Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded I 1. A) A={0;1;2;3} B={0;2;4;...;2n} ühisosaks on numbrid,mis kuuluvad mõlemasse hulka ehk A {0;2} B) A={-5n;...;-10;-5;0;5;10;...;5n} B={-2n;...;-2;0;2;...;2n} A {-10n;...;-10;0;10;...;10n} Seletus: 10n sain tehes tehte 5*2*n,sest sellisel juhul jagub see arv ükskõik millise n-ga korrutades siiski nii 5 kui 2ga ja seega kuulub nii hulka A kui B. 2. A ja B sümmeetriline vahe on C ja värvitud kollaseks. A ja C sümmeetriline vahe on B ning viirutatud,sest kui otsida A ja C sümmeetrilist vahet,siis A juba kuulub sellesse ja seega jääb järele ainult B. 3. väär,sest kahe hulga ühendist moodustatud 2-elemendilisi arve on rohkem,kui moodustades hulgast A ja B eraldi 2-elemendilised arvud ja need seejärel ühendiks võtta. tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulk...
MALI Riigi pindala: 1 240 192 km2 Riigi rahvaarv: 16 955 536 inimest (2015) Põllumajandusliku maad kokku: 34.1% Põllumaad 5.6%, püsikultuuride all 0.1%, heina- ja karjamaad 28.4% Niisutatav maa: 3,780 km2 Põllumajanduslikumaad ühe inimese kohta: 2,494ha A. Kokkuvõte Mõlemal on head eeldused. (Alguses üritasin üht tuua välja, kuid siis tulid teise riigi plussid esile, nii et lõpuks pidin otsustama mõlema kasuks) Jaapan: palju niisutatavat maad, põllumaa osahulk on suurem, inimesed haritumad, kogenumad, tööjõud suur. Oleks kindel, et põllumajanduse arendamine on tulu toov ja kasulikum. Mali: Põllumajanduslikumaad ühe inimese kohta palju, karja- ja põllumaad palju, inimeste teadlikkuse tõstmine tõstaks ka oskust maad harida ja tähendaks paremat põllumajandust. Malis põllumajanduse arendamine tõstaks riigi üld tegureid aga põhiliselt inimeste enda võimekust. Riik poleks enam nii vaene, inimestel oleks rohkem süüa, tööd, raha. Sealse
Millal on hulgad teineteisega võrdsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. Nt {1,3,5}={5,1,3} Kui palju võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Hulgas ei eksisteeri korduvaid elemente, iga elementi on hulgas üks eksemplaar. Milliste sümbolitega tähistatakse elemendi hulka kuulimist või mittekuulumist? No see eurosümbol on kuulumise märk ja mittekuulumise märk on sama, aint maha kriipsutatud. Millal on mingi hulk teise hulga osahulk? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka.
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga
määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} . Ülesanded 1. Leidke funktsiooni määramispiirkond
Hulkade ühend on hulkade liitmine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on suurem kui operandideks olnud hulgad. Kaks hulka on võrdsed siis, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Hulga täiend on osa universaalhulgast? Tõene Kuidas nimetatakse minig hulga kõikide osahulkade hulka? Astmehulk Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk. Hulga täiend on hulk ,mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad elemendid. Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit äratuntavad, regulaarset seaduspära. A ja B on hulgad. A ja b on hulgaelemendid. Millised avaldised on ebakorrektsed? Ebakorrekted on: 4, 7, 8, 10, 11. Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? 1 Iga hulk on iseenda osahulgaks Tõene Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on
Kehaline võimekus on võime end üle pingutamata tulla toime kehaliste liigutustega, mida läheb tarvis igapäevases elus, s.o. südame, veresoonte, kopsude ja lihaste võime funktsioneerida optimaalse efektiivsusega. KV liigid on painduvud, kiirus, tasakaal, aeroobne võimekus ehk võime pikaajaliseks mõõduka intensiivsusega pingutuseks, anaeroobne võimekus ehk võime lühiajaliseks intensiivseks pingutuseks, lihasjõud ja –vastupidavus ning rasvkoe osahulk kehamassis. Tervisega seotud kehalise võimekuse liigid on aeroobne võimekus (seostatakse südame- ja veresoonte haiguste ennetamisega), rasvkoe osahulk kehamassis (liigne rasvkoe hulk on riskiteguriks mitmetele kroonilistele haigustele), kõhu- ja kehatüve lihaste jõud, lihasvastupidavus ja painduvus (seostatakse alaseljavalude ennetamisega) ning tasakaal (seostatakse vigastuste ennetamisega). 2. Kehalise aktiivsuse tähtsus
Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik.
Individuaalsed mittemuudetavad tegurid: sugu, kronoloogiline ja bioloogiline vanus, geneetiline eripära, liikumisaparaadi seisund, kroonilised haigused või puuded jne. Need tingivad ka tegevuste valiku. Inimene valib, kus ta on tublim ja millest tunneb rõõmu. Sooline erinevus suureneb eaga. Terved inimesed on aktiivsemad. On ka leitud, et rasvunud võivad olla sama aktiivsed kui normis inimesed, astmaatikud sageli isegi aktiivsemad.. B)Individuaalsed muudetavad: kehamass ja rasvkoe osahulk, kehalinvõimekus, teadmised harjutuste toimest tervisele ja kehaliste harrastuste võimalustest, usk liikumise soodsasse toimesse, isiklikud eeskujud, motiveeritus, ajapuudus jne. Liigne kehamass ja rasvkoe osahulk võib takistada kehalist aktiivsust, aga ei pea. C) Sotsiaalmajanduslikud tegurid: rahvuslikud ja kultuurilised eripärad, elukoht, haridustase, sissetulek, sporditarvete soetamise võimalus jne.Mida kõrgem on haridustase, seda vähem on tööga seotud
mittemonotoonne, mittelineaarne **** Graafid Graaf: objektidevaheliste seoste joonismudel, mis koosneb tippudest ja kaartest. Orienteerimata graaf: kõik kaared suunamata, neid tähistatakse harilike joontega Orienteeritud graaf: kõik kaared suunatud, neid tähistatakse nooltega Ahel: tee orienteerimata graafis Alamgraaf: graaf on mingi graafi alamgraaf, kui ta on selle graafi mingi taandatud graafi jääkgraaf Baas: selline minimaalne tippude osahulk, kus selle osahulga tippudest leidub tee selle graafi mistahes tippu (orienteeritud graafis) Elementaarahel: elementaartee orienteerimata graafis Elementaartee: tee, mis ei läbi ühtki graafi tippu üle ühe korra Euleri ahel: läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared, aga ei lõpe oma algustipus. Euleri graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Euleri tsüklit. Euleri kontuur: suletud lihttee Euleri tsükkel: suletud lihtahel
osahulga ülemtõketele siis sellist ülemtüket nimetatakse selle osahulga ülemrajaks. Tähistatakse sup(S) ja teine nimetus supremum Mis on alamaraja? Kuidas seda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse? Kui osahulga S alamtõkete hulgas leidub selline alamtõke, mis järgneb kõikidele teistele sama osahulga alamtõketele, siis sellist alamtõket nimetatakse selle osahulga alamrajaks, tähistatakse inf(S) ja teine nimetus infimum S on osaliselt järjestatud hulgast M eraldatud osahulk. Kui R on järjestussuhe hulgal M, siis relatsioon R järjestab hulga M.
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
Küsimus 1 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige sõna: Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk Küsimus 2 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: hulkade ühend on hulkade ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul) liitmine kui operandideks olnud hulgad suurem Küsimus 3 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: hulkade ühisosa on hulkade ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul)
Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on lõplik, siis on ta ka loenduv Valige üks: Tõene Väär Küsimus 10 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 kas väide on õige või vale ? hulga täiend on osa universaalhulgast Valige üks: Tõene Väär Küsimus 11 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 sisesta õige sõna: Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk Küsimus 12 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 kas väide on õige või vale ? Iga hulk on iseenda osahulgaks Valige üks: Tõene Väär Küsimus 13 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged: Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit äratuntavat, regulaarset seaduspära. Küsimus 14 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 sisesta õige sõna:
4. Millal on hulgad teineteisega võrsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. 5. Kui palju (mitu tk.) võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Iga elementi on hulgas üks kord. 6. Milliste sümbolitega esitatakse elemendi kuulumist või mittekuulumist hulka? Elemendi e kuulumine hulka A tähistatakse Elemendi e mittekuulumist hulka A tähistatakse 7. Millal on mingi hulk teise hulga osahulgaks? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A elemendid on ka hulga B elemendid. 8. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulkadeks, kui nad on võrsed. 9. Mis on Venni diagramm? Venni diagramme kasutatakse hulkade graafiliseks esitamiseks. Diagrammil esitatakse hulki ringjoontena, mille see on hulgaelemendid. 10. Milline on kahe hulga Venni diagramm? Kolme hulga Venni diagramm? I I
Mark 2 out of 2 äratuntavat, regulaarset seaduspära. Question 9 sisesta õige sõna: Correct Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B Mark 1 out of 1 osahulk Question 10 vali õige: Correct tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Mark 1 out of 1 Question 11 kas väide on õige või vale ? Correct hulga täiend on osa universaalhulgast
An = ( F ( Pi ) xi + G ( Pi )yi ) , integraalsumma piirkonnas D piirväärtus protsessis n0 on osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiVi, piirväärtust protsessis n0, n kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Vi diameeter V lim mn = lim ( Pi )S i = ( P )dS = m
1. Asenda implikatsioonid ja ekvivalentsid samaväärsete valemitega 8b), 10b) 2. Vii eitused vahetult muutujate ette 7a), 7b), 1) 3. Vii konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale 4a) 4. Eemalda samaselt väärad ja võrdsed lihtkonjunktsioonid X ¬X v, 6d), 5b) 5. Tee lihtkonjunktsioonid täielikeks K K t K (X ¬X) K X K ¬X 4. LOENG Hulga mõiste ja osahulk · Hulga all mõistetakse üksteisest erinevate objektide kogumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus iga objekti korral on võimalik üheselt kindlaks määrata, kas ta kuulub antud hulka. · Hulki tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, C, X, Y, ... . · Hulga elemente aga väikeste ladina tähtedega a, b, c, x, y, ... . · Kui element a kuulub hulka A, siis kirjutame a A. · Kui a ei ole hulga A element, siis kirjutame a A.
(5) 2.3 Kasutamine Fruktoosi leidub kõrge fruktoosi sisaldusega maisisiirupis (HFCS), mis sünteetiliselt toodetud magustaja. HFCS tootmiseks kasutatakse toormaterjaliks hüdrolüüsitud maisitärklist. Läbi ensümaatilise protsessi muudetakse glükoosi molekulid fruktoosiks. Kokku eksisteerib 3 eri tüüpi HFCS, mida eristatakse erineva fruktoosi sisalduse alusel: HFCS-42, HFCS-55 ja HFCS-90. Number ühendi nime järel näitab protsenti, kui suur on sünteesitud fruktoosi osahulk siirupis. Seega HFCS-90-s on fruktoosi kontsentratsioon kõige kõrgem ning seda kasutatakse tihti HFCS-55 tootmiseks. Viimast kasutatakse magsutajana näiteks alkoholivabades jookides, HFCS-42 samal ajal kasutatakse paljudes töödeldud toitudes ja küpsetatud toodetes. (5) (5) 2.4 Keemilised omadused Fruktoos on kuuesüsinikuline polühüdroksüketoon. Nagu öeldud, on tegemist
kuulunud; tähis ; NB tehe hulkadega 3.Matemaatilised sümbolid - hulkade ühisosa matemaatikale iseloomulik hulkade ühend nn.kokkuleppeline keel, et teksti lühidalt element kuulub hulka kirja panna (võit ajas ja ruumis) element ei kuulu hulka sidesõna "ja" sidesõna "või" hulga osahulk, "ei ole osahulk" kriipsutatakse sama tähis läbi järeldusmärk "parajasti siis" ehk tunnus: eeldusest järeldub väide ja vastupidi 4.Hulgateooria ajaloost - matemaatika haru, mis tegeleb hulkade üldiste omaduste uurimisega; siia alla paigutatakse ka järjestuste ning muude
sisalda mitte ainult teatud semiootiliste süsteemide kombinatsiooni, vaid ka kõigi nendes keeltes ajalooliselt eksisteerinud teadete (tekstide) summat. (Kultuur ja keel. 1970) KULTUUR III Esiteks, kõigi definitsioonide aluseks peetakse veendumust, et kultuuril o n t u n n u s e d. Kogu näilise triviaalsuse juures ei puudu sellel väitel tähendusväärne sisu: siit johtub veendumus, et kultuur ei kujuta endast ilmaski universaalset kogumit, vaid on üks selle teatavat viisi korrastatud osahulk. Ta ei kätke endas kunagi k õ i k e, vaid moodustab teatud kindlal moel piiritletud sfääri. Kultuur on käsitatav fragmendina, mitte-kultuuri foonil eralduva alana. Vastandamise iseloom on muutuv: mitte-kultuur võib endast märku anda haakumatusena teatava religiooniga, teatud käsituse, teatavat tüüpi eluviisi ja käitumisega. Ometigi on kultuuril niisugust vastandumist alati tarvis. Siinjuures saab just kultuurist opositsiooni markeeritud liige
Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B}
Alamgraaf on graaf, millele on rakendatud nii jääkgraaf kui ka taandatud graaf. Graaf on kahealuseline, kui tema tipud jagunevad kaheks mittelõikuvalt osahulgaks. Tasandiline graa on paigutatav tasandile nii, et kaared ei lõiku. Baas on selline minimaalne tippude hulk, kus selle hulga tippudest leidub tee graafi mistahed teise tipuni. Sõltumatute tippude hulk on graafi osahulk, kus 2 suvalist tippu pole omavahel ühendatud. Imoforsed graafid omavad samapalju tippe ja kaari ning erinevad üksteisest vaid nimetuse või paigutse poolest. Pöördgraaf sisaldab kaari seal, kus graafil neid pole. Puu on sidu tsükliteta orienteerimata graaf. Puul on n tippu ja n-1 kaart. Kromaatiline arv on minimaalne arv millega saab kõik graafi tipud ära varvida nii, et naabertipud oleksid erivärvi.
Kui iseseisev Kreeka sai kontrolli Ateena üle aastal 1832, suurem osa minaretist oli ära lammutatud ning varsti lõhuti ära ka kõik keskaegsed ning Ottomani-aegsed ruumid Parthenonis. Esimene pilt akropolist oli tehtud aastal 1842. Tänapäeval on see ehitis väga suurt huvi pakkuv atraktsioon turistidele, neid käib seal üle miljoni aastas. Kaasajal on marmorskulptuurid ning tükid Briti muuseumis. Veel osa asub Prantsusmaal Louvre'is ning kõige suurem osahulk asub Akropoli muuseumis Ateenas, mis siiamaani seisab mõned meetrid kagu pool eemal Parthenonist, lähiajal kavatseb muuseum uude kohta kolida. Kreeka valitsus üritab Briti muuseumilt skulptuurid tagasi võidelda aastast 1983, kuid seni pole midagi õnnestunud, sest Briti valitsus ei viitsi tegeleda sellega praegu, kuna oleks vaja tohutul hulgal õigusakte. 4 mail 2007 aastal korraldati järjekordne istung ning osapooled on natukene lähemal kompromissile.
öeldakse ka, et hulgad A ja B on ekvivalentsed. Kehtivad omadused: · refleksiivsus: A A · sümmeetrilisus: kui A B, siis B A · transitiivsus: kui A B ja B C, siis A C Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. · Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad jadana {a0, a1, a2, . . .}. · Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. · Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on samuti loenduv. Cantor-Bernsteini teoreem Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon f : A B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R.
Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … , −1 , 0 , 1 , … }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛 > 1899) ∧ (𝑛 < 2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 } = { 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒 ∈ 𝑉, mittekuulumist 𝑒 ∉ 𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴 ⊂ 𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk
Turniirist osavõtjaid oli x. Seega peaks mängitud partiide arv olema x(x 1). Kuid nüüd on iga partii kaks korda arvesse võetud. Tõeline partiide arv on x x 1 1 2 1 ehk x x. 2 2 2 2 Vastus: y = 0,5x 0,5x Vastuseks saime valemi, mida nimetatakse ruutfunktsiooniks ning mille määramispiirkonnaks on kas kõikide reaalarvude hulk või selle mingi osahulk. Ruutfunktsiooni üldkuju on y = ax 2 + bx, kus a ja b on antud arvud ning a 0 . Selgitamaks seda, milline on ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx graafik, joonestame algul ühes ja samas teljestikus näiteks ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 2x graafikud, kui 1 x 2 . Selleks koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
M2(3/2 ; (3)/2) z(M2)= (33)/2 - max 16. Kahekordse integraali mõiste ja omadusi Kinnises tõkestatud piirkonnas DR2 määratud pideva funktsiooni f(x,y) integraaliks antud piirkonnas D nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummasumma n Vn = f ( Pi )Si , i =1 kus Si on hulga D tükeldamisel n osahulgaks S1, S2, ..., Sn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Si diameeter: n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f ( x, y )dxdy n0 i =1 D D ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte f ( P)dS = f ( P)dS + f ( P)dS
Stress põhjustab või raskendab mitmeid seedetrakti haigusi ja stressi tagajärjel muutub põis haigustele ülimalt vastuvõtlikuks. Stress on vaimsete probleemide üks põhjustajaid, pikaaegne stress võib viia tõsiste vaimsete häireteni. Pikaaegne stress nõrgestab immuunsüsteemi, muutes organismi vastuvõtlikuks mitmesugustele nakkustele. 18. Tervisega seotud kehalise võimekuse liigid. On. aeroobne võimekus (seostatakse südame- ja veresoonte haiguste ennetamisega), rasvkoe osahulk kehamassis (liigne rasvkoe hulk on riskiteguriks mitmetele kroonilistele haigustele), kõhu- ja kehatüve lihaste jõud, lihasvastupidavus ja painduvus (seostatakse alaseljavalude ennetamisega) ning tasakaal (seostatakse vigastuste ennetamisega).14.Südame-veresoonkonna süsteemi haiguste põhilised 5 riskitegurid.Südame- ja veresoonkonna haigused on suurel määral eluviisist
127. STEP CHANGE - a significant change, esp an improvement - hüppeline muutus (dictionary.com) 128. STRAIN - Make severe or excessive demands on kurnama (Oxford Dictionary) 129. SUBSCRIPTION - the right to receive a service or access text online for a certain period of time - tellimine, tellimus, abonement (dictionary.com) 130. SUBSET - a set (= a group of similar numbers, objects, or people) that is part of another - alajaotis, alamhulk, osahulk (Cambridge Dictionary) 131. SURVEILLANCE - continuous observation of a place, person, group, or ongoing activity in order to gather information - järelvalve, seire, valve (dictionary.com) 132. TAMPER-PROOF - Made so that it cannot be interfered with or changed. võltsimiskindel, muutmiskindel (Oxford Dictionary) 133. TANGIBLE - real and not imaginary; able to be shown, touched, or
HULGAD Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … ,−1 ,0 ,1 ,… }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛>1899)∧(𝑛<2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 }={ 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒∈𝑉, mittekuulumist 𝑒∉𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴⊂𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk
vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9
seadused väidavad, et katsete arvu (lõpmatul) kasvamisel lähenevad mõõtmistulemuste jaotused ja arvkarakteristikud teatud teoreetilistele jaotustele ja väärtustele. 44. Üldkogum ja valim. Üldkogum (populatsioon) on kõikide meid huvitavate nähtuste või objektide kogum. Näiteks kõik Võrtsjärves elavad angerjad, kõik teatud katseklaasis olevad bakterid jne. Valim on antud üldkogumist teatud viisil eraldatud objektide kogum (üldkogumi osahulk, statistiline kogum). NB! Selleks, et valimi uurimise alusel teha tõepäraseid järeldusi üldkogumi kohta, peab valimi moodustamisel üldkogumi igal elemendil olema võrdne võimalus (tõenäosus) valimisse sattuda. Valim peab olema esindav ehk representatiivne. Valimi alusel üldkogumi karakteristikute kohta tehtavad järeldused on tõenäosuslikud (enamasti kasutatakse 95% ja 99% protsendilisi tõenäosusi) 45. Punkt- ja vahemikhinnang (usalduspiirkond, usalduspiirid).
number on olematu. Preagu levinud üksikute hõimude hulgas Aafrikas. Demograafilise ülemineku esimene etapp ("demogr. plahvatus") algas u. 18 saj. Euroopas ning siin on sündimus ikka veel kõrge, aga suremus on hakanud vähenema tänu arstiabile ja elutingimuste paranemisele. Inimeste eluiga muutub natuke pikemaks ning keskmine eluiga tõuseb. Rahvastikupüramiid sarnaneb Trad. Rahvastiku tüübile, aga inimeste arv on suurem 40-80 juures, kuigi laste ja noorte osahulk on ikka veel suur. Iive on ca 25 promilli. Iseloomulik mõndadele Aasia maadele nagu Afganistaan ning paljudele Aafrika maadele. Demograafilise ülemineku teine etapp ("Rahvastiku vananemine") sai laguse 20 saj. alguses ning nii suremus kui sündimus väheneb. Selle tulemusena langeb iive ning noorte osatähtsus hakkab vähenema, vanemate inimeste osatähtsus hakkab suurenema. Rahvastikupüramiid meenutab mingil moel sibulkuplit (ma tänan-ma tänan!), kus laste
jaotustiheduse histogramm ja arvkarakteristikute hinnangud).
Statistilise analüüsi eesmärgid: 1) juhusliku suuruse või protsessi tõenäosuste jaotusseaduste kindlaks
tegemine 2) juhusliku suuruse või protsessi arvkarakteristikute hindamine 3) juhuslike sündmuste
tõenäosuste määramine 4) hüpoteeside kontrollimine
Mida suurem on statistilise info maht, seda selgemad ja täpsemad tulemused saadakse.
Terminid:
Üldkogum ühetüübiliste uuritavate andmete hulk
Valim üldkogumi osahulk, mida tegelikult uuritakse
Statistiline rida katse tulemustel saadud tabel, mis sisaldab katse jrk numbreid ja vastavaid
katsetulemusi.
k 1 2 3 4 ... n
xk x1 x2 x3 x4 ... xn
Sagedustabeli geomeetriliseks vasteks on histogramm, mille silumisel saadakse jaotustiheduse hinnang
ehk empiiriline jaotustihedus.
Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni hinnangu leidmine. Hinnang: F*(x) = p*(X
6.1. Meeleolu muutused Jay Z. feat Alicia Keys loo "Empire state of mind" puhul Esimeseks loos esitati neile Jay Z. feat Alicia Keys- Empire State of Mind. Lugu käib hiphop muusikastiili alla, sisaldab ka räppi ja on rütmikas. Joonis 18. Meeleolu muutused Jay Z. feat Alicia Keys loo "Empire state of mind" puhul Nagu jooniselt näha, oli emotsioonid üpriski vastakad kui tervelt 35% protsenti kuulajatest muutusid loo tõttu ärevaks, siis ka peaaegu sama suur osahulk 33% - tundsid, et see lugu jättis neid paraku külmaks. Osa inimestest 14% tundsid lugu kuulates rahulolu. 6.2. Meeleolu muutused Arvo Pärdi loo "Für Alina" puhul Järgmiseks looks esitati nooretele Eesti helilooja poolt kirjutatud klaveripala Arvo Pärt Für Alina. Seda loetakse Pärdi ,,Tintinnabuli"stiilis kirjutatud tööks. Tintinnabuli (ladina keeles 'kellukesed') on helilooja Arvo Pärdi 1976. aasta paiku välja kujunenud isikupärane
44. Mis on populatsioon, mis on geeni- ja genotüübisagedus? Populatsioon - ühte liiki kuuluvate omavahel vabalt ristuvad isendite kogum teatud territooriumil. Teistest populatsioonist on eraldatud mõne isolatsioonivormiga (jõgi). Populatsiooni tunnuseks on suhteline püsivus. Genotüübisagedus – teatud genotüübi osakaal kõigi antud alleeli genotüüpide hulgas, mis populatsioonis esinevad. Geenisagedus – teatud geeni osahulk populatsioonis kõigi analoogsete geenide koguhulgas. 45. Kuidas arvutada geenisagedust genotüübisageduse põhjal? Millisel juhul on seda võimalik teha? q=r + h/2, kus q on geenisagedus, r homosügootse genotüübi sagedus, h heterosügootse genotüübi sagedus. Kui igale genotüübile vastab kindel fenotüüp. Kui tegu on retsessiivse geeniga, siis heterosügoodid homosügootsetest kaksikdominantidest ei erine. Tuleb rakendada muid meetode. 10. 46
3) Prognoositõendid – tõendavad tulevasi sündmusi (nende olemasolevaid põhjusi ja tõenäosust). 50. Mida tähendab õigusemõistmises ’asjaolu’? Mis on asjaolu ja tõendi seos? Mis on ’tõendamisese’? Mis määrab tõendamiseseme kriminaalmenetluses? Mis määrab tõendamiseseme hagimenetluses? Tõendite hulga printsiip: tõendite suurem hulk üldiselt kinnitab hüpoteesi tõepärasust paremini kui väiksem osahulk, eeldusel, et kõik tõendid pärinevad usaldusväärsetest allikatest, ei tulene üksteisest ja tõendamis-järeldused on korrektsed. St, et sündmuse asjaolud saavad seda kindlamalt tõendatud, mida enam põhjuslikult seotud, kuid järelduslikult sõltumatuid jälgi (ehk "erinevate ahelate otsi") leidub. Tõendamiseseme asjaolud on: a. kuriteo toimepanemise aeg, koht ja viis ning muud kuriteo tehiolud; b. kuriteokoosseis; c
Sooritatud tegevuse tüüp. Eesmärk (sportlik treening, kehalist pingutust nõudev töö). Pikem ajaperiood, mille vältel harrastatakse ühekordseid tegevusi. Kehalist aktiivsust määravad tegevused Individuaalsed mittemuudetavad tegurid: sugu, bioloogiline vanus, geneetiline omapära, liikumisaparaadi arengukiirus, isiksuseomadused, kroonilised tervisehäired. Individuaalsed muudetavad tegurid: kehamass ja rasvkoe osahulk, kehaline võimekus, suhtumine kehaliselt aktiivsesse eluviisi, motiveeritus ja oskused. Sotsiaalmajanduslikud võimalused: elukoht, lapsevanemate elukutse, haritus, sissetulek. Vahetult ümbritsevast keskkonnast pärinevad tegurid: perekondlikud harjumused, sotsiaalne tugi jms. Liikumise tervislikku tähtsust mõjutavad: Tõhusus – mõju tugevus. Teostatavus – maht, koormavus, iseloom, harjutamistingimused.
kuulumist hulka — tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit regulaarset Elemendi d mittekuulumist hulka V tähistatakse: d ∉ V äratuntavat seaduspärasust: hulga sisaldumine teises hulgas: { . . . -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Hulk A on hulga B osahulk (alamhulk) : A ⊂ B kui hulga A iga { 0, 1, 2, 3, ...} element on samal ajal ka hulga B elemendiks: { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } A ⊂ B ↔ ∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . } Iga hulk on iseenda osahulgaks: A ⊂ A
Siis saame hulga N l˜opliku v˜oi loenduva alamhulga N∗ : N∗ = { i(x) | x ∈ X } ⊂ N. Iga j ∈ N∗ korral valime hulgast { Gx | i(x) = j , x ∈ X } ¨he elemendi Bj . Hulkade Bj valiku kohaselt Bj ∈ A v¨alja u ja iga y ∈ X, j = i(y) korral y ∈ Aj ⊂ Bj . Seet˜ottu ruumi X iga element kuulub v¨ahemalt u ¨hte hulkadest Bj , j ∈ N∗ . J¨arelikult X = ∪j∈N∗ Bj ning { Bj | j ∈ N∗ } on l˜oplik v˜oi loenduv osahulk kattele A. 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides 73 Lemma 7.3 Kui X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis j¨argmised tingimused on samav¨ a¨ arsed: 0 1 iga l˜opmatu alamhulk ruumist X omab piirpunkti; 20 igal jadal ruumist X leidub koonduv osajada. T˜oestus. 10 =⇒ 20 . Eeldame, et ruumis X kehtib tingimus 10 . Valime jada ξ = {xn }n∈N ruumi X elementidest.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
