PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8
Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 . a 10 2 6 2 64 8. Vastus: kaatet a = 8 cm.
Järeldus: Sarnaste hulknurkade ümbermõõtude suhe: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. Kui ristküliku küljed suurenevad k korda siis ümbermõõt suureneb k korda. Kui täsnurkse kolmnurga kaatetid suurenevad k korda, siis ümbermõõt Näiteül.: suureneb k korda. Kui ruudu külg suureneb k korda, siis ümbermõõt suureneb k korda. Leia x. Sarnaste hulknurkade pindalade suhe
Teravnurga siinus, koosinus ja tangens a ja b on täisnurkse kolmnurga kaatetid, c on hüpotenuus. Teravnurga vastaskaatet on a ja lähiskaatet on b. a c Teravnurga vastaskaatet on b ja lähiskaatet on a. Teravnurkade ja summa + = 90°. b Teravnurga siinuseks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet (jagatist). Nurga siinust tähistatakse sümboliga sin . a b sin = sin =
PUU KÕRGUS 1. Võtke täisnurkne võrdhaarne kolmnurk ja paigutage see silmade tasemele, nii et vaadates mööda hüpotenuusi, saaks näha puulatva. Kaatetid on vaja paigaldada horisontaalselt ja vertikaalselt. Vaadake skeeemi. 2. Nüüd on vaja mõõta kaugust enda ja puu vahel (L) ja on vaja mõõta kaugust maast silmadeni (h). Skeemilt võib näha , et puu kõrgus võrdub L+h. PUUTÜVE DIAMEETER 1. Puutüve diameetrit tavaliselt mõõdetakse rinnatasemel (1,3 m maast). Mõõtke puu ümbermõõt - C. 2. Nüüd arvutage! Matemaatikast on teada, et ringjoone
Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse
askeetlikult. Neil oli pmst oma usk. Koolis õpiti teadust, arstiteadust, kunsti ja muusikat. Õpitöö oli suuline ja kestis 5 aastat. Kõik oli salajane. Seal õppis ka tema naine. Tema teoreemi tõestas arvatavasti hoopis tema naine. Pytharoras avastas ka, et maailm on kerakujuline. Pytharoras leidis ka 5 elemendi: eetri. 4 elementi on tuli, vesi, maa ja õhk. Peale tema surma lagunes ka kool. Täisnurksel kolmnurgal on 2 kaatetit ja 1 hüpotenuus. Kaatetid a;b, hüpotenuus c. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. (Ringile teotub nurk ja diameetriks on hüpotenuus) Sellel teoreemil on 150 tõestust. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile konstrueeritud ruudu pindala on võrdne kaatetitele konstrueeritud ruutude pindalade summaga. Ehk lihtsamalt: TÄISNURKSE KOLMNURGA KAATETITE RUUTUDE SUMMA ON VÕRDNE HÜPOTENUUSI RUUDUGA. Eeldus: kolmnurk on täisnurkne Väide: aruut+bruut=cruut
1) sin² + cos² = 1 Ühe ja sama nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. sin 2) tan = cos Nurga tangens võrdub nurga siinuse ja koosinuse jagatisega. 1 3) 1 + tan = 2 cos 2 Näide 1. sin² 20² + cos² 20° = 1 sin 20 0 Näide 2. = tan 20 0 cos 20 0 Valemite tuletamisel lähtume täisnurksest kolmnurgast, mille kaatetid on a ja b, hüpotenuus c ning teravnurgad on ja . 1) Lähtume Pythagorase teoreemist: a² + b² = c². Jagame selle võrduse mõlemad pooled arvuga c², saame a2 b2 c2 a 2 b
Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.)
Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil Alustuseks selgitan mis asi üldse on Pythagorase teoreem: Pythagorase teoreemi põhimõte kehtib vaid täisnurkse kolmnurga juhul. Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H. 0 Arvutame põhja pindala (a ruudus (näiteks 4cm ruudus võrdub 16 ruutsentimeetrit)) 0 Arvutame külgpindala Pythagorase teoreemi abiga. (Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja H vahel on täisnurkne (m on põhikülje keskpunkti kaugus püramiidi tipust). 0 Pythagorase teoreem: H ruudus+a ruudus=m ruudus.
1,97F 1,971 F lim ¿ =¿ Nt S t =¿ S t =20 [ S ] =6 Tingimus kehtib, seega on terastrossi tugevus tagatud. Tarindi tugevus on tagatud. 6. Trossi ristlõike nimipindala ja trossi pikkuse muutus 6.1 Trossi pikkus Teen abijoonise trossi pikkuse leidmiseks. 9 Joonis 4. Abijoonis trossi pikkuse leidmiseks. a ja b joonisel tekkinud täisnurkse kolmnurga kaatetid, mm T trossi pikkus, mm Kuna tekib täisnurkne kolmnurk, mille 2 nurka on võrdsed (45 ), siis on tegemist võrdhaarse kolmnurgaga ning kolmnurga kaatetid a ja b on võrdsed. Kolmnurga hüpotenuusiks on puitvarda pikkus 1000 mm. Leian lõiude a ja b väärtused: a=b= 1000sin 45 °=707,106 mm 707 mm 10 Leian trossi pikkuse, kasutades Pythagorase teoreemi:
Matemaatika Trigonomeetria: täisnurkse kolmnurga lahendamine. a,b= kaatetid c= hüpotenuus +=90° =90°- või =90°- c2=a2+b2 c=a2+b2 a=c2-b2 b=c2-a2 Kolmnurga pindala: S=a*b/2 Teravnurga siinus on vastaskaateti ja Trigonomeetrilised funktsioonid: hüpotenuusi suhe(jagatis) sin=a/c sin=b/c Teravnurga kosinus on lähiskaateti ja
Moodustaja = m telje vastas asetsev ristküliku külg. Telje ja moodustaja pikkus on silindri kõrgus. Külgpind see osa silindrist, mille kujundab moodustaja Sp= r Sk= CH C=2 r St= 2Sp + Sk V=SpH Koonus - tekitab täisnurkne kolmnurk pööreldes, ümber oma kõrguse Täisnurkse kolmnurga kaatetid on kõrguseks ja moodustajaks. Koonuse telglõikeks on võrdkülgne kolmnurk m külje kõrgus ehk moodustaja Sk= Cm/2 C=2 r Sp= r St= Sk+Sp V=SpH/3 Kera tekib poolringi pöörlemisel Oluline on vaja teada kera raadiust Kera pindala nimetatakse sfääriks Suurring on kogu kera suurim ring. Suurring tekib kera täpselt poolitades.
võrdhaarne........................ ÜLESANDEID TÄISNURKSE KOLMNURGA KÜLGEDE JA NURKADE LEIDMISELE 1. Milline on täisnurkse kolmnurga nurkade summa? ....................180*........... 2. Milline on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? .......90*........................ 4. Arvuta täisnurkse kolmnurga teine 3. Täisnurkse kolmnurga mõlemad teravnurk, kui üks teravnurkadest on kaatetid on 5 cm. Joonesta see kolmnurk ja mõõda hüpotenuus ning teravnurgad. * 20º ...........70*............................ * 59º ........31*............................... * 49º .............41*.......................... * 17º ............73*........................... * 25º ............65*.....
Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 50o. Tipunurk on: kraadi Täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 63 o. Teine teravnurk on: kraadi Võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 70 o. Alusnurk on: kraadi Täisnurkse võrdhaarse kolmnurga üks teravnurk on: kraadi. Kolmnurga alus on 8 cm ning kõrgus 40 mm. Kolmnurga pindala on: cm2. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 3 cm ja 4 cm ja hüpotenuus 5 cm. Selle kolmnurga pindala on cm2 ning hüpotenuusile tõmmatud kõrgus cm. Kolmnurga pindala on 48 cm2 ja alus 12 cm. Kolmnurga kõrgus on: cm. Vali, kas antud pikkusega lõigud saavad olla kolmnurga külgedeks: 5 cm, 4 cm, 10 cm - 5 mm, 11 mm, 7 mm - 3 dm, 4 dm, 7 dm - 10 km, 10 km, 2 km - . Kolmnurga nurkade summa on kraadi.
Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka
Arvuta rombi ümbermõõt. 25. Arvuta poolringikujulise kujundi ümbermõõt, kui ringjoone raadius on 8 cm. 26. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 20 cm ja selle lõhisnurk on 60°. Arvuta kolmnurga teine kaatet, hüpotenuus ja pindala. 27. Ristküliku diagonaal on 10 cm ning nurk diagonaali ja külje vahel on 30°. Arvuta ristküliku pindala ja ümbermõõt. 28. Täisnurkse kolmnurga hüputenuus on 20 cm ja üks teravnurk on 30°. Arvuta kolmnurga kaatetid ja pindala. 29. Võrdhaarse kolmnurga alus on 10,4 cm ja kõrgus 7,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. A 64° 30. Leia jooniselt tähtedega märgitud nurkade suurused B D
kaksvaate alusel: kujutis põhiekraanil on x-teljega paralleelne sirge, erijuhul punkt (risti põhiekraaniga, lõigud frontaalil projekteeruvad esiekraanile tõelises pikkuses, põhikaldenurk projekteerub esiekraanile tõelises suuruses 22. sirge asetseb tasapinnal, kui tema kaks punkti asetsevad sel tasandil või kui on paralleelne tasandil asuva sirgega ning läbib tasandi punkti 23. üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid võrduvad sirge pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või eestvaate pikkus ja otspunktide esikvootide vahe. 24. kaks sirget on paralleelsed, kui sirgete samanimelised projektsioonid on paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega 25. kaks sirget lõikuvad, kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega. 27
Kui sirge pole ühegi ekraaniga paralleelne, siis nimetatakse seda sirget üldasendiliseks. 19. Missugust sirget nimetatakse 1) horisontaaliks - põhiekraani paralleelsirge mis on paralleelne või ühtiv x-teljega 2) frontaaliks ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? esiekraani paralleelsirge, mis on paralleelne või ühtiv x-teljega 20. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Üks kaatet võrdub pealtvaatega, teine kaatet võrdub otspunktide põhikvootide vahega. 21. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? 1) Põhikaldenurk-teravnurk põhiekraani suhtes, mis saadakse kui võetakse täisnurkse kolmnurga üheks kaatetiks lõigu projektsioon põhiekraanil ja teiseks kaatetiks on esiekraanilt võetud lõigu otspunktide kõrguste vahe.
a) horisontaaliks? Põhiekraaniga paralleelset sirget, paralleelne x-teljega b) frontaaliks? Esiekraaniga paralleelset sirget, paralleelne x-teljega 22. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. a) Sirge on tasapinnal, kui tema kaks punkti asuvad tasapinnal. b) Sirge on tasapinnal, kui ta läbib tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga. 23. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 24. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaateteljega. 25. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste
Lõigud horisontaalil projekteeruvad põhiekraanile tegelikkuses pikkuses Esikaldenurk projekteerub põhiekraanile tõelises suuruses 22. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. Sirge on tasandil, kui a) tema kaks punkti asetsevad sellel tasandil b) kui ta läbib tasandil asetsevat punkti ning paralleelne tasandil asetseva sirgega 23. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe Lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe 24. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. 25. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel
Sirget mis on paralleelne esiekraaniga. Tunnus - mis on paralleelne või ühtiv x-teljega Ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? 20. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused? 1) Sirge on tasapinnal kui tema kaks punkti asuvad tasapinnal 2) Sirge on tasapinnal kui ta läbib tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga 21. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe 22. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel.
Sirget mis on paralleelne esiekraaniga. Tunnus mis on paralleelne või ühtiv xteljega Ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? 20. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused? 1) Sirge on tasapinnal kui tema kaks punkti asuvad tasapinnal 2) Sirge on tasapinnal kui ta läbib tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga 21. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe 22. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel.
Tunnus - mis on paralleelne või ühtiv z-teljega Ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? – Paralleelne 20. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused? 1) Sirge on tasapinnal kui tema kaks punkti asuvad tasapinnal 2) Sirge on tasapinnal kui ta läbib tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga 21. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe 22. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel.
Pealtvaates paralleelne x-teljega, eestvaatel esineb täispikkuses, erijuht pealtvaates projekteerub punktiks. 22. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. Sirge asetseb tasandil siis, kui tema 2 punkti on sellel tasandil või kui ta läbib tasandipunkti ja on paralleelne sellel tasandil asetseva sirgega. 23. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 24. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. 25. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel.
poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13
poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13
Frontaal sirge, mis on paralleelne esiekraaniga. Tunnus: Lõigud frontaalil projekteeruvad esiekraanile tõelises pikkuses. 32. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. 1)Sirge on tasandil kui tema kaks punkti on sellel tasandil 2)sirge on tasandil, kui ta läbib tasandi punkti ning on paralleelne tasandil asuva sirgega. 33. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? a) Lõigu pealtvaate pikkuse ja lõigu otspunktide põhikvoodiga vahega b) Lõigu eestvaate pikkuse ja lõigu otspunktide esikvootide vahega 35. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? Põhikaldenurk: nurk sirge ja tema pealtvaate projektsiooni vahel. Esikaldenurk: nurk sirge ja tema eestvaate projektsiooni vahel. 36. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel.
Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 7. (1998) Kahe sarnase ristküliku ümbermõõdud on 54 cm ja 10,8 cm. Suurema ristküliku üks külg on 10 cm. Arvuta väiksema ristküliku pindala. 8. (1998) Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 49 cm ja alus 12 cm. Arvuta kolmnurga pindala. 9
summa on 180°; tipunurga leidmiseks Arvuta tipunurk tuleb 180°-st lahutada kaks alusnurka 1)alusnurk on välisnurga kõrvunurk: 180°-116°=64° 2)tipunurk =180°-2 64°=52° 42.Võrdhaarne täisnurkne kolmnurk - Ül.800 teravnurgad 45°; kaatetitega paralleelsete Kolmnurk ABC, võrdhaarne, täisnurkne kesklõikude joonestamisel tekkiv nelinurk Kaatetid AC=BC=14 cm on ruut; kaks lühemat võrdset külge on Kesklõigud KL ja ML kaatetid Arvuta nelinurga CKLM ümbermõõt ja pindala. 1)nelinurk on ruut 2)vaja on teada ruudu külge 3)ruudu külg on kesklõik
2) Sirget mis on paralleelneesiekraanlga - Tunnus mis on paralleelnevol Ohtlv x-teljega 32. Sonastagesirge tasapinnal asetsemisetlnglmused. * 1) Sirge on tasapinnal kul tema kaks punktl asuvad tasaplnnal * 2) Sirge on tasaplnnal kui ta lablb tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga 33. Millega vorduvad Oidasendlllse slrgloigu toellse pikkuse tuletamiseks konstrueeritava Uilsnurkse kolmnurga kaatetid? *Sirgloigu plkkus vordub hOpotenuusiga talsnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lolgu pealtvaate pikkus ja loigu otspunktide pohlkvootlde vahe vol loigu eestvaate plkkus ja lolgu otspunktlde eslkvootide vahe 34. Tuletada slrglolgu A6plkkus A(SO,0;10) ja 6(10;20;40). * ,.. r 11 . ~ A'.t' ;: ""'8'
*) (* See võimaldab vähendada programmi mahtu, kuid muudab selle *) (* ühtlasi raskemini arusaadavamaks - lühemate programmide puhul ei *) (* ole eriti otstarbekas. *) begin writeln('Leiame kujundi pindala'); write('Kas kujund on ring (r), täisnurkne kolmnurk(k) või ruut (u)? '); readln(kujund); case kujund of 'r' : begin write('Sisesta ringi raadius'); readln(a); S := 3.14 * a * a; end; 'k' : begin write('sisesta kolmnurga kaatetid - a, b (tühikud vahele): '); readln(a,b); S := (a * b) / 2: end; 'u': begin write('sisestage ruudu küljepikkus: '); readln(a); S := a * a; end; end; writeln ('Pindala on ',S:6:2); end. PROOVIGE ISE: NB! Need ülesanded on juba arvestuse jaoks vajalikud!!! 1) Silindri pindala ja ruumala arvutamine - kasutaja annab põhja raadiuse ning silindri kõrguse. NB! Korrektne sisestus ja väljastus!!! 2) 5 küsimusega mälumäng suvalisel teemal - arvuti esitab küsimuse,
kolmnurgast, kus 1 asub lõigu tegeliku pikkuse ja pealtvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. (Sirglõigu esikaldenurk on nurk sirge ja esiekraani vahel, selle suurust määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 2 asub lõigu tegeliku pikkuse ja eestvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel) 8. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse leidmiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja tõelise pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub lõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta.
13 s z a Joonis 2.2. Nurkõmbluse mõõtmestamine. 2.3. Nõuded keevisõmbluste kvaliteedile Kaarkeevitusel esinevad õmbluses või TMT-l alati kõrvalekalded pidevuses (kokkusulamatus, poorid, räbupesad, praod, sisselõiked) või kujus (nurkõmbluste liigkumerus, ebavõrdsed kaatetid, juurevajum, järsk üleminek õmbluselt põhimetallile, servade nihkumine). Kui need kõrvalekalded on mõõtmetelt või arvult lubatud piires, siis on tegemist keevitusdefektiga. Kui keevitusdefektide suurus ületab mingi lubatud piiri, siis muutuvad need keevitusvigadeks. Nende esinemisel tuleb õmblused lahti lõigata ja uuesti keevitada ehk teha vigade parandus. Standardi EVS ISO 5817 järgi jagatakse keevisliite lubatud defektid 3 tasandi e klassi vahel: 1. B-tase. Kõige kõrgem
b)paralleelprojekteerimisel
1)Ristprojekteerimisel
0→1
2)Paralleelprojekteerimisel
0->∞ olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest.
7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust
määratakse?
Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka (0
Ü = 2( x + y ) S = xy 2(x + y) = 26 / ÷ 2 x + y = 13 xy = 40 xy = 40 Saime võrrandisüsteemi, mis on lahendatud tüüpülesandes 1. Vastus: mõõtmed on 5dm ×8dm 318 I lahendus. Olgu kolmnurga kaatetid x- y= 7 x- y = 7 x ja y x × y 2 = 30 xy = 60 x = y +7 ( y +7) y = 60 y 2 +7 y -60 = 0 y = -3,5 ± 12,25 +60 = -3,5 ± 72,25 = -3,5 ±8,5 y1 = -12 ei sobi y = 5(cm) x = 12
Võrrandisüsteemi koostamiseks kasutan ristküliku ümbermõõdu ja pindala valemeid: Ü 2( x y ) S xy 2( x y) 26 / 2 x y 13 xy 40 xy 40 Saime võrrandisüsteemi, mis on lahendatud tüüpülesandes 1. Vastus: mõõtmed on 5dm 8dm 318 I lahendus. Olgu kolmnurga kaatetid x y 7 x y 7 x ja y x y 2 30 xy 60 x y 7 ( y 7) y 60 y 2 7 y 60 0 y 3,5 12,25 60 3,5 72,25 3,5 8,5 y1 12 ei sobi y 5(cm) x 12 x y 7 x 5 7 12(cm)
Võrrandisüsteemi koostamiseks kasutan ristküliku ümbermõõdu ja pindala valemeid: Ü 2( x y ) S xy 2( x y) 26 / 2 x y 13 xy 40 xy 40 Saime võrrandisüsteemi, mis on lahendatud tüüpülesandes 1. Vastus: mõõtmed on 5dm 8dm 318 I lahendus. Olgu kolmnurga kaatetid x y 7 x y 7 x ja y x y 2 30 xy 60 x y 7 ( y 7) y 60 y 2 7 y 60 0 y 3,5 12,25 60 3,5 72,25 3,5 8,5 y1 12 ei sobi y 5(cm) x 12 x y 7 x 5 7 12(cm)
Põhikaldenurk 1 on nurk sirge ja põhiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 1 asub lõigu tegeliku pikkuse ja pealtvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. Esikaldenurk 2 on nurk sirge ja esiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 2 asub lõigu tegeliku pikkuse ja eestvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. 8. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse leidmiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Nendeks on kas 1) lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või 2) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena. 10. Lause täisnurga ristprojektsiooni kohta: Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti.
B Kasutame Pythagorase teoreemi. 16 2 x 6 10 x 2 2 16 2 x 2 12 x 36 x 2 20 x 100 10 12 x 20 x 100 256 36 10 8 x 192 : 8 E x 24 Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja D x AC = 6 + 24 = 30 (cm). Leiame pindala 6 A 6 F x C ab 16 30 S 2 2 240 cm 2 . Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm².
Los Angeles, London, New Delhi, Singapur: SAGE Publications. Vol. 13(2), pp. 119 134. 16. Wearing, S.; Neil, J. 2002. Ecotourism Impacts, Potentials and Possibilities. Oxford: Butterworth-Heineman, pp. 171194. 13 Lisa 1. Pythagorase teoreem Pythagorase teoreemi järgi võrdub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut kaatetite ruutude summaga. c2= a2 + b2, kus c täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, a, b täisnurkse kolmnurga kaatetid. Joonis 3. Täisnurkne kolmnurk (Autori koostatud). 14
69. Koonuse telglõikeks on kolmnurk pindalaga P. Leia koonuse ruumala, kui tema moodustaja ja põhja vaheline nurk on . Avalda ja arvuta ruumala, kui P = 9 3 ja = 60º. 70. Romb, mille diagonaalid on pikkusega 6 cm ja 8 cm, pöörleb ümber oma külje. Leia tekkiva pöördkeha 5ruumala. 71. Täisnurksesse kolmnurka on kujundatud ruut nii, et neil on ühine täisnurk ning ruudu tipud asetsevad kolmnurga külgedel. Leia ruudu pindala, kui kolmnurga kaatetid on 4 cm ja 6 cm. 72. Püramiidi põhjaga paralleelnelõige jaotab püramiidi kõrguse kaheks osaks, millede suhe on ¾ (tipust alates). Lõike pindala on 200 cm² võrra väiksem põhja pindalast. Leia püramiidi põhja pindala. 73. Ringi raadiusega R on joonestatud kaks paralleelset kõõlu nii, et ringi keskpunkt jääb kõõlude vahele. Kõõludele vastavad kaared on 60º ja 120º. Leia kõõlude vahele jääva ringiosa pindala. 74
a) horisontaal paralleelne põhiekraaniga; paralleelne või ühtiv x-teljega b) forntaal paralleelne esiekraaniga; paralleelne või ühtiv x-teljega 32) Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. a) sirge on tasapinnal, kui tema kaks punkti asuvad tasapinnal b) sirge on tasapinnal, kui ta läbib tasapinna punkti ja on paralleelne tasandiga 33) Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? a) lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe b) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe 34) Tuletada sirglõigu AB pikkus, kui A(50,0;10) ja B(10;20;40). 35) Mis on sirglõigu põhi- ja esikaldenurk ja kuidas nende suurust määratakse? a) põhikaldenurk teravnurk põhiekraani suhtes, mis saadakse, kui võetakse
põhikaldenurk projekteerub esiekraanile tõelises suuruses,lõigud frontaalil projekteeruvad esiekraanile tõelises suuruses. 32. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. * kui tema 2 punkti on sellel tasandil või kui ta läbib tasandi punkti ning on II tasandil asetseva sirgega. 33. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 34. Tuletada sirglõigu AB pikkus A(50,0;10) ja B(10;20;40). 35. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? nurk sirge põhieraanil oleva sirglõigu projektsiooni vahel (esikaldenurk). 36
Fe = ? järgmiselt: mv 2 F = ma = R Vektor F on risti vektoriga Fr . Seega on need vektorid täisnurkse kolmnurga kaatetid, Fe aga on selle kolmnurga hüpotenuus. Elastsusjõu m2v 4 v4 Fe moodul võrdub: Fe = Fr + F = m g + =m g + 2 2 2 2 2 2 R2 R 10 4 m 4 / s 4 m Fe = 60kg 96,2m / s +
2 2 ; 3a 3a a 1 a 1 1 a 2) a 1 . a a a Kui a = 0,5, siis 1 a 1 0,5 0,5 1. a 0,5 0,5 Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 . a 10 2 6 2 64 8. Vastus: kaatet a = 8 cm. 3) Kaatet b, kui hüpotenuus c = 13 m ja teine kaatet a = 12 m.
Nüüd arvutame nurga tangensi (tangensi kaudu on nurka kõige lihtsam leida, x moodulid võrdsed, kuid arvud on ise erinevad sest täisnurkse kolmnurga kaatetid on teada): (mille põhjal saab seda väita ?). -1 C D 4 Võib küsida: kui palju on kompleksarve, mille -2 tan = 3 1,333. moodulid on võrdsed
Teooriaküsimused ja vastused 1. Mis on kujutava geomeetria esimeseks ja olulisimaks eesmärgiks? *Kujutava geomeetria eesmärgiks on teoreetiliste aluste andmine jooniste valmistamiseks ja lugemiseks 2. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? * Tsentraal projekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist, paralleel projekteerimisel on kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine siht. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? * Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. * Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimis kiired tasapinnale kaldu. * Ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 4. Miks ühest projektsioonist koosnev joonis ilma lisaandmeteta ei määra objekti? * Sest joonised peavad määrama objekti, s.o. üheselt mä...
B-8 Leia funktsiooni paarisfunktsioon, y = g ( x ) paaritu funktsioon , f ( a ) = 1 ja g ( a ) = -2 . B-9 Anum on ääreni täidetud 88%-lise happega, anumast valati välja 2,5 liitrit hapet ja asemele valati 2,5 liitrit 60%-list hapet, mille tulemusena saadi anumatäis 80%-list hapet. Leia anuma ruumala liitrites. B-10 Leia korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala, kui tema apoteem on 10 ja külgservad moodustavad põhitahuga nurga 300. B-11 Täisnurkses kolmnurgas ABC on kaatetid AB ja AC ning nurgapoolitaja CD. Leia kaateti AC pikkus, kui kolmnurga BCD pindala on 24,375 ja < ADC tangens on 5. C-1 Lahenda võrrand 4 tan x + 3 tan x = sin 2 x C-2 Lahenda võrratus 23 - x 11 - x . C-3 Leia milliseid väärtusi võib omada reaalarvuliste võrrandi x 2 + 3ax + 3a 2 - 3a - 15 = 0 lahendite ruutude summa? C-4 Püstprisma ABCA1B1C1 põhitahk on võrdhaarne kolmnurk külgedega 1 ja 3 ja tipuga A. Prisma kõrgus 15 on
eelmises ülesandes: g = 9,8 m/s 2 a=? F1 = P sin , F2 = P cos . Erinevus on nüüd selles, et kaldpinna kaldenurga asemel on antud kaldpinna kõrgus ja pikkus. Nendest saab samuti leida kaldpinna kaldenurga siinuse ja koosinuse h s2 - h2 sin = , cos = , s s lähtudes sellest, et meil on tegemist täisnurkse kolmnurgaga, mille hüpotenuus on s, kaatetid h ja s 2 - h 2 . Hõõrdejõu olemasolu korral mõjutab keha liikumist kaks jõudu, jõud F1 ja liikumist takistav hõõrdejõud Fh = µ FN , kus FN on hõõrduvate pindade normaali sihis mõjuv jõud. Kuna antud juhul FN = F2 , siis hõõrdejõud Fh = kF2 = kP cos . Kuna hõõrdejõud on alati liikumisele vastassuunaline, siis võime vastavalt Newtoni II seadusele kirjutada ma = Fk = F1 - Fh = P sin - kP cos = mg (sin - k cos ) . 22
annaabi.ee 
