Mõisted matemaatikas (0)

Ülesanne 1
Aksioom (kreeka keeles axiōma 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust.
Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud (π(100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju.
Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga.
Näide 1.
On antud arvud 3, 4, 5 ja 6.
Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise.
1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18.
2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5.
Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5.
Lahendamiseks sobib ka avaldis
(3 + 4 + 5 + 6) : 4.
Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele.
Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist
Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad . Näide.
16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga.
Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest.
Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1.
Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega .
10 : 1 = 10
10 : 2 = 5
10 : 5 = 2
10 : 10 = 1
Näide 2.
Arvude ühistegur :
Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus .
Nt. 1
Liitmise vahetuvusseadus : Summa ei muutu, kui muudame liidetavate järjekorda.
2 + 3 = 3 + 2 = 5
a + b = b + a
Nt. 2
Korrutamise jaotuvusseadus : Summa korrutamiseks mingi arvuga võib korrutada selle arvuga iga liidetava ja tulemused liita.
Ühes reas on 3 + 5 ringi, kahes reas on 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi.
Punaseid ringe on 2 · 3, valgeid ringe on 2 · 5. Kokku on 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi.
a · (b + c) = a · b + a · c
Diameeteriks nimetatakse niisugust sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti , samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem.
Ruutjuurealust avaldist (b² - 4ac) nimetatakse ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 diskriminandiks ja tähistatakse tähega D.
Näide 1
Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 reaalarvulist lahendit.
Näide 2
Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 ühtivat (võrdset) reaalarvulist lahendit.
Näide 3
Kui D Eratosthenese sõel – meetod algarvude leidmiseks.
Selgitus :
Kirjutame välja arvud 1-st n-ni: 1, 2, 3, 4, …, n. Kriipsutame maha arvu 1, mis ei ole algarv . Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik kordsed eemaldanud, jäävad järele parajasti kõik algarvud.
Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. Harilikku murdu võib vaadata kui jagatist. Murru nimetaja ei saa võrduda nulliga. Harilik murd näitab osa suurust võrreldes tervikuga
Hariliku murru põhiomadus seisneb selles, et hariliku murru väärtus ei muutu, kui korrutada või jagada murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva arvuga.
Hektar on mittesüsteemne pindalaühik. Tähis ha.
1 ha = 0,01 km² = 10000 m²
Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka, millesse kuuluvad kõik hulga A elemendid ja hulgast B veel need, mis hulka A ei kuulu. Hulkade ühendit tähistatakse märgiga ∪ .
Näide 1: A =  m;;7. B =  ; ; 7; b
A ∪
Hulkade A ja B ühisosa A  ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.
Näide 1
Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes.
Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele.
Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.)
Hüperbool on pöördvõrdelise seose y=a/x graafikuks
Jagatise põhiomadus - jagatis ei muutu, kui jagatav ja jagaja korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.
NT.
a : b = (a · n) : (b · n) 6 : 3 = (6 · 100) : (3 · 100)= 600 : 300 = 2
a : b = (a : n) : (b : n) 360 : 60 = (360 : 10) : (60 : 10) = 36 : 6 = 6
Jagavuse tunnused - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv , siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega.
Järkarvudeks nimetatakse arve, mis kirjutatakse ainult ühe nullist erineva numbri ja sellele järgnevate nullide abil.
Ringjoone kesknurk on nurk, mille tipp on selle ringjoone keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont . Kesknurka mõõdab kaar, millele ta toetub .
Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte.
Kolmnurkade võrdsuse tunnused:
1. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus KKK).
2. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed ( tunnus KNK).
3. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus NKN).
4. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja pikema külje vastasnurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus KKN).
Hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik selle küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed.
Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asetseb ühel pool mis tahes sirget, mis on saadud mingi külje pikendamise teel, n-nurga sisenurkade summa, s = (n-2) * 180
Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. Nurgad ja
on kõrvunurgad.
Näide.
Nurga suurus on 45o. Leiame, kui suur on nurk .
180o - 45o = 135o
Vastus. Nurk on 135o.
Lihtmurd on murd, mille lugeja on väiksem kui nimetaja.
3 Liigmurd on murd, mille lugeja on suurem kui nimetaja või nimetajaga võrdne .
Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrdsust, milles lineaaravaldis on võrdsustatud nulliga
ax + b = 0
Sirget, mis on risti lõiguga ja läbib lõigu keskpunkti , nimetatakse selle lõigu keskristsirgeks
Lõigu keskristsirge omadus:
lõigu keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel.
Kui kaks punkti ühendada sirge joonega , saame sirglõigu. Sirglõiku nimetatakse sageli ka lihtsalt lõiguks. Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a.
Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks.
Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik.
Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... () või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... (). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga .
Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige , ruutliige ja vabaliige.
Nt. 2x² + 5x – 6 = 0
Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0)
Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele.
Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324.
Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14.
Parabool on ruutfunktsiooni graafik .
Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks.
Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu.
Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed.
Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks
Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
Punkti ordinaat ehk y - koordinaat on teine punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
Pöördarvudeks nimetatakse kahte arvu, mille korrutis võrdub 1-ga. Antud nullist erineva arvu pöördarvuks nimetatakse arvu 1 ja antud arvu jagatist.
Pöördvõrdelises seoses on kaks muutujat, kui nende korrutis on konstantne ehk muutumatu.  
Püströöptahukas on püstprisma, mille põhitahkudeks on rööpkülikud.
Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud .
Reaalarvu saab esitada kümnendmurdude abil nn. lõpmatu kümnendarenduse kujul.
Ring on ringjoonega piiratud kujund.
Ringi raadiuseks nimetatakse ringjoone mis tahes punkti keskpunktiga ühendavat lõiku.
Ringi sektoriks nimetatakse kahte osa, mille on ringi keskele tõmmatud raadius kaheks osaks jaganud.
Ringjooneks nimetatakse niisuguste punktide hulka, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist.
Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed.
Ruutjuure võtmine on kahega astendamise pöördtehe.
Igal mittenegatiivsel reaalarvul on üks aritmeetiline ruutjuur .
Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand, mis on teisaldatav kujule
kus a ≠ 0.
Ruutvõrrandi lahendivalem on .
Lineaarliige – lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev liige ax on lineaarliige.
Ruutliige – ruutfunktsiooni valemi y=ax²+bx+c olev ax² on ruutliige.
Vabaliige – lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev b on vabaliige.
Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed.
Rööpküliku omadused:
1) rööpküliku vastasnurgad on võrdsed.
2) rööpküliku vastasküljed on võrdsed.
3) rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi.
4) rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
Samaväärsed võrrandid on võrrandid, mille lahendihulgad on võrdsed.
Sirge ehk sirgjoon on kitsas, pikk, kõverusteta joon. Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti täpselt üks sirge.
Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on
kus p ja q on konstandid.
Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem on .
Viète'i teoreemi järgi ja
Tippnurgad on nurgad, millest ühe nurga haarad on teise haarade pikenduseks ja need tekivad kahe sirge lõikumisel.
Trapets on kumer nelinurk, mille kaks külge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks ülejäänud külge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed.
Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste
aritmeetilise keskmisega.
Täisarvude hulka
tähistatakse tavaliselt sümboliga .
Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus.
Täisnurk on nurk, mille suurus on 90°.
Vastandarvu ja selle arvu summa on alati 0. N vastandarvuks on arv –n (lugeda: miinus n ).
Võrde põhiomadus: võrde siseliikmete korrutis on võrdne võrde välisliikmete korrutisega. Võrde ühe poole lugeja ja teise poole nimetaja korrutised on võrdsed.
Võrdeline seos on lineaarse seose erijuht, mistõttu ka iga võrdelise seose graafik on sirge. Võrdelise seose korral läbib see koordinaadistiku alguspunkti. Peale selle ei saa võrdelise seose graafik olla paralleelne kummagi koordinaatteljega.
Võrrand ehk võrdlus, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut.
Võrrandi lahend on kõik tundmatu väärtused, mille korral võrrand osutub tõeseks võrduseks.
Võrrandi lahendamine on võrrandi lahendihulga leidmine.
Võrrandi põhiomadused:
1) võrrandi pooli võib vahetada
2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada sama liikme või avaldise
3)võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.
Võrre on tõene võrdus kahe suhte vahel.
Ühiskordseteks nimetakse arve,
mis jaguvad iga antud arvuga. Ühiskordseid on lõpmata palju. Suurimat ühiskordset pole olemas. Ühiskordsete seast võime aga välja kirjutada vähima ühiskordse.
Näide: Leia arvude 120 ja 192 vähim ühiskordne.
    120       2                   192       2
      60       2                    96        2
      30       2                    48        2
      15       3                    24        2  
        5       5                    12        2
        1                               6        2
                                         3        3
                                          1
Antud arvude vähim ühiskordne on: 2 · 2 · 2 · 3 ·5 · 2 · 2 · 2 = 960
Üksliige ehk monoom on arvuliste ja täheliste tegurite korrutis.
Ülesanne 2
Arvutamise abivalemid :
Valemi nimetus
Valem
Sõnades
Näiteks
Ruutude vahe valem
(a+b)(a-b)= a²- b²
Kahe arvu summa ja samade arvude vahe korrutis võrdub nende arvude ruutude vahega.
(a + 2b)(a – 2b)= a²-(2b)² = a² - 4b²
Summa ruudu valem
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga , millele on liidetud nende arvude kahekordne korrutis ja teise arvu ruut.
(a + 3)² = a² +2 * a * 3 + 3² =a²+ 6a + 9
Vahe ruudu valem
(a-b)² = a² – 2ab +b²
Kahe arvu vahe ruut = esimese arvu ruudu, millest on lahutatud kahekordne esimese ja teise arvu korrutis ning sellele on liidetud teise arvu ruut.
(5x–4)² = (5x)² – 2 * 5x *4+ +4² = 25x² – 40x + 16
Kuupide summa valem
a³+b³ =(a+b)(a²-ab+b²)
Kahe arvu kuupide summa on võrdne nende arvude summa ja samade arvude vahe mittetäieliku ruudu korrutisega
(2a + b)(4a² – 2ab + b²) = 8a³ + b³
Kuupide vahe valem
a³–b³ =(a-b)(a²+ab+b²)
Kahe arvu kuupide vahe on võrdne nende arvude arvude vahe ja samade arvude summa mittetäieliku ruudu korrutisega
(2a –b)(4a² +2ab + b²) = 8a³- b³
Summa kuup
(a+b)³ =a³+3a²b+3ab² +b³
Kahe arvu summa kuup = esimese arvu kuubiga, millele on liidetud kolmekordne esimese arvu ruudu ja teise arvu korrutis, kolmekordne esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis ja teise arvu kuup.
(x+4)=x³+3*x² *4+ 3*x*4² + 4³ = x³+ 12x² + 48x + 64
Vahe kuup
(a-b)³ =a³-3a²b+3ab² -b³
Kahe arvu vahe kuup = esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud kolmekordne esimese arvu ruudu ja teise arvu korrutis, millele on liidetud kolmekordne esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis ja millest lahutatud teise arvu kuup.
(x-4)=x³-3*x²*4+3*x*4²- 4³ = x³-12x² + 48x -64
kujundid, mõõtmed ja joonised
kujund
Mõõtmed
joonis
Kolmnurk
P= a + b + c
Kolmnurga ümbermõõt on kolmnurga külgede pikkuste summa.
S= a · h(b)  täisnurkse
–––
2
Kolmnurga pindala võrdub aluse ja kõrguse poole korrutisega
Korrapärane püstprisma
St= Sk + 2Sp
Püstprisma täispindala võrdub külgpindala ja kahekordse põhjapindala summaga
V= a · b · c = Sp · H
Püstprisma ruumala võrdub põhja pindala ja püstprisma kõrguse korrutisega
Kuup
St= 6a²
täispindala = 6· serva pikkus · serva pikkus
V= a³
ruumala = serva pikkus · serva pikkus · serva pikkus
Ring
(C)P= 2· · r
ümbermõõt= kaks ·3,14 · raadius
S = · r2
pindala 3,14 · raadius · raadius
Ristkülik
P= 2(a+b)
ümbermõõt= külgede summa kahekordse korrutisega
S= a · b
Pindala= ristküliku külgede korrutisega
Risttahukas
St = 2(ab + bc + ac)
täispindala = 2 · (pikkus · laius + laius · kõrgus + pikkus · kõrgus)
V = a · b · c
ruumala = pikkus · laius · kõrgus
Irratsionaalarvuks nimetatakse lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I.
Ringjoont, mis läbib kolmnurga tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks.
Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks.
Mittetäielik ruutvõrrand – nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit.
Lineaarfunktsioon - y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige. Lahendite arve on 1. Vastava funktsiooni graafik on sirge.
Ligikaudse arvu tüvenumbrid- Kui ligikaudsetes arvude 112340; 4,0528 ja 0,0328 koma ja nullid arvu algusest ja lõpust jätta, siis arve 11234; 40528 ja 326 nim. esialgsete arvude tüvedeks. Arvu tüves esinevad numbrid on arvu tüvenumbrid. Seega esimesel arvul on 5, teisel arvul 5 ja kolmandal arvul 3 tüvenumbrit.
Näide: Arvu 37,4 tüvenumbrid on 3, 7 ja 4
arvu 0,073 tüvenumbrid on 7 ja 3
arvu 0,0730 tüvenumbrid on 7, 3 ja 0
arvu 26000 tüvenumbrid on 2 ja 6 (me ei tea missuguse järguni on ümardatud).
Kujund
Joonis
Ümbermõõt
Pindala
Romb
P = 4 a
Ruut
P = 4 a
S = a ²
Rööpkülik
P = 2 ( a + b )
S = a h
Trapets
P = a + b + c + d
Taandamata ruutvõrrandi lahendivalem:
Viete ’i teoreem :
Taandatud ruutvõrrandi
x2 + px + q = 0
lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga
x1+x2 = -p
ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega
x1·x2 = q.
Pöördteoreem:
Kui kahe arvu x1 ja x2 summa on -p ja korrutis q, siis need arvud x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi
x2 + px + q = 0
lahendid .
Viete’i teoreemi pöördteoreemi abil saab koostada ruutvõrrandit antud lahendite järgi.