Matemaatiline analüüs I (0)

Matemaatiline anal¨ uu¨s I
Jaan Janno ii Sisukord
1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg . Absoluutv¨a¨artuse m~ oiste . Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon . Arkusfunktsioonid . 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon . Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22
2 Piirv ¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad , l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk - tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel . Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa . Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid . Fermat ' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l' Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid . . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus , n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton - Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iv Peat¨ ukk 1
Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega . N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne.
Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
1 ratsionaal - kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨ hisosa , st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I.
Arvtelje m~ oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkus¨ uhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. T~oepoolest, nullpunktist u ¨he u¨ hiku v~ orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole u ¨hiku v~orra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule -1/2 jne. V~oib v¨aita, et igale arvtelje punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge , mis on ristuvad oma nullpunktides. Need