Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse
✍🏽 Avalikusta oma sahtlis olevad luuletused! Luuletus.ee Sulge

Matemaatiline analüüs - konspekt II - sarnased materjalid

integraal, muutuja, tuletis, ratsionaalavaldis, avaldise, ositi, avaldist, integraalid, vaatlemes, kumer, piirv, diferentsiaal, puutuja, integraalide, ratsionaalse, integraaliks, piirväärtus, vahetuse, nimetaja, arctan, avaldiste, diferentseeruv, käänupunkt, integreerimine, lugejas, trigonomeetriliste, integraalis, joonel, lokaalne, kumerus
thumbnail
7
pdf

Määramata integraalid

Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)?

Kõrgem matemaatika
172 allalaadimist
thumbnail
36
pdf

Matemaatiline analüüs

Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M  m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M  m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad

Matemaatiline analüüs 1
14 allalaadimist
thumbnail
273
pdf

Lembit Pallase materjalid

11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33

Matemaatiline analüüs
809 allalaadimist
thumbnail
21
docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0

Matemaatika
10 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Määramata integraal

INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C .

Kõrgem matemaatika
191 allalaadimist
thumbnail
37
docx

Matemaatiline analüüs l.

Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis

Matemaatiline analüüs
484 allalaadimist
thumbnail
142
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Matemaatiline analüüs
47 allalaadimist
thumbnail
142
pdf

Matemaatiline analüüs I

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Matemaatika
42 allalaadimist
thumbnail
12
pdf

MÄ Ä R AMA T A I N T EGR A A L

INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C .

Matemaatika
15 allalaadimist
thumbnail
51
pdf

Enno Paisu konspekt

Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)<0, x1 , x 2 [a, b] . Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9 Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. Olgu antud funktsioon y = f (x) Anname argumendile x muudu x Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x) Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) y ' = lim = lim x 0 x x 0 x y

Matemaatiline analüüs
180 allalaadimist
thumbnail
51
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt

Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)<0, x1 , x 2 [a, b] . Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9 Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. Olgu antud funktsioon y = f (x) Anname argumendile x muudu x Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x) Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) y ' = lim = lim x 0 x x 0 x y

Matemaatiline analüüs
11 allalaadimist
thumbnail
16
docx

Matemaatiline analüüs 2 KT

1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).  Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n)

Matemaatika
14 allalaadimist
thumbnail
32
doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused..

Matemaatika
121 allalaadimist
thumbnail
156
pdf

Kõrgem matemaatika

. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika
96 allalaadimist
thumbnail
7
doc

Konspekt

funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C ­ suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C ­ suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx .

Matemaatiline analüüs
87 allalaadimist
thumbnail
8
doc

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I"

· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )

Matemaatika analüüs I
159 allalaadimist
thumbnail
54
doc

Valemid ja mõisted

x= , y= , z= , D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( < , > , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a > b , siis b < a . 2. Kui a > b ja b > c , siis a > c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a > b , siis a + c > b + c . 11 4. Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe

Matemaatika
1101 allalaadimist
thumbnail
18
docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

(tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes

Matemaatiline analüüs I
121 allalaadimist
thumbnail
8
docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f'(c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on l~oigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x (a,b) korral kehtib v~orratus g'(x) 0, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) /g(b) - g(a)=f'(c)/ g'(c) T~oestus. Defineerime j¨argmise funktsiooni: Arvutame: F(a) = f(a) ­ (f(b)-f(a)/ g(b)-g(a))* (g(a) - g(a)) = f(a),

Matemaatika
47 allalaadimist
thumbnail
5
docx

Teine osaeksam, matemaatiline analüüs I, teooriaküsimused

Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy

Matemaatika analüüs I
150 allalaadimist
thumbnail
9
doc

INTEGREERIMISE VALEMID

u v ­ v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt ­ y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c

Matemaatiline analüüs
109 allalaadimist
thumbnail
9
doc

Diferentseerimise ja integreerimise valemid

u v ­ v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt ­ y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c

Diferentsiaal-ja...
86 allalaadimist
thumbnail
10
doc

Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon

"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4

Matemaatiline analüüs
259 allalaadimist
thumbnail
11
pdf

Määratud integraal

mx S Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const S Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 S Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades S ' ( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )

Matemaatika
66 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Määratud integraal

mx P Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const P Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 P Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades P( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )

Kõrgem matemaatika
181 allalaadimist
thumbnail
22
doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt)

Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon ­ Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris ­ kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu ­ kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon ­ funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral.

Matemaatiline analüüs i
776 allalaadimist
thumbnail
3
docx

Matemaatiline analüüs 1

Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata

Matemaatiline analüüs 1
66 allalaadimist
thumbnail
108
doc

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE: Valemid

D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx  d 2 b2 c2 , Dy  a2 d2 c2 , Dz  a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk (  ,  ,  või  ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a  b , siis b  a . 2. Kui a  b ja b  c , siis a  c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a  b , siis a  c  b  c . 11 4

Algebra I
64 allalaadimist
thumbnail
55
pdf

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2

Matemaatiline analüüs II
69 allalaadimist
thumbnail
26
doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks

x 1 Samas |sin | 1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0. x Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x), () siis ka lim xa g(x) lim xa f(x). () Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses g(x) f(x) h(x) ja lim xa g(x) = lim xa h(x) = A , siis eksisteerib ka piirväärtus lim xa f(x) = A. Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a X, siis lim xa f(x) = f(a). 3. Ühepoolsed piirväärtused Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a ­ lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.

Matemaatiline analüüs i
687 allalaadimist
thumbnail
18
pdf

Määratud integraal

5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.

Matemaatiline analüüs 2
176 allalaadimist
thumbnail
32
pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi

Matemaatiline analüüs II
189 allalaadimist
thumbnail
1
doc

Matemaatiline analüüs 1 (2 teooria töö)

KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y)

Matemaatiline analüüs
261 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun