Matemaatiline analüüs I KT (2)

3 KEHV

Varia - Need luuletused on nii erilised, et neid ei saa kuidagi kategoriseerida

Matemaatiline analüüs

Arvtelg – sirge, millel on valitud nullpunkt , pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega.
Absoluutväärtuse mõiste – reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu.
Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel .
Absoluutväärtuste omadused:
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused – Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a – ; a + ), kus
> 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a-,a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a|0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a|0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M,) siis ja ainult siis, kui x>M.
Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M>0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M) siis ja ainult siis, kui x 0 nii, et iga x  X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid – Valime funktsiooni määramispiirkonna hulgast D 2 arvu
ja
nii, et kehtib võrratus
(), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsioonigraafik tõuseb, kahanemispiirkonnas langeb.
Astmefunktsioon – y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond:
Eksponentfunktsioon – y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a ≠ 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 Trigonomeetrilised funktsioonid:
y = sinx , X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon
y = cosx , X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon
y = tanx, X = R / || k  Z, Y = R, graafik periood on , paaritu funktsioon
y = cotx, X = R/ k || k  Z, Y = R, periood on , paaritu funktsioon

Üksühese funktsiooni mõiste – Funktsioonis y = f(x) on igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnas seatud vastavusse ühe kindla y väärtus. Eeldame, et ka argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. St. iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, on funktsioon üksühene. Üksühesust saab määrata ka nt graafiku abil - kui suvaline x- teljega paralleelne sirge läbib f-ni graafikut maksimaalselt ühes punktis, on funktsioon ühene.
Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon – Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.
Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame y= f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja muutuja vahetavad kohad, samuti vahetavad kohad määramis- ja muutumispiirkond . g[ f(x) ] = x, f[ g(y) ] = y
Kui g on f-ni f pöördfunktsioon, siis f on g pöördfunktsioon. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes (peegelduvad).
Logaritmfunktsioon – on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon, sest x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y =
graafikut maksimaalselt ühes punktis. Kuju: , kus a on logaritmi alus. Kehtivad seosed:
ja . Kuna pöördfunktsiooni võtmisel vahetavad määramispiirkond ja väärtuste hulk kohad, siis f-ni
määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt: X=(o,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 Arkusfunktsioonid – trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Trigonomeetrilised f-nid pole kogu oma määramispiirkonnas üksühesed ja nende pöördfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel.
y = sinx pole üksühene, tema X on kokkuleppeliselt [ ], selles piirkonnas on ta üksühene. Selle f-ni pöördfunktsioon on arkussiinus ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sinx] = x (x [] korral) ja sin[arcsin y] = y.
Funktsioon y = cos x pole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0,], mil ta on üksühene. Pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskoosinuseks, tähistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cosx] = x (x [0,] korral) ja cos[arccos y] = y.
Funktsioonide y = tanx ja y = cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule [ ] ja cotx vahemikule (0,). Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid: arctan[tanx] = x (iga x  () korral), tan[arctany] = y ja arccot[cotx] = x (iga x  (0,) korral), cot[arccoty] = y.

Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x  X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Funkts. f ja g tähis on f + g, seega kehtib seos: y=( f + g )(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka nende f- nide vahe, korrutis ja jagatis. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise MP koosneb kõigist x  X, mille korral g(x) 0.
Liitfunktsiooni mõiste: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x), määramispiirkonnaga Xf ja z = g (y) MP Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on liitfunktsiooniga. Tähistame seda f-ni sümboliga g
f, kirjutame võrduse: z = (g
f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g
f MP ei pruugi kattuda f MP-ga. Liitfunktsioon g
f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g MP-s. Ainult siis saame leida f-ni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g
f MP selline:
Xg
f
=  x  x  Xf , f(x) Yg
Elementaarfunktsiooni mõiste – Põhilised neist on: konstantne funktsioon, y = ,
y = , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = , y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x.
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
N-astme polünoom on defineeritud avaldisega:
, kus
on konstandid ja .
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis:

Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid – Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujad y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. St võrrand F(x,y) = 0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Ilmutamata kujul võrrandi avaldamiseks on vaja lahendada võrrand muutuja y suhtes.
Parameetriliselt antud joone mõiste – Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x=(t) ja y=(t), kirjutame nad üles süsteemina. Süsteem määrab iga t  [T1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t väärtused erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
Parameetrilisel kujul antud funktsioon – Vaatleme funktsiooni y = f(x), võtame lisaks ka kolmanda muutuja t ehk nn parameetri. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = f(x) = f[(t)] = (f)(t), Seega tähistades  = f saame võrrandi y = (t). Võttes kokku need kaks võrrandit saame süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1,T2], näeb süsteem välja järgmine: Võrrandeid nimetatakse f-n y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks.
Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid :
Hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid on:
, hüperboolne siinus
, hüperboolne koosinus
, hüperboolne tangens
, hüperboolne kotangens
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid:
x = arsinh y – areasiinus, x = arcosh y – areakoosinus, x = artanh y – areatangens, x = arcoth y – areakotangens.
Nii hüperboolsed triginomeetrilised funktsioonid, kui ka areafunktsioonid on elementaarfunktsioonid.

Järjestatud muutuva suuruse mõiste – Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
MUUTUVA SUURUSE PIIRVÄÄRTUSE DEFINITSIOON – Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu  korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x – a| kirjutatakse
või .
MUUTUVA SUURUSE ÜHEPOOLSETE PIIRPROTSESSIDE DEFINITSIOONID – Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist , kui me seal esineva ümbruse (a - , a + ) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a - , a] või [a,a + ).
Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu  korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. .
Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu  korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a,a + ). .
Piirprotsesside
ja
definitsioonid
Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M.
või .
Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (--M), st rahuldavad võrratust x või
JADA PIIRVÄÄRTUSE DEFINITSIOON
Kuna jada on järjestatud muutuva suuruse erijuht, saab muutuva suuruse piirväärtuse definitsiooni jadale otseselt üle kanda: Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu  korrak saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ).
või . Lõplikku piirväärtust nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse hajuvaks.

Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid.
Muutuvat suurust  nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0.
Muutuvat suurust  nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = .
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos:
Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide:
Suurus  on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus
on lõpmatult kasvav.
Tõestus: Tõestame selle väite esimese poole, so: kui  on lõpmatult kahanev, siis
on lõpmatult kasvav (vastupidine väide tõestatakse analoogiliselt). Olgu  lõpmatult kahanev, . Peame tõestama, et suurus
on lõpmatult kasvav, . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb meil näidata et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse
väärtus
nii, et kõik -le järgnevad
väärtused rahuldavad . Fikseerime mingi pos. arvu M ja kasutame eeldust . Vastavalt piirprotsessi
definitsioonile eksisteerib suvalise kuitahes väikese pos. arvu
korral selline suuruse
väärtus
nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Kuna viimases lauses võib
olla suvaline positiivne arv, saame me valida . Siis kehtivad kõigi -le järgnevate
väärtuste korral järgmised seosed: . Seega defineerides
näeme, et kõik -le järgnevad
väärtused rahuldavad võrratust . Seda oligi vaja tõestada.
Tõkestatud suuruse definitsioon – Muutuvat suurust
nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest:
Kui suurus
on lõpmatult kahanev ja suurus
on tõkestatud, siis nende korrutis
on lõpmatult kahanev.
Tõestus: Olgu
lõpmatult kahanev ja
tõkestatud. Me peame näitama, et sellisel juhul on
samuti lõpmatult kahanev, st . Vastavalt definitsioonile tuleb näidata, et suvalise kuitahes väikese positiivse arvu
korral leidub selline suuruse
väärtus
nii, et kõik -le järgnevad
väärtused rahuldavad võrratust . Fikseerimegi mingi pos. arvu
ja kasutame eeldusi
ja
kohta. Kuna , siis suvalise pos. arvu
korral leidub selline suuruse
väärtus
nii, et kõik -le järgnevad
väärtused rahuldavad võrratust . Peale selle, kuna
on tõkestatud, siis leidub K > 0 nii, et kõik suuruse
väärtused rahuldavad võrratust . Kuna
võib olla suvaline pos. arv, võime valida . Järgmiseks valime
nii, et , kus
on mingisugune
väärtus. Siis iga -le järgneva
väärtuse korral kehtivad seosed . Seega me näeme, et kõik -le järgnevad suuruse
väärtused rahuldavad võrratust . Seda oligi vaja tõestada.

FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE DEFINITSIOON – Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui sualises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutusviis: või kui .
Selle geomeetriline sisu: Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A = (a,b).
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele
ja :
Analoogiliselt saab käsitleda ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused
ja . Funktsioonil f on piirväärtus
kohal a, kui suvalises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
FUNKTSIOONI ÜHEPOOLSETE PIIRVÄÄRTUSTE DEFINITSIOONID:
Funktsioonil d on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. b või
kui .
Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , kui funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. b või
kui .
Toodud definitsioonides võib lõpliku arvu b asendada kas
või -ga.
Selle geomeetriline sisu: Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P1 = (x,f(x)) punktile A1 = (a,b1) ja suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktisiooni graafiku jooksev punkt P2 = (x,f(x)) punktile A2 = (a,b2). Kui , siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis , . Piirprotsessi
erijuhtudel
ja
läheneb f(x) erinevatele arvudele.
Teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta:
Piirväärtus
eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused
ja . Peale selle, piirväärtuse
olemasolu korral kehtib valem .

Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega
Aritmeetiliste tehetega seotud omadusi:
Otsesed järeldused omadustest 1 ja 2:
Omadused 1 – 5 jäävad kehtima ka siis, kui neis esinev piirprotsess
asendada ühega järgmistest piirprotsessidest:
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem ehk 6. omadus:
Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja z = g(y). Kui , siis kehtib valem . Omadus 6 jääb kehtima ka siis, kui selles esinev piirprotsess
asendada ühega järgmistest piirprotsessidest:
ning kui b asendada ga või -ga.

Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid:
Vaatleme muutujast x sõltuvat funktsiooni
piirprotsessis . Vastavalt ennem toodud definitsioonile on funktsioon
lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis , kui ; lõpmatult kasvav piirprotsessis , kui . Neis definitsioonides võib piirprotsessi
asendada ühega järgmistest piirprotsessidest:
Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest: Funktsioon
on lõpmatult kahanev suurus protsessis
siis ja ainult siis, kui
on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis.
Tõkestatud funktsiooni definitsioon:
Funktsiooni
nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste hulk on tõkestatud. Tõkestatud funktsiooni väärtused asuvad mingis lõplikus vahemikus (a,b).
Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest:
Kui
on lõpmatult kahanev piirprotsessis
ja
on tõkestatud, siis korrutis
on lõpmatult kahanev piirprotsessis .

Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused)
Olgu
ja
lõpmatult kahanevad suurused protsessis . St mõlemad suurused lähenevad nullile . Nende suuruste kahanemise kiirusi saame võrrelda, kui ksutada suhet . Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev
kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on
ja
kahanemiskiirused samas suurusjärgus.

Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevaks suurusteks.

Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul .

Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes.
Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste
ja
vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahanev
suhtes:
(Teoreem sellest oli: Kui
ja
on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis
on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii
kui
suhtes.)
Kuna vastavalt eeldusele on
ja
ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis
Seega,
See võrdus näitab, et
on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus
suhtes.
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused)
Olgu
ja
lõpmatult kasvavad suurused protsessis .

Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.

Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul .

Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks suhtes.

PIDEVA FUNKTSIOONI DEFINITSIOON:
Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui

f on määratud argumendi väärtusel a, st

eksisteerib lõplik piirväärtus

.
Selle geomeetriline sisu:
Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(x)) pidev joon.
Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile:
Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral:
Kehtivad järgmised väited:

Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f – g, korrutis fg ja eeldusel ka jagatis .

Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon pidev punktis a.

Funktsiooni katkevuspunkti mõiste
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks.
Katkevuspunktide liigitus:

Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktid jagunevad kaheks:

Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.

Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppekohaks.

Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest või puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse seda punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Teist liiki katkevuspunktid on kõik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.)

Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid
Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui

f on määratud argumendi väärtusel a, st ,

eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus ,

Analoogiliselt defineeritakse paremalt pidev funktsioon.
Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid
Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Graafik on vahemikus (a,b) pidev joon.
Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b].
Elementaarfunktsioonide pidevus
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda, et põhilistel elementaarfunktsioonidel poleks katkevuspunkte . Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tegevuste puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.

Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul
Kui leidub punkt x1 lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus , siis nimetatakse arvu
funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b].
Kui leidub punkt x2 lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus , siis nimetatakse arvu
funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks lõigul [a,b].

Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega:
Omadus1.Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul.
Selgitus: Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul.
Kui f ei ole pidev lõigul [a,b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat või vähimat väärtust saavutada.
Omadus2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.
Kui f ei ole pidev lõigul [a,b], ei tarvitse ta kõiki oma suurima ja vähima väärtuse [juhul kui viimased üldse eksisteerivad) vahel olevaid väärtusi saavutada.
Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohtadega
Omadus3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.
Tõestus: Omadus 3 järeldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev lõigul [a,b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.
Geomeetriliselt: Kui pideva joone üks otspunkt asub allpool x-telge ja teine pealpool x-telge, siis lõikab see joon kuskil x-telge.

FUNKTSIOONI TULETISE DEFINITSIOON
Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: .
Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted
Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv . Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu
– argumendi muut kohal a.
– funktsiooni muut kohal a.
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev
Teoreem: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
Tõestus: Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. Tuleb näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et
eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). See järeldub siit:
Tuletis kui funktsioon
Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D.
Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f’(x). Seega on f’ funktsioon, mis on määratud hulgas D.
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised

, C – konstant

, sealhulgas

FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI DEFINITSIOON
Funktsiooni
diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise
ja argumendi muudu
korrutist ja tähistatakse dy või df.
Definitsiooni kohaselt: . Diferentsiaal sõltub kahest suurusest : punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust .
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena

Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral:

Tõestada korrutise reegel
Kasutades tuletise definitsiooni ja piirväärtuste omadusi saame:
Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid
Olgu
ja
kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon . Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f’(x) =
. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame: g’(y) =
. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame .
Seega oleme tõestanud järgmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks:
ehk

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine :
Olgu vaatluse all funktsioon , mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada see võrrand muutuja y suhtes, kuid sageli on see raske. Seda saab ka ilmutamata kujul diferentseerida. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y) = 0. Tuleb arvestada, et kõik y sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Arvutame välja ja avaldame f’(x). Teine võimalus: ei asenda y-it f(x)-ga, vaid peame diferentseerimisel meeles, et y-it sisaldavad funktsioonid on liitfunktsioonid, arvutame välja ja avaldame y’. Tulemus on sama.
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem)
Teoreem: Olgu üksühese pöördfunktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem: g’[f(x)] = .
Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f’(x) = . Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g’(x) = . Kasutades neid valemeid arvutame: g’[f(x)] = g’(y) = .
Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem)
Teoreem: Olgu funktsiooni y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega:
Siis kehtib valem:
Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f’(x) = . Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult ’(t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose ’(t)=. Kasutades valemeid arvutame:

JOONE PUUTUJA DEFINITSIOON
Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y = f(x) (graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x).
Tuletada joone
puutuja võrrand punktis A = (a,f(a)).
Märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a,f(a)) kujul y-f(a)= p(x – a), kus p on s tõus. Praegu on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni tuletise kaudu. Vaatleme joonist, kus lõikaja AP tõusunurk on tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus . Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et . Vaatleme piirprotsessi . Kui , siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus
puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal . Eelnevatest valemitest saamegi puutuja võrrandi
See valem kehtub juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f ‘ (a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f ‘ (a) määratud ja puutuja võrrand on x = a.
JOONE NORMAALSIRGE DEFINITSIOON
Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse, sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Tuletada joone
normaalsirge võrrand punktis A = (a,f(a)).
Joonisel on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega
ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu . Kuna
ja , siis . Valemite põhjal on punkti A = (a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: . Võrrand kehtib juhul, kui f ‘(a)
0. Kui f ‘(a) = 0, siis on normaalsirge y-telje sihiline ja tema võrrand on x = a.
Diferentseeruvuse geomeetriline sisu
Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a,f(a)) sile ( mittemurduv ), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A üheselt määratud, sõltumata kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f’(a). Kui aga punktis A esineb graafikul murdepunkt, siis ei ole selles punktis võimalik puutujat üheselt määrata. Lõikajad AP annavad punkti P lähenemisel punktile A erinevatest külgedest erinevad piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f’(a) argumendi väärtusel x=a määratud. Seega võib öelda, et argumendi väärtused x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole .

.DOCX Laadi alla originaalfail 13 lk · .docx · 141 allalaadimist

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 13 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2012-10-22 Kuupäev, millal dokument üles laeti

141 laadimist Kokku alla laetud

2 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

mellu5 Õppematerjali autor

Põhjalikud vastused matemaatilise analüüsi esimese kontrolltöö küsimustele, raskem variant

Arvtelg Matemaatiline analüüs Astmefunktsioon Eksponentfunktsioon Logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on

Matemaatiline analüüs

doc

Matemaatiline analüüs

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

Matemaatiline analüüs 2

doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle

Matemaatiline analüüs i

doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrus

Matemaatiline analüüs 1

doc

Matemaatiline analüüs I 1. kt teooria

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarv

Matemaatika analüüs i

doc

Matemaatiline analüüs I 1 kt teooria

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarv

Matemaatiline analüüs 2

Rohkem sarnaseid