Geomeetria stereomeetria (0)

STEREOMEETRIA  
 
 
Risttahukas 
S   
2 ab  bc  ac
c 
 
V  S  H  abc
 
d 
p
 
d  
2
2
2
 a  b  c
 
b 
 
 
a 
 
 
Kuup  
 
d 
S  6 2
a
a 
 
V   3
a
 
 
d  a 3
 
a 
 
a 
 
Püstprisma  
 
S  2S  S
 
t
p
k
H =  l  
 
Kü lg pindala S  P  H  
k
 
V  S  H
 
p
A 
 
 
B 
C 
 
Kald  
prisma  
Ristlõige
S   
2S  S
 
t
p
k
 
Kü lg pindala S  P  l  
 
k
V   
S  H
p
H 
l  
 
 
 
 
 
  Korrapärane  püramiid  
  S  S  S
 
t
p
k
 
nar
Pr
a 2


 3
  Põhja pindala S p
2
2
4
C 
H 
 
m 
nam
Pm
 
  Kü lg pindala S 

a 
k
 
2
2
 
1
V 
S  H
r 
p
a 
 
3
 
a 
 
 
 
1 
Sil  
inder 
S  2S  S  2 r


t
p
k
h r
 
H 
 
S   r 2
p
 
 
S  2 
k
 
r H
V  S  H   r 2  H
p
r 
 
 
 
 
Koonus  
2
2
2
 
m  r  H
 
S  S  S  r


t
p
k
m r
 

m 
2

 
S
r
 
p
H 
 
S   r  m
k
 
1
1
 
V 
S  H 
 r 2  H
r 
p
 
3
3
 
 Kera 
 
2
S  4 R
 
 
 
4
3
V 
 R
R 
 
3
 
 
 
 
NÄITEÜLESANDED. 
 
1)  Püramiidi põhjaks on  võrdhaarne   kolmnurk , mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. 
Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. 
Leidke püramiidi külgpindala. 
Lahendus. 
C 
 
 
Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, 
 
mille aluseks on 4 cm apoteem on    BC ja 
 
külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC.  
 
Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg-
 
H 
nurk-külg) tunnuse põhjal. Seega on võrdsed 
 
m 
m 
külgtahkude apoteemid (tähistame m). 
 
Saame avaldada külgpindala 
 
8 
4  m
2  8  m
O 
S  
0


 10m . 
0
k
60  
60  
 
2
2
r 
B   4 
r 
 
Teiseks leiame põhjaks oleva kolmnurga 
A 
 
siseringjoone raadiuse r. 
 
8 
 
 
 
2 
Kolmnurga pindala saab leida siseringjoone raadiuse või ka Heroni valemi järgi 
S  pr 
p


  
p
p ap bp c
4  8  8
p 
 10
2
S 




   

 
p

10 10
410 810 8
10 6 2 2
240
4 15
2
cm 
2 15
4 15  10r  r 
cm.
5
Leiame nüüd täisnurksest kolmnurgast AOC (BOC) apoteemi m 

r
2 15 1
4 15
cos 60 
 m 

cm
m
5
2
5
 
4 15
S  10 
 8
k
 2
15 cm 
5
Vastus. Püramiidi külgpindala on  8 15 cm². 
 
2)  Korrapärase kolmnurkse püstprisma põhiserv on 3 cm ja külgserv on 8 cm. 
Arvutage prisma ümber kujundatud kera raadius ( prisma tipud  asuvad kera 
pinnal). 
 
Lahendus.  
 
 
A 
Kuna tegemist on korrapärase prismaga, siis 
 
kera keskpunkt O asub prisma kõrguse AB 
 
keskpunktis O. Kera raadius R = OC. 
R 
 
Vaatleme täisnurkset kolmnurka OBC. Lõik 
 
2
8 
 
OB = 4 cm (pool kõrgusest) ja  BC  h , kus 
O 
3
 
h on põhjaks oleva kolmnurga kõrgus ja samas 
3 
R 
 
3                   
ka mediaan, kuna kolmnurk on võrdkülgne. 
 
Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani suhtes 
 
B 
C 
2
 
1 : 2 ja tipu poole jääb nii  h . 
3 
 
3
   
2
 
Leiame Pythagorase  teoreemi abil kolmnurga kõrguse 
2
3
3 3
h 
3    
cm. 
 2 
2
2
2  3 3
BC 
h 
 3cm. 
3
3  2
Leiame nüüd kolmnurgast OBC Pythagorase teoreemi abil kera raadiuse 
2
R  OC 
42   3  19cm.  
Vastus. Kera raadius on  19 cm. 
 
 
 
 
 
3 
3)   Riigieksam 1999 (20p.) Püströöptahuka diagonaalid on 9 cm ja  33  cm. Tema 
põhja ümbermõõt on 18 cm ja külgserv on 4 cm. Leidke püströöptahuka 
ruumala. Leidke kolmnurkse püramiidi ABDD1 ruumala.  
Lahendus. 
D1 
C1 
 
Ülesande andmete põhjal  
 
B1 
BD1   
=  33  cm ja  AC1 = 9 cm; 
A1 
2(a +  
 b) = 18 cm; 
Kõrg  us H = AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 4 
cm 
 
D 
Leida   tuleb tahuka ruumala V  S  H . 
p
C 
 
 
b 
 
 
A 
a 
B 
 
Alustame põhja pindala leidmisega. Selleks leiame  esmalt  põhjaksoleva  rööpküliku  
diagonaalide pikkused.  Kasutades Pythagorase teoreemi leiame täisnurksest kolmnurgast 
ACC
2
2


1 diagonaali d1 = AC = 
9
4
65cm ja kolmnurgast BDD´ d2 = BD = 
 2
33  42  17cm. 
Rööpküliku küljed leiame seostest  
2
2
d
 d  2 a  b 

 a  b  a  b 
1
2
 2 2 17 65 2 2 2 2 2 2 82
Moodustame võrrandis s
ü teemi ja  lahendame  selle
2 2
2
a  b   82

a  b  9
a  9  b  2 9
(  b)2
2
 b   82  28118
2
2
b  b  b   82: 2 
D 
C 
2 2
b  18b  81 
41 2
 
2
d
b  9b  20  0
1 
Viete ´i teoreemi põhjal
h 
b 
d2 
b  4 ja a  9  4  5
1
1
b  5 ja a  9  5  4
2
2
x 
 
A 
B 
a 
 
Seega on meil a = 5 (cm) ja b = 4 (cm). 
Rööpküliku kõrguse leiame Pythagorase teoreemi kasutades võrrandisüsteemist 
h2  d 2  
2
a x2

 d 2  









2
a x2 b2 x2 d 2 a2 2ax x2 b2 x2
2
h2  b2  x2
d 2  a 2  2ax  b2
 
2
 2
17   52  2  5  x  42  17  41 10x  10x  24  x  ,
2 
4 cm
h2  b2  x 2  h2  42  ,
2 42 
10 24  h  ,
3 
2 cm
Leiame nüüd põhja pindala kui rööpküliku pindala näiteks valemi  S  a  h  abil. 
S  a  h  5  ,
3 2 
. 
p
 2
16 cm 
 
4 
Ruumala V  S  H  16  4 
. 
p
 3
64 cm 
Kolmnurkse püramiidi ABDD1 ruumala leidmiseks leiame esmalt kolmnurga ABD 
16
pindala  S


(moodustab rööpkülikupindalast poole) ja püramiidi ruumala 
ABD
 2
8 cm 
2
1
1
2
V 
S  H 
8 4  10
. 
p
 3
cm 
3
3
3
Vastus Püströöptahuka ruumala on 64 cm
2
³ ja püramiidi ruumala 10 cm³. 
3
 
4)  Riigieksam 1999 (15p.)  Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhja ümbermõõt on 
120 3  cm ning  põhja ja külgtahu vaheline  kahetahuline  nurk on 30o. Arvutage 
selle püramiidi täispindala. 
 
Lahendus. 
 
 
 
 
H 
 
m 
 
m 
 
 
0
 
0
30  
30  
r 
 a 
 
r 
 a 
 
 
Leiame põhiserva pikkuse a = 120 3 : 3  40 3cm. 
Kuna  põhjaks  on  võrdkülgne  kolmnurk,  siis  leiame  põhja  kõrguse  näiteks  seosest 

h
3
sin 60 
 h 
 40 3 

60 cm. 
40 3
2

Põhja 
ah
40 3 60
pindala  S 

 1200 3
 
p
 2
cm .
2
2
Külgpindala leidmiseks on vaja teada külgtahu apoteemi m. 
Leiame selle täisnurksest kolmnurgast seosest 

r
cos 30 
. Et põhjaks on võrdkülgne 
m
1
kolmnurk, siis  r 
h (mediaanide lõikepunkti omaduse põhjal), siis  r  60 : 3 

20 cm  
3
r
20
40
3
40 3
ja  m 




cm. 
cos 30
3
3
3
3
2


Külgpindala 
nam
3 40 3 40 3
S 


 
k

2400
2
cm .
2
2  3
Täispindala  S  1200 3  2400 

1200 3  2
2
cm .  
Vastus. Püramiidid täispindala on 

1200 3  2 cm². 
 
5 
5)  Riigieksam  1999  (15p.)   Koonuse   telglõike   tipunurk   on  64o  ja  põhja  ümbermõõt 
on 126 cm. Arvutage selle koonuse külgpindala ja ruumala. 
Lahendus. 
Ülesande andmete põhjal on põhja ümbermõõt C =  
63
2  r  126  r   .  
Kuna telglõikeks on võrdhaarne kolmnurk, kus kõrgus poolitab tipunurga , siis 

r
63
sin 32 
 m 
.  
m
 sin 32
 
Koonuse külgpindala 
 
63
63
S    r  m   


 
k

2384
2
cm 
 


64  
  sin 32
 
m 
Leiame koonuse kõrguse 
 

r
63
H 
tan  32 
 H 
.  

 
H
 tan32
 
Koonuse ruumala 
 
2
1
1  63 
63
2
V 
r
  H    

 3
13514 cm 
 

r 
3
3   
 tan32
 
. 
Vastus. Koonuse külgpindala on ligikaudu 2384 cm² ja ruumala 13514 cm³. 
 
6)  Võrdhaarne kolmnurk haaraga 8 cm ja alusnurgaga 30o pöörleb ümber ühe 
haara. Leidke tekkinud  pöördkeha ruumala ja pindala. 
Lahendus.  
C 
8 
 
A´ 
Kolmnurga pöörlemisel tekib pöördkeha, mis 
 koosneb kahest koonusest, milledel on ühine 
 põhi. Ühe koonuse ristlõige on võrdhaarne 
 
8 
8 
kolmnurk ABA´ ja teisel AA´C.
 
 
Leiame pöörleva kolmnurga aluse 2x. 
 
 
A O 
 

x


cos 30 
 x  cos30 8  4 3cm. 
30  
 
8
 
x 
Seega on kolmnurga alus 2 4 3  = 8 3  cm  
A 
B 
  

r
1
Koonuse raadius r = AO = OA´. Leiame selle  sin 30 
 r  8 3  4 3cm. 
2x
2
Ühe koonuse kõrguseks on OC ja teisel OB. 
Leiame esimese koonuse kõrguse 
2
H
 82  4 3  64  48  4
. Seega on ka 
OC
 
cm
teise koonuse kõrgus 8 – 4 = 4 (cm). Järelikult on koonuste ruumalad võrdsed ja 
  
pöördkeha ruumal
1
2
1
2
V  2 
r
  H  2  4 3
8
16 3
a avaldub 
 4 
 128  3
cm .  
3
3
3
Pöördkeha pindala moodustavad mõlema koonuse külgpindalad. 
Leiame esimese koonuse külgpindala S  rm

   4 3 8  32 3  2
cm
 
1
.
Teise koonuse külgpindala  S  rm

   4 3 8 3  96  2
cm
 
2
.
Pöördkeha pindala on 32 3  96  32  3  
3 
2
cm .  
Vastus. Pöö
32  3  
rdkeha ruumala on 

128  cm³ ja pindala 
3 . cm². 
 
6 
7)  Korrapärase püramiidi aluseks on  hulknurk , mille sisenurkade summa on 720o. 
Leidke selle püramiidi ruumala teades, et ta külgserv pikkusega  l  moodustab 
kõrgusega nurga 30o. 
 
Lahendus. Kuna  hulknurga  nurkade summa 

s  n  2

720
180  n  2 
 n  2  4  n  6 , st. põhjaks on korrapärane 
180
kuusnurk . 
 
B 
 Püramiidi ruumala avaldub 
1
V 
S  H . 
 
p
3
 

Avaldame täisnurksest kolmnurgast AOB 
30  
 

H
3  l
 kõrguse  cos 30 
 H 
 ja 
l  
 
l
2
H 
 põhiserva a 

a
l
sin 30 
 a  . 
 
l
2
a 
A 
 
nar
r 
O 
Leiame põhja pindala valemist  S 
. 
 
p
a 
2
 
2
 
Põhja apoteem 
2
a
3
3
r 
a    
a 
l . 
 2 
2
4
2
 


Põhja pindala on 
6 l
3 l
3 3 l
S 

. 
p
2  2  4
8
2
3
1 3 3  l
3  l
3l
Ruumala V 



 3
üh . 
3
8
2
16
3 3
l
Vastus. Püramiidi ruumala avaldub külgserva kaudu 
üh³. 
16
8)  Riigieksam 2002(20 p.) Koonuse tippu läbiv tasand lõikab koonuse põhja mööda 
kõõlu, mille pikkus on võrdne  raadiusega . Leia koonuse tekkinud osade 
ruumalade suhe. 
1
D 
Lahendus. Koonuse ruumala avaldub V 
r 2
  H . 
3
 
Vaatleme esmalt koonuse põhja. 
 
Põhjal tekkib võrdkülgne kolmnurk, 
 
 
seega on kesknurk  A = 60º ja 
 
koonusest eralduv kujund ABCD 
 
60
1
moodustab 
  kogu ruumalast 
A 
 
360
6
C 
. 
 
 
B 
 
r 
C 
A 
 

60  
 
r 
r 
 
B 
 
7 
2
2
Püramiidi ABCD ruumala avaldub 
1
1
3r
3r H
V 
S  H 

 H 
.  
3 p
3
4
12
Lõige eraldab kujundi BCD ( 1  koonusest lahutada püramiid) ruumalaga 
6
1 1
3 2
r H
 

 
2
2
3
2
2
3 3
 r  H 
 r H

 r H 


. 
6 3
12
18
12
36


1
5
5 1
2
5
Suurem osa koonusest 1 
  ja selle ruumala 
2

r
  H 
r
  H. 
6
6
6 3
18
 
Saame tasandilise lõikega eraldunud suurema osa koonusest 
5
r H


2
3 2

2
5
3 

2
10  3 3 
r  H 
 r H



 r H
 . 
18
12
 18
12 

36

  

 
 
2
10
3 3
2
2
3 3
10
3 3
Leiame suhte  r H
: r H



 
36
36


2  3 3
10  3 3
Vastus. Koonuse tekkinud osade ruumalade suhe on 
.  
2  3 3
9)  Riigieksam 2002(20 p.) Risttahukakujulisest toorikust servadega a, b ja c 
valmistatakse detail. Esmalt puuritakse toorikust läbi ümmargune ava 
raadiusega r nii, et ava  telg ühtib risttahuka sümmeetriateljega, mis on 
paralleelne külgservaga a. Seejärel tehakse  ruudukujulise  ristlõikega ava, mille 
sümmeetriatelg ühtib risttahuka sümmeetriateljega, mis on paralleelne 
külgservaga b. Ava ruudukujulie ristlõike külg on d, kusjures 2r    d. 
Avaldage detaili  
1.  välispinna pindala;  
2.  ruumala; 
3.  õõnsuste pindala. 
 
a 
Lahendus.  
Vaatleme esmalt, millistest osadest välispind  koosneb. 
d 
Saame kolm erinevat kujundit. 
 
c 
a 
 
 
b 
 
b 
Pindala on  S  ab  
 
 
 
 
a 
 
Pindala on 
2
S  ac  d  
 
d 
c 
 
d 
 
 
r 
 
Pindala on 
2
S  bc  r
  
c 
 
 
b 
 
8 
 
Kuna iga kujundi vastastahk on samasugune , siis saame välispinna pindalaks 
S  
2
2
2 ab  ac  bc  d  r
 . 
Järgmiseks leiame ruumala.Vaatleme kujundi läbilõiget pealtvaates. 
 
Risttahuka ruumala ilma väljalõigeteta on  
 
V
 abc ; 
 
RT
2r 
b 
Risttahukakujulise väljakõike ruumala on 
 
2
   
 
V
d d b
d b ; 
1
d 
 
Silindrikujulise väljalõike ruumala on 
2
Saame detaili ruumalaks 
2
2
V  abc  d b  r
 (
Va   r  a  d , kuna 2r    d. 
2  d ) . 
d 
a 
Viimaseks leiame õõnsuste pindala. 
Vaatleme esmalt risttahukakujulist õõnsust. 
 
b 
  d 
 
 d  
 
 
Risttahuka kaks tahku on ruudukujulised (korrapärane  nelinurkne  püstprisma) ning sellest 
on väljalõigatud 2 ringi. Risttahuka  kujulise õõnsuse pindalaks on  (neljast ristkülikust 
lahutada 2 ringi) 
2
S  4db  2 r
 . 
1
Silindrikujulise õõnsuse pindala  S  2 r
 (a  d). 
2
Saame õõnsuste pindalaks kokku  S
 4db  2 2
r
  2 r
 (a  d). 
õõnsused
Vastus. Välispinna pindala  S  
2
2
2 ab  ac  bc  d  r
 , detaili ruumala 
2
2
V  abc  d b  r
 (a  d)  ja õõnsuste pindala S
 4db  2 2
r
  2 r
 (a  d). 
õõnsused
 
10) Antud on koonus, mille kõrgus on 15 cm ja ruumala 180 cm³. Koonuse sisse on 
kujundatud silinder. 
1.  Leidke koonuse põhja raadius R. 
2.  Avaldage silindri kõrgus h tema põhja raadiuse r kaudu. 
3.  Avaldage silindri ruumala tema põhja raadiuse r kaudu. 
4.  Kui suur peab olema silindri põhja raadius, et selle ruumala oleks 
maksimaalne? 
C 
Lahendus. 
 
 
1.  Teame, et koonuse ruumala on  
D 
1  


2
3
2
3 180
D 
F 
15 
R
 H  180 cm  R 
 36 
3  

 
r 
15
R  
6 cm.
h 
  2.  Silindri kõrguse h avaldamiseks tema põhja 
 
raadiuse r kaudu saame kirjutada välja võrde 
 
B 
(kuna kolmnurgad ABC ja DFC on sarnased) 
A 
 
R 
 
15
6
  
6 15  h  15r  90  6h  15r  6h  90 15r : 6  h  15  5
2 r. 
15  h
r
 
9 
2.  Silindri ruumala 
2
2
V  r
 h  r
 15  5
2 r.  
3.  Silindri maksimaalse ruumala leidmiseks lahendame ekstreemumülesande. 
Kasutame eelmises punktis leitud ruumala avaldist ning ekstreemumi  
määramiseks leiame selle tuletise  nullkohad . 
V  15
2
r
  5
2
3
r

V´(r)  30 r
  5
7
2
r
  0
5
7
r
 4  r  0
2
3
V  15 r  5
2  r  
r  0 ei sobi
1
r  4
2
Kontrollime nüüd teise tuletise abil, kas r = 4 annab ka maksimaalse ruumala. 
  V´´(r)  30 15r  30 15  4  30
   0 , st. tegemist on 
maksimumkohaga. 
Vastus. Koonuse põhja raadius on 6 cm ja silidndri kõrgus avaldub  h  15 
r
5
2
. Silindri 
ruumala avaldub 
2
3
V  15 r  5
2  r  ning maksimaalse ruumala annab raadius r = 4 cm. 
 
11) Kerasse raadiusega 6 cm on kujundatud koonus telglõike tipunurgaga 60o. Leia 
kera ja koonuse ruumalade vahe. 
 
Lahendus.  
4
4
Kera ruumala 
3
3
V 
 R   6  288  3
cm . 
3
3
Kuna koonuse telglõike tipunurk on 60 º, siis on 

a 
60  
a 
tema telglõikeks võrdkülgne kolmnurk.  
Võrdkülgse kolmnurga kõrgus avaldub külje 
6 
2
 a 
a
a
2
3 2
3
kaudu  h 
a    

. 
 2 
4
2
a 
Teame, et kera raadius 6 cm moodustab 
2
koonuse telglõike kõrgusest   (mediaanide 
3
lõikepunkti omaduse põhjal) 
2
2
3a
3
18
3
H  R 

 6
 a 

 a  6 3cm. 
3
3
2
3
3
3
Seega koonuse raadius on  r 
5
0 a 
5
0  6 3  3 3cm.  
2
3
Kuna 
 kõrgusest on 6 cm, siis on koonuse kõrgus  H 
 6  
9 cm.  
3
2
1
1
V 
r
 H   
2
2
3 3
1
Leiame koonuse ruumala 
9    27 9  81  3
cm . 
3
3
3
Kera ja koonuse ruumalad vahe on  288  81  207 
3
cm .  
Vastus. Kera ja koonuse ruumalade vahe on 

207 cm³. 
 
 
 
 
10 
HARJUTUSÜLESANDED  
 
1)  Kera sisse on kujundatud koonus. Avalda selle koonuse ruumala, kui koonuse 
telglõike tipunurk on  
2  ja kera raadius R. Arvuta koonuse ruumala, kui R = 1,5 dm 
2
3
 R sin2 2 cos2 
ja   = 32o15´. V: 
 1
4  
3
2)  Riigieksam 1998 On antud korrapärane nelinurkne püramiid, mille külgserva ja põhja 
vahelise nurga tangens on 3 ning põhja diagonaal  8 cm. Püramiidi sisse on 
kujundatud korrapärane nelinurkne prisma nii, et selle alumine põhi asub püramiidi 
põhjal ja ülemise põhja servad külgtahkudel. a) Avalda prisma  ruumala  tema põhja 
diagonaali d kaudu. b) Millise d väärtuse korral on prisma ruumala maksimaalne? 
8
Arvuta prisma maksimaalne ruumala? V: V = 6d² - 0,75d³ ;  56  cm³ 
9
3)  Riigieksam1998 Koonuse tipp asub punktis T(0;0;8), punkt A( 3 2; 3 2;
16  paikneb 
põhja ümberringjoonel ja põhja raadius on 8 cm. Leia koonuse täispindala. Kui 
kaugele tipust tuleb teha põhjaga paralleelne lõige, mille pindala on veerand põhja 
pindalast? V: St = 144 cm²; 3 cm 
4)  Silindri telglõige ja põhi on pindvõrdsed. Avalda silindri täispindala, kui silindri 
 2

kõrgus on h. V:  4 2
h 
 
1  


5)  Kolmnurkse korrapärase püramiidi kõik külgtahud moodustavad põhitahuga nurga 
60o ja  apoteem on 12 cm. Leia püramiidi täispindala ja ruumala .                              
V: 
2
3
S  324 3 cm
ja V  648 cm  
t
6)  Koonuse tipp asub koordinaatide alguspunktis ja põhi on risti y-teljega. Punkt 
A( 3 3
0
3
 asub põhja ümberringjoonel. Leia a) koonuse telglõike tipunurk, b) 
koonuse täispindala ja ruumala, c) mitu protsenti moodustab koonuse põhja  pindala 
külgpindalast? 
9 2 3  
V:  = 120º; St = 
3  üh² ja V = 27 üh³ ; 86,6% 
7)   Trapets , mille alused on 4 cm ja 9 cm ning  haarad  on 3 cm ja 4 cm, pöörleb ümber 
pikema aluse. Leia tekkiva pöördkeha ruumala ja pindala. V: V = 32,64 cm³ ja S = 
36 cm² 
8)   Romb , mille külg on a ja üks nurkadest 30o, pöörleb külje ümber. Avalda pöördkeha 
pindala ja ruumala. V: S = 2a² üh², V = 0,25a³ üh³ 
9)  Riigieksam2000  
 
Koonusekujulise anuma telglõike tipunurk on 
 
60º.   Anumasse   asetatakse  raske  kuul 
 
raadiusega  r  ja  valatakse  vett  kuni  veenivoo 
 
katab  kuuli.  Leia  veenivoo  kõrgus  pärast 
 
 
kuuli eemaldamist. V:  3
r 15  
 
 
10) Riigieksam2000  
       
Koonuses, mille telglõike tipunurk on 60º, ulatub vesi 
 
kõrguseni h. Anumasse asetatakse rauast kera 
 
raadiusegs r, mis jääb täielikult vee alla. Leia veenivoo 
 
kõrgus siis, kui kera on koonuses. 
 
V:  3
3
3
h 12r  
h 
 
11 
11) Riigieksam 2001  Telgi põhjaks on ristkülik , mille pikkus on a ja laius b. Telgi katus 
koosneb kahest kolmnurgast ja kahest trapetsist, mis lõikuvad horisontaaltasapinnaga 
nurga  all. Leidke 
a)  telgi harja pikkus  
b)  telgi kõrgus  
c)  telgi katuse pindala  
d)  telgi ruumala.  
 
b tan
ab
1
V: a – b; 
; 
; 
2
b 3
( a  b) tan ; 
2
cos
12
12) REX2001 Risttahukakujulise maja pikkus on a, laius b ning (seinte) kõrgus c. Katuse 
pind  koosneb  kahest  trapetsist  ja  kahest  kolmnurgast,   kusjuures   kõik  need  neli  osa 
lõikuvad horisontaaltasapinnaga nurga all . Leia  
a)  katuseharja pikkus V: a - b 
b tan
b)  maja kõrgus maapinnast  katuseharjani V:  c 
 
2
ab
c)  katuse pindala V: 
 
cos
1
d)  pööningu ruumala V: 
2
b 3
( a  b) tan  
12
13) REX2002  Torni  koonusekujulise katuse läbimõõt, mõõdetuna kõige laiemast  kohast, 
on 8,0 m ja kõrgus 4,2 m. Mitu kilogrammi värvi tuleks osta torni katuse värvimiseks, 
kui ühe ruutmeetri värvimiseks kulub 200 g värvi? V: 15 kg 
 
14) Riigieksam 2002 (20 p.) On antud kera ruumalaga 36 cm³. Kera sisse on kujundatud 
koonus. 
a)  Leidke kera raadius R. 
b)  Avaldage koonuse põhja raadius r kõrguse h kaudu. 
c)  Avaldage koonuse ruumala kõrguse h kaudu. 
d)  Kui suur peab olema koonuse kõrgus h, et koonuse 
h 
ruumala oleks maksimaalne?   
R 
1
r 
V: R = 3 cm; r = 
2
6h  h ; V = 
h²(6 – h); h = 4 cm;  
3
 
15) Riigieksam 2003 (5p)  
Maja seina vastu ehitatakse kilest 
kasvuhoone , mille esiseina 
kõrgus on 1,5 m ja tagaseina kõrgus on 2 
m (vt joonist). Põhja 
mõõtmed on 1,2 m ja 2 m ning katuselati 
pikkus 1,3 m. Kui palju kulub 
kilet katuse, trapetsikujuliste külgseinte 
ja esiseina katmiseks? 
 
 
V: 9,8 m2 
 
 
 
12 
16) Riigieksam 2003 (20p) Varikatuse ristlõige (vt jooniseid) on saadud võrdkülgsest 
kolmnurgast selle ühe nurga ümardamisel ringjoone kaarega, mille raadius on r. 
Sealjuures kolmnurga kaks külge on ringjoone puutujateks. Varikatuse laius ja pikkus 
on vastavalt 4
r
3  ja b. Leidke varikatuse pindala S, katusealuse ruumala V ja kõrgus 
h. 
 

2 r
 

 
V:  S  6 3r 
 ;
b V  11

3
2
 r  ;
b h  5r. 

3 

3 
17) Riigieksam 2004 (20p) Lillepott on korrapärane kaheksanurkne prisma, mille õõnsus 
on poolkera  (vt joonist). Sealjuures 
a)  poolkera suurringi tasand ühtib prisma ülemise põhja tasandiga, 
b)  poolkera sümmeetriatelg ja prisma sümmeetriatelg ühtivad, 
c)  poolkera ruumala on pool prisma ruumalast, 
d)  lillepoti põhja paksus (kõige õhemas kohas) võrdub külgseina paksusega (kõige 
õhemas kohas). 
(1) Avaldage poolkerakujulise õõnsuse ruumala prisma põhiserva pikkuse a 
kaudu. 
(2) Milline peaks olema a väärtus täissentimeetrites, et õõnsuse maht oleks 
vähemalt 0,5 liitrit? 
 
 
 
3
3
a
a  2  
1
V: 
3
2
V 

a 
 
dm  
2 tan2
5
22 
2 2   ;
tan
5
22
56
0
1
18) Riigieksam 2005 (10p)  
Silindrikujulisse kaanega  karpi on paigutatud 
4 ühesuurust palli, 
nii et iga pall puutub karbi põhja, kaant ja 
külgseina ning kahte naaberpalli 
(vt joonist). Kui suure osa karbi ruumalast 
täidavad pallid? 
 
 
 
V: ligikaudu 46%. 
 
13 
 
19) Riigieksam 2005 (20p) Kuubi ABCDA'B'C'D'  servadel  BB' ja DD' asetsevad vastavalt 
punktid B''  ja D'', mis jaotavad need servad alates punktidest B ja D suhtes 1 : 2 (vt 
joonist). Läbi punktide C' , B''  ja D'' on asetatud tasand γ . Kujutage tekkinud kuubi 
lõige joonisel. 
 
1.  Millises suhtes jaotab 
lõige kuubi served AD ja 
AB? 
2.  Avaldage lõike pindala, 
kui kuubi serv on a. 
 
 
7 17 3
a
V: Lõige poolitab põhiservad;  S 
.  
24
20) Riigieksam 2006 (20p) Küna (vt joonist) otsad on võrdhaarsed trapetsid, mis on 
põhjaga risti ja mille üks alus on teisest 30% võrra pikem. Küna külgseinad ja põhi on 
ristkülikud, põhja laius on a. Küna sügavus on h ja vee sügavus künas on 0,5 h. Küna 
kallutatakse ühele külgseinale, kuni vastaskülgsein väljub täielikult veest. Tehke 
kindlaks, kas osa veest voolab seejuures üle küna ääre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V: Osa veest voolab kallutamisel välja. 
21) Riigieksam 2007 (20p) Koonuse põhjal on neli ühesuurust kera, millest igaüks puutub 
ülejäänud keradest kahte. Nendel keradel asetseb viies niisama suur kera, vt joonist. 
Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke kaugus viienda kera kõige kõrgemast 
punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurga suurus, kui kerade raadius on 
r.   
r2  2
V: 

; 90 . 
 
22) Riigieksam 2008(20p). Kolmnurkse püramiidi OABC servadel OA ja OB asetsevad 
vastavalt punktid K ja L , mis jaotavad need servad tipust O alates suhtes 1 : 2 ja 2 : 1. 
1) Tähistage püramiidi tipud ja täiendage joonist lõiketasandiga CKL . 
 
14 
2) Millises suhtes jaotab lõiketasand CKL püramiidi ruumala?  
 
 
23) Riigieksam 2009(20p) Püströöptahuka ABCDA1B1C1D1 (vt joonist) põhjaks on romb 
ABCD, mille  teravnurk  BAD =α ja diagonaal BD = d. Püströöptahuka diagonaal CA1 
moodustab põhitahuga nurga β . 
       1) Avalda püströöptahuka diagonaallõigete pindalad nurkade α ja β ning 
diagonaali d kaudu. 
       2) Antud püströöptahukasse on kujundatud püramiid OA1KL, kus punktid K ja L on 
vastavalt püströöptahuka servade D1C1 ja C1B1 keskpunktid ning punkt O on rombi ABCD 
diagonaalide lõikepunkt. Leia püströöptahuka ja püramiidi OA1KL ruumalade suhe. 
       3) Näita, et sirge A1O on risti sirgega BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
d tan
2

d tan 
V:  S 
; S 
8
; : .
1  
1
2


tan2
tan
2
2
24) Riigieksam 2010 (20p)  Silindris on risttahukas ABCDA´B´C´D´ (vt joonist). 
Risttahuka pikem põhiserv on a ja põhitahu diagonaalidevaheline teravnurk on α . 
Risttahuka diagonaal moodustab külgtahuga, mille pindala on väiksem, nurga β . 
1. Avaldage silindri külgpindala a, α ja β kaudu. 
2. Näidake, et a =  3  cm, α = 60o ja β = 45o korral on silindri külgpindala 2π  2  cm2. 

3 1 tan2
tan2 
2
V: S 
.  
k

cos
tan 
2
 
 
15 
25) Riigieksam 2011 (10p) Korrapärase kuusnurkse püramiidi TABCDEF külgpindala on 
1,2 dm2 ja põhja pindala  24 3 cm2. Arvuta püramiidi kõrgus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V: 2
cm
22
 
 
26) Riigieksam 2011 (20p) Hoone madalam osa on poolsilindri- ja kõrgem osa 
risttahukakujuline. Risttahuka laius on võrdne poolsilindrikujulise otsaseina diameetriga 
d.  Risttahuka pikkus ja laius suhtuvad nagu 3 : 2 
ning selle kõrgus on 2 korda suurem madalama osa 
pikkusest. Silindrikujulise osa katuse pinnalaotuse 
ümbermõõt on P. 
1)  Avalda kogu hoone ruumala ümbermõõdu P 
ja diameetri  d kaudu. 
2)  Kui suur peaks antud P väärtuse korral 
olema poolringikujulise otsaseina raadius, et 
madalama osa katuse pindala oleks 
võimalikult suur? 
 
 
 
 
 
 
2
d P d  12
P
V: V 
;r 
.  
16
4
 
26)  Riigieksam 2012 (10p) Kolmnurkse püstprisma põhjaks on kolmnurk, mille kaks 
külge on 6,7 ja 9,4 cm ning nendevaheline nurk 34°. Nurk prisma väikseima pindalaga 
külgtahu diagonaali ja põhitahu vahel on 45°. Tehke selgitav joonis ja arvutage selle 
prisma täispindala. 
V: 150,5 cm2 
27)  Riigieksam 2012 (20p) Võrdhaarne teravnurkne kolmnurk haaraga b ja tipunurgaga  
pöörleb umber ühe haara. 
 
1. Avaldage tekkinud pöördkeha täispindala ning ruumala haara b ja tipunurga  
kaudu. 
 
2. Arvutage tekkinud pöördkeha täispindala ja ruumala, kui 
4


1 
5  2
5  2
b    

81 75
0
ja 
30 .


 
 2 
5  2
5  2
 
16 
 



3
2
49
1
22 3
b sin 
343


V 

2
S  b sin  1  2 1  cos  
V:

 
. 
3
12
2
28)  Riigieksam 2013 (10p) Silindri täispindala on 152π dm2. Kui selle silindri raadiust 
vähendada kaks korda  ja kõrgus jätta samaks, siis väheneb silindri täispindala 84π dm2 
võrra. Leia  esialgse  silindri kõrgus ja radius.  V: r = 4 cm ja H = 1 5 cm. 
29) Riigieksam 2013 (20p) Kerasse raadiusega R on kujundatud korrapärane kolmnurkne 
püramiid nii, et kõik püramiidi tipud puudutavad kera pinda. 
1) Kui kaugle kera keskpunktist peab asuma püramiidi põhi, et püramiidi ruumala oleks 
maksimaalne? 
2) Leia pürmiidi ja kera ruumalade suhe. 
 
17