Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse Registreeri konto
Ega pea pole prügikast! Tõsta enda õppeedukust ja õpi targalt. Telli VIP ja lae alla päris inimeste tehtu õppematerjale LOE EDASI Sulge

"determinantide arvutamine" - 27 õppematerjali

thumbnail
57
rtf

Maatriksid

MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon ­ suur...

Matemaatika
283 allalaadimist
thumbnail
4
doc

Lineaar algebra teooria kokkuvõte

Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tun...

Lineaaralgebra
863 allalaadimist
thumbnail
2
doc

Lineaar algebra teooria2

Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Ko...

Lineaaralgebra
478 allalaadimist
thumbnail
48
doc

Lineaaralgebra täielik konspekt

M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon ­...

Kõrgem matemaatika
858 allalaadimist
thumbnail
53
doc

Taime geneetika

Tähtsamad momendid geneetika ajaloos. Geneetika on teadus pärilikkusest, selle funktsioonidest ja materiaalsetest alustest, päriliku muutlikkuse mehhanismidest ja seaduspärasustest rakkudes, organismides, perekondades ja populatsioonides. Nüüdisaegse teadusliku geneetika sünniaastaks peetakse tavaliselt aastat 1900. Esimestel aastatel nimetati seda uurimisvaldkonda pärilikkuse põhiprintsiipide esmaavastaja G. Mendeli järgi mendelismiks, 1906.a. loodi termin geneetika. Kuigi geneetika "ametlik" ajalugu on võrdlemisi lühike, eelnes sellele siiski üsna pikk tähelepanekute kogunemise, arusaamade kujunemise ning uurimismeetodite loomise periood. Samuti on selles ajaloos mõnede ekslike kujutluste väga pikaaegne püsimine, kuid ka mitmete avastuste ja teooriate ignoreerimine ning unustamine kauaks ajaks. 2.Geneetika klassikud Gregor Mendel (1822-1884) -- pärilikkuse aluste esmaavastaja G. Mendel oli Brünni linnas (nüüdne Brno, T ehhimaal)...

Taimekasvatus
62 allalaadimist
thumbnail
19
doc

Õppematerjal

LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4. c) Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal...

Kõrgem matemaatika
383 allalaadimist
thumbnail
18
doc

Eksami piletid

Tähtsamad momendid geneetika ajaloos: *1865-99-geneetika sünd, pärilikud alged *1900-43 areneb klassikaline geneetika, mis põhineb mendelismil ja morganismil *1944-70- molekulaargeneetika *1971-areneb geenitehnoloogia 2.Mendel- pani aluse geneetikale, ettekanne taimede hübriididest (1865) De Vries-1901 mutatsiooniteooria looja (1901) Johannsen- tõestab, et muutlikus võib olla pärilik ja mittepärilik, mõisted geno- ja fenotüüp, geen ja populatsioon. Vavilov- formuleerib päriliku muutlikkuse homoloogiliste ridade seaduspärasuse (1922). Kultuurtaimede tekkekolded ehk tsentrumid (1927) Morgan- pärilikkuse kromosoomiteooria (geenid asuvad kromosoomides) 1911 Watson-Crick- desifreerivad DNA molekuli (DNA biheeliks) 1953 3. Geneetika peamised meetodid: Hübridoloogline (Mendelism)- järglaste saamine isenditest, kes erinevad teineteisest kardinaalselt või mitme tunnuse poolest (ristamine) Tsütoloogiline- seisneb raku iseärasuste ja organismi t...

Geneetika
111 allalaadimist
thumbnail
104
pdf

Konspekt

7) Olgu determinandi mingi rea (veeru) iga element kahe lii- detava summa. Siis avaldub determinant kahe determinan- di summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadelda- ¨ a¨ vas reas (veerus) teised liidetavad. Ulej¨ anud read (veerud) on endised. 3.3 Determinantide arvutamine Kasutades u ¨laltooduid determinantide omadusi, teisendame deter- minandi kolmnurkseks ning seej¨arel kasutame omadust 1) teoree- mist 2. 3.4 N¨ aide Arvutame determinandi omaduste abil 4 3 -5 0 III 1 0 -2 3 3 2 0 -5 3 2 0 -5 -3I =- 1 0 -2 3 4 3 -5 0 -4I 0 1 -3 4 0 1 -3 4...

Lineaaralgebra
510 allalaadimist
thumbnail
23
doc

Maatriksi algebra

Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine . Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või...

Kõrgem matemaatika
188 allalaadimist
thumbnail
5
docx

Lineaaralgebra Eksami küsimuste vastused

Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg ­ imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigon...

Lineaaralgebra
950 allalaadimist
thumbnail
28
pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine . Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või...

Kõrgem matemaatika
324 allalaadimist
thumbnail
8
doc

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ­ ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk ­ tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...

Matemaatika
241 allalaadimist
thumbnail
5
doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...

Lineaaralgebra
177 allalaadimist
thumbnail
48
pdf

Maatriksid

¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ~oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ~oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ~oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine "Algebra ja geomeetria". Vahepeal on elu edasi l¨ainud. Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea- duskond. Nelja-aastasest bakalaureuse ~oppest on saamas kolmeaastane bakalaureuse ~ope. Uue ~oppekava kohaselt on selle ~oppeaine maht n¨ uu ¨d 40 tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri joo...

Algebra ja geomeetria
55 allalaadimist
thumbnail
81
pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud ma...

Algebra I
198 allalaadimist
thumbnail
19
doc

Loodusteaduste Matemaatika kordamisküsimused

Funktsiooni võib esitatakse enamasti seose y f (x) abil, kuid mõnikord ka y y(x) . Funktsioon on antud, kui on teada: 1) funktsiooni määramispiirkond, 2) eeskiri, mis seab elemendile x vastavusse elemendi y. Analüütiline esitus ehk esitus valemi abil. Graafiline esitus ehk esitus graafiku abil. Tabelina esitus. 2) Nõudlus - ja pakkumisfunktsioonid. Turutaskaal. Hind ja toodete arv on omavahel sõltuvuses. Seda seost saab kirjeldada nõudlusfunktsiooniga p = f(x). Nõudlusfunktsioon on kahanev funktsioon. Pakkumisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p =g(x), kus x ja p on suurem/võrdne nulliga, kus p on pakutava kauba ühikuhind ja x toote ühikute arv. Pakkumisfunktsioon on kasvavfunktsioon. Turutasakaalupunkt on see koht kus pakkumis ja nõudlus ristuva 3) Sirge võrrandi erinevad kujud....

Loodusteaduste matemaatika...
84 allalaadimist
thumbnail
19
doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4. c) Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal...

Kõrgem matemaatika
50 allalaadimist
thumbnail
13
doc

Kõrgema matemaatika eksam

Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ­ ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks ­ diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks ­ kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...

Kõrgem matemaatika
356 allalaadimist
thumbnail
10
doc

Geneetika eksam

Tähtsamad momendid geneetika ajaloos: *1865-99-geneetika sünd, pärilikud alged *1900-43 areneb klassikaline geneetika, mis põhineb mendelismil ja morganismil *1944-70- molekulaargeneetika *1971-areneb geenitehnoloogia 2.Mendel- pani aluse geneetikale, ettekanne taimede hübriididest (1865) De Vries-1901 mutatsiooniteooria looja (1901) Johannsen- tõestab, et muutlikus võib olla pärilik ja mittepärilik, mõisted geno- ja fenotüüp, geen ja populatsioon. Vavilov- formuleerib päriliku muutlikkuse homoloogiliste ridade seaduspärasuse (1922). Kultuurtaimede tekkekolded ehk tsentrumid (1927) Morgan- pärilikkuse kromosoomiteooria (geenid asuvad kromosoomides) 1911 Watson-Crick- desifreerivad DNA molekuli (DNA biheeliks) 1953 3. Geneetika peamised meetodid: Hübridoloogline (Mendelism)- järglaste saamine isenditest, kes erinevad teineteisest kardinaalselt või mitme tunnuse poolest (ristamine) Tsütoloogiline- seisneb raku iseärasuste ja organismi t...

Geneetika
102 allalaadimist
thumbnail
28
docx

MAATRIKSALGEBRA

Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine . Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või...

Matemaatika
27 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun