1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt
Omadused: Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st. Seega saame koigi indeksite n > N puhul Kui funktsioonil f(x) leidub piirväärtus punktis a, siis leidub punkti a |xn − a| = |xn − xnk + xnk − a| <= |xnk − xn| + |xnk − a| < ε/2 + ε/2 = ε selline δ-umbrus, et funktsioon f (x) on tokestatud hulgal (a − δ, a + δ) {a}. 9. Sõnastada funktsiooni piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. (punkt 6) Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-
11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse,
Esineb ka kahe oluliselt erineva temperatuuri ja suure niiskusega ohumassi segunemisel. Auramisudu esineb suhteliselt sooja veekogu pinnal, mille temperatuur on vahemalt 8-20 oC ohutemperatuurist korgem. Veepinnalt aurav niiskus hakkab kulmas ohus kondenseeruma ja tekib udu. Auramisudu voib naha sugisel jogede ja jarvede kohal enne vete kulmumist ·Ohumasside klassifikatsioon laiuskraadi ja aluspinna jargi- laiuskraad: Arktiline ohk A Pohja-Jaamere umbrus Antarktiline ohk AA Antarktikas Polaarne ohk P parasvööde: 50-60°NS Troopiline ohk T 20-35°NS Ekvatoriaalne ohk E ekvaatori lahedal Aluspind: Mereline ohk - m kujuneb ookeani kohal Kontinentaalne ohk - c kujuneb mandri kohal · Nimetada peamised ohumassid ja nende omadused- Mandriline arktiline (antarktiline) : cA (cAA) vaga kulm ja kuiv, -46°C, 0,1 g/kg Mandriline polaarne: cP kulm, kuiv, -11°C, 1,4 g/kg
¨ Piirva¨ artuse ¨ omadusi Lause Konstantse funktsiooni piirva¨ artuseks ¨ on see konstant, st. x X (f (x) = c) = lim f (x) = c. xa Lause Kui funktsioonil f (x) leidub piirva¨ artus ¨ punktis a, siis leidub punkti a selline -umbrus, ¨ ~ et funktsioon f (x) on tokestatud hulgal (a - , a + ) {a}. Lause xa xa Kui f (x) - b ja g(x) - c ning leidub punkti a selline -umbrus, ¨ et f (x) g(x) iga 0 < |x - a| < korral, siis kehtib vorratus ~ b c. ¨ G
Punktides 1.3 ja 1.4 vaatlesime jada piirv¨a¨artust, kusjuures oli tegemist kahe prot- sessiga: naturaalarvulise argumendi n l¨ahenemisega suurusele + ja jada u ¨ldliikme xn l¨ahenemisega suurusele a. K¨asitleme j¨argnevalt u ¨ldisemat juhtu. Definitsioon 1. Suurust a nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨ a¨artuseks punktis x0 , kui suuruse a suvalise -¨umbruse U (a) korral leidub selline arvu x0 -¨ umbrus U (x0 ), et f (U (x0 ){x0 }) U (a). Asjaolu, et suurus a on funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 , t¨ahistatakse lim f (x) = a xx0 v~ oi xx f (x) 0 a. Kui suurus a on arv, siis k~ oneldakse, et eksisteerib l~ oplik piirv¨
(d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4.2 vastupidine v.aide ei kehti.See t.ahendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Teiste s~onadega: funktsioonil v~oib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. N.aiteks funktsioonil f(x) = x^3 on kriitiline punkt x = 0 (sest f(0) = 0).Samas aga see funktsioon kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0.umbrus. Seega ei ole funktsioonil f(x) = x^3 punktis x = 0 lokaalset ekstreemumit.Paneme t.ahele, et ka joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on kriitiline punkt e, milles ekstreemumit ei ole. T~oepoolest, punktis koordinaatidega (e, f(e)) on graafiku puutuja paralleelne x-teljega, st f (e) = 0, kuid ekstreemum seal puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste pohjendused. Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I)
¨his- osa; 0 3 A on kinnine parajasti siis, kui cl(A) = A; 40 cl(cl(A)) = cl(A); 50 kui A ⊂ B, siis cl(A) ⊂ cl(B); 60 X int(A) = cl(X A), X cl(A) = int(X A); 70 cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B). T˜oestus. 10 N¨aitame, et cl(A) on kinnine. Olgu x ∈ X cl(A). Siis x ∈ cl(A) ja peab leiduma punkti x selline u ¨mbrus ¨ U , et U ∩ A = ∅. Umbrus U sisaldab punkti x mingit lahtist ¨mbrust V . Siis ka V ∩ A = ∅. Kuna V on lahtine, siis ta on u oma iga punkti u ¨mbruseks ja v˜orduse V ∩ A = ∅ t˜ottu u ¨kski punkt hulgast V ei saa kuuluda hulga A sulundisse cl(A). Seet˜ottu V ∩ cl(A) = ∅, V ⊂ X cl(A) ja on n¨aidatud, et hulk X cl(A) sisaldab iga oma punkti x korral ka selle mingi ¨mbruse V . J¨arelikult on hulk X cl(A) lahtine, st cl(A) on u kinnine. Olgu A ⊂ C ⊂ cl(A) ja C on kinnine
annaabi.ee 
