Määramata integraalid (1)

KÕRGEM MATEMAATIKA
III Matemaatilise analüüsi elemendid
3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel , E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone , L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus . "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa , A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981.
3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal
Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)? Funktsioon f (x) = 2x osutub näiteks funktsiooni F (x) = x2 tuletiseks, funktsioon f (x) = sin x on aga funktsiooni F (x) = - cos x tuletiseks. Sel juhul öeldakse, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Funktsioon F (x) = - cos x on aga funktsiooni f (x) = sin x algfunktsiooniks. Definitsioon 3.1 Funktsiooni y = F (x) nimetatakse funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui iga x X korral F (x) = f (x). Näide 3.1 Funktsiooni f (x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F (x) = e2x , sest F (x) = 2e2x = f (x). Eespool nägime, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Kuid ka funktsioonide u(x) = x2 + 4 ja v(x) = x2 - 0, 6 tuletised on võrdsed antud funktsiooniga f (x) = 2x. Seega on vaadeldavad funktsioonid u ja v samuti antud funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioonid nagu ka funktsioon G(x) = x2 + C, kus C võib olla mis tahes reaalarv. Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse
f (x)dx = F (x) + C.
Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on
2xdx = x2 + C,
sest (x2 + C) = 2x ja
sin xdx = - cos x + C,
sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks . Määramata integraali leidmist funktsioonist f , nimetatakse selle funktsiooni integreeri- miseks. Elementaarfunktsioonide diferentseerimisel nägime, et elementaarfunktsiooni tuletis on üheselt määratud ja see avaldub samuti elementaarfunktsioonina. Elementaarfunktsioonide integreerimisel on olukord teine. Esmalt , kui funktsioonil leidub algfunktsioon, siis on algfunktsioone lõpmata palju. Teiseks, leidub küllalt palju elementaarfunktsioone, mille määramata integraal ei avaldu elementaarfunktsioonina. Selliste integraalide näiteks on 2 e-x dx, sin x2 dx.
3.2 Määramata integraali omadused
Vaatame integreeruvaid funktsioone f ja g, kusjuures
f (x)dx = F (x) + C, g(x)dx = G(x) + C.
Lähtudes määramata integraali definitsioonist ja tuletise omadustest saab tõestada (vt [3], lk 160-162) järgmised integraalide põhiomadused. Lause 3.1 Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad, siis 1. integraal funktsioonide summast võrdub liidetavate integraalide summaga
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx;
2. integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega
(f (x) - g(x))dx = f (x)dx - g(x)dx;
3. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette
cf (x)dx = c f (x)dx.
Näide 3.3 Vastavalt sõnastatud lausele (2x + sin x)dx = 2xdx + sin xdx = x2 - cos x + C
ja 5 sin xdx = 5 sin xdx = -5 cos x + C.
Juhime siinkohal lugeja tähelepanu asjaolule, et erinevalt diferentseerimisest puuduvad üldised valemid funktsioonide korrutise ja jagatise integreerimiseks. Lähtuvalt konkreetsetest funktsiooni- dest tuleb korrutiste ja jagatiste integreerimisel kasutada mitmeid erivõtteid. Definitsioonist 3.2 saame järeldada järgmised integreerimist ja diferentseerimist seovad tulemu- sed. Lause 3.2 Kui F (x) = f (x), siis 1. tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga
f (x)dx = (F (x) + C) = f (x);
2. diferentsiaal määramata integraalist on võrdne integraalialuse avaldisega
d f (x)dx = (F (x) + C) dx = f (x)dx;
3. määramata integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga dF (x) = F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C.
3.3 Määramata integraalide tabelid Määramata integraalide leidmine osutub märksa keerulisemaks kui oli funktsioonide diferentsee- rimine. Lähtudes määramata integraali definitsioonist ja kasutades tuletise tabeleid, on võimalik saada ka integraalide tabeleid. Põhiintegraalide tabel on antud ka ülesannetekogus [1] lk 63-64. Nende valemite õigsuses on võimalik veenduda diferentseerimise teel (vt [5], lk 358-360). Näiteid nende tabelite rakendamise kohta võib leida raamatutest [3], lk 209-213 ja [5], lk 362. Enne avaldiste integreerimist tuleks kasutada ka integreeritavate avaldiste lihtsustamise võima- lusi . Näide 3.4 (3x - 2)2 dx = (9x2 - 12x + 4)dx = 9x2 dx - 12xdx + 4dx =
x3 x2 =9 x2 dx - 12 xdx + 4 dx = 9 - 12 + 4x + C = 3 2 = 3x3 - 6x2 + 4x + C.
Näide 3.5 3 3 3 3 3 x2 2 1 x2 (1 - )dx = x2 dx - dx = x 3 dx - 3 x 3 dx = 3 x 3 x 2 1 x 3 +1 x 3 +1 3 5 9 4 = 2 -31 + C = x 3 - x 3 + C. 3 +1 3 +1 5 4
Näide 3.6 1 - t3 t3 - 1 (t - 1)(t2 + t + 1) dt = - dt = - dt = t-1 t-1 t-1 t3 t2 =- (t2 + t + 1)dt = - + + t + C. 3 2 Näide 3.7 sin 2x 2 sin x cos x dx = dx = 2 sin xdx = -2 cos x + C. cos x cos x
3.4 Integreerimine muutuja vahetusega Integreerimine muutuja vahetuse meetodil e asendusvõttega seisneb selles, et integraali f (x)dx leidmisel asendatakse muutuja x uue muutujaga, mis on funktsionaalselt seotud esialgse muutujaga x. Asendust püütakse valida nii, et teisenenud integraal oleks lihtsalt leitav. Milline asendus aga valida, see sõltub integraalialusest avaldisest. Vaatame mõningaid näiteid. Näide 3.8 Leida e-3x dx. Teeme asenduse -3x = t. Diferentseerides võrduse pooli, saame -3dx = dt, millest dx = - 31 dt. Seega 1 1 1 1 e-3x dx = (- )et dt = - et dt = - et + C = - e-3x + C. 3 3 3 3 Näide 3.9 Leida x x2 - 2 dx. 1 Teeme asenduse x2 - 2 = t, millest x = t2 + 2. Siis dx = dt. Seega 2 t +2 1 2 t3 ( x2 - 2)3 2 x x - 2 dx = t + 2 t 2 dt = t dt = +C = + C. t2 + 2 3 3
Näide 3.10 Leida cos3 x sin x dx. Tehes asenduse cos x = z ja seda võrdust diferentseerides, saame - sin xdx = dz. Seega z4 cos4 x cos3 x sin x dx = z 3 (-dz) = - z 3 dz = - +C =- + C. 4 4
Matemaatiliselt põhineb kirjeldatud muutuja vahetuse meetod järgmisel tulemusel. Lause 3.3 Kui funktsioonil y = f (x) leidub algfunktsioon mingis piirkonnas X ja funktsioon x = g(t) on diferentseeruv piirkonnas T , kusjuures selle funktsiooni muutumispiirkonnaks on X, siis f (x)dx = f [g(t)]g (t)dt.
Lauses toodud valemi põhjenduse ja selle rakenduse näiteid võib leida raamatutest [3], lk 162-165; [4], lk 218-219; [5], lk 363-365. Integreerimisel on sageli lihtsam leida sobivat asendust kujul t = h(x), nagu seda tegime ka näidetes 3.8-3.10. 3.5 Ositi integreerimine Vaatame kahte diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioonide korrutise tuletis leitakse valemiga (uv) = u v + v u, diferentsiaal korrutisest on seega d(uv) = vdu + udv. Avaldades viimasest võrdusest udv, saame udv = d(uv) - vdu. Kui nüüd eksisteerib integraal vdu, siis ilmselt eksisteerib ka integraal udv, sest integraali omaduste põhjal d(uv) = uv + C. Sellisel juhul saame nn ositi integreerimise valemi
udv = uv - vdu.
Siin lisatakse konstant C pärast integraali vdu leidmist. Selle valemi abil saab leida integraale korrutistest, mida on võimalik vaadelda kahe funktsiooni suhtes avaldisena udv. Tegurite u ja dv valikul tuleb silmas pidada, et diferentsiaali dv abil peab saama leida esmalt funktsiooni v ja seejärel ka integraali vdu. Üldiseid reegleid siin anda ei saa. Tavaliselt valitakse u ossa funktsioon, mille tuletis on lihtne, dv aga sisaldab kindlasti diferentsiaali dx ning on suhteliselt lihtsalt integreeritav. Kui P (x) tähistab ühte hulkliiget muutuja x suhtes, siis ositi integreerimise võtet võib rakendada näiteks järgmist tüüpi integraalide leidmiseks P (x) sin ax dx, kus u = P (x); P (x) cos ax dx, kus u = P (x); P (x) arcsin ax dx, kus u = arcsin ax; P (x) arccos ax dx, kus u = arccos ax; P (x) arctan ax dx, kus u = arctan ax; P (x) ln ax dx, kus u = ln ax; P (x)eax dx, kus u = P (x); Ka integraalide eax sin bx dx, eax cos bx dx leidmisel kasutatakse ositi integreerimise võtet, kuid siin võib funktsiooniks u valida nii eax kui ka sin bx või cos bx. Näide 3.11 Leida integraal x ln x dx. dx x2 Antud juhul on mõistlik teha valik nii, et u = ln x ja dv = xdx. Siis du = ning v = . x 2 Seega x2 x2 dx x2 x2 x ln x dx = ln x - = ln x - + C. 2 2x 2 4 Näide 3.12 Leida integraal x2 ex dx. Olgu u = x2 ja ex dx = dv. Siis du = 2xdx ja v = ex dx = ex (integreerimiskonstandi lisame pärast viimase integraali leidmist). Seega
x2 ex dx = x2 ex - 2xex dx = x2 ex - 2 xex dx.
Integraaali xex dx leidmiseks peame veelkord kasutama ositi integreerimise võtet. Valime siin u = x ja ex dx = dv. Siis du = dx ja v = ex dx = ex ning
xex dx = xex - ex dx = xex - ex + C.
Järelikult x2 ex dx = x2 ex - 2 xex dx = x2 ex - 2(xex - ex ) + C = x2 ex - 2xex + 2ex + C.
Näide 3.13 Leida integraal (x + 2) cos x dx. Valime siin u = x + 2 ja cos x dx = dv. Siis du = dx ja v = cos x dx = sin x ning
(x + 2) cos x dx = (x + 2) sin x - sin x dx = (x + 2) sin x + cos x + C.
Arvukatest integreerimise meetoditest võib asjahuviline saada ülevaate ka raamatust [3].
Harjutusülesanded: [1], 8.1-8.14.
4. Määratud integraalid
4.1 Määratud integraali mõiste
Olgu funktsioon y = f (x) pidev lõigul [a, b] ja olgu selle algfunktsioon F , st leidub määramata integraal f (x)dx = F (x) + C.
Algfunktsiooni muut F (b) - F (a) on arv, mis sõltub antud funktsiooni y = f (x) korral vaid lõigu otspunktidest a ja b. Definitsioon 4.1 Arvu F (b) - F (a) nimetatakse funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse b f (x)dx = F (b) - F (a). a Definitsioonis esinevaid arve a ja b nimetatakse integreerimisrajadeks, kusjuures a on alumine integreerimisraja, b aga ülemine integreerimisraja. Mõnikord nimetatakse definitsioonis esinevat valemit ka Newton -Leibnizi valemiks ja räägi- takse Newton-Leibnizi integraalist. Vahe F (b) - F (a) märkimiseks kasutatakse sageli sümbolit b F (b) - F (a) = F (x) . a
4.2 Määratud integraali omadused
Määratud integraalil on kõik määramata integraali omadused ja lisaks ka mõned spetsiifilised omadused. Põhilised neist võtab kokku järgmine lause. Lause 4.1 Kui funktsioonidel f ja g leiduvad algfunktsioonid F ja G lõigus [a, b], siis 1. määratud integraal funktsioonide summast võrdub liidetavate integraalide summaga b b b (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; a a a 2. määratud integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega b b b (f (x) - g(x))dx = f (x)dx - g(x)dx; a a a 3. konstantse teguri c võib tuua määratud integraali märgi ette b b cf (x)dx = c f (x)dx; a a 4. võrdsete integreerimisradadega määratud integraal võrdub nulliga a f (x)dx = 0; a 5. integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks b a f (x)dx = - f (x)dx; a b
6. määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne, st kui f (x) 0, siis b f (x)dx 0; a 7. iga arvu c korral lõigust [a, b] (a 4.3 Määratud integraali arvutamine b Määratud integraali a f (x)dx arvutamiseks 1. leitakse integreeritava funktsiooni f algfunktsioon F kõiki määramata integraali leidmise reegleid ja meetodeid kasutades; b 2. arvutatakse vahe F (b) - F (a) = F (x) . a 1 3 Näide 4.1 Arvutada integraal - 2x)dx. 0 (x Leiame vaadeldava funktsiooni algfunktsiooni määramata integraali abil x4 x2 x4 (x3 - 2x)dx = x3 dx - 2 x dx = -2 +C = - x2 + C. 4 2 4 Seega 1 x4 1 1 0 3 (x3 - 2x)dx = - x2 = ( - 1) - ( - 0) = - . 0 4 0 4 4 4 1 Näide 4.2 Arvutada integraal -1 (e3-4x )dx. 1 Leiame algfunktsiooni muutuja vahetust 3 - 4x = t kasutades. Kuna dx = - dt, siis 4 1 1 1 e3-4x dx = - et dt = - et + C = - e3-4x + C. 4 4 4 Seega 1 1 1 1 1 (e3-4x )dx = - e3-4x = - (e3-4 - e3+4 ) = - (e-1 - e7 ). -1 4 -1 4 4
4.4 Määratud integraali ligikaudne arvutamine
Ülalpool kirjeldatud võte sobib määratud integraali arvutamiseks vaid siis, kui vaadeldaval funktsioonil on algfunktsioon ja see avaldub elementaarfunktsioonina. Sel juhul me saame määratud integraali täpse väärtuse. Kuid on ka selliseid elementaarfunktsioone, millel küll leidub algfunkt- sioon, kuid see ei avaldu elementaarfunktsioonina. Sellistel juhtudel kasutatakse mitmesuguseid määratud integraali ligikadse arvutamise meetodeid. Räägitakse ka funktsioonide numbrilisest in- tegreerimisest, mille tuntumad meetodid on ristkülikvalem, trapetsvalem ja Simpsoni valem (vt [4], lk 243-246; [5], lk 441-451). Loomulikult sobivad loetletud meetodid ka selliste funktsioonide määratud integraalide ligikaudseks leidmiseks, mille algfunktsioon avaldub elementaarfunktsiooni- na.
4.5 Kõvertrapetsi pindala
Olgu funktsioon y = f (x) määratud, pidev ja mittenegatiivne lõigus [a, b]. Kujundit , mis on ülalt piiratud funktsiooni f graafikuga, alt x- teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks. Määratud integraali mõisteni jõutigi selliste kujundite pindala leidmise ülesannet lahendades (vt näiteks [3], lk 209-214). Osutub, et kirjeldatud kõvertrapetsi pindala S on võrdne määratud integraaliga b S= f (x)dx. a
Näide 4.3 Leida joontega y = x2 , y = 0, x = 0 ja x = 2 piiratud kõvertrapetsi pindala. Kuna vaadeldava funktsiooni graafikuks on ülespoole avanev parabool, mis puutub x-teljega koordinaatide alguspunktis, siis saame kõvertrapetsi pindala arvutada määratud integraaliga 2 x3 2 23 03 8 S= x2 dx = = - = . 0 3 0 3 3 3 Kui funktsioon y = f (x) on määratud, pidev ja mittepositiivne lõigus [a, b], siis vastava kõver- trapetsi pindala on võrdne määratud integraali absoluutväärtusega, st b S= f (x)dx . a
Näide 4.4 Joontega y = -x2 , y = 0, x = 0 ja x = 2 piiratud kõvertrapetsi pindala on 2 x3 2 23 03 8 8 S= (-x2 )dx = - =- - = - = . 0 3 0 3 3 3 3
Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) määratud ja pidevad lõigus [a, b], kusjuures kogu lõigul f (x) g(x) . Kui tasandiline kujund on ülalt piiratud funktsiooni y = f (x) graafikuga, alt funktsiooni y = g(x) graafikuga ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, siis selle kujundi pindala on võrdne määratud integraaliga b S= f (x) - g(x) dx. a
Hulgaliselt näiteid kõvertrapetsite pindalade leidmise kohta võib leida raamatutest [4], lk 232-242; [5], lk 462-466 ja [3], lk 223-232.
4.6 Määratud integraali rakendusi
Määratud integraalil on arvukalt rakendusi nii geomeetrias kui mehaanikas . Lisaks tasandiliste kujundite pindalade leidmisele, on võimalik määratud integraalide abil arvutada ka kõverjoone kaa- re pikkust, leida kehade ruumala, arvutada jõu poolt tehtud tööd, leida masskeskme koordinaate, arvutada teatud masspunktide süsteemide inertsmomente jne (vt [5], lk 462-483).
4.7 Päratud integraalid b Määratud integraali a f (x)dx definitsioonis eeldatakse, et funktsioon f on pidev ja lõik [a, b] on lõplik. Integraali mõistet on võimalik üldistada ka juhule, kui integreerimispiirkond on lõpmatu. Olgu funktsioon y = f (x) määratud poollõigus [a, +) ja integreeruv suvalisel lõigul [a, b], kus b > a. Kui leidub piirväärtus b lim f (x)dx, b+ a siis seda nimetatakse funktsiooni y = f (x) päratuks integraaliks ja tähistatakse sümboliga + b f (x)dx = lim f (x)dx. a b+ a Analoogiliselt defineeritakse ka päratu integraal b b f (x)dx = lim f (x)dx. - a- a Kui mõlemad integreerimisrajad on lõpmatud, siis fikseeritakse mingi arv c ja defineeritakse päratu integraal + f (x)dx - kui kahe päratu integraali summa + c + f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. - - c
Märkus: Seni oleme vaadelnud ühe muutuja funktsioonide korral diferentseerimise pöörd- operatsiooni integreerimist. Ka mitme muutuja funktsioonide korral saab defineerida nn kordseid integraale, mis aga ei kuulu selle kursuse raamesse.
Harjutusülesanded: [1], 8.15-8.26.