Matemaatilise analüüsi konspekt (0)

Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon.
Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y
elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x)
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste
hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega.
Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon
omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna.
Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud
reaalmuutuja funktsioonil:
B ( x)
1) A( x) 0
A( x)
2) 2 x A( x) A( x) 0
3) logaA(x) A(x) >0
arcsin A( x)
4) -1 A( x) 1
arccos A( x)
Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f
väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x)
Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x
liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks
y=f[g(x)]=f*g(x)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1
Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega).
Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0,
kui >0, () >0, et 0 Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et
eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed.
lim f ( x) = lim f ( x) = a
x x0 - 0 x x0 + 0
Teoreemid piirväärtuste kohta.
Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus,
s.t. lim ( x) = 0
x x0
Tõestus:
1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a
x x0
Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a
x x0 x x0 x x0
>0, () >0, et 0 Kuid ( x) = f ( x) - a
Järelikult >0, () >0, et 0 seega lim f ( x) = a
x x0
2) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x)
x x0
Vastavalt piisavuse definitsioonile >0, () >0, et 0 Tähistame f ( x) - a = ( x) , sel juhul saame 0 Seega (x) on lõpmatult kahanev, saan lim ( x) = 0
x x0
m.o.t.t.
Teoreem 2 Olgu olemas piirväärtused lim f ( x) = a , lim g ( x) = b , siis
x x0 x x0
1) lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = a ± b
x x0 x x0 x x0
2) lim f ( x) g ( x) = lim f ( x) lim g ( x) = a × b
x x0 x x0 x x0
lim f ( x)
f ( x ) x x0 a
3) lim = = , kus b 0
x x0 g ( x ) lim g ( x) b
x x0
Tõestus:
lim f ( x) = a , lim g ( x) = b 0
x x0 x x0
lim f ( x)
f ( x ) x x0 a
lim = =
x x0 g ( x ) lim g ( x) b
x x0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 2
f ( x) a f ( x) a a bf ( x) - ag ( x)
= + - = +
g ( x) b g ( x) b b bg ( x)
Vastavalt teoreemile 5.1 saame f ( x) = a + ( x) , g ( x) = b + ( x) ,
kus (x) , ( x) 0 , kui xx0
bf ( x) - ag ( x) b(a + ( x)) - a(b + ( x) b ( x) - a ( x)
= =
bg ( x) b(b + ( x)) b(b + ( x))
b (x) , a (x) on lõpmatult vähenev suurus (a ja b on tõestatud)
1
b(b + ( x)) b 2 0 , seega M
b(b + ( x))
Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus, kui xx0,
f ( x) a f ( x) a
siis = + ( x) , mis tähendabki, et lim =
g ( x) b x x0 g ( x ) b
m.o.t.t.
Teoreem 3 (kahe politseiniku teoreem)
Olgu punkti x0 teatud ümbruses
U r ( x) = ]x 0 - r ; x 0 + r [ , kehtivad võrratused
(5.1) f ( x) h( x) g ( x)
ja olgu lim f ( x) = a , lim g ( x) = a
x x0 x x0
siis eksisteerib
lim h( x) = a
x x0
Tõestus: Vastavalt piirväärtuse definitsioonile
>0, 1() >0, et 0 >0, 2() >0, et 0 Olgu = min( 1 , 2 ) , siis 0 f(x)-a - a- a- Võrratusest (5.1) järeldub, et
a- Seega a- - h(x)-a Järelikult >0, () >0, et 0 lim h( x) = a
x x0
m.o.t.t.
Teoreem 4 Olgu punkti x0 teatud ümbruses kehtiv võrratus f(x) >0
Kui funktsioonil f (x) on piirväärtus tingimusel, et x x 0 , siis piirväärtus peab
olema mittenegatiivne lim f ( x) = a 0
x x0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 3
Tõestus: Oletame, et a>0
Siis f ( x) - a a , sest f(x)0 a>0
Kuid teoreemi (5.1) järgi peab f(x) - a olema lõpmatult vähenev suurus ja seega
muutub kui tahes väikeseks
Seega a>0 on võimatu ja a0
m.o.t.t.
Järeldus 5.1 Kui on täidetud võrratus f(x) >g(x) punkti x0 ümbruses ja funktsioonide
f(x) ja g(x) piirväärtused eksisteerivad, siis lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
Tõepoolest h(x)= f(x)- g(x) 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 4
Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk.
Definitsioon 1 Funktsiooni (x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks tingimusel, et xx0, kui
lim ( x) = 0
x x0
Piirväärtuse definitsiooni kohaselt >0, () >0, et 0 Teoreem 1 Lõpliku arvu lõpmatult vähenevate väärtuste summa on samuti lõpmatult vähenev
suurus
1+ 2+ ...+n=(x) lim ( x) = 0
x x0
Definitsioon 2 Funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal A, kui leidub selline positiivne konstant M, et
f ( x) M , kui x A
Teoreem 2 Lõpmatult väheneva suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmatult vähenev suurus
Tõestus: Olgu lim ( x) = 0
x x0
f ( x) M , kui x ]x 0 - r ; x 0 + r [
( x) = ( x) × f ( x)
Vastavalt def. >0, () >0, et 0 M
Seejuures saame r
Siis saame, et >0, () >0,
et 0 M
m.o.t.t.
Olgu kaks lõpmatult vähenevat suurust ( x ) ja ( x) , kui x x 0 , s.t. lim ( x) = 0 , lim ( x) = 0
x x0 x x0
Võrdlemine:
0, siis ( x) järk > ( x) järk
( x)
(8.1) lim = , siis ( x) järk x x ( x)
0
r 0, , siis ( x) järk = ( x) järk
( x)
Kui lim = 1 , siis (x) ja (x) on ekvivalentsed
x x ( x)
0
Definitsioon 3 Lõpmatult väheneva suuruse (x) järguks nim. sellist arvu n, mille korral
( x)
lim = r 0,
x x0 ( x - x ) n
0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 5
sin x
Piirväärtus lim =1 (tõestusega). Arv e ja piirväärtus lim (1 + x
)
1 x
=e
x 0 x x
sin x
Piirväärtus lim .
x 0 x
OB = 1
S OAB S OAB S OAC
S OAB
= 12 × 1 × sin x
S OAB
= 12 × 1 × x
S OAC
= 12 × 1 × tan x
sin x x tan x 2
×
2 2 2 sin x
1 sin x cos x , siit saame, et 1 sinx x cos x (need võrratused kehtivad ka siis, kui x x 1
Eksisteerib piirväärtus lim cos x = 1
x 0
sin x
Vastavalt teoreemile (5.3(2 politseiniku teoreem)) saame, et eksisteerib ka piirväärtus lim =1
x 0 x
Arv e.
Teoreem 1 lim (1 + )
1 n
n
= e , kus n
x
Tõestus: Newtoni binoomvalem
(a + b )n = a n + 1n! a n -1b + n ( n2-! 1) a n -2 b 2 + n ( n -1)( n - 2 )
3!
a n -3 b 3 + ... + n ( n -1)( n - 2 )...( n - ( n - 2 ))
( n -1)!
ab n -1 + b n
(1 + 1n )n = 1 + 1n! 1n + n ( n2-! 1) n1 + n ( n -13)(! n -2) n1 + ... + n ((nn--11)..)!2 n 1 + n1 =
2 3 n -1 n
= 1 + 1 + 21! 1(1 - 1n ) + 31! 1(1 - 1n )(1 - n2 ) + ... + n1-1 1(1 - 1n )(1 - n2 )(1 - n -n 2 ) + n1 n
(1 + 1n )n 2 ; (1 + 1n )n on kasvav funktsiooni n suhtes
1 - 1n > 1 - n1-1
Ja liikmete arv kasvab ühe võrra, kuna (1 + 1
n
) 1
2!
= 12 ; 1
3!
4!
n -1
nn
= 1 n!
n! n n
(1 + 1n )n 2 n -1
2 (1 + 1n ) n
Kui funktsioon on kasvav ja on tõkestatud ülevalt f(x) M, siis eksisteerib piirväärtus lim f ( x) = a
x
Antud juhul (1 + )
1 n
n
on kasvav n kasvades ja on tõkestatud ülevalt arvuga 3
Piirväärtust lim (1 + )
1 n
n
= e nim. arvuks e
x
Teoreem 2 Kehtib valem (7.1) lim (1 + )
1 x
x
=e
x
Tõestus:
1) Vaatleme algul juhust, kui x +
Iga x jaoks eksisteerib niisugune n , et n x
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 6
Seega 1
n
1x > 1
n +1
Siit saame (1 + 1 x
n
) (1 + )
1 x
x
> (1 + )
1 x
n +1
(1 + )
1 n +1
n
(1 + 1 x
x
) > (1 + 1 n
n +1
)
(1 + n1+1 )n +1
(1 + )(1 + )
1 1 n
(1 + ) >
1 x
n n x
(1 + n1+1 )
Leiame piirväärtused
lim(1 + 1n )(1 + 1n ) = 1 e = e
n
x
(1 + n1+1 )n +1 e
lim = =e
x (1 + 1 ) 1
n +1
Kahe politseiniku teoreemi põhjal saame, et eksisteerib piirväärtus lim (1 + 1 x
x
) =e
x
2) Olgu x -
Tähistame x = -( y + 1)
Kui x - y +
lim (1 + 1x ) = lim 1 +
x -
x
( 1
)
- ( y +1)
- y -1
= lim ( )
y - y -1
x + y +1
(
= lim 1 +
x + y
) (1 + ) = e
1 y 1
y
x +
m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 7
Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid
lõigul pideva funktsiooni kohta.
Definitsioon 1 Funktsioon y =f(x) on pidev punktis x0, kui kehtib (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0
Teiste sõnadega >0, () >0, et 0 Funktsioon on pidev paremalt punktis x0, kui (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0 + 0
Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9.2)` lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0 - 0
Definitsioon 2 Funktsioon y =f(x) on pidev antud vahemikus (lahtine hulk), kui ta on pidev selle
vahemiku igas punktis
Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus ]a, b[ , on pidev
paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b
Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0 märgitakse lim f ( x) = b
x x0 - 0
seejuures xx0 nii, et x Funktsiooni y=f(x) piirväärtus paremalt xx0 märgitakse lim f ( x) = c
x x0 + 0
seejuures xx0 nii, et x>x0
Neid piirväärtusi nimetatakse ühepoolseteks
Definitsioon 4 Katkevuspunktideks nim. argumendi x väärtuseid, mille korral funktsioon ei ole
pidev, kuid nende punktide piisavalt väikeses ümbruses on pidev
Katkevuspunktide liigid:
Olgu katkevuspunkt x0 ja lim f ( x) = A , lim f ( x) = B
x x0 - o x x0 + o
1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0
Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks
Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0
x x0
2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B
Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht
3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse
Punkti x0 on II liiki katkevuskoht
Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M.
Siis on pidevad ka funktsioonid:
1) f(x)+ g(x)
2) f ( x) g ( x)
f ( x)
3) , kus g ( x) 0 , kui x M
g ( x)
Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8
Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b]
Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt x1 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma suurima väärtuse
ja samuti vähemalt üks punkt x 2 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma vähima väärtuse sellel lõigul.
f ( x1 ) = sup f ( x), x1 [a, b] = M
(10.1)
f ( x 2 ) = inf f ( x), x 2 [a, b] = m
Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b]
Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M
leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k
Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2) Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9
Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali
võrrand.
Olgu antud funktsioon y = f (x)
Anname argumendile x muudu x
Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x)
Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust
y f ( x + x) - f ( x)
y ' = lim = lim
x 0 x x 0 x
y
Kui me võtame piirväärtuse paremalt, siis saame ka tuletise paremalt lim
x
x 0 + 0
y
Kui me võtame piirväärtuse vasakult, siis saame ka tuletise vasakult lim
x 0 - 0 x
Järeldus: Funktsiooni tuletis eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad tuletised nii vasakult ja
paremalt ja nad on võrdsed.
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletis kohal x
Siis see funktsioon on pidev selles punktis.
y
Tõestus: Vastavalt eeldusele eksisteerib piirväärtus y ' ( x) = lim
x 0 x
y
Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0
x x 0
Seega y = y ' ( x) x + (x) x
lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0
>0, () >0, et 0 0 y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0
Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus
>0, () >0, et 0 Järelikult y = f (x) on pidev.
Märkus: Teoreemi 11.1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte-
diferentseeruv.
Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis.
Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas
punktis.
Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk
y
y ' = lim = lim tan = tan
x 0 x x 0
Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga
tangensiga)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 10
k = tan = y '
Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y - y 0 = k ( x - x 0 )
Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0
y - y 0 = y ' ( x 0 )( x - x 0 ) , kus y 0 = f ( x 0 )
1
Kaks sirget tõusudega k1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui k1 × k 2 = -1 ehk k 2 = -
k1
1
Seega normaali võrrand kõverjoonel y =f(x) on y - y 0 = - ( x - x0 )
y' ( x0 )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 11
Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletis kohal x
Siis see funktsioon on pidev selles punktis.
y
Tõestus: Vastavalt eeldusele eksisteerib piirväärtus y ' ( x) = lim
x 0 x
y
Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0
x x 0
Seega y = y ' ( x) x + (x) x
lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0
>0, () >0, et 0 0 y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0
Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus
>0, () >0, et 0 Järelikult y = f (x) on pidev.
Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent-
seeruv.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12
Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n
Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)]
(13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u '
'
Tõestus:
f f u f
lim = lim , kuna f u' = lim
x 0 x x 0 u x x 0 u
u
u ' = lim ,
x 0 x
f u
siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u '
x 0 u x 0 x
m.o.t.t.
Teoreem 2 Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv punktis x , siis selle pöördfunktsioon
x = g ( y ) on samuti diferentseeruv punktis y ( y = f ( x))
Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine
1
f ' ( x) =
g ' ( y)
Tõestus: Eelduse kohaselt eksisteerib tuletis
x 1 1 1
y ' = f ' ( x) = lim = lim x = lim g ( y + y ) - g ( y ) = lim
x 0 y x 0 x 0 x 0 g ' ( y )
y y
y = f ( x) x = g ( y )
x = g (y )
m.o.t.t.
Näited: cos y = ± 1 - sin 2 x = ± 1 - x 2
1. y = e x y = ln x Samuti on
(e x )' = e x e y = e ln x = x 1
(cos)' = -
1 1 1 1- x2
(ln x)' = x = y =
(e )' e x
Analoogselt 3. y = tan x y = arctan x
1 1
(a x )' = a x ln a (log a x)' = (tan x)' = y = tan(arctan x) = x
x ln a cos 2 x
1 1 1 1
2. y = sin x y = arcsin x (arctan x)' = = 1 = =
(tan y )' cos 2 y tan y 1 + x 2
2
(sin x)' = cos x x = sin x
1 1 1 1
(arcsin x)' = = 1 = = sin 2 y cos 2 y + sin 2 y 1
(tan y )' cos 2 x tan y 1 + x 2
2
1 + tan y = 1 +
2
2
= 2
=
cos y cos y cos 2 y
sin 2 y + cos 2 y = 1
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13
Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega).
Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui
ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis.
x = u (t )
(9.1)
y = v(t )
Näide:
x = R cos t
(ringjoone parameetriline võrrand)
y = R sin t
x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2
x2 + y2 = R
Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul
o
y o
(9.2) y' = o
, kus y = y ' (t ) = v'
x
o
x = x' (t ) = u '
Tõestus: Vastavalt definitsioonile
y
y
y ' = lim = lim xt
x 0 x x 0
t
Et funktsioonidel x = u (t ) ja y = v(t ) on tuletised kohal t , siis muutudele x ja y vastab
parameetri muut t .
x 0 t 0
o
y
t y ' (t ) y
y ' = lim = =
x 0 x x' (t ) xo
t
Märkus: Teoreemi (9.1) saab tõestada
y ' = (u (t ))' = u t' t ' ( x)
pöördfunktsiooni t = t (x) tuletis
1
t ' ( x) =
v' ( f )
o
u' y
järelikult y ' = = o
v' x
Definitsioon 2 Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii
argumenti x kui ka funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga.
(9.3) F ( x, y ) = 0
Näited:
1. x 2 + y 2 = 1 (ühikringjoone ilmutamata kuju)
y = ± 1 - x 2 (ilmutatud kuju)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 14
2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon)
Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon.
2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0
2 xy + y cos yx + ( x 2 + x cos y ) y ' = 0
2 xy + y cos xy
y' = 2
x + x cos xy
F
= y 2 x + y cos xy
x
F
= x 2 + x cos xy
y
Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F ( x, y ) osatuletis x -i järgi saadakse võttes teine muutuja
y konstantseks.
F F ( x + x, y )
(9.5) = lim
x x 0 x
Analoogselt osatuletis y -i järgi saadekse nii, et x = const
F F ( x, y + y )
(9.5) = lim
y y 0 y
Teoreem 2 Ilmutamata funktsiooni F ( x, y ) = 0 tuletis avaldub kujul
F
x
(9.5) y' = - F
y
Tõestus: Diferentseerides ilmutamata funktsiooni avaldist ja eeldades, et y on x -i funktsioon
saame
F ( x, y ) = 0
F F
+ y' = 0
x y
F
x
y' = - F
y
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 15
Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni ligikaudne
arvutamine diferentsiaali abil.
Definitsioon 1 Funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks nimetatakse tema muudu lineaarset osa
(argumendi muudu suhtes).
Kui funktsioon muut on esitatud kujul
(x)
y = A x + (x) ja seejuures lim =0
x 0 x
siis funktsiooni diferentsiaal
dy = A x A ei sõltu x -st
Näited: 2. y = arctan x
2
1. y = e - x 1 1 -2
1
1
2 2 y' = x =
y ' = e - x ( -2 x ) dy = -2 xe - x dx 1+ x 2 2 x (1 + x)
dx
dy =
2 x (1 + x)
dy
Valemist dy = y ' ( x) dx järeldub, et y ' ( x) =
dx
Seega parameetrilise funktsiooni tuletis
o dx
x = u ' (t ) = o
x = u (t ) dt dy y
y' = =
y = v(t ) dy dx xo
o
y = v' (t ) =
dt
Geomeetriline tõlgendus:
dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x
y ' ( x) = tan
dy
= y ' ( x) = tan
x
Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f (x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab
argumendi numbrile
x = dx
Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil.
Vastavalt diferentsiaali definitsioonile y = dy + (x),
(x)
kus lim =0
x 0 x
järelikult väikeste x -de korral kehtib
y dy
y = f ( x + x) - f ( x)
dy = y ' ( x) x = f ( x) x
f ( x + x) - f ( x) f ' ( x) x
f ( x + x) f ( x) + f ' ( x) x
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 16
x x0
x + x x
x = x - x 0
(10.1) f ( x) f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) x
x = x - x 0
Valemi (10.1) täpsus on ligikaudu (x) 2
Näide:
3
1,96 2 + 4
y = 3 x2 + 4 x = 1,96 x0 = 2 x = x - x 0 = -0,04
y ( x 0 ) = y ( 2) = 3 4 + 4 = 2
2
1 - 2x
y ' = ( x 2 + 4) 3 2 x = 2
3
3( x + 4)
2 3
1
y ' ( x 0 ) = y ' (2) =
3
1 149
3
1,96 2 + 4 2 + (-0,04) =
3 75
0,04 = 0,0016 0,002
2
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 17
Teoreem diferentsiaali olemasolust (tõestusega).
Teoreem 1 Funktsioonil y = f (x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis vaadelda-
vas punktis ning seejuures
(11.1) A( x) = y ' ( x)
Tõestus:
1) Tarvilikkus:
Eksisteerigu dy eksisteerib y ' ( x)
Kui funktsioonil on diferentsiaal, siis y = A x + (x)
y (x)
Seega = A+
x x
y (x)
lim = lim A + = A( x)
x 0 x x
x 0
2) Piisavus:
Eksisteerigu y ' ( x) eksisteerib dy
y
Kui funktsioonil on tuletis, siis y ' ( x) = lim
x 0 x
y
Järelikult = y ' ( x) + (x) ,
x
kus lim (x) = 0
x 0
Korrutades seda võrdust x -ga saame
y = y ' ( x) x + (x) x
Järelikult diferentsiaal eksisteerib ja on
(11.2) dy = y ' ( x) x
m.o.t.t.
Vaatleme funktsiooni y = x
Sel juhul y ' = 1
dy = dx = x
Argumendi muut on võrdne tema diferentsiaaliga
Me saame valemi
(11.3) dy = y ' ( x) dx
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 18
Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised.
Kõrgemat järku diferentsiaalid.
Ilmutatud funktsioonil saab vahetult leida Et y ' ' = ( y ' )' ,
suvalist järku tuletise siis peame valemis (12.4) y asendama y ' -ga.
(12.1) y ( n ) ( x) = ( y ( n -1) ( x))' o
( y ')
(12.5) y ' ' = o
Vaatleme ilmutamata funktsiooni x
F ( x, y ) = 0 Jätkates seda protsessi saame üldiselt
Selle esimene tuletis on o
F ( y ( n -1) )
(12.2) y ' = - x (12.6) y ( n ) = o
n = 1,2...
F
y x
Seega y ' = F1 ( x, y ) Näited:
x = 2 cos 2 t
Siit saame y ' ' = ( y ' )' = ( F1 ( x, y ))'
y = 3 sin 3 t
F1 F1 F F o
y' ' = + y ' = 1 + 1 F1 = F2 ( x, y ) x = 2 2 cos t (- sin t ) = -4 sin t cos t
x y x y o
Üldiselt saame y = 3 3 sin 2 t cos t = 9 sin 2 t cos t
( y (n -1) ) ( y ( n -1) ) 9 sin 2 t cos t 9
(12.3) y ( n ) = + y' y' = = - sin t
x y - 4 sin t cos t 4
n = 2,3... o 9
( y ') = - sin t
4
Näited: - 9 cos t 9
y' ' = =-
x 2 + y + sin y = 0 4 4 sin t cos t 16 sin t
2x
y' = - = -2 x(1 + cos y ) -1
1 + cos y
( y ' ) -2
=
x 1 + cos y
( y' ) 2 x sin y
= -2 x(-1)(1 + cos y ) - 2 (- sin y ) = -
y (1 + cos y ) 2
2 2 x sin y 2x 4 x 2 sin y 2
y' ' = - - - = -
1 + cos y (1 - cos y ) 2 1 + cos y (1 + cos y )
2
1 + cos y
Olgu antud parameetriline funktsioon
x = u (t )
y = v(t )
o
y
(12.4) tema esimene tuletis y ' = o
x
o o
kus y = v' (t ), x = v' (t )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 19
Funktsiooni y = f (x) esimest järku diferentsiaal on dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x
Teist järku diferentsiaali saame võttes esimese diferentsiaali diferentsi
d 2 y = d (dy ) = (dy )' dx
(dy )' = ( y ' ( x) x)' = x y ' ' = y ' ' ( x)dx
Seega
(12.7) d 2 y = y ' ' ( x)dx 2
Jätkates seda protsessi on
(12.7) d n y = y ( n ) ( x)dx n n = 1,2...
Valemist (12.7) järeldub, et funktsiooni kõrgemat järku tuletise võib esitada kujul
dny
(12.8) y ( x) = n
(n)
n = 1,2...
dx
Olgu antud liitfunktsioon y = f [u (x)]
dy = ( f [u ( x)]) dx = f u' u ' dx
'
df
f u' u ' =
dx
u ' dx = du
df
f u' =
du
df
dy = dx
dx
Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks.
df
dy = du
du
Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes...
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20
Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega).
Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b)
Olgu x1 1) kui f ( x1 ) 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev;
3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev;
4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav.
Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b)
x = x 2 - x1
Sel juhul on sama märgiga
y = f ( x 2 ) - f ( x1 )
y y
> 0 lim = y' 0
x x 0 x
Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0
Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav
y
y ' = lim >0
x 0 x
y
= y ' ( x) + (x) > 0, kui x on piisavalt väike.
x
Funktsioon on mittekahanev y ' ( x) 0
Analoogselt
Funktsioon on kahanev y ' ( x) 0
Kui y ' ( x) Funktsioon on mittekasvav y ' ( x) 0
Teoreem 1 (Rolle'i teoreem)
Olgu täidetud järgmised tingimused:
1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b]
2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b)
3) f (a) = f (b) = 0
Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et
(13.1) f ' (c) = 0
Tõestus: Sellest, et funktsioon on pidev lõigul järeldub, et leiduvad niisugused punktid, kus ta
saavutab oma vähima vääruse m ja suurima väärtuse M sellel lõigul.
1) Kui m = M = 0 f ( x) = 0
Kuid konstandi tuletis on null
f ' ( x ) = 0 x ( a , b)
2) Olgu M 0 ja olgu f (c) = M
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 21
Eksisteerib y ' (c) , mis ei saa olla positiivne ega negatiivne. Vastasel juhul funktsioon oleks kasvav
või kahanev punkti c ümbruses. Mõlemal juhul peab funktsioon omandama punkti c läheduses
väärtuseid, mis on suurem kui M . See aga on võimatu.
Järelikult f ' (c) = 0
m.o.t.t.
Järeldus: Kui funktsiooni rahuldab teoreemi (1) kahte esimest punkti ja f (a ) f (b) 0
Ka siis eksisteerib c (a, b)
f ' (c ) = 0
Tõepoolest, võtame
g ( x) = f ( x) - f (a)
Kõik kolm teoreemi tingimust on täidetud ja järelikult g ' (c) = 0, c (a, b)
Kuid g ' ( x) = f ' ( x) f ' (c) = 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 22
Lagrange'i ja Cauchy teoreem (tõestusega).
Teoreem 1 ­ Lagrange'i teoreem
Olgu täidetud tingimused:
1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b]
2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b)
Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et
(14.1) f (b) - f (a) = f ' (c) (b - a) Lagrange'i või lõpliku muudu valem
Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni
F ( x ) = ( f ( x ) - f ( a ) )(b - a ) - ( f (b ) - f ( a ) )( x - a )
See funktsioon on
1) pidev lõigul [a, b]
2) diferentseeruv vahemikus (a, b)
F ' ( x) = f ' ( x)(b - a ) - ( f (b) - f (a ) )
3) F (a) = F (b) = 0
F (a ) = ( f (a ) - f (a ) )(b - a ) - ( f (b) - f (a ) )(a - a ) = 0
Vastavalt Rolle'i teoreemile eksisteerib niisugune c (a, b), et F ' (c) = 0
F ' (c) = f ' (c)(b - a ) - ( f (b) - f (a ) ) = 0
Siit saamegi valemi (13.1)
m.o.t.t.
Teoreem 2 ­ Cauchy teoreem
Olgu kaks funktsiooni f (x) ja g (x) , mis rahuldavad tingimusi:
1) nad on pidevad lõigul [a, b]
2) nad on diferentseeruvad vahemikus (a, b)
3) g (a) - g (b) 0
4) f ( x) ja g ( x) ei muutu üheaegselt nulliks vahemikus (a, b)
Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt c (a, b), et
f (b) - f (a) f ' (c)
(14.2) = Cauchy valem
g (b) - g (a) g ' (c)
Tõestus: Vaatleme funktsiooni
G ( x) = ( f ( x) - f (a ) )( g (b) - g (a ) ) - ( f (b) - f (a ) )( g ( x) - g (a ) )
Sellel funktsioonil on järgmised omadused:
1) ta on pidev lõigul [a, b] ;
2) ta on diferentseeruv vahemikus (a, b) ;
G ' ( x ) = f ' ( x )( g (b ) - g ( a ) ) - ( f (b) - f ( a ) )g ' ( x )
3) G (a ) = G (b) = 0
Vastavalt Rolle'i teoreemile leidub vähemalt üks niisugune punkt c (a, b), et G ' (c) = 0
G ' (c) = f ' (c)( g (b) - g (a ) ) - ( f (b) - f (a ) )g ' (c) = 0
f ' (c)( g (b) - g (a ) ) = ( f (b) - f (a ) )g ' (c)
g ' (c) 0, sest kui g ' (c) = 0, siis järeldub võrdusest, et f ' (c) = 0 , mis on vastuolus eeldusega.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 23
Jagades võrduse mõlemad pooled g ' (c) -ga ja ( g (b) - g (a ) ) -ga saamegi Cauchy valemi.
m.o.t.t.
Märkus: Lagrange'i valem on Cauchy valemi järelduseks, kui g ( x) = x
Tõepoolest g (a) - g (b) = a - b
g ' (c ) = 1
f ( a ) - f (b ) f ( c )
= (a - b) Saame Lagrange'i valemi.
a-b 1
Ka Lagrange'i valemit saan geomeetriliselt tõlgendada.
f (b) - f (a) = (b - a ) tan
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 24
L'Hospitali reegel (tõestusega kui x a, ).
f ( x) 0
Teoreem 1 Olgu antud piirväärtus lim , milles on määramatus või
x a g ( x ) 0
Kui eksisteerib funktsioonide tuletiste suhte piirväärtus, siis eksisteerib ka esialgne piirväärtus ja
f ( x) f ' ( x)
lim = lim ­ L'Hospitali reegel
x a g ( x) x a g ' ( x)
Tõestus:
0
1) Olgu määramatus ja a - lõplik.
0
Eeldame, et punkti a teatud ümbruses on täidetud Cauchy reegli tingimused.
f ( x ) f ( x ) - f ( a ) f ' (c )
= = , kus c (a, x)
g ( x ) g ( x ) - g ( a ) g ' (c )
f (a) = g (a) = 0
Kui x a, siis ka c a
f ' ( x) f ( x)
Kui eksisteerib piirväärtus lim , siis eksisteerib ka lim ja nad on võrdsed.
x a g ' ( x ) x a g ( x )
0
2) Olgu määramatus ja a - lõpmatu.
0
f ( x)
lim
x g ( x)
f ( 1x ) ( f ( 1x ))'
Vaatleme piirväärtust lim = lim
x 0 g ( 1x ) x 0 (g ( 1 ) )'
x
( f ( 1x ))' = f ' ( 1x )(- x1 ) 2
(g ( 1x ) )' = g ' ( 1x )(- x1 ) 2
( f ( 1x ))' f ' ( 1x )(- x1 )
2 f ' ( x)
Seega lim = lim = lim
x 0 (g ( 1 ) )' x 0 g ' ( 1 )( - 1 ) x g ' ( x)
x x x 2
3) Olgu määrmatus ja a -lõplik.
Olgu lõigul [x 0 , x ] täidetud Cauchy teoreemi tingimused.
f ( x0 )
f ( x) f ( x) - f ( x 0 ) f ( x) 1 - f ( x) f ' (c )
= = = c ( x 0 , x)
g ( x) g ( x) - g ( x 0 ) g ( x) 1 - g ( x0 )
g ( x)
g ' (c )
x 0 a, siis ka c a
x a f ( x ) , g ( x )
f ( x 0 ) x a
0
f ( x)
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 25
g ( x 0 ) x a
0
g ( x)
f ( x)
Suhte kordaja läheneb järelikult ühele, kui x a
g ( x)
f ( x) - f ( x 0 ) f ( x) f ' ( x)
Ja seega lim = lim = lim
xa g ( x) - g ( x ) x a g ( x) x a g ' ( x)
0
Näited:
e x ( x - sin x) x - sin x 1 - cos x sin x 1
1) lim 3
= lim 3
= lim 2
= lim =
x 0 x cos x x 0 x x 0 3x x 0 6x 6
x+2 1
2) lim = lim 1 =
x + ln x x +
x
x 2 sin 1x x x sin 1x
3) lim = lim =0
x 0 sin x x 0 sin x
2 x sin x + x sin 1x -
1 2
( ) 1
x2
lim Tuletise suhte piirväärtus ei eksisteeri, seega L'Hospitali
x 0 cos x
reegel ei ole rahuldatud.
e -2 x (cos x + 2 sin x) 1 + 2 tan x
4) lim - x = lim x (ei eksisteeri)
x e (cos x + sin x) x e (1 + tan x )
1
Lugeja nullkohad tan x = - , nimetaja nullkohad tan x = -1
2
[e (cos x + 2 sin x ] = e .( - 2 ) (cos x + 2 sin x ) + e - 2 x (- sin x + 2 cos x ) = - 5 sin x e - 2 x
-2 x ' -2 x
[e -x
]'
(cos x + sin x = -2 sin x e - x
- 5 sin x e -2 x 5
lim -
= x = 0 Lugeja ja nimetaja tuletised on üheaegselt nullid, kui
x - 2 sin x e x
2e
sin x = 0, x = n . Seega on Cauchy valemi tingimused rikutud, see valem ei kehti, aga siis
ei kehti ka L'Hospitali reegel.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 26
Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega). Teoreem valemi ühesusest
(tõestusega).
Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi
muudu astmetena.
f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n
(16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h)
1! 2! n!
h n +1
R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M
(n + 1)!
Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed
f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0
df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n
f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M=
dh 1! 2! n! (n + 1)!
f ' (a ) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 h n
= f (a) + h+ 2h + ... + h + M
1! 2! (n - 1)! n!
lim f ' (a + h) = f ' (a )
h 0
( n +1)
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletised kuni (n + 1) järguni kohal a . Kusjuures f (a )
võib olla nii lõplik kui lõpmatu. Sel juhul
(16.2) lim M = f ( n +1) (a )
h0
Tõestus:
( n+1)
1) Olgu f (a ) lõplik.
( h) = f ( a ) +
f ' (a)
1!
h+
f ' ' (a ) 2
2!
h + ... +
f ( n ) (a ) n
n!
h +
h n +1
(n + 1)!
[ ]
f ( n +1) (a) + - f (a + h)
(0) = f ' (0) = ... = f ( n ) (0) = 0
( n ) (h) = f ( n ) (a) + h[ f ( n +1) (a) + ] - f ( n ) (a + h)
( n +1) (h) = f ( n +1) (a ) + - f ( n +1) (a + h)
( n +1) (0) = > 0 ( n ) (h) on kasvav f ( n ) (0) = 0 f ( n ) (h) > 0, kui h > 0
Järelikult ( n-1) (h) on kasvav ja et ( n -1) (0) = 0, siis ( n -1) (h) > 0, kui h > 0 jne.
Lõpus (h) on kasvav ja (h) > 0, kui h > 0
( h) > 0
h n +1
(n + 1)!
f [ ( n +1)
]
(a) + - M > 0
f ( n +1) (a) + - M > 0 M (a) +
Samamoodi saame tõestada, et M > f ( n +1) (a) -
Järelikult M - f ( n +1)
(a) m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 27
( n +1)
2) Olgu f (a) = -
f ' (a ) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a ) n h n +1
( h) = f ( a ) + h+ h + ... + h + A - f ( a + h)
1! 2! n! (n + 1)!
A>0
(0) = ' (0) = ... = (n ) (0)
( n +1) (h) = A - f ( n +1) (a + h)
( n +1) (h) > 0, kui h on võimalikult väike.
Nii nagu esimese punktis, saame (h) > 0
h n +1
[A - M ] > 0
(n + 1)!
M Järelikult lim M = -
h 0
m.o.t.t.
Teoreem 2 Olgu funktsioonil y = f (x) kõik tuletised kuni (n + 1) järguni lõplikud punktis a . Sel
juhul on Taylori valemi kordajad üheselt määratud.
Tõestus:
Olgu funktsiooni y = f (x) kaks erinevat Taylori valemit
f (a + h) = a1 + a 2 h + ... + a n +1 h n + mh n +1
f (a + h) = A1 + A2 h + ... + An +1 h n + Mh n +1
Võtame h = 0, siis saame f (a ) = a1 = A1
a 2 h + ... + a n +1 h n + mh n +1
A2 h + ... + An +1 h n + Mh n +1
Jagame mõlemad avaldised h -ga ja võtame h = 0, siis saame a 2 = A2
Jätkates seda protsessi saame, et a 3 = A3 ,..., a n +1 = An +1 , m = M
m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 28
Taylori valemi jääkliige Lagrange'i ja Cauchy kujul.
Vaatleme Taylori valemit
f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n h n +1
f ( a + h) = f ( a ) + h+ h + ... + h + M
1! 2! n! (n + 1)!
Kirjutame jääkliikme kujule
h n+1
Rn (h) = M = h p P, kus p n + 1
(n + 1)!
Olgu a + h = b, ax h=b-a=b- x
Me saame
f ' ( x) f ' ' ( x) f ( n ) ( x)
g ( x) = f ( x) + (b - x) + (b - x) 2 + ... + (b - x) n + (b - x) p P
1! 2! n!
g (b) = f (b)
f ' (a) f ' ' (a ) 2 f ( n ) (a) n
g (a) = f (a) + h+ h + ... + h + h p P = f (a + h) = f (b)
1! 2! n!
1) g (a) = g (b)
2) g (x) on pidev lõigul [a, b]
3) g ' ( x) on diferentseeruv vahemikus (a, b)
f ' ( x) f ' ( x) f ( n +1) ( x) f ( n ) ( x)n
g ' ( x) = f ' ( x) + (b - x) - + (b - x) n - + p (b - x) p -1 (-1) P
1! 1! n! n!
( n +1)
f ( x)
g ' ( x) = (b - x) n - p(b - x) p -1 P
n!
Vastavalt Rolle´i teoreemile leidub niisugune c (a, b), et g ' (c) = 0
( n +1)
f (c )
(b - c) n - p(b - c) p -1 P = 0
n!
f ( n +1) (c)(b - c) n - p +1
Seega P =
n! p(b - c) p -1
b-a=h c = a + h, 0 b - c = a + h - a + h = h(1 - )
f ( n +1)
(a + h)h n - p +1 (1 - ) n - p +1
P=
n! p
h n +1 (1 - ) n - p +1
Siit saame R n (h) = f ( n +1)
(a + h)
p - n!
h n +1
Kui võtame p = n + 1, siis saame R n (h) = f ( n +1)
(a + h)
(n + 1)! n!
h n +1 ( n +1)
(18.1) R n (h) = f ( x)
(n + 1)!
x = a + h (a, a + h) Lagrange´i kuju
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 29
Võtame p = 1, siis saame Cauchy kuju
h n +1 (1 - ) n ( n +1)
(18.2) R n (h) = f (a + h)
n!
f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) 2 f (n) ( x0 ) n
(18.3) f ( x) = f ( x 0 ) + x + x + ... + x + Rn ( x)
1! 2! n!
x n +1 ( n +1) x n +1 (1 - ) n ( n +1)
(18.4) R n ( x) = f ( x) = f ( x)
(n + 1)! n!
x = x 0 + x
0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 30
Maclaurini valem. Funktsioonide ex, sin x, cos x, ln(1+x) ja (1+x)a valemid
(tõestusega).
Kui Taylori valemis (24.4) võtta x 0 = 0, siis saame Maclaurini valemi.
f ' (0) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n
(18.1) f ( x) = f (0) + x+ x + ... + x + R n ( x)
1! 2! n1!
x n +1
(18.2) R n ( x) = f ( n +1)
(x) Lagrange'i kuju
(n + 1)!
x n +1 (1 - ) n
R n ( x) = f ( n +1)
(x) Cauchy kuju
n!
1. y = ex y = y ' = y ' ' = ... = y ( n ) ( x) = e x
y (0) = y ' (0) = ... = y ( n ) (0) = 1
x x2 xn
(18.3) e x = 1 + + + ... + + R n ( x)
1! 2! n!
x n +1 x
R n ( x) = e
(n + 1)!
Näitame, et n! kasvab kiiremini, mistahes astmest.
Vaatleme,
(n! ) 2 = n!n! = 1 2 3...(n - 1) n
p(n + 1 - p ) = p(n - p) + p > n - p + p = n
Seega,
(n! ) n > n n...n = n n n > 2
n
n!> n = n > a n suurte n korral
n 2
Järelikult,
x n +1 n
0 mistahes x -i korral
(n + 1)!
n
Ja siit saame R n ( x) 0
1 1 1
e = 1 + + + ... + + Rn (1)
1! 2! n!
1
R n (1) = e , 0 (n + 1)!
e
n! e = N +
n +1
p
Kui e oleks ratsionaalne e = , siis n! e oleks täisarv, kui n > q
q
e
Paremal pool e n +1
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 31
2. y = sin x
y ( n ) ( x) = sin x + n = sin x cos n + sin n cos x
2 2 2
Kui võtta funktsioon ja tema tuletised kohal 0, siis saame neli erinevat väärtust ( 0, 1, 0, -1 ),
mis hakkavad perioodiliselt korduma.
x3 x5 x 2 n +1
(18.4) sin x = x - + + ... + (-1) n + R2 n +1 ( x)
3! 5! (2n + 1)!
x 2n+3
R 2 n +1 ( x) = sinx + (2n + 3)
(2n + 3)! 2
´ x 2n+3 n
R2 n +1 ( x) 0
(2n + 3)!
3. y = cos x
y ( n ) ( x) = cos x + n
2
Punktis 0 saame neli väärtust (1, 0, -1, 0 ), mis hakkavad perioodiliselt korduma.
x2 x4 x 2n
(18.5) cos x = 1 - + + ... + + R2 n ( x)
2! 4! (2n)!
x 2n+2
R 2 n ( x) = cosx + 2(n + 1)
(2n + 2)! 2
x 2n+ 2 n
R 2 n ( x) 0
(2n + 2)!
4. y = ln(1 + x) y (0) = 0
y ' = (1 + x) -1 y ' (0) = 1
y ' ' = -(1 + x) -2 y ' ' (0) = -1
y ' ' ' = 2(1 + x) -3 y ' ' ' ( x) = 2
y ( n ) = (-1) n +1 (n - 1)!(1 + x) - n y ( n ) (0) = (-1) n +1 (n - 1)!
x2 x3 xn
(18.6) ln( x) = x - + + ... + (-1) n +1 + R n ( x)
2! 3 n
n +1
x n +1 (-1) n x n +1 1
R n ( x) = (-1) n n! (1 + x) - ( n +1) = Lagrange´i kuju
(n + 1)! n + 1 1 + x
n
x n +1 (1 - ) n (-1) n x n +1 1-
R n ( x) = (-1) n
n! (1 + x) - ( n +1) = Cauchy kuju
n! 1 + x 1 + x
ln x on määratud, kui x > -1
n +1
n 1 n
Kui 0 1 + x
n
R n ( x) 0, kui 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 32
n +1 n
Olgu - 1 1- 1-
= 1 + x 1 - r
n
1- n
0, - 1 1 + x
Seega võib valemit (18.6) ligikaudseteks arvutusteks kasutada, kui x 5. y = (1 + x) R y (0) = 1
-1
y ' = (1 + x) y ' (0) =
y ' ' = ( - 1)(1 + x) - 2 y ' ' (0) = ( - 1)
-3
y ' ' ' = ( - 1)( - 2)(1 + x) y ' ' ' (0) = ( - 1)( - 2)
y ( n ) = ( - 1)...( - n + 1)(1 + x) - n y ( n ) (0) = ( - 1)...( - n + 1)
( - 1) 2 ( - 1)...( - n + 1) n
(18.7) (1 + x) = 1 + x + x + ... + x + R n ( x)
1! 2! n!
x n +1
R n ( x) = ( - 1)...( - n)(1 + x) - n -1
(n + 1)!
n
Kui x ( - 1)...( - n) x n +1
Kui 0 (n + 1)! (1 + x) n +1-
- n -1
n kasvades Rn kordaja M muudab teguriga korrutades.
n+2
- n -1 n +1- n + 2 -1- 1+
= = =1- >1
n+2 n+2 n+2 n+2
n
Seega M 0
Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33
Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid.
Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1
on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et
f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1< - lõigu [a, b] jaotus
Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ]
Moodustame integraalsumma
n
(28.3) S n = f ( i )x i
i =1
Definitsioon 7.1 Funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks lõigul [a, b] nimetatakse
piirväärtust
b
(28.4) lim S n = f ( x)dx max xi 0
n
a
tingimusel, et piirväärtus eksisteerib.
Määratud integraali omadused
1. Lineaarsus
b b b
(28.5) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx
a a a
2.
b c b
(28.6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
a a c
3.
b a
(28.7) f ( x)dx = - f ( x)dx
a b
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 44
2. Keskväärtusteoreem
Kui funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis leiduv vähemalt üks selline punkt , mille korral
kehtib valem
b
(28.8) f ( x)dx =µ (b - a) = f ( )(b - a), kus m µ M ja [a, b]
a
m = inf f ( x) x [a, b]
M = sup f ( x) x [a, b]
n n n
Et m f ( ) M ja [a, b] ,siis mx i S n = f ( )x i Mx i
i =1 i =1 i =1
n
x
i =1
i = ( x1 - a) + ( x 2 - x1 ) + ... + (b - x n -1 ) = b - a m(b - a ) S n M (b - a)
b
Võtame piirväärtuse, kui n ja max x i 0, siis m(b - a ) f ( x)dx M (b - a )
a
b
Järelikult leidub m µ M , et f ( x)dx = µ (b - a)
a
Kui f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis mistahes µ (m µ M ) korral leidub vähemalt üks punkt,
kus f ( ) = µ
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 45
Ülemised ja alumised integraalsummad ning nende omadused (tõestusega).
Tähistame,
mi = inf f ( x)
(29.1)
M i = sup f ( x)
Määratud integraalsummad
n
(29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma
i =1
n
S n = M i x i - ülemine integraalsumma
i =1
On selge, et on täidetud võrratused
n
(29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a)
i =1
Lemma 8.1 Kui jaotusele J lisada üks täiendav punkt, siis alumine integraalsumma võib vaid
kasvada ja ülemine integraalsumma vaid kahaneda.
'
Sn Sn
(29.4) '
Sn Sn
Tõestus: Vaatleme näiteks S n
Olgu J ' ühe punkti c lisamisega, mis asub lõigul [x i -1 , x i ]
Kõik...integraalsummat jäävad muutumatuks, välja arvatud mi x i , mis asendub lisamisega
m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i
Lemma 8.2 Mistahes ülemise ja alumise integraalsumma jaoks kehtib võrratus
(29.5) S n S m , kus S n ja S m on moodustatud suvalise jaotuse järgi.
Tõestus: Olgu S n moodustatud jaotusega J 1 ja S m jaotusega J 2
Me saame moodustada jaotuse J 3 , mis sisaldab kõiki punkte nii jaotusest J 1 ja J 2
Vastavalt lemmale 8.1 saame S n S k S n S m
Lemma 8.3 Ülemistel ja alumistel integraalsummadel on piirväärtus, kui n ja max x i 0,
ning need piirväärtused on võrdsed.
(29.6) lim S n = lim S n = S
n n
Tõ moodustavad mittekahaneva jada, mis on tõkestatud
ülevalt konstandiga M (b - a)
Sellest järeldub, et eksisteerib piirväärtus lim S n Analoogselt eksisteerib lim S n
n n
Vaatleme suhet
n n n
S n - S n = M i xi - mi xi = ( M i - mi )x i
i =1 i =1 i =1
Kui funktsioon on pidev lõigul, siis ta on ühtlaselt pidev sellel lõigul, s.t. et
> 0 > 0
x1 - x 2 Järelikult > 0 > 0, et x i i = 1,2,..., n
n
S n - S n xi = (b - a) b0
0
i =1
m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 46
Teoreem määratud integraali olemasolust (tõestusega).
Teoreem 1 Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigul [a, b] , siis eksisteerib määratud integraal
b
(30.1) f ( x)dx = lim S
a
n
n
max x i 0
Tõestus: Kehtivad võrratused mi f ( i ) M i i [xi -1 , xi ]
n
S n S n = f ( i )x i S n
i =1
n n
S n = mi x i S n = M i x i
i =1 i =1
Kuna eksisteerivad piirväärtused
lim S n = lim S n = S
n n
max x i 0 max x i 0
Siis vastavalt "kahe politseiniku" teoreemile eksisteerib ka piirväärtus
lim S n = lim f ( i )x i = S
n n
i =1
max x i 0 max x i 0
b
Vastavalt integraali definitsioonile, see piirväärtus ongi määratud integraal f ( x)dx
a
m.o.t.t.
Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a.
loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte.
c b b
a
f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx
c a
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47
Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega).
Newton-Leibnizi valem
b b b
f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du
a a a
Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali
x
f (t )dt = ( x)
a
Teoreem 1 Olgu funktsioon f (t ) pidev lõigul [a, b] . Siis funktsioon (x) on diferentseeruv ja
seejuures tema tuletis
(31.1) ' ( x) = f ( x)
Tõestus: Vastavalt definitsioonile
( x)
' ( x) = lim
x 0 x
( x) = ( x + x) - ( x) =
x + x x x x + x x x + x
= a
f (t )dt - f (t )dt = f (t )dt +
a a
x
f (t )dt - f (t )dt =
a
f (t )dt =
x
= f ( x)( x + x - x) = f ( x)x, kus x ]x, x + x[
f ( x)x
' ( x) = lim = lim f ( x) = f ( x)
x 0 x x 0
m.o.t.t.
x
Järeldus: ( x) = f (t )dt on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile
a
( x) = F ( x) + C
x
f (t )dt = F ( x) + C
a
a
Kui x = a, siis f (t )dt = 0
a
Seega F (a) + C = 0
C = - F (a)
x
f (t )dt = F ( x) - F (a)
a
Võttes x = b, saame
b
f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x)
b
(31.2) a (Newton-Leibnizi valem)
a
Märkus: f ( x)dx = F ( x) + C
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 48
Newton-Leibnizi valem (tõestusega).
Newton-Leibnizi valem
b b b
a
f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du
a a
Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali
x
f (t )dt = ( x)
a
x
Järeldus: ( x) = f (t )dt on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile
a
( x) = F ( x) + C
x
f (t )dt = F ( x) + C
a
a
Kui x = a, siis f (t )dt = 0
a
Seega F (a) + C = 0
C = - F (a)
x
f (t )dt = F ( x) - F (a)
a
Võttes x = b, saame
b
f ( x)dx = F (b) - F (a) = F ( x)
b
(32.1) a (Newton-Leibnizi valem)
a
Märkus: f ( x)dx = F ( x) + C
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 49
Ositi integreerimine ja muutuja vahetus määratud integraali korral.
Määratud integraali korral kehtivad valemid
b b
uv' dx = uv a - u ' vdx
b
(33.1)
a a
b
(33.2) f ( x)dx = f [u (t )] u ' (t )dt
a
x = u (t ) a = u ( )
dx = u ' (t )dt b = u( )
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 50
Määratud integraali rakendused (pindala, kaare pikkus, raskuskese).
1. Pindala arvutamine 2) x = g ( y )
b
(34.1) S = [ f ( x) - g ( x)]dx (34.5) dl = 1 + x' 2 dy
a
d
x = u (t )
(34.1') S = [s ( y ) - f ( y )]dy 3) t1 t t 2
c y = v(t )
Olgu joon antud parameetrilisel kujul x y
2 2
x = u (t ) l = x + y = + t
2 2
t t
y = v(t ) dl = x 2 + y 2 dt
x2 t2
o
S= ydx = y x dt
x1 t1
(34.6) t2
l = x 2 + y 2 dt
o t1
dx = x dt
Polaarkoordinaadid 4) = u ( )
x = cos 2
0 -
u = sin l = + = + 2
2 2 2
Joon polaarkoordinaatides
= u ( )
1
S = 2 dl = ' 2 + 2 d
2 (34.7)
n
1 1
l = ' 2 + 2 d
S i2 i 2 d
i =1 2 2
1 3. Pöörkeha pindala ja ruumala
(34.3) S = 2 d
2
b b
2. Kõverjoone kaare pikkuse arvutamine (34.8) V = S ( x)dx = y 2 dx
a a
b b
n B
l = l i = dl (34.9) S = 2ydl = 2 1 + y ' 2 dx
i =1 a a
A
1) y = f ( x) a x b Pöörkeha ümber y - telje
d
x 2 + y 2 = l 2 (34.8') V = x 2 dy
2
x c
l = 1 + x d
y (11.9') S = 2 x 1 + x' 2 dy
c
dl = 1 + y ' 2 dx
(34.4) b
l = 1 + y ' 2 dx
a
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 51