16 kümneline üheline ühekohaline arv 6, 4, 3, 1 kahekohaline arv 10, 18, 36, 49 punkt . + x kõverjoon sirgjoon paarisarv 0; 2; 4; 6; 8 Paarisarvud on arvud, mille üheliste number on 2, 4, 6, 8 või 0. nt: 2, 16, 28, 140, 374 paaritu arv 1; 3; 5;7;9 Paaritud arvud on arvud, mille üheliste number on 1, 3, 5, 7, 9 nt: 3, 11, 79, 265, 967 võrdus 12 + 7= 19 15 10= 5 võrratus 20 > 11 18 < 19 Enne lahutan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 15 7 = 15 5 =10 10 2 = 8 15 7 = 8 Enne liidan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 18 + 6 = 18 + 2 = 20
ülesandes parajasti vaja on 17 2 Teisenda liigmurd segaarvuks = 3 . 5 läheb 17-sse 3 korda, see on täisosa, üle jääb 2, 5 5 see on uus lugeja ja nimetaja jääb samaks 2 5 3 + 2 17 Teisenda segaarv liigmurruks 3 = = 5 5 5 Taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga ( 2-ga jaguvad paarisarvud; 3-ga jaguvad arvud, mille ristsumma jagub 3-ga; 5-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga; 10-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0-ga) 18 9 3 18 3 Näide: = = taandatud kõigepealt 2-ga ja seejärel 3-ga või = taandatud 6-ga 24 12 4 24 4 Laiendamine murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama arvuga. Kasutame murdude võrdlemisel ja liitmisel-lahutamisel.
`See kes ei suuda valitseda iseennast, ei ole vaba' Pythagorase 6petus: teoreem andis suure panuse teaduse ja aritmeetika arendusse. Pyydsid leida ainet mis seoksid maailma yhte. Nende arvates esmaaine ise ei ole yhtne, vaid on see mi soli k6ige ennem. K6ige aluseks on m22ratletud m22ramatus ehk arv Arv k6ige alus millest koosneb k6ik siin maailmas Arv moodustab esemete sisu, mis on neis muutumatu Arv see on hing nende arvates arvud jaotuvad kahte liiki, piiratud (paarisarvud, t2iuslikud, headus) ja piiramatud (paaritud, vormitud) Sellele arusaamisele vastavalt koosnes kogu maailma tegelikkus piiratud ja piiramatute arvude vastuoludest. Sellej2rgi eksisteerib 10 maailma p6hivastuolu 1) Piiritu vs piiritletud 2) yhtusus vs paljusus 3) parem vs vasak 4) mehelikkus vs naiselikkus 5) paigalolev vs liikuv 6) sirge vs k6ver 7) valgus vs pimedus 8) hea vs halb 9) otsene vs kaudne 10) ruut vs ring Teatud arvude konkreetne t2hendus:
- Exhaust system väljalaskesüsteem - Lubrication system määrde-õlitussüsteem - Cooling system jahutussüsteem - Drive system veosüsteem - Clutch- sidur - Differential diferential - Drive shaft- rattavõll , veovõll - Suspension vedrustus - Shock absorber - amortisaator - Support system tugiimissüsteem - Steering system juhtimissüsteem - Brake system pidurisüsteem - To direct jutima - Even numbers Paarisarvud - To arrange in line Paigutama reas - Inline engine reasmootor - Awkward kohmakas - To split in two jaotama kaheks - To arrange in a vee Paigutama V-kujuliselt - V-engine V-mootor - To lay flat paigutama lamedalt - Flat engine lamamootor - Boxer engine boksermootor - Sophisticated Keerukas - Piston Kolb - Downward stroke Allapoole laskuv takt - To suck (in) (sisse) imema
.. p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga. Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1. 6. Kordarvud. 1) 1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks. 2) Aritmeetika põhiteoreem : iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutisena. Arvu esitamist algarvude korrutisena, nimetatakse ka algteguriteks lahutamiseks. 7. Paaris ja paaritud arvud. 1) Paarisarvud. a) Üldkuju 2n n b) Paarisarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 2n + 2k = 2(n + k) 2n 2k = 4nk 2) Paaritud arvud. a) Üldkuju 2n + 1 n b) Paaritute arvude hulk on kinnine korrutamise suhtes. 3) Seosed hulkade vahel. a) = {0; 1; 2; 3; 4; 5} b) = {2; 3; 4; 7; 11; 13} c) = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14}
IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: · (CA) järgmiselt: Nende ühendiks on hulk B: Sama tulemuseni on võimalik jõuda ka aritmeetiliste teisenduste teel:
Fibonacci arvud - naturaalarvude jada, kus kaks esimest liiget on võrdsed arvuga 1 ning alates kolmandast liikmest iga järgmine liige on võrdne kahe eelneva summaga. Esimesed arvud on 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393 ... ( teoreem jäneste siginemisest) Arvude omadused: * Iga kolmas Fibonacci arv on paarisarv, s.t, et kolmas, kuues, üheksas, kaheteistkümnes jne arvud on paarisarvud. F(3),F(6),F(9) jne, üldiselt F(3k). * Iga neljas Fibonacci arv jagub kolmega. Jällegi võib märgata, et F(4)=3. * Iga viies Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)=5, * Iga kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest F(6)=8... * Kehtib üldine reegel: iga k-s Fibonacci arv jagub k-da Fibonacci arvuga. * Sellest saame järelduse, et iga algarvulise Fibonacci arvu järjekorra number peab olema algarv. Sellel on vaid üks erand, järjekorranumber 4 ei ole algarv, aga neljas arv selles reas
Kuna algarvudest on ainuke paarisarv 2, siis jagades algarvu 6-ga ei ole võimalik saada jäägiks 0, 2 ega 4. Kui J X 6 = 3, siis J = {9, 15, 21, 27 ... } ning seega jagub n 3-ga. Kuna algarv võib jaguda ainult 1 ja iseendaga, siis kui J X 6 = 3, ei saa n olla algarv. Jääkide hulgast A jäävad järele veel 1 ja 5. Jääk 5 on võrdväärne jäägiga -1. Kui J X 6 = 1 või J X 6 = 5, siis rahuldavad arvud n kõiki algarvudele püstitatud tingimusi, kuna arvud 6J - 1 ja 6J + 1 ei saa olla paarisarvud. Seega annab iga 3-st suurem algarv jagamisel jäägiks kas 1 või -1, kuna vastasel juhul ei saaks ta lihtsalt algarv olla.
põiknurgad ja nurk4 39.Rööpsirgete joonestamise võtted - Ül.696 võte paralleelsete sirgete joonestamiseks; Esimesel joonisel kasutatakse joonestamiseks kasutatakse rööpjoonlauda ja viimasel joonisel rööpjoonlauda, joonlauda ja nurklauda nurgikut. ning nurgikut 40.Arvude omaduse tõestamine - Ül.620 paarisarvud: lõpevad numbritega Tõesta, et kahe paarisarvu summa on 0,2,4,6,8; jaguvad alati 2-ga; summa on paarisarv. alati paarisarv; ruut jagub alati arvuga 4; Eeldus. Kaks paarisarvu kahe järjestikuse korrutis jagub alati 8-ga; Väide. Kahe paarisarvu summa on korrutis paaritu arvuga on alati paarisarv paarisarv. Tõestus. 1)tähistada antud paarisarvud: 2n ja 2k,
19. Fuel system Toitesüsteem 20. Exhaust system Väljalaskesüsteem 21. Lubrication system Õlitussüsteem 22. Cooling system Jahutussüsteem 23. Drive system veosüsteem 24. Clutch sidur 25. Differential Diferentsiaal 26. Drive shaft Veovõll 27. Suspension vedrustus 28. Shock absorber Amortisaator 29. Support system Tugisüsteem 30. Steering system juhtimissüsteem 31. Brake system pidurisüsteem 32. To direct juhtima 33. Even numbers Paarisarvud 34. To arrange in line Paigutama reas 35. Inline engine reasmootor 36. Awkward kohmakas 37. To split in two jaotama kaheks 38. To arrange in a vee Paigutama V-kujuliselt 39. V-engine V-mootor 40. To lay flat paigutama lamedalt 41. Flat engine lamamootor 42. Boxer engine boksermootor 43. Sophisticated Keerukas 44. Piston Kolb 45. Downward stroke Allapoole laskuv takt 46. To suck (in) (sisse) imema 47. Mixture of fuel and air Kütuse ja õhu segu 48
) Täpsustused. Loodud maailma servaruutudes peab olema sein, ülejäänud ruudud peavad olema värvimata põrand. Kasutaja võib Pykkari suunda anda ilmakaarte tähistega ( n , e , s , w , N , E , S , W ) või noolekujuliste suunatähistega ( ^ , > , v , < ). Kui maailma põrand laius ja kõrgus on paaritu arv ruute, siis tuleb põranda keskelt värvida täpselt üks ruut. Kui mõlemad mõõtmed on paarisarvud, siis tuleb värvida 4 keskmist ruutu. Kui üks mõõde on paaritu ja teine paaris, siis tuleb värvida 2 ruutu (nii, et värvitud osa jääks täpselt põranda keskele). Kasutaja käest küsitud sisendit tuleb kontrollida. Programm ei tohi kokku joosta, kui kasutaja sisestab midagi valesti (näiteks sisestab suvalise teksti seal, kus oodatakse täisarvu või sisestab Pykkari algseks positsiooniks sellise, mis ei jää põranda piiridesse)
jüngrid samastasid teda Kreeka valgusjumala Apolloniga. Ta arvas, et maailmas on kolme liiki mõistuslikke olendeid: jumalad, inimesed ja Pythagorase sarnased, st filosoofid. Ta uskus hingede rändamisse, ise arvas end olevat olnud Hermese poeg. Pütaagorlased väitsid esimestena, et Maa ja teised taevakehad on kerakujulised. Kõige tähtsamad olid tema jaoks arvud: kõik on tekkinud arvudest, asjad on arvude koopiad. Paaritud arvud on hea väljendajad, paarisarvud aga halva väljendajad. Kuna referaadiga alustades olin teadlik vaid Pythagorase teoreemist, siis töö tegemine oli väga huvitav ja informatsioonirohke. 11 KASUTATUD ALLIKAD Meos, I. Antiikfilosoofia. Tallinn: Koolobri, 2000. Salumaa, E. Antiikfilosoofia ajalugu. Tallinn, 1991 Epner, T. Pythagoras ja tema koolkond. http://lepo.it.da.ut.ee/~avramets/pythagoras.htm http://www.tsitaat.com/tsitaadid/autorid/pythagoras
1 1 1 = cos u du = sin u + C = sin kx + C k k k 1 sin kx dx = - k cos kx + C 1 cos 8x cos 6x dx = 2 ( cos 2x + cos 14x ) dx = Näide: 1 1 1 1 1 = sin 2x + sin 14x + C = sin 2x + sin 14x + C 2 2 14 4 28 Integraalid kujul I n , m = sin x cos x dx n, m naturaalarvud kui m ja n on paarisarvud. n m 2. 1 sin 2 x = (1 - cos 2 x ) 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 k 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2 x ) cos x 2k 2m m 1 1 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) dx = 2 4
= cos u du = sin u + C = sin kx + C k k k 1 sin kx dx = - k cos kx + C 1 cos 8x cos 6x dx = 2 ( cos 2x + cos 14x ) dx = Näide: 1 1 1 1 1 = sin 2x + sin 14x + C = sin 2x + sin 14x + C 2 2 14 4 28 Integraalid kujul I n , m = sin x cos x dx n, m naturaalarvud kui m ja n on paarisarvud. n m 2. 10 1 sin 2 x = (1 - cos 2 x ) 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 k 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2 x ) cos x 2k 2m m 1 1 1
4. Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks: R(cos x ) sin xdx =- R( t )dt. 5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis sin m x cos n xdx naturaalarvud m ja n on mõlemad paarisarvud. Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid: 1 - cos 2 x sin 2 x = , 2 1 + cos 2 x cos 2 x = . 2
Kui varuteguri tingimus ei kehti, tuleb varda koormust F vähendada. 13.3.3.4. Näide. Tõsteseadme põikvarda dimensioneerimine Terasest IPE 400 profiiliga 5m pikkust tala (l = 5m) tõstetakse trossidest tõsteseadmega, mille põikvardana CG tuleb kasutada terastoru, mille sise- ja välisläbimõõdu suhe on ligikaudu c = d/D = 0.8. Leida sobivaim põikvarras, kui kasutatava materjali välisläbimõõtude D rea väärtusd on paarisarvud sammuga 2 mm (Joon. 13.8)! Materjal: Teras []Surve = 160MPa; E = 200 GPa. IPE 400 profiili erimass m* = 66.3kg/m. Nõtke nõutav varutegur [S]N = 4. Lahenduskäik: · tõstetava lasti (IPE 400 profiilteras) kaal tuleb: mg = 66.3 5 9.81 = 3252 3260 N ; · kuna põikvarras CG ei saa trossi suhtes liikuda (põiktala asukoht on
o Vastuväiteline tõestus · Ekvivalentsi tõestus · Mitme samaväärsuse tõestus · Olemasolu tõestus o Konstruktiivne olemasolu tõestus o Mittekonstruktiivne olemasolu tõestus Otsene tõestus PQ Eeldame, et P on tõene ja näitame, et siis on ka Q tõene Iga järgmine samm toetub eelnevalt näidatud sammule või olemasolevale faktile. Loogiliselt õiges järjekorras arutledes jõutakse lõpuks tulemuseni. Lause Olgu m ja n täisarvud. Kui m ja n on paarisarvud, siis on seda ka m + n. TÕESTUS Olgu m ja n paarisarvud. Siis saame nad esitada kujul m = 2k1 ja n = 2k2, kus k1 ja k2 on mingid täisarvud. Nende summa m+n saame esitada kujul m+n = 2k1+2k2 = 2(k1+ k2) = 2k. Kuna k = k1+ k2 on täisarv, siis on 2k paarisarv ehk m + n on paarisarv. Lause Olgu a, b ja c täisarvud. Kui a | b ja b | c, siis a | c. Otsene tõestus alamjuhtude põhjal PQ
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n > 0 ning paremalt ja alt, kui a n < 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y = Pn ( x ) skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an > 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus
• Suutma salvestada kirjed võimalikult ühtlaselt tabelisse ära jagada – ÜHETAOLINE
• Sama sisend peab alati andma sama väljundi - DETERMINEERITUD
14.3.1 Jäägi meetod
• Paiskväärtuseks on jääk, mis tekib võtme täisarvulisel jagamisel tabeli pikkusega.
• h(k)=k mod M, kus k on võti ja M on paisktabeli pikkus.
• M-i valik ei ole suvaline.
o Sobivad pigem algarvud.
o Ei sobi arvusüsteemi alus, paarisarvud jms, mille puhul samasuguste jääkide tekkimise
võimalus on suurem.
Algoritmid ja andmestruktuurid 2015
36
14.3.2 Korrutamise meetod
• Võti korrutatakse mingi irratsionaalarvuga (0
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n > 0 ning paremalt ja alt, kui a n < 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y = Pn ( x ) graafiku skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an > 0 x x1 x2 x3 x4 34 3
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n 0 ning paremalt ja alt, kui a n 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y Pn x skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus
Vastus: 98 lk ( pilt on 27. lk ja sellest tagapool on veel 71 lk, järelikult on raamatus 98 lk) 41. Tõnu sündimise päeval istutasid ema ja isa 4 dm pikkuse kuuse. Iga aasta kasvas kuusk 95 mm võrra. Kui pikk oli see kuusk, kui Tõnu tähistas oma 12. sünnipäeva? Vastus: 15,4 dm või 154 cm või 1540 mm või 1,54 m 42. Kastani tänava vasakul pool olevatel majadel on numbriteks kõik paaritud arvud 1 kuni 19 ja paremal pool olevatel majadel kõik paarisarvud 2 kuni 14. Mitu maja on kastani tänaval? Vastus: 17 43. Iga nelja hüppe jaoks kulub konnal 6 sekundit. Mitme sekundiga teeb konn 10 hüpet? Vastus: 15 sekundiga (6 : 4 = 1,5 sekundit 1 hüpe; 10 * 1,5 = 15 sekundit) 44. Jüri ja Sass kohtuvad 1 209 600 sekundi pärast. Mitme ööpäeva pärast nad kohtuvad? Vastus: 14 ( 1 209 600 : 60 = 20 160 min : 60 = 336 h : 24 = 14 ööpäeva) 45
erinevalt Platonist objektide maailma. 24. PILET PYTHAGORAS A.SCHOPENHAUERI IRRATSIONALISM Pythagoras peab reaalsuse aluseks tuld, maad, õhku ja vett. Arvudes näeb ta maailma tegelikku olemust ning sellest tulenevalt peab olema kogu maailm matemaatiliselt väljendatav. Tema arvude tähtustamisega võib tuua paralleeli Platoni ja ideede tähtsustamisega. Pythagoras leiab, et asjad pole arvudest tekkinud, ent nendest lähtuvalt moodustatud. Paarisarvud on jagatavad ja seega ebatäiuslikud, piiritlematud. Paaritud arvud aga see-eest pole jagatavad ja on seega lõplikud, täiuslikud. Arv 1 sümboliseerib jumalikku printsiipi, 3 on mehelik arv ja kaks on naiselik. 3+2=5, 5 tähistab abielu. Paarisarvudest on täiuslikem 10. Pythagoras oli esimene, kes nimetas maailma kosmoseks. Ta leidis, et kogu olev koosneb võitlevatest ja vastassuunalistest suurustest, moodustades harmoonia
-) Anaximenes uskus, et kõige algaineks on õhk ning maailma ümbritseb ,,kosmos" ehk kord ja harmoonia. * Pythagoras (570-495 eKr) uskus, et arvud, mis väljenduvad geomeetrilistes kujundites on maailma aluseks. -) Ta uskus nelja põhilisse elementi ning tema arust tulele vastas tetraeeder, maale vastas dodekaeeder, õhule vastas oktaeeder ja veele vastas ikosaeeder. -) Tema arust oli maailma liikuma panevaks jõuks paaris ja paaritute arvude vastandumine, kuna uskus, et paarisarvud on ebatäiuslikud numbrid (v.a kümme, mis oli täiuslikkuse tunnus). -) Ta oli esimene filosoof, kes asetab asjade tõelise olemuse loodusest väljaspoole. -) Ta pani alguse ka oma koolile, mis oli revolutsiooniline, kuna võttis õppima ka naisi. Seal koolis pidid õpilased õppima viis aastat järjest, ei tohtinud kunagi rääkida sellest, mida nad seal õppisid ning pidid alati väitma, et kõik nende mõtted olid tegelikult õpetaja mõtted. Eleaadid ehk elea koolkond
Ei tegelenud matemaatikaga matemaatika pärast. Tema meelest on alge tuli, maa, õhk ja vesi. Arv ja geomeetria on omavahel seotud. Tuli=tetraeeder, maa=kuup, õhk=oktaeeder, vesi=ikosaeeder. Maailma tegelik olemus on arvudes. Kui arv on maailma olemus, siis peab kõik olema matemaatiliselt väljendatav. Aineline printsiip asendub vaimsega. On üks Platoni filosoofia allikaid. Mis on asjade olemus? Maailmasisene liikumapanev vastuolu seisneb paaritute ja paarisarvude vastuolus. Paarisarvud on jagatavad, seega ebatäiuslikud. Paaritud arvud ei ole jagatavad, on lõplikud ja seega täiuslikud. Kõrgeim paaritu arv on 1=kõrgeim jumalik printsiip; 3=mehelik arv; 2=ebatäiuslik arv, naiselik; 3+2=5=täiuslik arv, abielu või perekond; 10=kogu maailma harmoonia ja terviklikkus. Harmoonia on ühtsus paljususes. Suurused on võitlevad ja vastassuunalised. 2 Muusika inspireeris teda. Jälgib kitarat - matemaatiliselt on kirjeldatav keele pikkus ja tooni kõrgus. Muusikakeel
eriti kergsulavad, kõrge murdumisnäitajaga pliiklaasid, emailid, glasuurid (aknaklaasis ei sisaldu) - mitmed teised tehnilised kasutusalad: pesemisvahendid, herbitsiidid, räbustid metallurgias - mikroväetistes (taval. H3BO3 kujul) 3.2.2. Ühendid 3.2.2.1. Vesinikuga: BORAANID Boor vesinikuga otseselt ei reageeri, seetõttu saadakse boraane kaudsel teel. Üldvalem BnHm, kus n= 2-20 (taval. paarisarvud, kuid ka 5,9) m taval. n+4 või n+6 Paremini uuritud boraane on ca 20; Boraanide keemiat on laialdaselt uuritud. Boraanid on vastastikku konverteeritavad (muundatavad) to, rõhu, katal., keskk. valikuga Boraanide molekulidele on iseloomulik elektronide defitsiit, B aatomi suured koord.-arvud (kuni 7), keeruline ruumil. struktuur.
Sellisel juhul saab õpetaja toetudes tabelile anda mitmesuguseid ülesandeid. Näiteks: 1. Tabelist on ära võetud kõik arvud. Õpetaja palub õpilasel panna tabelisse nr 8 (on vaja leida selle arvu õige koht arvude reas). 2. Loendada arvust 8 arvude suurenemise järjekorras, vähenemise järjekorras. 3. Panna tabelisse arvud 5 ja 15, seejärel nimetada kõik arvud, mis on viiest suuremad ja viieteistkümnest väiksemad. 4. Panna tabelisse kõik paarisarvud, kõik paaritud arvud; arvud, mis me saame kolme-, nelja-, viie- jne kaupa loendamisel. Ka igale õpilasele peaks valmistama sellise tabeli et, nad saaks kaasa töötada ja oma laual täita kõik need ülesanded, mida sooritatakse tahvli juures suure tabeliga. Tabeli põhjal on hea näidata lastele, et arve 1- 9 kirjutatakse ühe numbriga, tähistatakse ühe märgiga, sellepärast nimetataksegi neid ühekohalisteks arvudeks
See täpne kirjeldus võib aga olla antud mitmel erineval viisil, erinedes nii lihtsalt lauseehituselt kui ka sisulisemalt. Näiteks võib positiivseid paarisarve defineerida järgmiselt (ei maksa end hirmutada lasta sõnade „definitsioon” või „defineerima” kalgist kõlast!). Definitsioon 1: Positiivsed paarisarvud on arvud 2, 4, 6, 8, … Definitsioon 2: Positiivne paarisarv on naturaalarv, mis jagub kahega. Definitsioon 3: Iga positiivse paarisarvu saame, kui liidame arvule 0 juurde lõpliku arvu kordi arvu 2. Need kõik kolm definitsiooni on samaväärsed – ehk iga arv, mis on näiteks definit-
Eksemplardefinitsioon on defineerimine näidiseksemplaride nimetamise kaudu. Nt pilvelõhkuja näidiseks on Empire State Building. Näidete või näidiste kaudu defineerides tekib ridamisi probleeme, sest pole ilmne, millised näidise tunnused on olulised. Olukorda ei saa otsustavalt parandada ka näidiste hulga suurendamine. Erandjuhtumiks on defineerimine lihtsa loetlemise kaudu: loetletakse kõik objektid, millele termin rakendub. Nt nullist suuremad ühekohalised paarisarvud on 2,4, 6 ja 8. Sel juhul on termin täielikult määratletud. Ostensiivselt saab terminit määratleda, kui näidata mingit objekti või selle kujutist vms ja öelda, mis see on. Nii ei saa määratleda kõiki termineid, nt selliseid abstraktseid termineid nagu õiglus, olemine, mõte, tõde jne. Terminite ostensiivsel määratlemisel võib jääda ebaselgeks, millised tunnused on olulised ja mida nimelt näidatakse.
Eksemplardefinitsioon on defineerimine näidiseksemplaride nimetamise kaudu. Nt pilvelõhkuja näidiseks on Empire State Building. Näidete või näidiste kaudu defineerides tekib ridamisi probleeme, sest pole ilmne, millised näidise tunnused on olulised. Olukorda ei saa otsustavalt parandada ka näidiste hulga suurendamine. Erandjuhtumiks on defineerimine lihtsa loetlemise kaudu: loetletakse kõik objektid, millele termin rakendub. Nt nullist suuremad ühekohalised paarisarvud on 2,4, 6 ja 8. Sel juhul on termin täielikult määratletud. Ostensiivselt saab terminit määratleda, kui näidata mingit objekti või selle kujutist vms ja öelda, mis see on. Nii ei saa määratleda kõiki termineid, nt selliseid abstraktseid termineid nagu õiglus, olemine, mõte, tõde jne. Terminite ostensiivsel määratlemisel võib jääda ebaselgeks, millised tunnused on olulised ja mida nimelt näidatakse.
annaabi.ee 
