Matemaatiline analüüs - konspekt II (0)

32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ‘ (x1) = 0. Kui f ‘ ’(x1) 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv . Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. Kuna joone y = f(x) puutuja tõus punktis (x, f(x)) võrdub funktsiooni f tuletisega siis me võime väita et seal kus f ‘ kasvab on joon y = f(x) nõgus ja seal kus f ‘ kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused : 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x  (a; b) korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) 0 iga x  (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) Joone käänupunktid. Punkti mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse selle joone käänupunktiks. Olgu punkt P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida võrratus f ‘ ‘ (x1) > 0. Tõepoolest, kui kehtiks f ‘ ‘ (x1) > 0 siis ülaltoodud väite 1 põhjal oleks joon y = f(x) nõgus argumendi väärtuse x1 ümbruses. See ei saa aga nii olla sest vastavalt käänupunkti definitsioonile nõgusus asendub kumerusega kui argument x läbib käänupunkti P ordinaati x1. Samal põhjusel ei saa kehtida ka võrratus f ‘ ‘ (x1) vastuolus sellega et x = x1 korral nõgusus asendub kumerusega. Jäävad üle vaid kaks võimalust: kas 1) f ‘ ‘ (x1) = 0 või 2) lõplik teist järku tuletis f ‘ ‘ (x1) puudub. Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks.
34. Joone graafiku asümtoodid: Asümptoodid. Definitsioon1. kui võrrandiga y=f(x) antud joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile , siis seda sirget nim. antud joone asümptoodiks. Kaldasümptoot. Valem: y=kx+b; Joone y=f(x) kaldasümptootide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata: juhul x→-∞ seosest lim x→-∞ (f(x)-kx-b)=0 millest saame, et k= lim x→-∞ f(x)/x ^ b= lim x→-∞(f(x)-kx); *juhul x→+∞ seosest lim x→+∞ (f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x→+∞ f(x)/x ^ b= lim x→+∞(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte.

Määramata integraali omadused
Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel.
Omadus 1. , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga .
Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et
Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
Omadus 2. Kui
on konstant, siis , s.t. konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette.
Omaduse 2 põhjendus on analoogiline omaduse 1 põhjendusega.
Omadus 3. , s.t. kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega.
Põhjenduseks kasutame kahte eelmist omadust:
Põhiintegraalide tabeli ja omaduste 1 - 3 abil on võimalik leida päris laia klassi elamentaarfunktsioonide integraale.

Integreerimine muutuja vahetusega
Vaatleme integraali
ja ühest funktsiooni , millel on ühene pöördfunktsioon .
Teoreem 1. Kui
on rangelt kasvav (rangelt kahanev) diferentseeruv funktsioon, siis
. (1)
Tõestus. Kasutame jälle asjaolu, et määramata integraalid on võrdsed, kui on võrdsed nende tuletised. Diferentseerime võrduse mõlemat poolt
järgi ja veendume, et tulemus on sama. Vasaku poole tuletis on punkti 4.1.1 järelduse 1 põhjal
. Parema poole algfunktsioon on muutuja
funktsioon, seega paremat poolt peame muutuja
järgi diferentseerima kui liitfunktsiooni: integraali tuletis
järgi korda
tuletis
järgi, s.t.
Määramata integraali tuletis integreerimismuutuja järgi võrdub integreeritava funktsiooniga, seega
Eelduse kohaselt on , seega pöördfunktsiooni tuletiseks on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus ehk
Kokku saame, et
ja tõepoolest on võrduse (1) mõlema poole tuletised võrdsed funktsiooniga , mis tõestabki teoreemi väite.
Märkus. Funktsioon
ja tema pöördfunktsioon
kujutavad endast üht ja sama sõltuvust muutujate
ja
vahel, seega võib muutuja vahetuse teha nii ühel või teisel kujul kui ka mistahes muul kujul, mis väljendab sama sõltuvust.

Ositi integreerimise valem
Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni
ja . Nende funktsioonide korrutise diferentsiaal on:
Võttes selle võrduse mõlemalt poolt määramata integraali, saame määramata integraali esimest omadust kasutades, et
Pumkti 4.1.1 järelduse 3 põhjal saame viimasest võrduse
millest omakorda valemi
mis kannabki ositi integreerimise valemi nime.
Ositi integreerimise valemi rakendamisel kerkib üles kaks põhiprobleemi. Esiteks - milliste funktsioonide korral seda rakendada ja teiseks - mida valida funktsiooniks
ja mida funktsiooni
diferentsiaaliks . Siin on ühest retsepti võimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille integreerimine muude meetoditega osutub võimatuks. Näiteks on ainult ositi integreeritavad:

hulkliikmete ja siinuste korrutised;

hulkliikmete ja koosinuste korrutised;

hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised,
kusjuures kõigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks
valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks
vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis, koosinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis või eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali korrutis.
38. Ratsionaalavaldise täisosa eraldamine
Ratsionaalavaldiseks nimetatakse kahe hulkliikme jagatist. Näiteks
ehk üldkujul , kus
ja
on vastavalt lugeja ja nimetaja vabaliikmed,
vastavate
atsmete arvulised kordajad lugejas ning
vastavate
astmete kordajad nimetajas .
Juhul kui , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud.
Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e. täisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab täisosa eraldada ratsionaalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades.

Osamurrud
Vaatleme kolme liiki osamurdusid ( tähistavad konstante):

,

, kus ja

, kus nimetajas oleval ruutkolmliikmel reaalseid nullkohti ei eksisteeri.
On olemas veel neljandatki liiki osamurrud , kus , mida me siinkohal ei käsitle.
Esimest liiki osamurru integreerimise näitena vaatleme näites 1 tekkinud murdosa
integreerimist. Siin
ja . Saame, et
Kuigi kirjapildilt see tulemus veidi erineb näite 1 tulemusest, on see siiski sama, sest . Aga
on konstant, järelikult
on suvaline konstant, mille me võime tähistada uuesti -ga.
Teist liiki osamurru integreerimise näiteks olgu . Siin
ja . Saame, et
Kolmandat liiki osamurru integreerimise tulemuseks on üldjuhul naturaallogaritmi ja arkustangensi summa. Kui lugejas on ainult konstant, s.t. , siis on integreerimise tulemuseks ainult arkustangens . Näiteks, ruutkolmliikmel
reaalsed nullkohad ilmselt puuduvad ja
Kui lugejas on nimetaja tuletis, või selle mingi arv kordne, siis on integreerimise tulemuseks ainult naturaallogaritm , näiteks
Üldjuhul eraldame lugejast kõigepealt naturaallogaritmi saamiseks vajaliku osa, kasutades murru korrutamist ja jagamist sobivaltvalitud konstandiga ja seejärel ühe ja sama konstandi lugejale liitmist ja lugejast lahutamist. Pärast seda jääb teise murru lugejasse ainult konstant ja selle murru integreerimise tulemusena saame arkustangensi. Näiteks
40. Mõnede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine
Selles paragrahvis vaatleme trigonomeetrilistest funktsioonidest koosnevate ratsionaalavaldiste integreerimist, s.t. integraale kujul
(1)
kus
kujutab endast ratsionaalavaldist trigonomeetriliste funktsioonide suhtes, näiteks
või erandjuhul lihtsalt trigonomeetriliste funktsioonide korrutist (ratsionaalavaldises nimetaja võrdub 1-ga), näiteks
1. Muutuja vahetusega
saab integraali (1) alati teisendada ratsionaalavaldise integraaliks , sest esiteks
millest
ja
teiseks
Jagades viimases avaldises lugejat ja nimetajat suurusega
saame:
Kolmandaks
millest pärast lugeja ja nimetaja jagamist suurusega
Seega muutuja vahetusega
on integraal (1) teisendatav integraaliks
2. Muutuja vahetus
on universaalne trigonomeetrilistest funktsioonidest koosnevate ratsionaalavaldiste integreerimiseks ja seepärast alati rakendatav, aga oma universaalsuse tõttu viib sellise muutuja vahetuse kasutamine sageli liiga keerukate ratsionaalavaldiste integreerimiseni, mida on võimalik vältida vähem üldisi muutuja vahetusi kasutades.
Koos vaatleme kaht järgmist tüüpi integraali:
(2)
ja
(3)
millest esimeses integreeritav funktsioon kujutab endast ratsionaalavaldist
suhtes (s.t. ei sisalda siinuse ja koosinuse paarituid astmeid) ja teises ratsionaalavaldist
suhtes.
Muutuja vahetusega
taanduvad mõlemad integraalid ratsionaalavaldise integraalideks. Sellisel juhul
(4)
(5)
ja
(6)
3. Kui ratsionaalavaldis on kujul (või hõlpsasti teisendatav kujule )
siis integraalis
(7)
kasutatakse muutuja vahetust
Sellisel juhul
ja integraal (7) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks
4. Kui ratsionaalavaldis on kujul
siis integraali
(8)
leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust
Siis
ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks:
5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis
naturaalarvud
ja
on mõlemad paarisarvud . Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid:
Edasi näiteks
jne.
6. Korrutiste
integreerimiseks kasutatakse koolist tuntud trigonomeetriavalemeid

41. Irratsionaalsete funktsioonide integraale

Irratsionaalavaldisteks on juuri e. radikaale sisaldavad avaldised , näiteks
või
Üldine põhimõte irratsionaalavaldiste integreerimisel on sarnane trigonomeetriliste avaldiste integreerimisega: teatud kaalutlustest lähtudes leitakse muutuja vahetus, mis teisendab irratsionaalavaldise integraali ratsionaalavaldise integraaliks.
1. Vaatleme integraali kujul
(1)
s.t. integraali avaldisest, mis sisaldab muutujat
ja erinevaid juuri murdlineaarsest avaldisest , kus
on konstandid. Niisuguse avaldise ratsionaliseerimiseks kasutatakse muutuja vahetust
kus
on juurijate
vähim ühiskordne. Viimasest võrdusest avaldame muutuja
ja tema diferentsiaali.
2. Teiseks vaatleme irratsionaalavaldise integraali kujul
(2)
Alati on juurealusest avaldisest võimalik eraldada kaksliikme ruut:
Nüüd tehakse lineaarne muutuja vahetus
millest . Tähistades kaksliikme ruudust järelejäänud konstandi
teiseneb integraal (2) integraaliks
ehk tähistades integreerimismuutuja uuesti tähega , saame integraali kujul
(3)
Saadud integraalis on juurealuse avaldise puhul kolm võimalust:
1) , s.t. konstandid on mõlemad positiivsed ja integraal (3) on avaldatav kui
(4)
Juurest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust
, (5)
mille korral
2) , s.t. ruutliikme kordaja on negatiivne ja vabaliige on positiivne ning integraal (3) on avaldatav kujul
. (6)
Juurest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust
, (7)
mille korral
3) , s.t. ruutliikmne kordaja on positiivne ja vabaliige on negatiivne ning integraal (3 ) on avaldatav kujul
. (8)
Juurest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust
, (9)
mille korral
42. Määratud integraali mõiste: Määratud integraali mõoiste. Tähistame pikima osalõigu [xi-1; xi] pikkuse sümboliga єn, st є. Muudame lõigu [a; b] tükeldust järjest peenemaks selliselt et pikima osalõigu pikkus єn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a; b] siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirv . Seda piirv nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse: a∫b f(x)dx
43. Määratud integraali omadusi: esimesed kaks ongi definitsioonid mis laiendavad määratud integraali juhule a ≥ b. 1. a∫a f(x)dx=0. 2. Kui a > b siis a∫b f(x)dx = - a∫b f(x)dx. Järgnev võrdsus väidab et intregreerimislõikude liitmisel integrallide väärtused liituvad: 3. a∫c f(x)dx = a∫b f(x)dx + b∫c f(x)dx. Summa integraal võrdub integraalide sumaaga ja kontstandi võib integraali märgi alt välja tuua: 4. a∫b[f(x)+g(x)]dx = a∫bf(x)dx + a∫bg(x)dx. 5. a∫b Cf(x)dx = Ca∫bf(x)dx, C-konstant. Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a ≤ b ja f(x) ≤ g(x) iga x Є [a;b] korral siis a∫bf(x)dx ≤ a∫bg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: a∫bf(x)dx = f(c) a∫bdx = f(c) (b-a).
46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali a∫bf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5.15) all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = φ(x). Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame φ pöördfunktsiooni ψ-ga. Siis x=ψ(u) (5.16). Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du= ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= ψ’(u)du. (5.17). Kasutades valemeid (5.16) ja (5.17) saame integraali (5.15) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimislõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u=φ(x) väärtustest mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a; b]. Ühtlasi uue integraali alumine raja on võrdne u väärtusega mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja on võrdne u väärtusega mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega uue integraali alumine raja on φ(a) ja ülemine raja φ(b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: a∫bf(x)dx = φ(a)∫φ(b)f[ψ(u)]ψ’(u)du.
47. Ositi integreerimine määratud integraalis: Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv : Integreerime seda avaldist rajades a-st b-ni. Saame: a∫bd(uv) = a∫b vdu+a∫budv (5.19). Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna ∫d(uv)=uv+C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton- Leibnitzi valemi tõttu a∫bd(uv)=uv a│b Asendame selle v~orduse seose (5.19) vasakusse poolde. Saame: uv a│b = a∫bvdu+a∫budv. Viies a∫bvdu võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks: a∫budv= uv a│b - a∫bvdu.
48. Paaris- ja paaritufunktsioonide integreerimine sümmeetrilisel lõigul: Kui paarisf -n f(x) on integreeruv lõigul [-a,a], siis -a∫a f(x)dx = 20∫a f(x)dx. Kui paarituf-n f(x) on integreeruv lõigul [a,-a], siis –a∫a f(x)dx =0.
49. Kujundi pindala arvutamine määratud integraali abil: Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad f-nid lõigul [a,b] ning f(x) =0 antud parameetriliste võrranditega {x=φ(t) ja y=ψ(t), (tЄ[α,β]), kusjuures φ(t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv f-n lõigul[α,β]. Kui φ(α)= a ja ψ(β)= b, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trspetsi pindala avaldub kujul S= α∫βψ(t)φ’(t)dt.
50. Keha ruumala arvutamine määratud integraali abil: Kui f-n f(x) on lõigul [a,b] pidev ja mittenegatiivne, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b määratud kõverjoonelise trapetsi D pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha Ω ruumalaks VΩ nim piirväärtust lim(n→∞, max∆xi→0) ∑(n,i=1) πf2(ξi)∆xi, kui see ei sõltu lõigu [a,b] tükeldamise viisist ja valikust ξi Є[xi-1,xi] (i = 1;2;...n). Et f(x) Є C[a,b]  f2(x) Є [a,b]  πf2(x) Є I [a,b], siis eelnimetatud piirväärtus eksisteerib. Vormistame saadud tulemuse. Kui f(x) >=0 ja f(x) Є C[a,b], siis joontega y=f(x) (a