VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID (0)

1
                           VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID
DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 
                       1) arvväärtuse (pikkuse), 
                       2) sihi ja
                       3) suunaga,
nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid  a, b,... .    
MÄRKUS.  Geomeetriliselt on  vektor   a  määratud kahe  punktiga  ―  oma 
alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B.  Tähistame 
a = AB,  kusjuures : 
1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus,
2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B),   
3) suund on määratud punktide järjestusega.
OLULISED  VEKTORID :
 
Vektoreid,   mil e   arvväärtus   (pikkus)   on   üks,   nimetatakse  ühikvektori-
teks. Kasutatakse tähistust e, st e 
‌ =
‌  1.
Vektoreid,   mil e   arvväärtus   (pikkus)   on   null,   nimetatakse 
nullvektoriteks.  Kasutatakse   tähistust  0.  Nullvektori   siht   ja   suund   on 
määramata.
VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED:
Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid 
ja suunad.
Vektorid   a  ja  b  on teineteise  vastandvektorid    (a = –b), kui neil on 
samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest.
Vektorid a, b  on  kollineaarsed  (a || b),  kui nad on samasihilised ehk kui 
nad pärast ühisesse alguspunkti  viimist  asuvad samal sirgel.
Vektorid  a,   b,   c,   ...  on  komplanaarsed,  kui   nad   pärast   ühisesse 
alguspunkti vi mist asuvad ühel tasandil.
2
                        LINEAARSED   TEHTED  VEKTORITEGA
VEKTORITE  LIITMINE :  V × V → V: (a, b)  → a + b = c.
1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene li detav on a = AB, siis
      lugedes  teise li detava b alguspunktiks B,  on summavektoriks
     c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. 
     Analüütiliselt:  AB + BC = AC.
2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori li tmiseks tuleb nad vi a
ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt 
määratud   rööpküliku   selle   diagonaaliga   antud   vektor,   mil el   on 
li detavatega ühine alguspunkt.
MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed.
OMADUSED 
1) Kommutati vsus: a + b = b + a.
2) Assotsiati vsus:  (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c.
3) Nullvektori omadus: a + 0 = a.
VEKTORI  KORRUTAMINE  ARVUGA:  R × V → V: (λ, a) → λa:
1)  korrutisvektori pikkus: λ‌a =
‌  λ 
‌  ‌‌a ,‌
2)  korrutisvektori siht: λa || a,
3)  korrutisvektori suund: λa ↑↑ a, kui λ > 0,  λa ↑↓ a, kui λ  l  (või k  l, siis 
nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte.
NÄITEID
1) TEIST   JÄRKU    DETERMINANT   (n  =   2).   Teist   järku   ruutmaatriksi 
determinant   sisaldab   2!   =   1∙2   li detavat,   mis   on   maatriksi   kahe 
elemendi   korrutised.   Täpsemalt,   teist   järku   determinant   on 
peadiagonaali  elementide   korrutise   ja   kõrvaldiagonaali   elementide  
korrutise vahe:
                                A2×2 → | A | = a11 a22 – a12  a21.
2) KOLMANDAT   JÄRKU   DETERMINANT  (n   =  3)   koosneb   3!=1∙2∙3 
li detavast,   mis   on   maatriksi   kolme   elemendi   korrutised   ja    nende 
märgid määratakse vastavalt  SARRUSE  REEGLILE:
               A3×3 → | A | =   a11 a22 a33 +  a12 a23 a31 +  a13 a21 a32 –
   – a13 a22 a31 – a11 a23 a32  – a12 a21 a33 .
MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi 
A rea-( veeru )vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest 
(|A | ≠ 0). 
11
                
                       
                                      DETERMINANTIDE OMADUSI
LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu.
JÄRELDUS 1. Determinandi read ja  veerud  on samaväärsed.
LAUSE  2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida ( veergu ), siis 
muutub determinandi märk vastupidiseks.
LAUSE  3.   Determinandi   mingi   rea   (veeru)    korrutamisel    mingi   arvuga, 
korrutub kogu determinant selle arvuga.
JÄRELDUS  2.   Kui   determinant   sisaldab   nullidest    koosnevat    rida 
(veergu), siis võrdub see determinant nulliga.
LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis 
võrdub determinant nulliga.
LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast 
kahe li detava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku 
determinandi   summana,   kus   esimeses   determinandis   koosneb   vastav 
rida   ( veerg )   esimestest   li detavatest   ja   teises   determinandis   teistest 
li detavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks.
LAUSE  6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) 
li ta   nullist   erineva   arvuga   korrutatud   teine   rida   (veerg).   Teisisõnu, 
elementaarteisendused ei muuda determinanti.
                           
12
                               DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 
1) Iga   determinandi   arvutamisel   saab   kasutada   determinantide    eelpool  
sõnastatud  OMADUSI. Selleks võib   vastata järgmistele küsimustele 
või teha vajalikud arvutused.
a) Kas   determinant   sisaldab
 NULLIDEST   KOOSNEVAT   RIDA 
(VEERGU)?  Vt järeldust 2.
b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)?  Vt lauset 4.
c) Elementaarteisenduste   abil   saab   teisendada   determinandi 
KOLMNURKSELE   KUJULE , st kujule, mil peadiagonaali all või kohal 
on   kõik   elemendid    nullid    (lause   6).   Si s   võrdub   determinant 
PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA:
                     | A | = a11 a22 . . . ann  ,  kui  akl = 0, k > l  (või k