Enno Paisu konspekt (1)

Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon.
Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x)
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega.
Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna.
Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x)
Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x)
Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega).
Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0
Teoreemid piirväärtuste kohta.
Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0
Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0
Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0
>0, () >0, et 00, () >0, et 02) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0
Vastavalt piisavuse definitsioonile >0, () >0, et 0m.o.t.t.
Teoreem 2 Olgu olemas piirväärtused lim f ( x) = a , lim g ( x) = b , siis x x0 x x0
1) lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = a ± b x x0 x x0 x x0
2) lim f ( x) g ( x) = lim f ( x) lim g ( x) = a × b x x0 x x0 x x0
lim f ( x) f ( x ) x x0 a 3) lim = = , kus b 0 x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0
Tõestus: lim f ( x) = a , lim g ( x) = b 0 x x0 x x0
lim f ( x) f ( x ) x x0 a lim = = x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 2 f ( x) a f ( x) a a bf ( x) - ag ( x) = + - = + g ( x) b g ( x) b b bg ( x) Vastavalt teoreemile 5.1 saame f ( x) = a + ( x) , g ( x) = b + ( x) , kus (x) , ( x) 0 , kui xx0 bf ( x) - ag ( x) b(a + ( x)) - a(b + ( x) b ( x) - a ( x) = = bg ( x) b(b + ( x)) b(b + ( x)) b (x) , a (x) on lõpmatult vähenev suurus (a ja b on tõestatud) 1 b(b + ( x)) b 2 0 , seega M b(b + ( x)) Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus, kui xx0, f ( x) a f ( x) a siis = + ( x) , mis tähendabki, et lim = g ( x) b x x0 g ( x ) b m.o.t.t.
Teoreem 3 (kahe politseiniku teoreem) Olgu punkti x0 teatud ümbruses U r ( x) = ]x 0 - r ; x 0 + r [ , kehtivad võrratused (5.1) f ( x) h( x) g ( x) ja olgu lim f ( x) = a , lim g ( x) = a x x0 x x0
siis eksisteerib lim h( x) = a x x0
Tõestus: Vastavalt piirväärtuse definitsioonile >0, 1() >0, et 00, 2() >0, et 00, () >0, et 0m.o.t.t.
Teoreem 4 Olgu punkti x0 teatud ümbruses kehtiv võrratus f(x) >0 Kui funktsioonil f (x) on piirväärtus tingimusel, et x x 0 , siis piirväärtus peab olema mittenegatiivne lim f ( x) = a 0 x x0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 3 Tõestus: Oletame, et a>0 Siis f ( x) - a a , sest f(x)0 a>0 Kuid teoreemi (5.1) järgi peab f(x) - a olema lõpmatult vähenev suurus ja seega muutub kui tahes väikeseks Seega a>0 on võimatu ja a0 m.o.t.t.
Järeldus 5.1 Kui on täidetud võrratus f(x) >g(x) punkti x0 ümbruses ja funktsioonide f(x) ja g(x) piirväärtused eksisteerivad, siis lim f ( x) lim g ( x) x x0 x x0
Tõepoolest h(x)= f(x)- g(x) 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 4 Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk.
Definitsioon 1 Funktsiooni (x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks tingimusel, et xx0, kui lim ( x) = 0 x x0
Piirväärtuse definitsiooni kohaselt >0, () >0, et 0Teoreem 1 Lõpliku arvu lõpmatult vähenevate väärtuste summa on samuti lõpmatult vähenev suurus 1+ 2+ ...+n=(x) lim ( x) = 0 x x0
Definitsioon 2 Funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal A, kui leidub selline positiivne konstant M, et f ( x) M , kui x A
Teoreem 2 Lõpmatult väheneva suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmatult vähenev suurus Tõestus: Olgu lim ( x) = 0 x x0
f ( x) M , kui x ]x 0 - r ; x 0 + r [ ( x) = ( x) × f ( x) Vastavalt def. >0, () >0, et 00, () >0, et 0Olgu kaks lõpmatult vähenevat suurust ( x ) ja ( x) , kui x x 0 , s.t. lim ( x) = 0 , lim ( x) = 0 x x0 x x0
Võrdlemine: 0, siis ( x) järk > ( x) järk ( x) (8.1) lim = , siis ( x) järk Definitsioon 3 Lõpmatult väheneva suuruse (x) järguks nim. sellist arvu n, mille korral ( x) lim = r 0, x x0 ( x - x ) n 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 5 sin x Piirväärtus lim =1 (tõestusega). Arv e ja piirväärtus lim (1 + x ) 1 x =e x 0 x x
sin x Piirväärtus lim . x 0 x OB = 1 S OAB S OAB S OAC S OAB = 12 × 1 × sin x S OAB = 12 × 1 × x S OAC = 12 × 1 × tan x sin x x tan x 2 × 2 2 2 sin x 1 sin x cos x , siit saame, et 1 sinx x cos x (need võrratused kehtivad ka siis, kui x 1 - n1-1 Ja liikmete arv kasvab ühe võrra, kuna (1 + 1 n ) (1 + 1 n n +1 ) (1 + n1+1 )n +1 (1 + )(1 + ) 1 1 n (1 + ) > 1 x n n x (1 + n1+1 ) Leiame piirväärtused lim(1 + 1n )(1 + 1n ) = 1 e = e n x
(1 + n1+1 )n +1 e lim = =e x (1 + 1 ) 1 n +1
Kahe politseiniku teoreemi põhjal saame, et eksisteerib piirväärtus lim (1 + 1 x x ) =e x
2) Olgu x - Tähistame x = -( y + 1) Kui x - y + lim (1 + 1x ) = lim 1 + x - x ( 1 ) - ( y +1) - y -1 = lim ( ) y - y -1 x + y +1 ( = lim 1 + x + y ) (1 + ) = e 1 y 1 y x + m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 7 Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni kohta.
Definitsioon 1 Funktsioon y =f(x) on pidev punktis x0, kui kehtib (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0
Teiste sõnadega >0, () >0, et 0Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9.2)` lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 - 0
Definitsioon 2 Funktsioon y =f(x) on pidev antud vahemikus (lahtine hulk), kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus ]a, b[ , on pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0 märgitakse lim f ( x) = b x x0 - 0
seejuures xx0 nii, et xx0 Neid piirväärtusi nimetatakse ühepoolseteks
Definitsioon 4 Katkevuspunktideks nim. argumendi x väärtuseid, mille korral funktsioon ei ole pidev, kuid nende punktide piisavalt väikeses ümbruses on pidev
Katkevuspunktide liigid: Olgu katkevuspunkt x0 ja lim f ( x) = A , lim f ( x) = B x x0 - o x x0 + o
1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0
2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht
Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt x1 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma suurima väärtuse ja samuti vähemalt üks punkt x 2 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma vähima väärtuse sellel lõigul. f ( x1 ) = sup f ( x), x1 [a, b] = M (10.1) f ( x 2 ) = inf f ( x), x 2 [a, b] = m Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k
Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)0, () >0, et 00, () >0, et 0Märkus: Teoreemi 11.1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv .
Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis.
Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0
Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga tangensiga)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 10 k = tan = y ' Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y - y 0 = k ( x - x 0 ) Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0 y - y 0 = y ' ( x 0 )( x - x 0 ) , kus y 0 = f ( x 0 ) 1 Kaks sirget tõusudega k1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui k1 × k 2 = -1 ehk k 2 = - k1 1 Seega normaali võrrand kõverjoonel y =f(x) on y - y 0 = - ( x - x0 ) y' ( x0 )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 11 Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletis kohal x Siis see funktsioon on pidev selles punktis.
y Tõestus: Vastavalt eeldusele eksisteerib piirväärtus y ' ( x) = lim x 0 x
y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0
Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0
>0, () >0, et 00, () >0, et 0Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' '
Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
u u ' = lim , x 0 x
f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x
m.o.t.t.
Teoreem 2 Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv punktis x , siis selle pöördfunktsioon x = g ( y ) on samuti diferentseeruv punktis y ( y = f ( x))
Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine 1 f ' ( x) = g ' ( y)
Tõestus: Eelduse kohaselt eksisteerib tuletis x 1 1 1 y ' = f ' ( x) = lim = lim x = lim g ( y + y ) - g ( y ) = lim x 0 y x 0 x 0 x 0 g ' ( y ) y y
y = f ( x) x = g ( y ) x = g (y ) m.o.t.t.
Näited: cos y = ± 1 - sin 2 x = ± 1 - x 2 1. y = e x y = ln x Samuti on (e x )' = e x e y = e ln x = x 1 (cos)' = - 1 1 1 1- x2 (ln x)' = x = y = (e )' e x Analoogselt 3. y = tan x y = arctan x 1 1 (a x )' = a x ln a (log a x)' = (tan x)' = y = tan(arctan x) = x x ln a cos 2 x 1 1 1 1 2. y = sin x y = arcsin x (arctan x)' = = 1 = = (tan y )' cos 2 y tan y 1 + x 2 2
(sin x)' = cos x x = sin x 1 1 1 1 (arcsin x)' = = 1 = = sin 2 y cos 2 y + sin 2 y 1 (tan y )' cos 2 x tan y 1 + x 2 2 1 + tan y = 1 + 2 2 = 2 = cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega).
Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t )
Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o , kus y = y ' (t ) = v' x o x = x' (t ) = u ' Tõestus: Vastavalt definitsioonile y y y ' = lim = lim xt x 0 x x 0 t
Et funktsioonidel x = u (t ) ja y = v(t ) on tuletised kohal t , siis muutudele x ja y vastab parameetri muut t . x 0 t 0 o y t y ' (t ) y y ' = lim = = x 0 x x' (t ) xo t
Märkus: Teoreemi (9.1) saab tõestada y ' = (u (t ))' = u t' t ' ( x) pöördfunktsiooni t = t (x) tuletis 1 t ' ( x) = v' ( f ) o u' y järelikult y ' = = o v' x
Definitsioon 2 Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii argumenti x kui ka funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. (9.3) F ( x, y ) = 0
Näited: 1. x 2 + y 2 = 1 (ühikringjoone ilmutamata kuju) y = ± 1 - x 2 ( ilmutatud kuju)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 14 2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon) Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon. 2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0 2 xy + y cos yx + ( x 2 + x cos y ) y ' = 0 2 xy + y cos xy y' = 2 x + x cos xy F = y 2 x + y cos xy x F = x 2 + x cos xy y
Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F ( x, y ) osatuletis x -i järgi saadakse võttes teine muutuja y konstantseks. F F ( x + x, y ) (9.5) = lim x x 0 x Analoogselt osatuletis y -i järgi saadekse nii, et x = const F F ( x, y + y ) (9.5) = lim y y 0 y
Teoreem 2 Ilmutamata funktsiooni F ( x, y ) = 0 tuletis avaldub kujul F x (9.5) y' = - F y
Tõestus: Diferentseerides ilmutamata funktsiooni avaldist ja eeldades, et y on x -i funktsioon saame F ( x, y ) = 0 F F + y' = 0 x y F x y' = - F y
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 15 Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil.
Definitsioon 1 Funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks nimetatakse tema muudu lineaarset osa (argumendi muudu suhtes). Kui funktsioon muut on esitatud kujul (x) y = A x + (x) ja seejuures lim =0 x 0 x siis funktsiooni diferentsiaal dy = A x A ei sõltu x -st
Näited: 2. y = arctan x 2 1. y = e - x 1 1 -2 1 1 2 2 y' = x = y ' = e - x ( -2 x ) dy = -2 xe - x dx 1+ x 2 2 x (1 + x) dx dy = 2 x (1 + x) dy Valemist dy = y ' ( x) dx järeldub, et y ' ( x) = dx Seega parameetrilise funktsiooni tuletis o dx x = u ' (t ) = o x = u (t ) dt dy y y' = = y = v(t ) dy dx xo o y = v' (t ) = dt
Geomeetriline tõlgendus: dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x y ' ( x) = tan dy = y ' ( x) = tan x Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f (x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile x = dx
Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil. Vastavalt diferentsiaali definitsioonile y = dy + (x), (x) kus lim =0 x 0 x järelikult väikeste x -de korral kehtib y dy y = f ( x + x) - f ( x) dy = y ' ( x) x = f ( x) x f ( x + x) - f ( x) f ' ( x) x f ( x + x) f ( x) + f ' ( x) x
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 16 x x0 x + x x x = x - x 0 (10.1) f ( x) f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) x x = x - x 0 Valemi (10.1) täpsus on ligikaudu (x) 2
Näide:
3 1,96 2 + 4 y = 3 x2 + 4 x = 1,96 x0 = 2 x = x - x 0 = -0,04 y ( x 0 ) = y ( 2) = 3 4 + 4 = 2 2 1 - 2x y ' = ( x 2 + 4) 3 2 x = 2 3 3( x + 4) 2 3
1 y ' ( x 0 ) = y ' (2) = 3 1 149 3 1,96 2 + 4 2 + (-0,04) = 3 75 0,04 = 0,0016 0,002 2
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 17 Teoreem diferentsiaali olemasolust (tõestusega).
Teoreem 1 Funktsioonil y = f (x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis vaadelda- vas punktis ning seejuures (11.1) A( x) = y ' ( x)
Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy eksisteerib y ' ( x) Kui funktsioonil on diferentsiaal, siis y = A x + (x) y (x) Seega = A+ x x y (x) lim = lim A + = A( x) x 0 x x x 0 2) Piisavus: Eksisteerigu y ' ( x) eksisteerib dy y Kui funktsioonil on tuletis, siis y ' ( x) = lim x 0 x
y Järelikult = y ' ( x) + (x) , x kus lim (x) = 0 x 0
Korrutades seda võrdust x -ga saame y = y ' ( x) x + (x) x Järelikult diferentsiaal eksisteerib ja on (11.2) dy = y ' ( x) x m.o.t.t.
Vaatleme funktsiooni y = x Sel juhul y ' = 1 dy = dx = x Argumendi muut on võrdne tema diferentsiaaliga Me saame valemi (11.3) dy = y ' ( x) dx
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 18 Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kõrgemat järku diferentsiaalid .
Ilmutatud funktsioonil saab vahetult leida Et y ' ' = ( y ' )' , suvalist järku tuletise siis peame valemis (12.4) y asendama y ' -ga. (12.1) y ( n ) ( x) = ( y ( n -1) ( x))' o ( y ') (12.5) y ' ' = o Vaatleme ilmutamata funktsiooni x F ( x, y ) = 0 Jätkates seda protsessi saame üldiselt Selle esimene tuletis on o F ( y ( n -1) ) (12.2) y ' = - x (12.6) y ( n ) = o n = 1,2... F y x Seega y ' = F1 ( x, y ) Näited: x = 2 cos 2 t Siit saame y ' ' = ( y ' )' = ( F1 ( x, y ))' y = 3 sin 3 t F1 F1 F F o y' ' = + y ' = 1 + 1 F1 = F2 ( x, y ) x = 2 2 cos t (- sin t ) = -4 sin t cos t x y x y o Üldiselt saame y = 3 3 sin 2 t cos t = 9 sin 2 t cos t ( y (n -1) ) ( y ( n -1) ) 9 sin 2 t cos t 9 (12.3) y ( n ) = + y' y' = = - sin t x y - 4 sin t cos t 4 n = 2,3... o 9 ( y ') = - sin t 4 Näited: - 9 cos t 9 y' ' = =- x 2 + y + sin y = 0 4 4 sin t cos t 16 sin t 2x y' = - = -2 x(1 + cos y ) -1 1 + cos y ( y ' ) -2 = x 1 + cos y ( y' ) 2 x sin y = -2 x(-1)(1 + cos y ) - 2 (- sin y ) = - y (1 + cos y ) 2
2 2 x sin y 2x 4 x 2 sin y 2 y' ' = - - - = - 1 + cos y (1 - cos y ) 2 1 + cos y (1 + cos y ) 2 1 + cos y
Olgu antud parameetriline funktsioon x = u (t )
y = v(t ) o y (12.4) tema esimene tuletis y ' = o x o o kus y = v' (t ), x = v' (t )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 19 Funktsiooni y = f (x) esimest järku diferentsiaal on dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x Teist järku diferentsiaali saame võttes esimese diferentsiaali diferentsi d 2 y = d (dy ) = (dy )' dx (dy )' = ( y ' ( x) x)' = x y ' ' = y ' ' ( x)dx Seega (12.7) d 2 y = y ' ' ( x)dx 2 Jätkates seda protsessi on (12.7) d n y = y ( n ) ( x)dx n n = 1,2... Valemist (12.7) järeldub, et funktsiooni kõrgemat järku tuletise võib esitada kujul dny (12.8) y ( x) = n (n) n = 1,2... dx
Olgu antud liitfunktsioon y = f [u (x)] dy = ( f [u ( x)]) dx = f u' u ' dx '
df f u' u ' = dx u ' dx = du df f u' = du df dy = dx dx Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks. df dy = du du Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes...
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega).
Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav.
Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1 Sel juhul on sama märgiga y = f ( x 2 ) - f ( x1 ) y y > 0 lim = y' 0 x x 0 x
Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav y y ' = lim >0 x 0 x
y = y ' ( x) + (x) > 0, kui x on piisavalt väike. x Funktsioon on mittekahanev y ' ( x) 0 Analoogselt Funktsioon on kahanev y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) Teoreem 1 (Rolle'i teoreem) Olgu täidetud järgmised tingimused: 1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] 2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b) 3) f (a) = f (b) = 0 Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et (13.1) f ' (c) = 0
Tõestus: Sellest, et funktsioon on pidev lõigul järeldub, et leiduvad niisugused punktid, kus ta saavutab oma vähima vääruse m ja suurima väärtuse M sellel lõigul. 1) Kui m = M = 0 f ( x) = 0 Kuid konstandi tuletis on null f ' ( x ) = 0 x ( a , b) 2) Olgu M 0 ja olgu f (c) = M
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 21 Eksisteerib y ' (c) , mis ei saa olla positiivne ega negatiivne. Vastasel juhul funktsioon oleks kasvav või kahanev punkti c ümbruses. Mõlemal juhul peab funktsioon omandama punkti c läheduses väärtuseid, mis on suurem kui M . See aga on võimatu. Järelikult f ' (c) = 0 m.o.t.t.
Järeldus: Kui funktsiooni rahuldab teoreemi (1) kahte esimest punkti ja f (a ) f (b) 0 Ka siis eksisteerib c (a, b) f ' (c ) = 0 Tõepoolest, võtame g ( x) = f ( x) - f (a) Kõik kolm teoreemi tingimust on täidetud ja järelikult g ' (c) = 0, c (a, b) Kuid g ' ( x) = f ' ( x) f ' (c) = 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 22 Lagrange 'i ja Cauchy teoreem (tõestusega).
Teoreem 1 ­ Lagrange'i teoreem Olgu täidetud tingimused: 1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] 2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b) Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et (14.1) f (b) - f (a) = f ' (c) (b - a) Lagrange'i või lõpliku muudu valem
Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni F ( x ) = ( f ( x ) - f ( a ) )(b - a ) - ( f (b ) - f ( a ) )( x - a ) See funktsioon on 1) pidev lõigul [a, b] 2) diferentseeruv vahemikus (a, b) F ' ( x) = f ' ( x)(b - a ) - ( f (b) - f (a ) ) 3) F (a) = F (b) = 0 F (a ) = ( f (a ) - f (a ) )(b - a ) - ( f (b) - f (a ) )(a - a ) = 0 Vastavalt Rolle'i teoreemile eksisteerib niisugune c (a, b), et F ' (c) = 0 F ' (c) = f ' (c)(b - a ) - ( f (b) - f (a ) ) = 0 Siit saamegi valemi (13.1) m.o.t.t.
Teoreem 2 ­ Cauchy teoreem Olgu kaks funktsiooni f (x) ja g (x) , mis rahuldavad tingimusi: 1) nad on pidevad lõigul [a, b] 2) nad on diferentseeruvad vahemikus (a, b) 3) g (a) - g (b) 0 4) f ( x) ja g ( x) ei muutu üheaegselt nulliks vahemikus (a, b) Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt c (a, b), et f (b) - f (a) f ' (c) (14.2) = Cauchy valem g (b) - g (a) g ' (c)
Tõestus: Vaatleme funktsiooni G ( x) = ( f ( x) - f (a ) )( g (b) - g (a ) ) - ( f (b) - f (a ) )( g ( x) - g (a ) ) Sellel funktsioonil on järgmised omadused: 1) ta on pidev lõigul [a, b] ; 2) ta on diferentseeruv vahemikus (a, b) ; G ' ( x ) = f ' ( x )( g (b ) - g ( a ) ) - ( f (b) - f ( a ) )g ' ( x ) 3) G (a ) = G (b) = 0 Vastavalt Rolle'i teoreemile leidub vähemalt üks niisugune punkt c (a, b), et G ' (c) = 0 G ' (c) = f ' (c)( g (b) - g (a ) ) - ( f (b) - f (a ) )g ' (c) = 0 f ' (c)( g (b) - g (a ) ) = ( f (b) - f (a ) )g ' (c) g ' (c) 0, sest kui g ' (c) = 0, siis järeldub võrdusest, et f ' (c) = 0 , mis on vastuolus eeldusega.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 23 Jagades võrduse mõlemad pooled g ' (c) -ga ja ( g (b) - g (a ) ) -ga saamegi Cauchy valemi. m.o.t.t.
Märkus: Lagrange'i valem on Cauchy valemi järelduseks, kui g ( x) = x Tõepoolest g (a) - g (b) = a - b g ' (c ) = 1 f ( a ) - f (b ) f ( c ) = (a - b) Saame Lagrange'i valemi. a-b 1 Ka Lagrange'i valemit saan geomeetriliselt tõlgendada. f (b) - f (a) = (b - a ) tan
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 24 L' Hospitali reegel (tõestusega kui x a, ).
f ( x) 0 Teoreem 1 Olgu antud piirväärtus lim , milles on määramatus või x a g ( x ) 0 Kui eksisteerib funktsioonide tuletiste suhte piirväärtus, siis eksisteerib ka esialgne piirväärtus ja f ( x) f ' ( x) lim = lim ­ L'Hospitali reegel x a g ( x) x a g ' ( x)
Tõestus: 0 1) Olgu määramatus ja a - lõplik. 0 Eeldame, et punkti a teatud ümbruses on täidetud Cauchy reegli tingimused. f ( x ) f ( x ) - f ( a ) f ' (c ) = = , kus c (a, x) g ( x ) g ( x ) - g ( a ) g ' (c ) f (a) = g (a) = 0 Kui x a, siis ka c a f ' ( x) f ( x) Kui eksisteerib piirväärtus lim , siis eksisteerib ka lim ja nad on võrdsed. x a g ' ( x ) x a g ( x )
0 2) Olgu määramatus ja a - lõpmatu. 0 f ( x) lim x g ( x) f ( 1x ) ( f ( 1x ))' Vaatleme piirväärtust lim = lim x 0 g ( 1x ) x 0 (g ( 1 ) )' x
( f ( 1x ))' = f ' ( 1x )(- x1 ) 2
(g ( 1x ) )' = g ' ( 1x )(- x1 ) 2
( f ( 1x ))' f ' ( 1x )(- x1 ) 2 f ' ( x) Seega lim = lim = lim x 0 (g ( 1 ) )' x 0 g ' ( 1 )( - 1 ) x g ' ( x) x x x 2
3) Olgu määrmatus ja a -lõplik. Olgu lõigul [x 0 , x ] täidetud Cauchy teoreemi tingimused. f ( x0 ) f ( x) f ( x) - f ( x 0 ) f ( x) 1 - f ( x) f ' (c ) = = = c ( x 0 , x) g ( x) g ( x) - g ( x 0 ) g ( x) 1 - g ( x0 ) g ( x) g ' (c ) x 0 a, siis ka c a x a f ( x ) , g ( x ) f ( x 0 ) x a 0 f ( x)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 25 g ( x 0 ) x a 0 g ( x) f ( x) Suhte kordaja läheneb järelikult ühele, kui x a g ( x) f ( x) - f ( x 0 ) f ( x) f ' ( x) Ja seega lim = lim = lim xa g ( x) - g ( x ) x a g ( x) x a g ' ( x) 0
Näited: e x ( x - sin x) x - sin x 1 - cos x sin x 1 1) lim 3 = lim 3 = lim 2 = lim = x 0 x cos x x 0 x x 0 3x x 0 6x 6 x+2 1 2) lim = lim 1 = x + ln x x + x
x 2 sin 1x x x sin 1x 3) lim = lim =0 x 0 sin x x 0 sin x 2 x sin x + x sin 1x - 1 2 ( ) 1 x2 lim Tuletise suhte piirväärtus ei eksisteeri, seega L'Hospitali x 0 cos x reegel ei ole rahuldatud. e -2 x (cos x + 2 sin x) 1 + 2 tan x 4) lim - x = lim x (ei eksisteeri) x e (cos x + sin x) x e (1 + tan x )
1 Lugeja nullkohad tan x = - , nimetaja nullkohad tan x = -1 2 [e (cos x + 2 sin x ] = e .( - 2 ) (cos x + 2 sin x ) + e - 2 x (- sin x + 2 cos x ) = - 5 sin x e - 2 x -2 x ' -2 x
[e -x ]' (cos x + sin x = -2 sin x e - x - 5 sin x e -2 x 5 lim - = x = 0 Lugeja ja nimetaja tuletised on üheaegselt nullid , kui x - 2 sin x e x 2e sin x = 0, x = n . Seega on Cauchy valemi tingimused rikutud, see valem ei kehti, aga siis ei kehti ka L'Hospitali reegel.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 26 Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega). Teoreem valemi ühesusest (tõestusega).
Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena. f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n (16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h) 1! 2! n! h n +1 R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M (n + 1)! Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0 df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M= dh 1! 2! n! (n + 1)! f ' (a ) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 h n = f (a) + h+ 2h + ... + h + M 1! 2! (n - 1)! n! lim f ' (a + h) = f ' (a ) h 0
( n +1) Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletised kuni (n + 1) järguni kohal a . Kusjuures f (a ) võib olla nii lõplik kui lõpmatu. Sel juhul (16.2) lim M = f ( n +1) (a ) h0
Tõestus: ( n+1) 1) Olgu f (a ) lõplik.
( h) = f ( a ) + f ' (a) 1! h+ f ' ' (a ) 2 2! h + ... + f ( n ) (a ) n n! h + h n +1 (n + 1)! [ ] f ( n +1) (a) + - f (a + h)
(0) = f ' (0) = ... = f ( n ) (0) = 0
( n ) (h) = f ( n ) (a) + h[ f ( n +1) (a) + ] - f ( n ) (a + h) ( n +1) (h) = f ( n +1) (a ) + - f ( n +1) (a + h) ( n +1) (0) = > 0 ( n ) (h) on kasvav f ( n ) (0) = 0 f ( n ) (h) > 0, kui h > 0 Järelikult ( n-1) (h) on kasvav ja et ( n -1) (0) = 0, siis ( n -1) (h) > 0, kui h > 0 jne. Lõpus (h) on kasvav ja (h) > 0, kui h > 0
( h) > 0 h n +1 (n + 1)! f [ ( n +1) ] (a) + - M > 0
f ( n +1) (a) + - M > 0 M f ( n +1) (a) - Järelikult M - f ( n +1) (a) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 27 ( n +1) 2) Olgu f (a) = - f ' (a ) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a ) n h n +1 ( h) = f ( a ) + h+ h + ... + h + A - f ( a + h) 1! 2! n! (n + 1)! A>0 (0) = ' (0) = ... = (n ) (0) ( n +1) (h) = A - f ( n +1) (a + h) ( n +1) (h) > 0, kui h on võimalikult väike. Nii nagu esimese punktis, saame (h) > 0 h n +1 [A - M ] > 0 (n + 1)! M 2 n
n!> n = n > a n suurte n korral n 2
Järelikult, x n +1 n 0 mistahes x -i korral (n + 1)! n Ja siit saame R n ( x) 0 1 1 1 e = 1 + + + ... + + Rn (1) 1! 2! n! 1 R n (1) = e , 0 ratsionaalne e = , siis n! e oleks täisarv, kui n > q q e Paremal pool e © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 31 2. y = sin x y ( n ) ( x) = sin x + n = sin x cos n + sin n cos x 2 2 2 Kui võtta funktsioon ja tema tuletised kohal 0, siis saame neli erinevat väärtust ( 0, 1, 0, -1 ), mis hakkavad perioodiliselt korduma. x3 x5 x 2 n +1 (18.4) sin x = x - + + ... + (-1) n + R2 n +1 ( x) 3! 5! (2n + 1)! x 2n+3 R 2 n +1 ( x) = sinx + (2n + 3) (2n + 3)! 2 ´ x 2n+3 n R2 n +1 ( x) 0 (2n + 3)!
3. y = cos x y ( n ) ( x) = cos x + n 2 Punktis 0 saame neli väärtust (1, 0, -1, 0 ), mis hakkavad perioodiliselt korduma. x2 x4 x 2n (18.5) cos x = 1 - + + ... + + R2 n ( x) 2! 4! (2n)! x 2n+2 R 2 n ( x) = cosx + 2(n + 1) (2n + 2)! 2 x 2n+ 2 n R 2 n ( x) 0 (2n + 2)!
4. y = ln(1 + x) y (0) = 0 y ' = (1 + x) -1 y ' (0) = 1 y ' ' = -(1 + x) -2 y ' ' (0) = -1 y ' ' ' = 2(1 + x) -3 y ' ' ' ( x) = 2 y ( n ) = (-1) n +1 (n - 1)!(1 + x) - n y ( n ) (0) = (-1) n +1 (n - 1)! x2 x3 xn (18.6) ln( x) = x - + + ... + (-1) n +1 + R n ( x) 2! 3 n n +1 x n +1 (-1) n x n +1 1 R n ( x) = (-1) n n! (1 + x) - ( n +1) = Lagrange´i kuju (n + 1)! n + 1 1 + x n x n +1 (1 - ) n (-1) n x n +1 1- R n ( x) = (-1) n n! (1 + x) - ( n +1) = Cauchy kuju n! 1 + x 1 + x
ln x on määratud, kui x > -1 n +1 n 1 n Kui 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 32 n +1 n Olgu - 1 Definitsioon 2 Funktsiooni y = f (x) suurimat või vähimat väärtust mingil lõigul [a, b] nimetatakse selle funktsiooni globaalseks ekstreemumiks.
Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil y = f (x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f ' ( x) = 0 või ei eksisteeri üldse.
Tõestus: Oletame, et punktis x1 tuletis eksisteerib ja f ' ( x1 ) 0 Olgu f ' ( x1 ) > 0, siis f ' ( x) > 0 ka punkti x1 ümbruses. Seega y = f (x) on selles ümbruses.
Järelikult x x1 f ( x) > f ( x1 ) See tähendab, et (26.1), (26.2) ei ole täidetud ja x1 ei saa olla ekstreemum . Analoogselt, kui y ' ( x 2 ) Definitsioon 3 Punkte, kus y ' ( x) = 0 või ei eksisteeri nimetatakse kriitilisteks punktideks või statsionaarseteks punktideks.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 34 Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega).
Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused I) Olgu x1 funktsiooni y = f (x) kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti x kasvamise suunas tuletise y ' ( x) märk: 1) - + x1 on minimaalne; 2) + - x1 on maksimaalne; 3) märk ei muutu x1 ei ole ekstreemum.
Tõestus: Olgu tuletise märgi muutus - + x f ( x1 ), kui x x1 , siis y ' ( x) > 0 y = f ( x) on kasvav f ( x) > f ( x1 ), kui x > x1 Järelikult leidub niisugune ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), x U ( x1 ) x x1 Seega x1 on miinimum. Analoogselt tõestatakse (2) ja (3) m.o.t.t.
Teoreem 2 (ekstreemumi piisavad tingimused II) Olgu x1 kriitiline punkt, milles y ' ( x1 ) = y ' ' ( x1 ) = ... = y ( n -1) ( x1 ) = 0, y ( n ) ( x1 ) 0 n 1 Siis on järgmised võimalused: 1) n on paarisarv x1 on ekstreemum; y ( n ) ( x1 ) 0 x1 on min 2) n on paarituarv x1 ei ole ekstreemum.
Tõestus: Kirjutame funktsiooni y = f (x) Taylori valemi punktis x1 f ' ( x1 ) f ( n -1) ( x1 ) n -1 f ( x) = f ( x1 ) + x + ... + x + Rn -1 ( x) 1! (n - 1)! Vastavalt teoreemi eeldusele saame, x n ( n ) f ( x) = f ( x1 ) + f ( x), x ( x, x1 ) n! x n ( n ) f ( x) - f ( x1 ) = f ( x) n! x = x - x1
x n x 2 k Kui n = 2k on paarisarv, siis = > 0, kui x x1 n! n! Eeldame, et f ( n ) ( x) on pidev punkti x1 ümbruses, siis y ( n ) ( x1 ) > 0 y ( n ) ( x) > 0, x ( x, x1 ) Siis saame f ( x) - f ( x1 ) > 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 35 f ( x) > f ( x1 ) x1 ümbruses Seega x1 on miinimum. Analoogselt saame, et f (n) ( x1 ) x n Kui n on paaritu, siis > 0, kui x > 0, x > x1 n! x n Funktsiooni y = f (x) globaalsed ekstreemumid: 1) lokaalsed ekstreemumid x1 , x 2 ... , mis asetsevad lõigul [a, b] 2) funktsiooni väärtused lõigu otspunktides f (a), f (b) Kahes eelmises punktis leitud funktsiooni väärtustest leitakse suurim ja vähim.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 36 Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus- piirkonnast (tõestusega).
Definitsioon 1 Funktsioon y = f (x) on nõgus vahemikus (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud puutujast. Funktsioon y = f (x) on kumer lõigul (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool temale tõmmatud puutujast.
Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub nõgususeks või vastupidi nimetatakse käänupunktideks.
Teoreem 1 Kui funktsioon y = f (x) on kumer mingis vahemikus, siis y n ( x) 0 selles vahemikus.
Tõestus: Olgu y = f (x) kumer vahemikus (a, b) Puutuja võrrand läbi punkti x1 y - y1 = y ' ( x1 )( x - x1 ) y1 = f ( x1 ), y ' ( x1 ) = f ' ( x1 ) x = x, y = y1 + y ' ( x1 )( x - x1 ) y - y = y - f ( x) = y1 + y ' ( x1 )( x - x1 ) - f ( x) = f ( x1 ) - f ( x) + y ' ( x1 )( x - x1 ) Eeldame, et Lagrange'i teoreemi tingimused on täidetud: f (x) on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b)
Vastavalt Lagrange'i valemile ~ ~ ~ f ( x1 ) - f ( x ) = f ' ( x )( x1 - x ) = y ' ( x )( x1 - x ), x ( x , x1 ) ~ ~ Seega, y - y = y ' ( x)( x1 - x) + y ' ( x1 )( x - x1 ) = ( x - x1 )( y ' ( x1 ) - y ' ( x)) Vastavalt Lagrange'i valemile ~ ~ ~ y ' ( x1 ) - y ' ( x) = y ' ' ( )( x1 - x) ( x, x1 ) ~ y - y = ( x - x1 )( x1 - x) y ' ' ( ) ~ Kui x 0, x1 - x > 0 ~ Kui x 0 ehk y ' ' ( ) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 37 Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine .
Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, millele funktsioon y = f (x) graafik läheneb kui tahes lähedale (kuid ei puutu ) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele.
1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22.1) lim f ( x) = + või lim f ( x) = + x x0 - 0 x x0 + 0
Enamasti on x 0 II liiki katkevuspunkt.
2) Kaldasümptoodid y = kx + b Vastavalt asümptoodi definitsioonile lim( f ( x) - y ) = 0 x
y kx + b b lim = lim = lim k + = k x x x x x x f ( x) - y f ( x) y lim = lim - =0 x x x x x f ( x) y lim = lim = k x x x x f ( x) (22.2) k = lim x x b = y - kx f ( x) - kx Järelikult, (22.3) b = lim( f ( x) - kx ) x
Funktsiooni täielik uurimine
1. Määramispiirkond. 2. Katkevuspunktid. 3. Paarsus, perioodisus. 4. y ' ( x) uurimine. Kasvamine, kahanemine, ekstreemumid. 5. y ' ' ( x) uurimine. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. 6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon . Määramata integraal ja selle omadused.
Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x )
Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka.
Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx
2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx
3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 39 Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega).
Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest.
Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1 m.o.t.t. Järeldus: Funktsiooni f (x) kõik algfunktsioonid võib esitada kujul (1.1) F ( x) + C
Funktsiooni f (x) määramata integraal (1.2) f ( x)dx = F ( x) + C , kus C on määramata konstant
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 40 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega).
Olgu f (t ) pidev funktsioon, t = u (x) - pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem (25.1) f [u( x)] u' ( x)dx = f (t )dt , kus t = u(x) Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt d dx [ ] f [u ( x)] u ' ( x)dx = f [u ( x)] u ' ( x) d dx [ ] f (t )dt = [ d dt ] f (t )dt dt dx = f (t ) u ' ( x) Tuletised on võrdsed. Seega on võrdsed ka integraalid valemis (3.1) 1 1 1 Olgu f [u ( x)] = , siis saame u ' ( x)dx = dt = ln t + C = ln u ( x) + C u ( x) u ( x) t f ' ( x) (25.2) dx = ln f ( x) + C f ( x) Olgu u ( x) = ax + b, siis (ax + b)' = a f (ax + b) adx = f (t )dt = F (t ) + C = F (ax + b) + C a f (ax + b)dx = F (ax + b) + C 1 (3.3) f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Korrutise tuletise reegel annab (uv)' = u ' v + uv' Siit uv' = (uv)'-u ' v Integreerime võrduse mõlemad pooled uv' dx = [(uv)'-u' v]dx = (uv)' dx - u ' vdx = uv - u ' vdx (3.4) uv' dx = uv - u ' vdx
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 41 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Me vaatleme integraale P ( x) (26.1) R ( x)dx = m dx Qn ( x) Pm (x) - m astme polünoom Qn (x) - n astme polünoom Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m 2) Siis avaldise täisosa ja murdosa P ( x) S ( x) (26.2) m = Tm - n ( x ) + k Qn ( x) Qn ( x) Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn (x) (26.3) Qn ( x) = q o ( x - 1 ) k1 ...( x - r ) k r ( x 2 + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) l s k1 + k 2 + ... + k r + 2l1 + ... + 2l s = r S ( x) S ( x) (26.4) = = Qn ( x) q 0 ( x - 1 ) ...( x - n ) ( x + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) ls k1 kn 2
A11 A12 A1k1 Ar1 Ark r + + ... + + ... + + ... + + ... x - 1 ( x - 1 ) 2 ( x - 1 ) k1 (x - r ) kr ( x - ar ) k r B x + C11 B1l1 x + C1l1 B sl s x + C sls ... + 2 11 + ... + + ... + x + p1 x + q1 ( x 2 + p1 x + q1 l1 ) ( x 2 + ps x + qs ) ls
1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1 1- k
II liiki osamurru integreerimine Bx + C x 2 + px + cdx (x 2 + px + q )' = 2 x + p x+ p 2 x + px + q = E 1 + 2 2 2 E B Bp B Bp Bx + C = (2 x + p) - + C = (2 x + p) + D, kus D = C - 2 2 2 2 2 2 2 p p p p p2 x 2 + px + q = x 2 + 2 x + - + q = x + + E 2 , kus E 2 = q - >0 2 2 2 2 4 Bx + C B 2x + p D dx B D x+ 2 + C p
x 2 + px + c 2 x 2 + px + c E 2 x + 2p 2 = + = + + + 2 dx dx ln x px c arctan E E 1+ E
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 42 Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine.
Me vaatleme integraali R(sin x, cos x)dx 1. Universaalne asendus x tan = t 2 x x x x x 2 cos sin 2 cos sin 2 tan sin x = 2 2= 2 2 = 2 = 2t 1 x x x 1+ t2 cos 2 + sin 2 1 + tan 2 2 2 2 x x x x x cos 2 - sin 2 cos 2 - sin 2 1 - tan 2 2 2 2 2 2 1- t2 cos = = = = 1 2 x 2 x 2 x 1+ t2 cos + sin 1 + tan 2 2 2 x 2 = arctan t x = 2 arctan t dx = dt 2 1+ t 2
x 2dt 2t 1- t2 (27.1) tan =t dx = sin x = cos x = 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2
2. Integraalid R(sin x, cos x, tan x, sin x cos x)dx 2 2
Kasutame asendust 1 tan x = t dx = dt 1+ t2 t2 (27.2) sin 2 x = 1+ t2 1 cos 2 x = 1+ t2 t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2
3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2
(27.3) sin x = t cos xdx = dt
R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega).
Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1
Definitsioon 7.1 Funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks lõigul [a, b] nimetatakse piirväärtust b (28.4) lim S n = f ( x)dx max xi 0 n a
tingimusel, et piirväärtus eksisteerib.
Määratud integraali omadused
1. Lineaarsus b b b (28.5) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx a a a
2. b c b (28.6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a a c
3. b a (28.7) f ( x)dx = - f ( x)dx a b
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 44 2. Keskväärtusteoreem Kui funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis leiduv vähemalt üks selline punkt , mille korral kehtib valem b (28.8) f ( x)dx =µ (b - a) = f ( )(b - a), kus m µ M ja [a, b] a
m = inf f ( x) x [a, b] M = sup f ( x) x [a, b] n n n Et m f ( ) M ja [a, b] ,siis mx i S n = f ( )x i Mx i i =1 i =1 i =1 n
x i =1 i = ( x1 - a) + ( x 2 - x1 ) + ... + (b - x n -1 ) = b - a m(b - a ) S n M (b - a) b Võtame piirväärtuse, kui n ja max x i 0, siis m(b - a ) f ( x)dx M (b - a ) a b Järelikult leidub m µ M , et f ( x)dx = µ (b - a) a
Kui f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis mistahes µ (m µ M ) korral leidub vähemalt üks punkt, kus f ( ) = µ
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 45 Ülemised ja alumised integraalsummad ning nende omadused (tõestusega).
Tähistame, mi = inf f ( x) (29.1) M i = sup f ( x) Määratud integraalsummad n (29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma i =1 n S n = M i x i - ülemine integraalsumma i =1 On selge, et on täidetud võrratused n (29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a) i =1 Lemma 8.1 Kui jaotusele J lisada üks täiendav punkt, siis alumine integraalsumma võib vaid kasvada ja ülemine integraalsumma vaid kahaneda. ' Sn Sn (29.4) ' Sn Sn Tõestus: Vaatleme näiteks S n Olgu J ' ühe punkti c lisamisega, mis asub lõigul [x i -1 , x i ] Kõik...integraalsummat jäävad muutumatuks, välja arvatud mi x i , mis asendub lisamisega m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i Lemma 8.2 Mistahes ülemise ja alumise integraalsumma jaoks kehtib võrratus (29.5) S n S m , kus S n ja S m on moodustatud suvalise jaotuse järgi. Tõestus: Olgu S n moodustatud jaotusega J 1 ja S m jaotusega J 2 Me saame moodustada jaotuse J 3 , mis sisaldab kõiki punkte nii jaotusest J 1 ja J 2 Vastavalt lemmale 8.1 saame S n S k S n S m Lemma 8.3 Ülemistel ja alumistel integraalsummadel on piirväärtus, kui n ja max x i 0, ning need piirväärtused on võrdsed. (29.6) lim S n = lim S n = S n n
Tõ moodustavad mittekahaneva jada, mis on tõkestatud ülevalt konstandiga M (b - a) Sellest järeldub, et eksisteerib piirväärtus lim S n Analoogselt eksisteerib lim S n n n
Vaatleme suhet n n n S n - S n = M i xi - mi xi = ( M i - mi )x i i =1 i =1 i =1 Kui funktsioon on pidev lõigul, siis ta on ühtlaselt pidev sellel lõigul, s.t. et > 0 > 0 x1 - x 2 0 > 0, et x i © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 46 Teoreem määratud integraali olemasolust (tõestusega).
Teoreem 1 Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis eksisteerib määratud integraal b (30.1) f ( x)dx = lim S a n n
max x i 0
Tõestus: Kehtivad võrratused mi f ( i ) M i i [xi -1 , xi ] n S n S n = f ( i )x i S n i =1 n n S n = mi x i S n = M i x i i =1 i =1 Kuna eksisteerivad piirväärtused lim S n = lim S n = S n n max x i 0 max x i 0
Siis vastavalt "kahe politseiniku" teoreemile eksisteerib ka piirväärtus lim S n = lim f ( i )x i = S n n i =1 max x i 0 max x i 0 b Vastavalt integraali definitsioonile, see piirväärtus ongi määratud integraal f ( x)dx a
m.o.t.t.
Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a. loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte. c b b
a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx c a
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47 Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega).
Newton -Leibnizi valem b b b
f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a a
Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x
f (t )dt = ( x) a
Teoreem 1 Olgu funktsioon f (t ) pidev lõigul [a, b] . Siis funktsioon (x) on diferentseeruv ja seejuures tema tuletis (31.1) ' ( x) = f ( x)
Tõestus: Vastavalt definitsioonile ( x) ' ( x) = lim x 0 x ( x) = ( x + x) - ( x) = x + x x x x + x x x + x = a f (t )dt - f (t )dt = f (t )dt + a a x f (t )dt - f (t )dt = a f (t )dt = x
= f ( x)( x + x - x) = f ( x)x, kus x ]x, x + x[ f ( x)x ' ( x) = lim = lim f ( x) = f ( x) x 0 x x 0
m.o.t.t. x Järeldus: ( x) = f (t )dt on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile a
( x) = F ( x) + C x
f (t )dt = F ( x) + C a a Kui x = a, siis f (t )dt = 0 a
Seega F (a) + C = 0 C = - F (a) x
f (t )dt = F ( x) - F (a) a
Võttes x = b, saame b
f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x) b (31.2) a (Newton-Leibnizi valem) a
Märkus: f ( x)dx = F ( x) + C
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 48 Newton-Leibnizi valem (tõestusega).
Newton-Leibnizi valem b b b
a f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a
Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x
f (t )dt = ( x) a
x Järeldus: ( x) = f (t )dt on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile a
( x) = F ( x) + C x
f (t )dt = F ( x) + C a a Kui x = a, siis f (t )dt = 0 a
Seega F (a) + C = 0 C = - F (a) x
f (t )dt = F ( x) - F (a) a
Võttes x = b, saame b
f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x) b (32.1) a (Newton-Leibnizi valem) a
Märkus: f ( x)dx = F ( x) + C
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 49 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus määratud integraali korral.
Määratud integraali korral kehtivad valemid b b
uv' dx = uv a - u ' vdx b (33.1) a a b (33.2) f ( x)dx = f [u (t )] u ' (t )dt a
x = u (t ) a = u ( ) dx = u ' (t )dt b = u( )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 50 Määratud integraali rakendused (pindala, kaare pikkus, raskuskese).
1. Pindala arvutamine 2) x = g ( y ) b (34.1) S = [ f ( x) - g ( x)]dx (34.5) dl = 1 + x' 2 dy a d x = u (t ) (34.1') S = [s ( y ) - f ( y )]dy 3) t1 t t 2 c y = v(t ) Olgu joon antud parameetrilisel kujul x y 2 2
x = u (t ) l = x + y = + t 2 2
t t y = v(t ) dl = x 2 + y 2 dt x2 t2 o S= ydx = y x dt x1 t1 (34.6) t2
l = x 2 + y 2 dt o t1 dx = x dt Polaarkoordinaadid 4) = u ( ) x = cos 2 0 - u = sin l = + = + 2 2 2 2
Joon polaarkoordinaatides
= u ( ) 1 S = 2 dl = ' 2 + 2 d 2 (34.7) n 1 1 l = ' 2 + 2 d S i2 i 2 d i =1 2 2 1 3. Pöörkeha pindala ja ruumala (34.3) S = 2 d 2 b b
2. Kõverjoone kaare pikkuse arvutamine (34.8) V = S ( x)dx = y 2 dx a a b b n B l = l i = dl (34.9) S = 2ydl = 2 1 + y ' 2 dx i =1 a a A
1) y = f ( x) a x b Pöörkeha ümber y - telje d x 2 + y 2 = l 2 (34.8') V = x 2 dy 2 x c l = 1 + x d y (11.9') S = 2 x 1 + x' 2 dy c dl = 1 + y ' 2 dx (34.4) b l = 1 + y ' 2 dx a
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 51