Matemaatiline analüüs I 1. kt teooria (1)

Täisprogramm
Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 – 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas ( bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi.

Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund.
Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu:
Absoluutväärtuste omadused:

• |-a|=|a|
  
• |ab|=|a||b|
  
• |a+b|≤|a|+|b|
  
• |a-b|≥| |a|-|b| |
  

Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused:
Def. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-ɛ,a+ɛ), kus ɛ>0 on ümbruse radius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-ɛ,a+ɛ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ɛ, st |x-a|Def. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a- ɛ,a], kus ɛ>0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a- ɛ,a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kagus arvteljel on arvust a väiksem kui ɛ, st |x-a|Def. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a,a+ ɛ), kus ɛ>0. Arv z kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse[a,a+ ɛ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ɛ, st |x-a|Def. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M, ∞) siis ja ainult siis, kui x>M.
Def. Suuruse minus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-∞,-M), kus M>0. Arv x kuulub minus lõpmatuse ümbrusesse (-∞,-M) siis ja ainult siis, kui x0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus.
Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus.
Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a≠1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,∞).
Def. Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y= sinx ,y= cosx ,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:

Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y ∈ Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv.
Def. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad, st kui funktsiooni f argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks y. Samuti vahetuvad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.
Olgu x=g(y) üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes:fikseerime mingi x ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena same esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] same y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)]=x ja f[g(y)]=y.
Funktsiooni y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ka ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb anult selles, et f seab x-le vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
Def. Suvaline x- teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a≠1. Kehtivad seosed
Määramispiirkond on (0,∞) ja Y=
Def. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid.
Funktsiooni y=sinx, x ∈ pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x=arcsiny. Kehtivad seosed arcsin[sinx]=x ja sin[arvsiny]=y, neist esimene iga x ∈ korral.
Funktsiooni y=cosx, x ∈ pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy. Kehtivad seosed arccos [cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x ∈ korral.
Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule
Funktsioonide y=tanx, x ∈ ja y=cotx, x ∈
Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ∈
ja kolmas iga x ∈ korral.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:

Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x ∈ X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y=(f-g)x=f(x)-f(g), korrutis y=(fg)x=f(x)g(x) ja jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x ∈ X, mille korral g(x)≠0.
Def. Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-I väärtustel hulgas Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas.
Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid:

• Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon
  
• Astmefunktsioon
  
• Trigonomeetrilised funktsioonid
  
• Arkusfunktsioonid
  
• Konstantne funktsioon
  

Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega
, kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis

Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y.
Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis .
Def. Olgu lõigul antud kaks funktsiooni ja . Kirjutame need funktsioonid süsteemina
Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
Hüperboolsed funktsioonid:
Funktsioonide sinhx,coshx,tanhx ja cothx pöördfunktsioonid on areafunktsioonid:

Def. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Def. Olgu x muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saan näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a- ε,a+ ε), st rahuldavat võrratust |x-a|
Def. Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese ε>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a- ε,a]. Kirjutatakse x->a.
Def. Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese ε>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a,a+ ε). Kirjutatakse x->a.
Def. Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure M>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,∞), st rahuldavad võrratust x>M. Tähistatakse x->∞ või lim x=∞.
Def. Muutuva suuruse x piirväärtus on minus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb minus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure M>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-∞,-M), st rahuldavad võrrandist x-∞ või lim x=-∞.
Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub.

Def. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α =0.
Def. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | α |= ∞.
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt:
Teoreem . Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ α on lõpmatult kasvav.
Def. Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
Teoreem. Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev.

Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a, kus x≠a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule A.
Def. Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele. Kirjutatakse lim f(x)= ∞
Def. Funktsioonil f on piirväärtus -∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb miinus lõpmatusele. Kirjutatakse lim f(x)=- ∞.
Def. Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a , mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b.
Def. Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a , mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni f(x) väärtus läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piiväärtus b ja parempoolne piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a , kus x≠a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ) ja suvalises piirprotsessis x->a , kus x≠a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ).
Teoreem funktsiooni pv olemasolu ja ühepoolsete pv võrdsuse omavahelise seose kohta.
Piirväärtus lim f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused
lim f(x) ja lim f(x). Peale selle, piirväärtuse lim f(x) olemasolu korral kehtib valem
lim f(x)=lim f(x)=lim f(x)

Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega :
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem : lim g[f(x)]=lim g(y)

Vaatleme muutujat x sõltuvat funktsiooni α(x) piirprotsessis x->a.
Def. Funktsioon α(x) on lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis x->a, kui lim α (x)->0.
Def. Funktsioon α(x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis x->a, kui lim |α(x)|->∞.
Kehtivad ka x->a , x->a , x->∞ ja x->-∞ korral.
Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest.
Funktsioon α(x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x->a siis ja ainult siis, kui 1/α(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis.
Def. Funktsiooni α(x) nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste hulk on tõkestatud.
Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest.
Kui α(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja β(x) on tõkestatud siis korrutis α(x)β(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a.

Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu x) ja β(x) kahanevad suurused protsessis x->a.

• Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
  
• Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α ~ β.
  
• Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes.
  

Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine. Olgu  ja β lõpmatult kasvavad suurused protsessis x->a.

• Kui eksisteerib lõplik nullis erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
  
• Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkudes seda kujul α ~ β.
  
• Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks β suhtes.
  

Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui:

• f on määratud agumendi väärtusel a, st a ∈ X.
  
• eksisteerib lõplik piirväärtus lim f(x)
  
• lim f(x) = f(a)
  

Pidevuse geomeetriline sisu. Tähendab joone pidevust, st argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) pidev joon.
Pideva funktsiooni muut läheneb nullile , kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral:

• Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f-g, korrutis fg ja eeldusel g(a)≠0 ka jagatis f/g.
  
• Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a.
  

Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks.
Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt .

• Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
  
• Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x),
  

siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.

• Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) ≠ lim f(x),
  

siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks)

• Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) või lim f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiku katkevuspunktiks (teist liiki katkevuspunktid on kõik need, mis ei ole esimest liiki).
  

Def. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui

• f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X
  
• Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x)
  
• lim f(x) = f(a)
  

Def. Funktsiooni f nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui

• f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X
  
• Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x)
  
• lim f(x) = f(a)
  

Def. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b).
Def. Kui funtsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b].
Def. Põhilised elementaarfunktsioond on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt.

Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrrratus f(x ) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b].
Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b]
Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.

Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega:

• Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul.
  
• Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.
  

Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt
Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv.
Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu:
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised :

Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu Δx=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f’(a)Δx.
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena

Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral:

• (f+g)’=f’+g’
  
• (fg)’=f’g+fg’
  
• 
  

Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis same
f’(x)= . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltub muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z=g[f(x)] tuletise tema argumendi x ja sõ’ = . Kasutades neid valemeid arvutame:
Seega oleme tõestanud järgmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks:

Ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y=f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes. Ilmutamata kujul antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x).

Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x).
Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x).
Joone puutuja s võrrandi tuletamine . Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on β. Seega on lõikaja tõus p=tan β. Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal
Avaldame puutuja võrrandi
Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f’(a) on määratud.
Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis.
Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ. Kuna φ=α+ ja tan α=f’(a), siis
Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on
Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.