Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

Matemaatiline analüüs - konspekt II (0)

2 HALB
Punktid

Lõik failist


32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus
I
. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides
punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub
plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne
maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni
tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles
punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka
selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale
funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et
funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul
kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides
puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga
juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine
väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ‘ (x1) = 0. Kui f ‘ ’(x1) 0 siis on
funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone
kumerus ja nõgusus
. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk
funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et
funktsioon f on kõikjal diferentseeruv . Viimane on vajalik selleks
et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y =
f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs - konspekt II #1 Matemaatiline analüüs - konspekt II #2 Matemaatiline analüüs - konspekt II #3 Matemaatiline analüüs - konspekt II #4 Matemaatiline analüüs - konspekt II #5 Matemaatiline analüüs - konspekt II #6 Matemaatiline analüüs - konspekt II #7 Matemaatiline analüüs - konspekt II #8 Matemaatiline analüüs - konspekt II #9 Matemaatiline analüüs - konspekt II #10 Matemaatiline analüüs - konspekt II #11
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 11 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2009-01-25 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 351 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor Janka Õppematerjali autor
Pallas
kordamisküsimuste vastused (teine osa) (32-53k.)

Sarnased õppematerjalid

thumbnail
7
pdf

Määramata integraalid

KÕRGEM MATEMAATIKA III Matemaatilise analüüsi elemendid 3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y =

Kõrgem matemaatika
thumbnail
36
pdf

Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal

Matemaatiline analüüs 1
thumbnail
273
pdf

Lembit Pallase materjalid

Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva, 1977 (vene keeles). N¨adalas toimub 2 tundi loenguid ja 2 tundi harjutusi. Loengus esitatakse uus materjal, mida harjutustunnis kinnistatakse u ¨lesannete lahendamisega.

Matemaatiline analüüs
thumbnail
21
docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika
thumbnail
11
doc

Määramata integraal

INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0

Kõrgem matemaatika
thumbnail
37
docx

Matemaatiline analüüs l.

funktsiooni väärtust kohal a tema piirväärtusest kohal a. Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus. ( ) Kui funktsioonil f(x)on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus() f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x, f(x)) ühele ja samale punktile A = (a, b). Seda on kujutatud joonisel 2.2.(vaata Jaano konspekt lh.34) Mõned märkused(): 1. Funktsiooni piirväärtus on alati üheselt( ) määratud. See tähendab, et kui lim/xa/f(x) = b1 ja lim/xa/f(x) = b2, siis b1 = b2 . 2. Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub väljaspool tema määramispiirkonda. See oli nii eespooltoodud näites. Funktsiooni piirvaartuse definitsiooni laiendamine() juhtudele a = ± ja b = ±. (

Matemaatiline analüüs
thumbnail
142
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .

Matemaatiline analüüs
thumbnail
142
pdf

Matemaatiline analüüs I

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio

Matemaatika




Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun