsioon, 
impulsskaja, hüppekaja ja sageduskarakteristik. Ülekandemudel ehk sisend-väljundmudel kajastab 
süsteemi sisend- ja valjundmuutujate otsest seost, kui süsteemimudel on teada, saab arvutada kuidas 
süsteem reageerib erinevatele sisenditele. Ühe sisendmuutuja u(t) ja väljundmuutujaga y(t) lineaarse 
süsteemi matemaatiline mudel on kirjeldatav diferentsiaalvõrrandiga, mille koefitsente võib 
käsitleda süsteemi parameetritena Y(s)=H(s)U(s). Süsteemi statsionaarsus väljendub kõigi 
koefitsentide konstantsusena. Statsionaarse süsteemi analüüsi võib alati alustada meelevaldsest 
ajahetkest to ning lugeda seda edasiselt nullajahetkeks. Väljundmuutuja ajaline käitumine leitakse 
diferentsiaalvõrrandi lahendamisel etteantud (süsteemist mittesõltuva) sisendmuutuja korral. 
Üheselt määratud lahendi saamiseks peavad olema fikseeritud algtingimused, mis sisuliselt 
väljendavad süsteemisiseseid akumulatsioone. Kokkuleppeliselt ülekandemudeli korral, peavad 
alghetkel sisemised akumulatsioonid alati puuduma. Tulemusena on väljundmuutuja y(t) üheselt 
määratud sisendmuutujaga u(t).
Ülekandefunktsioon: Ülekandefunktsioon ehk ülekandemudel, näitab kuidas on sisend ja väljund 
omavahel seotud ehk sisend-väljund mudel iseloomustab süsteemi nullistel algtingimustel, selle abil 
saab aruvtada kuidas süsteem reageerib erinevatele sisenditele. Ülekandefunktsioon on orienteeritud 
lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. Määratakse väljund- ja sisendsuuruste 
operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Pidevaja 
süsteemide puhul kasutatakse Laplace'i teisendust, diskreetaja süsteemidel aga z-teisendust. 
Koondparameetrilistel süsteemidel väljendub ülekandefunktsioon tavaliselt polünoomide suhtena. 
Nimetaja polünoomi nullkohad on süsteemi poolusteks ja ühtivad süsteemi omaväärtustega.
Ülekandefunktsiooni realiseeritavus: Ülekandefunktsioon on realiseeritav kui nullide arv ei ületa 
pooluste arvu: n > m. Tingimus peab olema täidetud iga ploki kohta.
Siirdeprotsessid ja nende arvutamine:  Siirdeprotsessid on muutuvates tingimustes toimuvad 
dünaamilised protsessid süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene 
akumulatsioon olekumuutujate algväärtuste näol analüüsi alghetkel. Stabiilses süsteemis lõpeb 
siirdeprotsess teatava püsireziimiga, mittestabiilses süsteemis võivad muutujad kasvada piiramatult. 
Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest 
tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa 
(superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi 
Y(s)=H(s)U(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) 
leitakse kujutis U(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Seejärel leitakse väljundmuutuja kujutis nt 
osamurdudeks lahutamise teel. Originaalile üleminek toimub Y(s)'i nö tagasiteisendamisega y(t)-ks  
Laplace'i teisenduste abil.
Impulss- ja hüppekajad: Süsteemi karakteristikud on testsignaalid, mille tulemusena saame süsteemi 
reaktsioonid kahele teadaolevale signaalile, milleks on hüppekaja ja impulsskaja:
Hüppekaja g(t) – reaktsioon ühikhüppelisele sisendile: u(t) = 1(t) (1 kui t >=0 ja 0 kui t < 0) ehk 
hüpe mis tekib kohe alghetkel, see on konstantne sisend. H(s) on teada, kui süsteem hakkab 
konstantsele sisendile kuidagi reageerima ehk süsteemi reaktsioon (sisend ja väljund mis sellele 
reageerib) konstantsele sisendile ongi hüppekaja. Hüppekaja on impulsskaja tuletis. Hüppekaja on 
orienteeritud süsteemi reaktsioon (väljundsignaal) sisendisse nullajahetkel antud 
ühikhüppesignaalile 1(t) muutujate nullistel algtingimustel. Kasutatakse lineaarse süsteemi 
dünaamiliste omaduste iseloomustamiseks ühena ülekandekarakteristikutest. On küllalt täpselt 
määratav eksperimendi abil.
Impulsskaja h(t) – süsteemi reaktsioon delta-impulsile. Delta-impulss on signaal, mille väärtus on 


lõpmatus kui argument t = 0 ning samal ajal selle impulsi pindala lõpmata väikeses ümbruses on 1 
(sellist signaali reaalselt ei ole olemas, vaid on olemas sellele ligilähedased impulsid) ja 0 kui t ei 
ole võrdne 0. Lühiajalised impulsid tekivad alghetkel, mida lühem on impulss seda parem. 
Põhimõtteliselt on selle impulsi näol tegemist löögiga ehk impulsskaja on süsteemi reaktsioon 
löögile. Impulsskaja on hüppekaja tuletis. Impulsskaja on orienteeritud süsteemi reaktsioon 
väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss. Impulsskaja kasutatakse 
lineaarse süsteemi dünaamiliste omaduste iseloomustajana (ülekandekarakteristikuna). Küllalt 
lühikese impulsi kasutamisel sisendis piisavalt täpselt eksperimentaalselt mõõdetav. 
Hilistumine pidevaja süsteemides: Süsteemil võib olla hilistumine, mis on leitav hüppekajast. Sel 
juhul süsteem ei reageeri kohe vaid mingi aja pärast (nt sisend tuleb sisse teisel sekundil, aga 
reaktsioon algab kolmandal sekundil). Kui süsteem reageerib sisendile kohe, ei ole tegemist 
hilistumisega. Reaalses süsteemis toimuvad hilistumised, mis on seotud intertsiga. Hilistumine on 
signaalide lõplikust levimiskiiruse või muude põhjuste tõttu tekkiv nähtus, milles  signaali 
hetkväärtused võivad reaalse süsteemi eri ruumipunktides omada kindlat ajanihet (hilistumisaega). 
Süsteemi mudelis kajastatakse seda ajaargumendi nihutamisega konstantse hilistumisaja võrra. 
Reaalses süsteemis saab esineda vaid väljundsignaali hilistumine. Sama signaali edastamisest 
tulenevat hilistumist nimetatakse mõnikord ka transporthilistumiseks. Teatud juhtudel võib kasutada 
ekvivalentset hilistumisaega aeglaselt muutuva siirdeprotsessi aproksimeerimiseks.
Mitmemõõtmeliste statsionaarsete pidevaaja süsteemi sisend-väljund mudelid: Mitmemõõtmelises 
süsteemis on sisendeid ja väljundeid rohkem kui üks. Lihtsatest süsteemidest on võimalik 
moodustada (soovitud omadustega) kerukaid süsteeme. Tüüpiline mitme sisendmuutuja u(t) ja 
väljundmuutujaga y(t) lineaarse süsteemi matemaatiline mudel on kirjeldatav 
diferentsiaalvõrrandite süsteemiga Y(s)=H(s)U(s). Kaks järjestikühenduses süsteemi on 
samaväärsed ühe süsteemiga, mille ülekandefunktsioon on võrdne kummagi ülekandefunktsiooni 
korrutisega. Süsteemide paralleelühendusel on mõlemal sisendmuutuja sama ja väljundmuutujad 
liidetakse. Seega on paralleelselt ühendatud süsteemide resulteeriv ülekandefunktsioon võrdne 
ülekandefunktsioonide summaga. Mitteparalleelse ehk tagasiühenduse puhul on resulteeriv  
ülekandefunktsioon märksa keerukamalt seotud osasüsteemide ülekandefunktsioonidega. 
Tagasiühendus omab ka mitmeid eripäraseid omadusi, mis eelnevatel ühendustel puuduvad (nt 
võivad muutuda süsteemi omadused – nt kiiremaks, kasutatakse, et saada soovitud omadustega 
süsteem).
Järjestik- ja paralleelühendused ei muuda süsteemi pooluste pigutust. Tagasisideühendusega on aga 
võimalik muuta süsteemi pooluste paigusust, st. Luua soovitud omadustega süsteem. Tavaliselt 
kasutatakse negatiivset tagasisidet (sumbub). Positiivse tagasiside korral muutub süsteem 
ebastabiilseks.
Ülekandefunktsioon on täielikult määratud kui teame kõiki poolusi, nulle ning ühte arvtegurit. Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs. L–teisendus. Piirväärtusteoreemid. 
Ülekandefunktsioon. Ülekandemaatriks. Realiseeritavus ja hilistumine pidevaja süsteemides. 
Siirdeprotsesside arvutus. Hüppe- ja impulsskajad. Hüppe- ja impulsskajade maatriksid. 
Kuidas on võimalik ülekandemudelite põhisel analüüsil arvestada mittenullist algolekut?
Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs: Vaadeldakse süsteemi täielikult juhitavat ja 
ja jälgitavat osa. Kasutades olekumudelit tehakse ülekandemudel, mille abil leitakse süsteemi 
väljundsignaali kujutis ja sellest saadakse Laplace’i  teisendusega väljundsignaali väärtus.
L–teisendus: Selleks, et ei peaks differentsiaalvõrrandeid lahendama, kasutame Laplace'i teisendusi. 
Igale funktsioonile (muutjuale) ehk originaalile pannakse vastavusse kujutis x(t) <->X(s), kusjuures 
kujutiste argument on kompleksmuutuja s = σ + jω ehk operaatorimuutuja.. Laplace'i integraalne 
teisendusvalem loob üksühese vastavuse originaalfunktsioonide ja kujutisfunktsioonide vahel. 
Ax1(t)+ bx2(t) <-> aX1(s)+bX2(s) mis tähendab,et Laplace’i teisendus on lineaarne 
integraalteisendus, mis arvestab x(t) hetkväärtusi kogu aja intervallis [0, lõpmatus]. Laplace’i 
teisendusi tehakse spetsiaalse tabeli abil.
Piirväärtusteoreemid: Piirväärtusteoreemid fikseerivad vastavuste asemel piirväärtuste võrdsused  


lim x(t) t läheneb 0 = lim sX(s) s läheneb lõpmatusele ja lim x(t) t läheneb lõpmatusele = lim sX(s) 
s läheneb 0. Neid kasutatakse süsteemis alghetkel tekkida võivate hüppeliste muutuste 
kindlakstegemisel (t => +0 tähendab piirväärtust alghetkel positiivsete ajamomentide poolelt tulles 
pärast hüpet, kui see hetkel t = 0 esineb) samuti originaalfunktsiooni väärtuse leidmisel aja 
piiramatul kasvamisel. Kehtivad vaid stabiilsete süsteemide korral.
Ülekandefunktsioon: Ülekandefunktsioon on orienteeritud lineaarse süsteemi ülekandemudeli 
põhikarakteristik ja määratakse väljund- ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud 
süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Pidevaja süsteemide puhul kasutatakse Laplace'i 
teisendust, diskreetaja süsteemidel aga z-teisendust. Koondparameetrilistel süsteemidel väljendub 
ülekandefunktsioon tavaliselt polünoomide suhtena. Nimetaja polünoomi nullkohad on süsteemi 
poolusteks ja ühtivad süsteemi omaväärtustega.
Ülekandemaatriks: Maatriks on m * r mõõtudega, kus m on sisendite arv (ridade arv 
väljundmaatriksis) ja r on väljundite arv (ridade arv väljundmaatriksis). kasutatakse SIMO 
(SingelInput / MultiOutput), MISO (Multilnput / SingelOutput), MIMO (Multilnput / MultiOutput) 
süsteemi korral.
Realiseeritavus ja hilistumine pidevaja süsteemides: Ülekandefunktsioon on täielikult määratud kui 
teame kõiki poolusi ja nulle ning ühte arvtegurit. Seejuures osutub, et nullide arv m ei saa kunagi 
ületada pooluste arvu n. Tingimust nimetatakse ülekandefunktsiooni realiseeritavuse või 
võimalikkuse tingimuseks.
Süsteemil võib olla hilistumine, mis on leitav hüppekajast. Sel juhul süsteem ei reageeri kohe vaid 
mingi aja pärast (nt sisend tuleb sisse teisel sekundil, aga reaktsioon algab kolmandal sekundil). Kui 
süsteem reageerib sisendile kohe, ei ole tegemist hilistumisega. Reaalses süsteemis toimuvad 
hilistumised, mis on seotud intertsiga. Hilistumine on signaalide lõplikust levimiskiiruse või muude 
põhjuste tõttu tekkiv nähtus, milles  signaali hetkväärtused võivad reaalse süsteemi eri 
ruumipunktides omada kindlat ajanihet (hilistumisaega). Süsteemi mudelis kajastatakse seda 
ajaargumendi nihutamisega konstantse hilistumisaja võrra. Reaalses süsteemis saab esineda vaid 
väljundsignaali hilistumine. Sama signaali edastamisest tulenevat hilistumist nimetatakse mõnikord 
ka transporthilistumiseks. Teatud juhtudel võib kasutada ekvivalentset hilistumisaega aeglaselt 
muutuva siirdeprotsessi aproksimeerimiseks. Süsteemi hilistumine on nähtus, mis avaldub selles, et 
süsteemi väljund teatud hetkel sõltub ainuüksi sisendi vähemalt t (hilistumisaeg) võrra varasematest 
hetkväärtustest. Lihtsaim hilistuv süsteem kordab väljundis sisendit täpselt konstantse 
hilistumisajaga t. Reaalses süsteemis saab esineda vaid väljundsignaali hilistumine. Pidevaja 
süsteemide realiseeritavuse eelduseks on m<=n ehk ülekandefunktsiooni lugeja järk peab olema 
väiksem-võrdne ülekandefunktsiooni nimetaja järgust.
Siirdeprotsesside arvutus: Siirdeprotsessid on muutuvates tingimustes toimuvad dünaamilised 
protsessid süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene 
akumulatsioon olekumuutujate algväärtuste näol analüüsi alghetkel. Stabiilses süsteemis lõpeb 
siirdeprotsess teatava püsireziimiga, mittestabiilses süsteemis võivad muutujad kasvada piiramatult. 
Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest 
tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa 
(superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi 
Y(s)=H(s)U(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) 
leitakse kujutis U(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Seejärel leitakse väljundmuutuja kujutis nt 
osamurdudeks lahutamise teel. Originaalile üleminek toimub Y(s)'i nö tagasiteisendamisega y(t)-ks  
Laplace'i teisenduste abil. Siirdeprotsessid süsteemis tekivad teatava sisendsignaali rakendamisel 
süsteemi sisendis.
Hüppe- ja impulsskajad: Süsteemi karakteristikud on testsignaalid, mille tulemusena saame 
süsteemi reaktsioonid kahele teadaolevale signaalile, milleks on hüppekaja ja impulsskaja:
Hüppekaja g(t) – reaktsioon ühikhüppelisele sisendile: u(t) = 1(t) (1 kui t >=0 ja 0 kui t < 0) ehk 
hüpe mis tekib kohe alghetkel, see on konstantne sisend. H(s) on teada, kui süsteem hakkab 
konstantsele sisendile kuidagi reageerima ehk süsteemi reaktsioon (sisend ja väljund mis sellele 
reageerib) konstantsele sisendile ongi hüppekaja. Hüppekaja on impulsskaja tuletis. Hüppekaja on 


orienteeritud süsteemi reaktsioon (väljundsignaal) sisendisse nullajahetkel antud 
ühikhüppesignaalile 1(t) muutujate nullistel algtingimustel. Kasutatakse lineaarse süsteemi 
dünaamiliste omaduste iseloomustamiseks ühena ülekandekarakteristikutest. On küllalt täpselt 
määratav eksperimendi abil.
Impulsskaja h(t) – süsteemi reaktsioon delta-impulsile. Delta-impulss on signaal, mille väärtus on 
lõpmatus kui argument t = 0 ning samal ajal selle impulsi pindala lõpmata väikeses ümbruses on 1 
(sellist signaali reaalselt ei ole olemas, vaid on olemas sellele ligilähedased impulsid) ja 0 kui t ei 
ole võrdne 0. Lühiajalised impulsid tekivad alghetkel, mida lühem on impulss seda parem. 
Põhimõtteliselt on selle impulsi näol tegemist löögiga ehk impulsskaja on süsteemi reaktsioon 
löögile. Impulsskaja on hüppekaja tuletis. Impulsskaja on orienteeritud süsteemi reaktsioon 
väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss. Impulsskaja kasutatakse 
lineaarse süsteemi dünaamiliste omaduste iseloomustajana (ülekandekarakteristikuna). Küllalt 
lühikese impulsi kasutamisel sisendis piisavalt täpselt eksperimentaalselt mõõdetav.
Hüppe- ja impulsskajade maatriksid:Impulsskajade maatriks ( σ(t) tähendab impulskajade vektorit) 
H(t)=CeAt B+Dσ(t) 
Hüppekajade maatriks G(t)=CA-1(eAt-E)B+D Impulsskaja maatriks on saadud üleminekuga 
operaatorkujutiselt originaalidele, hüppekaja maatriks aga integreerimise tulemusena.
Kuidas on võimalik ülekandemudelite põhisel analüüsil arvestada mittenullist algolekut? 
Algtingimused on süsteemi muutujate või parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel.
Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut 
kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega.
Sisendi ja väljundi omavahelisi seoseid diskreetaja süsteemis kirjeldab n-ndat järku 
diferentsiaalvõrrand. Kui diferentsiaalvõrrand on n-ndat järku, siis öeldakse, et süsteem on n-ndat 
järku. Lähtudes funktsioonist, on võimalik süsteemi täielikult analüüsida ning arvutada 
siirdeprotsessid ka mittenulliste algtingimuste puhul. n-dat järku diferentsiaalvõrrandi 
lahendamiseks on vaja n algolekut. Kui meil on lineaarne funktsioon, siis diferentsiaalvõrrandi 
poolt kirjeldav süsteem on lineaarne n-ndat järku pidevaja süsteem.
n-ndat järku diferentsiaalvõrrand on esitatav ka n esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi 
abil. Süsteemi kirjeldav mudel jaguneb kaheks osaks. Süsteemi sisend tekitab sundliikumist ning 
vabaliikumine on põhjustatud mittenulliste algtingimuste poolt (y(0) ≠ 0 ja x(0) ≠ 0). Sundliikumise 
Laplace’i teisendus on ülekandefunktsioon korda sisendi Laplac’i teisendus: Ys(s) = H (s)   U(s).  ⋅ Kui algtingimused on mittenullised, siis tekib vabaliikumine. Stabiilsus ja süsteemide käitumine. Vabaliikumine. Sundliikumine. Tasakaaluolek. Ljapunovi 
stabiilsus üldjuhul ja lineaarsete süsteemides. Stabiilsuse määramine pidev- ja diskreetaja 
süsteemides. Kas süsteem diskreetimise tulemusena võib muutuda mittejuhitavaks või 
mittejälgitavaks? Selgitage. Stabiilsuse seos juhitavuse ja jälgitavusega.
Stabiilsus ja süsteemide käitumine: Süsteemi stabiilsus näitab, kas süsteemi siseolekud, kui sisend 
puudub (või on võrdne nulliga) ja süsteemi algolek erineb tasakaaluolekust, lähevad teatud 
tasakaaluolekusse või mitte. Stabiilsus on süsteemi omadus säilitada väikeste häiringute korral 
piisav lähedus endisele (häiringueelsele) dünaamilisele reziimile. Eristatakse tasakaaluoleku, 
liikumistrajektoori, liikumisorbiidi, isevõnkumisprotsessi ja struktuuri stabiilsusi.Üldisemaks 
loetakse Ljapunovi stabiilsuskontseptsiooni, mis tugineb liikumisprotsessi stabiilsusel. Laiemalt on 
tuntud ka minimaalse siseenergia printsiibile tuginev Lagrange stabiilsuskontseptsioon, samuti 
"tõkestatud sisendi - tõkestatud väljundi" kontseptsioon, mille kohaselt süsteem on stabiilne, kui 
mistahes tõkestatud sisend tekitab tõkestatud väljundi. Teatud kitsendustel on enamik 
stabiilsuskontseptsioone ekvivalentsed (vähemalt omavad ühisosa). Stabiilsus määrab tavaliselt 
teatava süsteemi praktilise kasutusvõimalikkuse. Süsteemide dünaamika (siirdeprotsesside) üldised 
vormid ja iseärasused, süsteemi reaktsioon välistoimetele (nii sihipärastele kui ka häiringutele), 
süsteemide põhilised dünaamilised omadused (stabiilsus, juhitavus, jälgitavus, statsionaarsus jne). 
Siia kuuluvad ka muutused süsteemi käitumises, mida põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt 
väikesed) muutused (tundlikkus). Süsteemi stabiilsust saab määrata karakteristliku polünoomiga. Et 


süsteem oleks stabiilne, peavad poolused paiknema ühikringi sees. Ka piirväärtusteoreeme võib 
kasutada ainult stabiilsete süsteemide puhul.
Vabaliikumine: Põhjustatud mittenulliste algtingimuste poolt (y( 0) ≠ 0 ja x(0) ≠ 0). Vabaliikumine 
näitab süsteemi väljundi sõltuvust algtingimustest. Vabaliikumine ei ole mõjutatav, sõltub 
algolekust x(0), tavaliselt sumbuv. Kui ei sumbu on süsteem ebastabiilne.
Sundliikumine: Sundliikumine ehk sunnitud liikumine näitab, kuidas süsteemi sisend mõjutab tema 
väljundit. Sõltub sisendist u(t).
Tasakaaluolek: Tasakaaluolek on süsteemi püsiolek nulliste sisendmuutujate korral (kõik 
olekumuutujad on konstantsed). Lineaarse süsteemi ainus tasakaaluolek on määratud ainuüksi 
süsteemi omadustega. Mittelineaarne süsteem võib omada ka palju tasakaaluolekuid, kuid need 
võivad ka täiesti puududa. Iga tasakaaluolek võib olla nii stabiilne kui ka mittestabiilne. Stabiilsust 
määratakse süsteemi mudeli lineaarse lähendiga tasakaaluoleku lähikonnas.
Ljapunovi stabiilsus üldjuhul ja lineaarsete süsteemides: A.Ljapunovi poolt esitatud 
stabiilsuskontseptsioon põhineb häiritud ja häirimata liikumiste (üldises mõttes nii tasakaalu kui ka 
ajaliste muutumisprotsesside) võrdlemisel. Süsteem on Ljapunovi mõttes stabiilne, kui alghetkel 
olnud häiringu põhjustatud edasine häiritud liikumine püsib mistahes järgneval ajahetkel häirimata 
liikumise teatavas (kuitahes lähedases) lähikonnas, mille piire saab häiringust sõltuvana ette 
määrata. Asümptootilise stabiilsuse korral naaseb häiritud liikumine asümptootiliselt häirimata 
liikumise trajektoorile. Üldjuhul on Ljapunovi stabiilsus laiem, hõlmates ka labiilse tasakaalu (või 
sellele vastava liikumise) piirjuhtumi. Ljapunovi stabiilsuse kriteeriumid sõltuvad stabiilsuse liigist 
ja süsteemi omadustest. Tasakaalupunkti määramisel lähtutakse sellest, et stabiilsuse definitsioonis 
sisalduv häirituse piirkond võib olla lõpmatu väike tasakaalupunkti ümbruses. Kui selles piirkonnas 
arendada olekuvõrrandite funktsioonid Taylor'i ritta tasakaalupunkti ümbruses, saame stabiilsuse 
üldjuhu, (valemi esimene liige tasakaalupunktis peab olema null ning jääkliiget tuleb lugeda 
tühiseks) mille kaudu saame lineariseeritud süsteemi valemi.
Stabiilsuse määramine pidev- ja diskreetaja süsteemides: Pidevaja puhul: det[sE-A]=0  E on s 
omaväärtused. Kui s < 0, siis on süsteem stabiilne. Kui s > 0, on süsteem mittestabiilne. Diskreetaja 
puhul: det[zE-Ad]=0  E on z omaväärtused Kui |z| < l, on süsteem stabiilne. Kui |z| > l, siis on 
süsteem mittestabiilne.
Kas süsteem diskreetimise tulemusena võib muutuda mittejuhitavaks või mittejälgitavaks? 
Selgitage: Süsteemi diskreetimise tulemusena võib süsteem muutuda mittejuhitavaks ja 
mittejälgitavaks kui takt T valitakse liiga suur. T peab olema nii väike, et kajastuksid kõik süsteemis 
toimuvad muutused Mitme signaali puhul tuleb takt T valide kõige kiiremini muutuva signaali järgi. 
Stabiilsuse seos juhitavuse ja jälgitavusega: Ülekandemudeli puhul saab stabiilsust kontrollida juhul 
kui süsteem on täielikult juhitav ja jälgitav. Stabiilsusega on määratud süsteemi käitumine. 
Juhitavus näitab, kas süsteemi saab viia etteantud olekusse suvalisest algolekust lõpliku aja jooksul. 
Jälgitavus näitab, kas on võimalik määrata kõikide süsteemi olekute väärtused lõpliku aja jooksul, 
kui on teada ainult sisendi ja väljundi väärtused. Süsteemide kompositsioon pidevaja süsteemide näitel: järjestik-, paralleel- ja 
tagasisideühendused. Kuidas muutub või on võimalik muuta süsteemi stabiilsust erinevate 
ühendusviiside puhul. Selgitage detailselt, vajadusel kasutage elementaarseid näiteid.
Süsteemide kompositsioon pidevaja süsteemide näitel: järjestik-, paralleel- ja tagasisideühendused: 
Süsteemide kompositsiooni mõiste tähendab keerukamate süsteemimudelite moodustamist 
lihtsamate süsteemide kokkuühendamise teel. Ühendamise puhul peavad erinevate süsteemide 
teatavad muutujad olema samad või siis moodustub uus muutuja, mis on nende muutujate summa. 
Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustada (soovitud omadustega) kerukaid süsteeme. 
Tüüpiline mitme sisendmuutuja u(t) ja väljundmuutujaga y(t) lineaarse süsteemi matemaatiline 
mudel on kirjeldatav diferentsiaalvõrrandite süsteemiga Y(s)=H(s)U(s).
Kaks järjestikühenduses süsteemi on samaväärsed ühe süsteemiga, mille ülekandefunktsioon on 
võrdne kummagi ülekandefunktsiooni korrutisega.
Süsteemide paralleelühendusel on mõlemal sisendmuutuja sama ja väljundmuutujad liidetakse. 


Seega on paralleelselt ühendatud süsteemide resulteeriv ülekandefunktsioon võrdne 
ülekandefunktsioonide summaga.
Mitteparalleelse ehk tagasiühenduse puhul on resulteeriv ülekandefunktsioon märksa keerukamalt 
seotud osasüsteemide ülekandefunktsioonidega.Tagasiühendus omab ka mitmeid eripäraseid 
omadusi, mis eelnevatel ühendustel puuduvad (nt võivad muutuda süsteemi omadused – nt 
kiiremaks, kasutatakse, et saada soovitud omadustega süsteem).
Järjestik- ja paralleelühendused ei muuda süsteemi pooluste pigutust. Tagasisideühendusega on aga 
võimalik muuta süsteemi pooluste paigusust, st. luua soovitud omadustega süsteem. Tavaliselt 
kasutatakse negatiivset tagasisidet (sumbub). Positiivse tagasiside korral muutub süsteem 
ebastabiilseks. Tagasisideühendusel on võime tekitada kogusüsteemile teistsuguseid omaväärtusi. 
Kui näiteks osasüsteemi dünaamilised omadused meid ei rahulda, siis ühendades külge täiendava 
osasüsteemi võime saavutada kogusüsteemile sobivad omadused. See on süsteemiteooria ja  
-tehnika olulisematest tulemustest. See kinnitab ka printsiipi: keerukas süsteemis on võimalikud 
omadused, mida lihtsamates ei õnnestu realiseerida. Kui väljendada tagasisideühenduse eripära 
olekugraafidele omase tehnoloogia kaudu võime öelda, et tagasisideühendus loob süsteemis 
täiendavaid suletud tuure, mis aga muudavad süsteemi determinanti ja sellega ka omaväärtusi.
Ülekandefunktsioon on täielikult määratud kui teame kõiki poolusi, nulle ning ühte arvtegurit.
Kuidas muutub või on võimalik muuta süsteemi stabiilsust erinevate ühendusviiside puhul Selgitage 
detailselt, vajadusel kasutage elementaarseid näiteid: Järjestikühenduse puhul on stabilsus määratud 
ühendussüsteemi omaväärtustega. Paralleelühenduse puhul on süsteemi stabiilsuseks vajalik 
kummagi osasüsteemi stabiilsus. Positiivse tagasiside korral muutub süsteem ebastabiilseks (lihtne 
ja mõnus näide harjutustunnist vihikus). Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi sisend-väljund mudelid (ehk ülekandemudelid). 
Diskreetne ülekandefunktsioon. Ülekandefunktsiooni realiseeritavus. Siirdeprotsessid ja 
nende arvutamine. Impulss- ja hüppekajad. Hilistumine diskreetaja süsteemides. Lõpliku 
siirdeajaga diskreetaja süsteemid (ehk finiitsed süsteemid).
Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi sisend-väljund mudelid (ehk ülekandemudelid): 
Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. See määratakse 
väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel 
algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust. Enamik tehnilisi süsteeme on 
diskreetsed, aeg mõõdetakse taktides ja väärtused on mõõdetud kindlal ajahetkel. Ei räägita ajast 
vaid takti numbrist. Diskreetse aja puhul on ülekandefunktsioon ühemõõtmelise süsteemi puhul 
H(z)=B(z)/A(z) = y(k)/u(k), kus H(z) on ülekandemaatriks.
Diskreetne ülekandefunktsioon: Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli 
põhikarakteristik. See määratakse väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud 
süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust.
Ülekandefunktsiooni realiseeritavus: Füüsikalise realiseeritavuse tingimused: Aja orienteeritus 
(ajamomentide t hulk  on lineaarselt järjestatud reaalarvude hulk (R)); Muutujate 
reaalarvulisus (kõik  süsteemimuutujad   on   esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja 
funktsioonidena); Põhjuslikkus (mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate 
samadele võivarasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest).
Siirdeprotsessid ja nende arvutamine: Siirdeprotsessid on muutuvates tingimustes toimuvad 
dünaamilised protsessid süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene 
akumulatsioon olekumuutujate algväärtuste näol analüüsi alghetkel. Stabiilses süsteemis lõpeb 
siirdeprotsess teatava püsireziimiga, mittestabiilses süsteemis võivad muutujad kasvada piiramatult. 
Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest 
tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa 
(superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi 
u(k) -> u(z)*H(z) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine.
Impulss- ja hüppekajad: Kui rakendada z-teisendust diskreetaja süsteemi olekuvõrranditele, saame 
nullistel algtingimustel kujutisvõrrandid


x(k+1)=Fx(k)+ Gu(k) -> z -> zX(z)= FX(z)+ GU[(z) ja y(k)=Cx(k)+Du(k) -> z ->Y(z)=CX(z)
+DU(z), millest diskreetsete ülekandefunktsioonide maatriksi avaldis on H(z)=C(zE-F)-1G+D. See 
on analoogiline pidevaja süsteemi vastavale avaldisele. Diskreetaja süsteemide analüüsil on 
võimalik kasutada ülekandekarakteristikuid sarnaselt pidevaja süsteemile - kasutades z-teisendusi 
saame süsteemi väljundis diskreetse hüppekaja g(kT), kui anname süsteemi sisendisse diskreetse 
hüppesignaali 1(kT) -> z -> z/(z-1). Ühikhüppesignaal avaldub avaldises ühikuliste diskreetide 
jadana kõigil taktihetkedel alates k=0. Samas on diskreetse hüppekaja diskreedid  võrdsed sama 
süsteemi pideva hüppekaja taktihetkedele vastavate hetkväärtuste jadaga. Diskreetse impulsskaja 
h(kT) saamiseks tuleb süsteemi sisendisse hetkel k=0 anda üksik ühikuline diskreet, mille väärtus 
vastab impulssi pindalale.
Hilistumine diskreetaja süsteemides: Signaalide lõplikust levimiskiirusest põhjustatuna, aga ka 
muude põhjuste tõttu tekkivat nähtust, mille korral signaali hetkväärtused võivad reaalse süsteemi 
eri ruumipunktides omada kindlat ajanihet, nimetatakse hilistumiseks. Süsteemi mudelis 
kajastatakse seda ajaargumendi nihutamisega konstantse hilistumisaja (Τ) võrra. Reaalses süsteemis 
saab esineda vaid väljundsignaali hilistumine.
Lõpliku siirdeajaga diskreetaja süsteemid (ehk finiitsed süsteemid): Lõplik siirdeprotsess on nullist 
omaväärtust omavas diskreetaja süsteemis ilmnev nähtus, mille korral süsteemi muutuv reaktsioon 
impulss- voi hüppesignaalil sisendis lõpeb täielikult lõpliku arvu töötaktide kestel. Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi olekumudel. Algolek. Olekuvõrrandi 
lahendamine. Vaba- ja sundliikumine. Olekumuutujate lineaarteisendused. Olekumudeli ja 
ülekandemudeli (ehk sisend-väljund mudeli) seosed.
Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi olekumudel: Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-
teisendust. Enamik tehnilisi süsteeme on diskreetsed, aeg mõõdetakse taktides ja väärtused on 
mõõdetud kindlal ajahetkel. Ei räägita ajast vaid takti numbrist. Diskreetse aja puhul on 
olekumudel: x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) ja y(k)=Cx(k), x(0), kus maatriks F ütleb kui palju siseolekuid on 
(alati ruutmaatriks), x(0) on siseolekute väärtused, (k+1) näitab mis toimub järgmisel ajahetkel, k – 
takt (aeg) ning see on alati täisarvuline, G abil saab analüüsida, kas süsteem on juhitav (nt kui 
süsteem on juhitav on võimalik teha tagasisidet, et süsteemi suvalisest olekust viia soovitud 
olekusse ehk süsteemi on vüimalik stabiliseerida) ja C abil saab analüüsida kas süsteem on jälgitav.
Statsionaarne mudel: Kõik parameetrid on konstantsed, ei sõltu ajast. Sellise süsteemi käitumine 
sõltub vaid relatiivsest ajast ning mistahes ajahetke võib lugeda nullhetkeks. Seega võib 
statsionaarse süsteemi analüüsi alati alustada meelevaldsest ajahetkest t0 ning lugeda seda 
nullajahetkeks. Diskreetajasüsteemi käitumine on aga määratud diskreetsetel, isoleeritud 
ajahetkedel, milliseid võib olla lõpmatu, kuid loenduv hulk. Diskreetaja süsteemi olekumudeli 
erinevus pidevajast avaldub eelkõige tuletise mõiste puudumises. Diskreetaja võrrandis esinevate 
funktsioonide muutusi ajas saab kirjeldada diskreetfunktsiooni diferentsi abil: ∆x(k) = x(k+1).
Algolek: Algtingimused on süsteemi muutujate või parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi 
alghetkel.
Nullised algolekud, teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0, pole 
reaktsiooni väljundis üheselt määratud. Põhjuseks on süsteemi akumulatsiooni toime, mis on 
põhjustatud võimalikest protsessidest enne ajahteke t0. Sõltuvus ainult sisendsignaalist tekib, siis 
kui hetkel t0 süsteemisisene akumulatsioon puudub täielikult, sellisel juhul on tegemist nullise 
algtingimusega. Nulliste algtingimuste juures saab kasutada ülekandemudelit ja ülekandefunktsioon 
on siis süsteemi karakteristik. Nullistel algtingimustel ei ole teada mida süsteem enne teinud on.
Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut 
kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega. Statsionaarne mudel: Kõik parameetrid on konstantsed, ei 
sõltu ajast. Sellise süsteemi käitumine sõltub vaid relatiivsest ajast ning mistahes ajahetke võib 
lugeda nullhetkeks. Seega võib statsionaarse süsteemi analüüsi alati alustada meelevaldsest 
ajahetkest t0 ning lugeda seda nullajahetkeks. Diskreetajasüsteemi käitumine on aga määratud 
diskreetsetel, isoleeritud ajahetkedel, milliseid võib olla lõpmatu, kuid loenduv hulk. Diskreetaja 
võrrandis esinevate funktsioonide muutusi ajas saab kirjeldada diskreetfunktsiooni diferentsi abil: 


∆x(k) = x(k+1).
Olekuvõrrandi lahendamine:
Homogeenne võrrand. Vektorvõrrandi (d/dt)X(t)=A(t)X(t)+B(t)U(t) lahendamine olekuvektori X(t) 
suhtes.
1)U(t)=0; (d/dt)X(t)=A(t)X(t)
 X(t)=F(t,t0)X(t0),  mis võimaldab arvutada mistahes X(t) väärtusi tingimusel t > t0. Maatriks-
funktsioon F(t,t0) teisendab oleku X(t0) olekuks X(t), seega ta sõltub kahest ajamuutujast t ja t0.
 2) (d/dt)X(t)=(d/dt)F(t,t0)X(t0)
 (d/dt)F(t,t0)X(t0)=A(t)F(t,t0)X(t0)
(d/dt)Ф(t,to)=A(t)Ф(t,to). Olekusiirdemaatriks peab rahuldama süsteemi homogeenset 
olekuvõrrandit.
3) Teisi olekusiirdefunktsiooni olulisi omadusi: F(t0,t0)=E (ühikmaatriks)
F(t2,t0)=F(t2,t1)*F(t1,t0)
F-1(t2,t1)=F(t1,t2)
Igale süsteemile süsteemimaatriksiga A(t) vastab üheselt määratud olekusiirde-maatriksite hulk, 
määratuna kõikvõimalike ajaintervallide ulatuses. Seega võrrand X(t)=F(t,t0)X(t0) sisaldab 
süsteemi üheselt määrava maatriksfunktsiooni F(t,t0).
Statsionaarse süsteemi homogeense võrrandi lahendamine. Statsionaarse süsteemi põhitunnuseks on 
kõigi tema parameetrite konstantsus ajas. Seetõttu võime säärase süsteemi analüüsil mistahes 
ajahetke võtta ajaskaala nullhetkeks. Tulemusena F(t) osutub ühe ajamuutuja funktsiooniks, kuid 
rahuldab siiski eelmisi tingimusi. (d/dt)F(t)=A(t)
F(t1+t2)=F(t1)F(t2)
F(0)=E
F-1(t)=F(-t). Osutub, et kõiki neid tingimusi rahuldab maatrikseksponent eAt, mida saab esitada 
tavalisele eksponentfunktsioonile analoogilise maatriks-astmereana, mis koondub mistahes 
reaalarvulise t korral.
U(t)=0, x(t)=eAtX(0), ajaliste protsesside iseloomu määravad eksponentfunktsiooni omadused.
Tervikliku olekuvõrrandi lahendamine. Lihtsaim tee lahendi leidmiseks on Laplace 'i teisendus 
X(s)=(sE-A)-1X(0) + (sE-A)-1BU(s). Tingimusel U(s)=0, võime leida maatrikseksponendi 
Laplace'i kujul ehk eAt <-> (sE-A)-1.Olekuvõrrandi kogulahendis on tähelepanuväärne selle 
lahutamine kaheks iseseisvaks osaks
eAt <-> (sE-A)-1.
Vaba- ja sundliikumine:
Vabaliikumine: Põhjustatud mittenulliste algtingimuste poolt (y( 0) ≠ 0 ja x(0) ≠ 0). Vabaliikumine 
näitab süsteemi väljundi sõltuvust algtingimustest. Vabaliikumine ei ole mõjutatav, sõltub 
algolekust x(0), tavaliselt sumbuv. Kui ei sumbu on süsteem ebastabiilne. Vabaliikumise 
arvutamisel võib lähtuda tingimusest U(t)=0, millest tuleneb ka komponendi levinud nimetus 
nullsisendi komponent.
Sundliikumine: Sundliikumine ehk sunnitud liikumine näitab, kuidas süsteemi sisend mõjutab tema 
väljundit. Sõltub sisendist u(t). Võib eeldada nullist algolekut, millest ka nimetus nulloleku 
komponent.
Sisuliselt kajastab komponentide eraldatus lineaarse süsteemi aditiivsusomadust.
Reaktsioon = vabaliikumine + sundiiikumine.
Olekumuutujate lineaarteisendused: On süsteemisisene muutuja, mis kajastab aine, energia, 
vms.akumulatsioonivõimet. Igasugune n muutuja (n on süsteemi järk) kogum, mis on üks-üheses 
vastavuses esialgsete olekumuutujatega, võib olekumuutujaid ekvivalentsena asendada. See 
tähendab, et olekumuutujate vektori X(t) võime asendada sama arvu muutujaid omava vektoriga 
Z(t), kui leidub selline koefitsientide maatriks T sellisena, et X(t)=TZ(t), Z(t)=T-1X(t). Asendades 
X(t) statsionaarseis olekuvõrrandeis: TZ(t)=ATZ(t)+BU(t), Y(t)=CTZ(t)+DU(t). Saame uued 
olekuvõrrandid: vZ(t)=vAZ(t)+vBU(t), Y(t)=vCZ(t)+vDU(t), kus vA=T-1AT, vB=T-1B, vC=CT, 
vD=D. Tulemusena saame teistsuguse olekuvõrrandite kogumi. Kehtivad seosed: det vA=detA ja 
det(sE-vA)= det(sE-A). Süsteemimaatriksitel A ja vA on samad omaväärtused. Olekuvorrandite 


teisendamise peamine eesmark on maksimaalselt lihtsa olekuvõrrandite kuju saamine, kus 
süsteemimaatriks väljenduks diagonaalmaatriksina.
Olekumudeli ja ülekandemudeli (ehk sisend-väljund mudeli) seosed:
Kompositsioon, süntees -> mudelid (olekumudelid ja ülekandemudelid).
Olekumudelid -> "sisend-olek-väljund" -> keerulisem, üldisem (arvutile) -> omaväärtused.
Ülekandemudel ->"sisend-väljund" ->  lihtsamad, praktilisemad (inimesele) ->nullid (lugeja 
polünoomi juured), poolused (nimetaja polünoomi juured). Nullise algoleku korral peab 
olekumudel olema lähedane ülekandemudeliga. Kui võrrandile X(s)=(sE-A)-1X(0)+(sE-A) -1BU(s) 
liita väljundvõrrandi operaatorkujutis Y(s)=CX(s)+DU(s), siis tingimusel X(0)=0 saame avaldise 
H’(s)=C(sE-A)-1B +D, mis esitab maatriksit, mille iga element on teatava
sisendi ja väljundi vaheline ülekandefunktsioon. Mõõtudega m * r maatriksit H’(s) nimetatakse 
ülekandefunktsioonide maatriksiks, kusjuures avaldis H’(s)=C(sE-A)-1B +D kajastab ka 
ülekandefunktsioonide seotust olekumudeli parameetrite maatriksitega. Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide analüüs. Z – teisendus. 
Piirväärtusteoreemid. Diskreetne olekumudel. Diskreetne ülekandefunktsioon. 
Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides. Siirdeprotsesside arvutus. Lõpliku 
siirdeajaga diskreetaja süsteemid (finiitsed süsteemid). Vajadusel kasutage näidet selgitamaks 
diskreetaja süsteemide analüüsi probleeme.
Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide analüüs: Vaadeldakse süsteemi täielikult juhitavat 
ja ja jälgitavat osa. Kasutades olekumudelit tehakse ülekandemudel, mille abil leitakse süsteemi 
väljundsignaali kujutis ja sellest saadakse z-teisendusega väljundsignaali väärtus.
Z – teisendus: Z- teisenduses luuakse üksühene vastavus diskreetse originaali x(kT) ja kujutise x(z) 
vahel: x(kT) <->  X(z). Z-teisenduse kasutamisel on olulisimaiks iseärasuseks: teisendus on 
rakendatav diskreetaja funktsioonidele, mille kõigi ajaargumendi negatiivsete väärtuset puhul 
omavad nullise väärtuse; teisendus on lineaaren; kujutise argument z on kompleksmuutu ja z = roo 
+ jv=zmejψ igale pidevaja funktsiooni Laplace’i kujutisele vastab ühene diskreetaja funktsiooni z-
kujutis ahelana.
Piirväärtusteoreemid: Piirväärtusteoreemid fikseerivad vastavuste asemel piirväärtuste võrdsused 
x(0) = lim((z-1)/z) * X(z) kui z läheneb lõpmatusele ja x(lõpmatus)= lim((z-1)/z) * X(z) kui z 
läheneb ühele.Kehtivad vaid stabiilsete süsteemide korral. Süstemi stabiilsust saab määrata 
karakteristliku polünoomiga: fii(z) = det(ZE – F) ja fii(z) = 0.
Diskreetne olekumudel: Olekumudelis on seotud kolme liiki muutujad: sisendmuutujad u(k) 
(kajastavad välist toimet süsteemile ja mis orienteeritud süsteemis on õltumatud süsteemist);  
olekumuutujad x(k) (kajastavad süsteemisiseseid akumulatsioone. Olekumuutujate koguarvu 
nimetatakse süsteemi järguks); väljundmuutujad y(k) (esitavad süsteemi reaktsiooni sisenditele ja 
on süsteemis otseselt mõõdetavad).
Diskreetaja võrrandis esinevate funktsioonide muutusi ajas saab kirjeldada diskreetfunktsiooni 
diferentsi abil
Δx(k) = x(k + l)- x(k) Diferents on eenduv naaberdiferentside vahe. Saab võtta tarvitusele ka 
kõrgemat järku diferentse: Δ2x(k) = Δ 2x(k +1)- Δ x(k) = x(k +2)- 2x(k +1)+x(k)
Δ3x(k)= Δ2x(k+1)-Δ2x(k)=x(k+3)-3x(k+2)+3x(k+1)-x(k). Avaldisest on näda, et kõrget järku 
diferentse saab avaldada naaberdiskreetide kaudu avaldistena, mille koefitsendid vastavad 
binoomkoefitsentidele ning liikmete märgid vahelduvad. Tuletise mõiste definitsiooni kaudu saab 
leida tuletise ligikaudse seose diferentsidega. Tingituna piirprotsessi võimatusest diferentsi korral 
võivad vead tuletise asendamisel osutuda küllalt suurteks. Üldjuhul
saab anda võrrandid kujul Y(t)=CX(t)+DU(t) -> Y(k)=CX(k) + DU(k)
Diskreetne ülekandefunktsioon: Leiame diskreetaja süsteemi väljundmuutuja z-kujutise, lähtudes 
diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k. 
Moodustusid h(nT)ja u(kT]) z-kujutise avaldised. Nüüd defineerime diskreetse mpulsskaja z-
kujutise diskreetseks ülekandefunktsiooniks Tulemusena saame avaldise Y(z)=H(z)U(z). Seega 
osutub diskreetaja süsteemi ülekandefunktsioon võrdseks väljund-ja sisendmuutujate z-kujutiste 


suhtega analoogilselt pidevaja süsteemi ülekandefunktsioonile. z-kujutised, saame nullistel 
algtingimustel kujutisvõrrandid u(s)-+u(z) ja y(s)->y(z), siis peab kehtima ühene astavus ka 
ülekandefunktsioonide jaoks Seega on võimalik antud süsteemi ülekandefunktsiooni tundes otseselt 
arvutada sama süsteemi diskreetne ülekandefunktsioon, mõlema ülekandefunktsiooni poolused on 
täielikus vastavuses.
Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides: Ülekandefunktsiooni realiseeritavuse 
tingimus: m < n, kus m on süsteemi järk ja n on mälu pikkus. Zn(x(k)) = x(k ± n), kus k on 
hilistumine. H(z) = B(z)/A(z) <- m (süsteemi järk) <- n (mälu pikkus) Hilistumine d = n-m. Kui n = 
m, siis d = 0
Siirdeprotsesside arvutus: Diskreetaja süsteemides on siirdeprotsessid määratud süsteemi pooluste, 
algoleku ja sisendsignaalidega. See väljendub diskreetaja olekuvõrrandite lahendis X(k)= Fkx a 
võrrandis.
Siirdeprotsesside üksikasjalikumaks hindamiseks on otstarbekas kasutada impulsskaja h(kT), kuna 
selle tekitab ainus ühikuline diskreet süsteemi sisendis alghetkel k=0. Seejuures iga süsteemi poolus 
tekitab iseseisva impulsskaja
komponendi. Lisaks sellele võime diskreetaja süsteemi protsesse käsitleda kui vastava pidevaja 
protsessist välja eraldatud diskreetide kogumit, pooluste vastavus on määratud. Pidevajasüsteemi 
reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja süsteemi reaalpoolused. Seejuures pidevajasüsteemi 
positiivsele reaalpoolusele p > l ning poolusele σ < 0 diskreeraja poolus ρ < l. Seega kõigile 
pidevaja reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja positiivsed reaalpoolused. Iga pidevaja 
reaalpoolus tekitab impulsskaja.
Kui piirata z-tasandi pooluste faasinurki ψ rajadega +180° ja -180°, siis sellele vastab s-tasandi 
piirkond vahemikus Π/T kuni - Π/T. Nende rajade piires kehtib s-tasandi ja z-tasandi pooluste 
üksühene vastavus, mis hõlbustab analüüsi.
Neid rajasid nimetatakse ka s-tasandi Nyquisti rajadeks. Iga selle piirkonna poolusest +/-2 Π/T 
võrra imaginaartelje suunas nihutatud punkt tähendab neid s-tasandi punkte, millele vastab sama z-
tasandi punkt. Ja seega identne diskreetse siirdeprotsessi komponent. Suuremale imaginaarosale 
vastab pidevajasüsteemi kiirem võnkuv protsess, kusjuures diskreet tekib 2 või enamperioodi 
tagant. Kõigile komplekssetele s-tasandi poolustele vastavad komplekssed z- tasandi poolused. 
Võimalik on hinnata ka diskreetimistaktide hulka ühes vonkeperioodis. Vonkumiste suhteliselt
aeglase sumbuvuse korral saab vonkumisperioodi Tp määrata.
Järelikult on z-poolustel mis omavad väikest faasinurka ψ, ka taktiintervall palju väiksem 
võnkeperioodist, seega ühte võnkeperioodi mahub palju taktiintervalle. Mida suuremaks kasvab 
faasinurk, seda hõredamalt paiknevad diskreedid võnkeperioodi piires. Nyquisti piiril ψ = π(18O°)) 
mahub seega igasse võnkeperioodi parajasti 2 diskreeti. Z-tasandil paiknevad Nyquisti piirile 
vastavad poolused reaaltelje negatiivesel poolel. Seega esineb diskreetaja süsteemides
olukordi, kus reaalpoolustele vastab võnkuv siirdeprotsess. Siirdeprotsessile z=0 korral ei ole 
analoogi pidevaja süsteemides. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine 
toimub järgneva valemi alusel u(k) -> u(z) x H(z) = y(z) -> y(k). Eelduseks on ülekandefunktsiooni 
tundmine. Antud sisendsignaalile u(k) leitakse kujutis u(z) Z-teisenduse tabeli alusel. Järgnevalt 
leitakse väljundmuutuja kujutis. Originaalile üleminek toimub y(z) avaldise lahutamisega 
osamurdudeks.
Lõpliku siirdeajaga diskreetaja süsteemid (finiitsed süsteemid).Vajadusel kasutage näidet 
selgitamaks diskreetaja süsteemide analüüsi probleeme: Kasutame jooksva keskmise algoritmi 
meetodit. Selle sisuks on teatava hulga viimaste mõõtetulemuste keskmiste jätkuv arvutamine. Olgu 
esialgsete diskreetsete mõõtetulemuste jada u(k), k=0,l,2,... . k muutumisel tekib keskmistatud 
suuruste diskreetjada. Algoritmi realisatsiooni võib vaadelda süsteemina, mille sisendiks on 
esialgsed mõõtetulemused u(k) ja väljundiks keskmistatud suurused y(k). Sellele süsteemile võib 
arvutada ülekandefunktsiooni. Ülekandefunktsiooni H(z) põhjal võib arvutada ka impulsskaja h(k)< 
z >H(z). Lihtsaim on arvutada h(k) diskreedid polünoomide jagamisega. Tulemus näitab, et 
impulsskaja omab vaid nelja esimest diskreeti ja viiendast taktist alates on kõik edasised 
iskreediväärtused nullid. Järelikult antud juhul kestab siirdeprotsess vaid 4 takti, olles seega selgelt 


Iõpliku kestusega. Hüppekaja võib leida avaldisest  g(k)< z >H(z)*z/(z-1). Tulemusest on näha siit 
neljataktilise kestusega siirdeprotsess, mille lõppedes jääb püsima konstantne olek ühikulise 
diskreediga. Osutub, et lõpliku protsessi tekke aluseks on see, et ülekandefunktsiooni lugeja ja 
nimetaja peavad jaguma jäägita või konstantse jaagiga. Niisugune olukord tekib alati siis, kui 
ülekandefunktsioon sisaldab ainult nullpoolusi. Need jaguvad jäägita mistahes lugeja polünoomiga. Tagasisidestatud süsteemid. Juhtimisülesanne. Jälgimisülesanne. Lihtsate juhtimis- ja 
jälgimissüsteemide süntees ning tagasisidestatud süsteemide analüüs.
Tagasisidestatud süsteemid: Peab olema antud diskreetaja olekumudel standartsel kujul:
x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) ja y(k) = Cx(k), x(0). Erinavad vaid F, G ja C maatriksid ning peab olema 
teada ka algolek x(0). Tagasisidestatud süsteemi süntees koosneb: antud süsteemi analüüsist, 
tagasisidestatud süsteemi sünteesist ja tagasisidestatud süstemmi analüüsist. Sisendte kaudu on 
võimalik mõjutada siseolekuid, et süsteem oleks juhitav või jälgitav.
Juhtimisülesanne: Stabiliseerimissüsteemis on juhtimine u(k), olekumudel x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) ja 
on teada igal ajahetkel siseolekuid x(k). Kui süsteem ei ole stabiilne, aga on juhitav, siis seda on 
võimalik stabiliseerida, kasutades negatiivset tagasisidet. u(k)= -Kx(k), eesmärk on arvutada õige K 
maatriks. Kui süsteem on mittestabiilne, projekteerime negatiivse tagasisidega 
stabiliseerimissüsteemi u(k)= −Kx(k) niimoodi, et uus suletud süsteem oleks stabiilne ja selle 
siirdeprotsessi aeg oleks väiksem  Kui süsteem on juhitav, siis seda on võimalik viia ka etteantud 
olekusse (sisendite kaudu saab mõjutada siseolekuid). Süsteem peab olema juhitav, jälgitavus ei ole 
oluline.
Juhitavus näitab, kas süsteemi saab viia etteantud olekusse suvalisest algolekust lõpliku aja jooksul. 
Karakteristlik polünoom: fii*=det(zE-F+GK) ja kujutis X(z)=(zE-F+GK) zx(0). Süsteemi käitumist 
määravad tema poolused ehk karakteristliku polünoomi juured.
Jälgimisülesanne: Jälgimissüsteemis peavad olema teada siseolekud,  selles on dünaamiline 
süsteem, oluline on L maatriks (seda tuleb sünteesida). Hinnang x(katusega) peab saama 
siseolekuga võrdseks ja hindamisviga x(lainekesega) peab lähenema nullile. Lahenduskäiguks peab 
teada olema x(lainekesega)(0)=x(0)-x(katusega)(0). x(katusega) võib olla suvaline väärtus. 
Jälgitavus näitab, kas on võimalik määrata kõikide süsteemi olekute väärtused lõpliku aja jooksul, 
kui on teada ainult sisendi ja väljundi väärtused. Kui süsteemi siseolekud ei ole mõõdetavad, siis 
juhul, kui süsteem on jälgitav on siseolekuid võimalik arvutada, lähtudes teadaolevatest sisendite ja 
väljundite väärtusest. Olekumudel: x(lainekesega)(k+1)=(F-LC) x(lainekesega)(0). Süsteem peab 
olema jälgitav, juhitavus ei ole oluline. Karakteristlik polünoom: fii*=det(zE-F+LC) ja kujutis 
X(laineksega)=(zE-F+LC)asteml-1, zx(laineksega)(0). Selleks et olekuid saaks hinnata sisendi ja 
väljundi alusel, peab süsteem olema jälgitav.
Lihtsate juhtimis- ja jälgimissüsteemide süntees ning tagasisidestatud süsteemide analüüs: Oletame, 
et on antud F, G ja C maatriksid ning algolek x(0).
Alustame analüüsist: kõige pealt määrame süsteemi stabiilsuse (süsteemi omaväärtused/poolused < 
1), selleks arvutame z-id valemi fii=det(zE-F) järgi. Kui z-i väärtused on ühikringis on süsteem 
stabiilne. Seejärel leiame juhitavuse (sõltub G-st) ja jälgitavuse (sõltub C-st), selleks kasutame 
juhitavuse ja jälgitavuse maatriksite valemeid (ei tohi olla nullid). Kui maatriksid ei ole nullid, on 
siseolekud juhitavad ja/või täielikult jälgitav ning süsteem on stabiilne. Seejärel tuleb arvutada 
süsteemi reaktsioon etteantud sisenditele ja leida väljundi piirväärtuse (juhul kui süsteem on 
stabiilne). Nii ongi jälgimissüsteem või juhtivussüsteem sünteesitud.
Nüüd algab TS süsteemi süntees: Alustuseks tuleb valida karakteristlik polünoom , põhimõtteliselt 
valime ühikringi seest 2 poolust (fii(z)=(z-z1)(z-z2)), lahendame võrrandi ära ja leiame nö 
nullkohad. Seejärel leiame K või L maatriksi kasutades z-teisendusi. Tuleb leida vastavad K või L 
väärtused, et fii(z)=fii*(z). Kui oleme leidnud kas K või L maatriksi, on TS süsteem sünteesitud.
Lõpetuseks teeme TS analüüsi ehk leiame süsteemiolekud kindlatel väärtustel. Kuna oleme 
süsteemi stabiliseerinud, siis tuleb leiad ka piirväärtused. Tehisnärvivõrgud. Tehisneuron, tehisnärvivõrgud ja nende arhitektuurid. Õpialgoritmid. 


Õppimise ülesanded. Tehisnärvivõrkude teoreetilised alused –Stone-Weierstrassi teoreem, 
Kolmogorovi teoreem. Modelleerimine tehisnärvivõrkudega.
Tehisnärvivõrgud: väga lihtsustatud bioloogilise närvivõrgu mudel, tööalgoritmid on samuti tulnud 
bioloogiliste närvivõrkude tööprintsiibist.
Tehisneuron, tehisnärvivõrgud ja nende arhitektuurid:
Tehisneuron: Bioloogiline neuron on väga keeruline süsteem ja tema täpset matemaatilist mudelit 
veel ei ole. Tehisneuron on bioloogilise neuroni lihtsustatud matemaatiline mudel. Nendest 
mudelitest üks võimsamaid on F.Rosenblatt´i neuroni mudel, mis koosneb kahest osast: kaalutud 
summaatorist ja mittelineaarsest elemendist. Tehisnärvivõrgud ja nende arhitektuurid:
Tehisnärvivõrk- on bioloogiliste närvivõrkude mudelite kogum. Täpsem definitsioon - närvivõrk on 
andmetöötlussüsteem, mis koosneb suurest arvust lihtsatest ja omavahel tugevalt seotud, 
tehisneuronitest. Tehisneuronid on ühendatud arhitektuuri, mis on võetud inimese ajukoorest. 
Närvivõrkude struktuurid on väga erinevad. Reeglina paiknevad neuronid kihiti (on ka erandeid - 
iseorganiseeruvad võrgud).
Närvivõrgud jagunevad kaheks: otsesuunatud ja rekurentsed (tagasisidega). Otsesuunatud võrgu 
neuroni väljund võib olla seotud ainult järgmisel kihil oleva neuroni sisendiga. Tagasisidega ehk 
rekurentsetes võrkudes neuroni väljund võib olla ühendatud nii järgmise kihi kui ka eelmiste kihtide 
neuronite sisenditega.
Lisaks võib närvivõrke veel jagada hetero-assotsiatiivseteksja auto-assotsiatiivseks. Hetero-
assotsiatiivsed närvivõrkudes väljundvektori dimensioon ei lange kokku 8 sisendvektori 
dimensiooniga. Auto-assotsiatiivsetes närvivõrkudes sisendvektori ja väljundvektori dimensioonid 
langevad kokku. Esimese närvivõrgu arhitektuuri (ühekihilise pertseptroni) pakkus välja 20. sajandi 
keskel F. Rosenblatt. See oli silma võrkkesta matemaatiline mudel. Tänapäeval kõige populaarsem 
närvivõrgu arhitektuur on mitmekihiline pertseptron. Umbes 80% praktiliselt töötavatest 
närvivõrkude rakendustest kasutavad seda arhitektuuri.
Populaarsemad tehisnärvivõrkude arhitektuurid: Otsesuunatuks nimetatakse närvivõrku, milles iga 
neuroni väljund võib olla seotud ainult järgmisel kihil oleva neuroni sisendiga. Mitmekiheline 
pertseptron on kõige levinum otsesuunatud võrk. Neuronid paiknevad kihiti. Närvivõrk võib 
koosneda suvalisest arvust neuronitest ja närvivõrgu kihtidest. Iga kihi iga neuroni väljund on 
seotud järgmise kihi iga neuroni ühe sisendiga. (“igaüks igaühega”  printsiibi järgi). Mitmekihilises 
pertseptronis on alati üks sisendkiht, üks väljundkiht, ülejäänud kihid kannavad peidetud kihtide 
nimetust. Peidetud kihtide sisendid ja väljundid ei ole otseselt seotud väliskeskkonnaga. Selle kihi 
neuronid saavad informatsiooni eelmise kihi neuronite väljunditest, teisendavad seda ja annavad 
edasi järgmise kihi neuronite sisenditele. Väljundkihi neuronite ülesanne on arvutada võrgu 
väljundid. Neuronite arv väljundkihil ongi närvivõrgu väljundite arv. Mitmekihilisel pertseptronil 
võib olla suvaline arv sisendeid ja väljundeid. Järelikult, see on auto-assotsiatiivsene närvivõrk. 
Sisendkihis ei toimu informatsiooni töötlust, ta ainult jaotab sisendsignaalid esimese peidetud kihi 
neuronite vahel. Seepärast seda kihti ei arvestata kihtide kokkulugemisel. See tähendab, et 
ertseptroni, mis koosneb ühest sisendkihist, ühest peidetud kihist ja ühest väljundkihist nimetatakse 
kahekihiliseks.
Õpialgoritmid. Õppimise ülesanded: Närvivõrgu sobivate parameetrite (konkreetse ülesande jaoks) 
valiku protsessi nimetatakse närvivõrgu õpetamiseks (või treenimiseks).
1.Katseandmete kogumine: Identifitseeritava objekti sisendile antakse sisendväärtused (reeglina on 
väärtused juhuslikud). Objekti väljundis  mõõdetakse nendele vastavaid väljundväärtusi. 
Identifitseerimine toimub sisendi ja väljundi etalonväärtuste alusel. Õpetamisprotsessi käigus õpib 
närvivõrk anda õigeid väljundväärtuseid teatud etalonväärtuste hulgas. Tänu oma üldistusvõimele, 
annab närvivõrk õiged väärtused ka uute (õpetamisel kasutamata) sisendväärtuste hulgas.
2. Närvivõrku sobiva arhitektuuri valik: sisendite arv, väljundite arv, peidetud kihtide arv, neuronite 
arv peidetud kihtidel, iga kihi neuronite aktiveerimisfunktsioon. Eelpool mainitud parameetrite 
valik toimub tavaliselt eksperimentaalselt või empiiriliste teadmiste alusel.
3. Närvivõrgu kaalukoefitsientide ja nihete algväärtuste valik (reeglina valitakse juhuslikult).
4. Närvivõrgu väljundi arvutus etalon sisendväärtuste alusel.


5. Mudeli vea leidmine võrreldes närvivõrgu väljundeid objekti etalonväljunditega.
Õpetamiseks nimetatakse meetodit, mis baseerub teadaolevatel sisend- ja väljundvektori väärtuste 
kogumil. Y p - NN(X)=Y p – Y -> 0, kus  X on sisendväärtuste vektor, Yp on nendele 
sisendväärtustele vastavate etalonväljundväärtuste vektor ja Y on närvivõrgu väljundite vektor, mis 
vastab sisendile X nind NN on närvivõrgu funktsioon (Y=NN(X)).
Iseõppiv närvivõrk on võimeline häälestada oma kaalukoefitsiente lähtudes ainult sisendvektori 
väärtustest.Iseõppiva võrgu korral fikseeritakse sihifunktsioon, mille ekstreemum tagatakse võrgu 
parameetrite muutmisega. Õigesti valitud sihifunktsiooni ekstreemumi saavutamine tagab ka võrgu 
väljundis õiged väljundvektori väärtused.
Kasutatakse kaht erinevat treenimisviisi: pakett treenimine (batch-wise training) – kõik 
"treeninguks" vajalikud sisendandmed ja neile vastavad väljundvektori väärtuste jadad on esitatud 
ühe paketina. Võrgu parameetrite ümberarvutamne toimub kogu paketi alusel. Ja sammhaaval 
treenimine (pattern-wise training) – võrgu parameetrite ümberarvutamine toimub peale  igat 
sisendvektori töötlemist. Võrgu õpetamise protsess koosneb kolmest sammust:
võrgu väljundvektori väärtuste arvutamine olemasolevate parameetrite alusel; võrgu vea arvutamine 
lähtudes õpetamismeetodi poolt määratud kriteeriumist (Näiteks, arvutatud võrgu väljundväärtuse ja 
etteantud etalonväärtuse vahe); võrgu parameetrite väärtuse ümberarvutamine lähtudes 
õpetamismeetodi poolt määratud algoritmist.
Õpetamise (optimeerimise) ülesanne seisneb veafunktsiooni minimiseerimisel.
Tehisnärvivõrkude teoreetilised alused –Stone-Weierstrassi teoreem, Kolmogorovi teoreem: 
Stone-Weierstrassi teoreem väidab, et teoreetiliselt eksisteerivad niisugused ideaalsed võrgu 
parameetrid, et ta aproksimeerib antud funktsiooni mis tahes etteantud täpsusega. Kuna tänapäeval 
matemaatikas ei ole täpset meetodit mittelineaarse funktsiooni globaalse miinimumi leidmiseks ja 
kõikide optimeerimismeetodite abil saab leida ainult minimiseeruva funktsiooni lokaalsed 
miinimumid. Tegelik närvivõrgu täpsus sõltub väga erinevatest parameetritest: kihtide  arvust, 
neuronite arvust  igal peidetud kihil, kasutatavatest neuronite aktiveerimisfunktsioonidest,  
õpetamisalgoritmist, juhuslikust kaalukoefitsientide algväärtuste valikust jne. Kõik need 
parameetrid valitakse igal konkreetsel juhul empiiriliste teadmiste alusel.
Kolmogorovi teoreem: Iga kuubis E astmel n pidev funktsioon avaldub järgmisel kujul: 
f(x1,...xn)=sumHj(sumFij(xi)), kus Hj ja Fij on reaalarvulised pidevad ühemuutuja funktsioonid. 
See valem on erijuhtum, kus funktsioonid Hj on närvivõrgu väljundkihi neuronite 
aktiveerimisfunktsioonid ja Fij on närvivõrgu peidetud kihi neuronite aktiviseerimisfunktsioonid ja 
peidetud kihi neuronite arv N=2n+1.
Modelleerimine tehisnärvivõrkudega: Identifitseerimisülesande püstitus: On antud süsteem, mille 
funktsioon on tundmatu. Identifitseerimisülesandeks on selle funktsiooni matemaatilise mudeli 
saavutamine. U on süsteemi ja mudeli sisendväärtus, Y ja Ym on identifitseeritava süsteemi ja selle 
süsteemi matemaatilise mudeli väljundväärtused. Mudeli viga on süsteemi ja mudeli väljundite 
vahe: E=Y-Ym. Identifitseerimise eesmärgiks on vähendada viga E (E -> 0). Mitmed 
juhtimisalgoritmid kasutavad mudeleid, mis on saadud närvivõrgu kujul (nt ennustamisega 
juhtimine). Kui juhtiv süsteem on lineaarne, siis tema mudeli (ülekandefunktsiooni H(s)) 
arvutamiseks on välja töötatud palju meetodeid, nt "vähim ruutude meetod". Reaalses elus aga on 
juhitavad süsteemid tavaliselt mittelineaarsed ja mittelineaarsetel süsteemidel ei eksitsteeri 
ülekandefunktsioone. Ülekandefunktsioonid on erinevad iga tööpunkti ümbruses. Tehisnärvivõrgud 
on võimelised aproksimeerima suvalise pidevat sealhulgas ka mittelineaarset funktsiooni. 
Süsteemijärk peab olema teada. Mittelineaarsete süsteemide identifitseerimine on dünaamiliste 
mittelineaarsete funktsioonide aproksimeerimine. Dünaamiliste protsesside modelleerimiseks, 
tuuakse närvivõrkude arhitektuuri tagasiside (sest närvivõrk on dünaamiline) ehk närvivõrkude 
kasutamine võimaldab juhtida mittelineaarseid süsteeme. Klassikaline hulgateooria ja hägus hulgateooria. Hägusate hulkade omadused. Tehted 
hägusate hulkadega. Hägus tükeldus. Hägusad süsteemid. Liikmesfunktsioonid. 
Järeldusalgoritm. Häguärastamine. Hägusate süsteemide


konstrueerimine ja kasutamine süsteemide modelleerimisel.
Klassikaline hulgateooria ja hägus hulgateooria. Süsteemid: Lineaarsed, mittelineaarsed, lihtsad, 
keerukad.
Mudelid: analüütilised (võivad osutuda väga keerulisteks ja nendega on raske opereerida, sageli me 
ei oska analüütilist mudelit koostada või on see väga töömahukas), mitteanalüütilised (hägusad 
hulgad/süsteemid, tehisnärvivõrgud, mudel≡programm).
Hägus hulgateooria on klassikalise hulgateooria üldistus. 1965-Lofti Zadeh -> matemaatiline baas 
lingvistiliste teadmiste esitamiseks ja manipuleerimiseks (hägusate hulkade teooria, hägusloogika, 
ligikaudne arutlus).
Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: 
klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente 
koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x 
liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt – kas x kuulub A-sse või mitte. Reaalne elu pakub 
seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud liikmesus pole hulgakuuluvuse kirjeldamiseks 
piisavalt paindlik, kuna sellest tuleneb järsk piir kuuluvuse ja mittekuuluvuse vahel. Tüüpiline näide 
oleks situatsioon, kus lähtuvalt inimese vanusest peame järeldama, kas tegu on noore inimesega . 
Selleks vajame hulga “noor” definitsiooni. On ilmne, et nooremad kui 20-aastased inimesed võib 
sellesse hulka paigutada pikemalt mõtlemata, samamoodi nagu võib hulgast välja jätta üle 40-
aastased inimesed. Vanusevahemik 20-40 a. on lood pisut keerukamad. Siin ongi abiks hägus 
hulgateooria, mis lubab liikmesusele anda kõiki väärtusi nulli ja ühe vahel. Erinevalt klassikalisest 
hulgateooriast kus peale kuuluvuspiiri kindaksmääramist tuleb tegeleda olukorraga, kus päev vanem 
inimene arvatakse noorte hulgast välja, võimaldab hägus hulgateooria sujuvat siiret kuuluvusest 
mittekuuluvusse. Kuuluvuse määramiseks toome sisse liikmesfunktsiooni μ A ( x) = f ( x), 1 kui x 
kuulub A-sse ja 0 kui ei kuulu. Hulgateooria on must-valge, kas kuulub või ei kuulu.
Hägusate hulkade omadused: Hägusaid hulki mille kõrgus on võrdne ühega nimetatakse 
normaalseteks. Hägusa hulga tuum on universaalhulga X mittehägus alamhulk. Hägusa hulga alus 
on universaalhulga X mittehägus alamhulk Kui hägusa hulga alus on lõplik hulk, nimetatakse seda 
kompaktseks aluseks.
Normaalseid, tükati pidevaid ja kumeraid hägusaid hulki, mille tuum koosneb ühest elemendist, 
nimetatakse hägusateks numbriteks. Sarnaseid hägusaid hulki, mille tuum moodustub rohkem kui 
ühest elemendist, nimetetakse hägusateks intervallideks. Rakendustes kasutatavad hägusad hulgad 
ongi enamasti hägusad numbrid või intervallid.
Tehted hägusate hulkadega: 1. Kahe hägusa hulga ühisosa. 2. Kahe hägusa hulga ühend. 3. Täiend. 
Erinevalt klassikalisest hulgateooriast pole need tehted üheselt määratud, kuna liikmesfunktsioon 
võib omada suvalist
väärtust vahemikus [0, 1]. Võivad olla defineeritud mitmeti, hägususe hulgad on paindlikud.
Hägus tükeldus: Vastav hägus tükeldus loob muutuja kvalitatiivse kirjelduse lingvistiliste 
märgendite näol ja seob sellega liikmesfunktsioonide vahendusel muutuja numbrilised väärtused 
( nt ülesanne nõuab lisaks noortele inimestele ka vanade ja keskealiste inimeste hulkade 
määratlemist) .
Tavaliselt on soovitatav, et iga x-i väärtus omaks kuuluvust vähemalt ühes hägusas hulgas. Teised 
tükelduse omadused on empiirilisemalt määratletud. Reeglina on soovitatav, et hägusad hulgad, mis 
tükelduse moodustavad on kumerad,
normaalsed, “piisavalt” eristuvad ja et nende arv on suhteliselt väike.
Hägusad süsteemid: Hägusad süsteemid -> hägusad mudelid, KUI SIIS tüüpi lausete (reeglite) 
kogum. Nt lingvistilised märgendid toatemperatuuri kohta: “madal”, “paras”, “kõrge”.
Reegel 1: KUI temperatuur õues on madal JA küttekeha temperatuur on kõrge SIIS toatemperatuur 
on paras
Reegel 2: KUI temperatuur õues on madal JA küttekeha temperatuur on madal SIIS toatemperatuur 
on madal
Reegel 3: KUI temperatuur õues on kõrge JA küttekeha temperatuur on kõrge SIIS toatemperatuur 
on kõrge


Reegel 4: KUI temperatuur õues on kõrge JA küttekeha temperatuur on madal SIIS toatemperatuur 
on paras
On olemas Mamdani süsteem – sisend on hägus ja Sugeno süsteem – sisend on hägus ja väljund on 
arv.
Liikmesfunktsioonid: Liikmesfunktsioon määrab ära lingvistilise märgendi, see on skaala. Tihti on 
kasutusel tükati lineaarsed standartsed funktsioonid nagu trapets- ja kolmnurkfunktsioon.  Teine 
grupp populaarseid liikmesfunktsioone on nn siledad liikmesfunktsioonid. Liikmesfunktsioon võib 
omada suvalist väärtust vahemikus [0, 1].
Järeldusalgoritm:
KUI U1 on Bi1 JA U2 on Bi2 JA...
...JA Un on Bin SIIS V on Di
i=1 ,2,...,  m
U1 = u1* , U2=u2* jne 
V leidmiseks tuleb leida: Iga reegli kehtivusmäär (leitakse reeglite tingimuspoole eelduste täidetus, 
mida iseloomustab liikmesfunktsiooni μir väärtus kohal x). Iga reegli väljund (arvutatakse mil 
määral jooksvad sisendid aktiveerivad kogu reegli). Agregeerida reeglite väljundid üheks 
väljundiks.
Häguärastamine: vajalik mudeli reaalseks kasutamiseks (hägushulk -> arv). Süsteemi numbrilise 
väljundi tuletamiseks kasutatakse häguärastamist..Selleks on 4 meetodit: raskuskeskme meetod; 
maksimumide keskmine; minimaalne maksimum; maksimaalne maksimum. Nt maksimumide 
keskmise meetod kuulub indekseeritud häguärastamismeetodite hulka, mis jätavad arvestamata 
hägusa väljundi selle osa, mille liikmesfunktsiooni väärtus jääb alla teatud taset.
Maksimumide keskmise meetodi puhul võetakse arvesse ainult see osa hägusast väljundist, mis 
vastab maksimaalsele liikmesusele.
Hägusate süsteemide konstrueerimine ja kasutamine süsteemide modelleerimisel: Kaks tähtsat 
hägusate süsteemide rakendusala on protsesside hägus modelleerimine ja protsesside hägus 
juhtimine. Allikateks, millest hägusaid süsteeme luuakse, on protsessi alased eksperttedmised ja 
protsessi käitumist kajastavad mõõteandmed. Järelikult võib selliseid hägusaid süsteeme nimetada 
hägusateks ekspertsüsteemideks. Hägusa süsteemi konstrueerimine andmete baasil eeldab vastava 
algoritmi olemasolu. Hägusate süsteemide konstrueerimist võib käsitleda eeskirja järgi toimuvat 
protseduuri: sisend- ja väljundmuutujate valik; hägusa süsteemi järeldusalgoritmi parameetrite 
valik; muutujate muutumispiirkondade määramine; lingvistiliste märgendite ja vastavate hägusat 
tükeldust moodustavate liikmesfunktsioonide defineerimine; hägusa süsteemi reeglibaasi 
konstrueerimine; süsteemi adekvaatsuse hindamine.
Kokkuvõtvalt: meil on ekspertteadmised ja lingvistilised märgendid - > liikumisfunktsioonid 
(numbrilised skaalad), kust saame sisendid ja väljundid. Lisaks peab meil olema genereeritud 
reeglite baas ja häguärastamise meetod. Kusjuures kõik andmed normeeritakse (nt kahte vahemikku 
[-1; 1] või [0; 1]).
Hägusat mudelit saab häälestada, treenida ehk õpetada. Mudel peab olema absoluutselt/täielikult 
õpetatud, vastasel juhul ei tea kas ja mis on väljundis.