Hulkliikme jagamine üksliikmega Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse. Näide: Teguri toomine sulgudest välja Näited: 12x -4x + 8x=4x(3x -x+2) ; 4a y+12ay = 4ay(a+3y) ; 15a b c -25a b c +40a b c = 5a b c (3a b c (3c -5a +8a bc ) Kaksliikmete korrutamine Kaksliikmete korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. Näited: (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd ; (3x-1)(2x+4)=6x +12x-2x-4 Rühmitamisvõte Näited: (am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) ; 2am+2bm-an-bn=(2am+2bm)-(an+bn)=2m(a+b)-n(a+b)=(a+b)(2m-n). Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega (a+b)(a-b)= a -b
Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. (a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
2) 3) 10.Hulkliikme tegurdamine - hulkliikme 1) teisendamine korrutiseks: 2) 1)leiame hulkliikme kõigi liikmete ühise teguri, millega kõik liikmed jaguvad 3) 2)leitud teguri toome sulgude ette, s.t. toome ta sulgudest välja 3)sulgudesse kirjutame hulkliikme, mis saadakse antud hulkliikme jagamisel selle ühisteguriga 11.Kaksliikmete korrutamine - ühe (x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega, tulemused liita, võimalusel koondada 12.Rühmitamisvõte - avaldada hulkliige korrutisena 1)rühmitada antud hulkliige cx+cy-d(x+y)=c(x+y)-d(x+y)=(x+y)(c-d) paaridesse, millest ühise teguri ac+ad+c+d=(ac+ad)+(c+d)=a(c+d)+1(c+d)= ettetoomisel jääksid sulgudesse samad =(c+d)(a+1) kaksliikmed 3)tuua nendes paarides sulgude ette vastav üksliige vajaliku märgiga, NB sulgudesse peavad jääma samad
4.1. Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb selle hulkliikme iga liige jagada antud üksliikmega. 4.2. Kui liikmete vahel on + või -, siis taandada ei tohi. 5. Tegurdamine 5.1. Tegurdamiseks nimetatakse avaldise kirjutamist korrutisena. 5.2. avaldis=millega saab jagada(SÜT) jagamise vastus 5.3. Tegurdamine tähendab ühise teguri sulgude ette toomist. 6. Kaksliikmete korrutamine 6.1. Esimese kaksliikme iga liikme korrutan teise kaksliikme iga liikmega. Kui võimalik, siis koondan 7. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis 7.1. Korrutamise abivalem (a+b)(a-b)=a2-b2 1) Ühes sulus +, teises -. 2) Sulgudes võrdsed liikmed. 3) Vastuse liikmete järjekord – sulu põhjal. 4) Vastuses liikmete vahel -. 5) Vastuses liikmete ruudud. 8. Kaksliikme ruut 8.1. Korrutamise abivalemid
10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. N: 234*23.45 = 5478,3 5480 2300 / 0,13 = 17692,30769 18000 12.Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega korrutame ühe kaksliikme kummagi liikme teise kaksliikme kummagi liikmega ja saadud korrutised liidame. N: (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis Kahe arvu summa ja samade arvude vahe korrutis võrdub nende arvude ruutude vahega. (a + b)(a b) = a 2 - b 2 14.Summa ruut Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga, millele on liidetud nende arvude
Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)= Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega. (a+b)(a-b)= Kaksliikme ruut (a+b Kahe üksikliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Summa ruut) (a-b Kahe üksikliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Vahe ruut) 1) - arvude a ja b ruutude vahe. 2) - arvude a ja b summa ruut 3) -arvude a ja b vahe ruut Tegurdamine 1) Sulgude ette toomine
Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. (a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k 7. Hulkliikmete tegurdamine. Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena. NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5) NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis, kaksliikme ruut, kaksliikme kuup, kuupide summa ja vahe valemid. Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² Vahe ruut (a-b)²= a²-2ab+b² Summa ruut (a + b)² = a² + 2ab + b² Summa kuup (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Kuupide summa a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) Kuupide vahe (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ 9. Algebraliste valemite lihtsustamine. NÄIDE 1. Leiame avaldise (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² väärtuse, kui x = -0,5. Kõigepealt lihtsustame avaldise:
2. mõlemad on positiivsed ( > 0 ) ja 0 imaginaarne ellips B kui = 0 ja mõlemad on sama märgiga punkt II A kui < 0, siis -d on erinevate märkidega ja 0 hüperbool B kui < 0, siis -d on erinevate märkidega ja = 0 lõikuvate sirgete paar III A kui = 0, siis võrrand: 2Y 2 + 2 D1 X + 2 E1Y + F1 = 0 . Sellest kujust eraldada kaksliikme ruut, saame kanoonilise kuju, millest on lihtne järeldada, kas antud joon esitab parabooli või paralleelsete sirgete paari. Kanooniline kuju: 2Y 2 + 2 pX = 0 , kus p = ± 2 90. Teist järku joonte paralleellüke ja pööre. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 x = x + x0 x = x cos y sin Lüke pööre
2. mõlemad on positiivsed ( > 0 ) ja 0 imaginaarne ellips B kui = 0 ja mõlemad on sama märgiga punkt II A kui < 0, siis -d on erinevate märkidega ja 0 hüperbool B kui < 0, siis -d on erinevate märkidega ja = 0 lõikuvate sirgete paar III A kui = 0, siis võrrand: 2Y 2 + 2 D1 X + 2 E1Y + F1 = 0 . Sellest kujust eraldada kaksliikme ruut, saame kanoonilise kuju, millest on lihtne järeldada, kas antud joon esitab parabooli või paralleelsete sirgete paari. Kanooniline kuju: 2Y 2 + 2 pX = 0 , kus p = ± 2 90. Teist järku joonte paralleellüke ja pööre. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 x = x + x0 x = x cos y sin Lüke pööre
68)Millise t korral on võrrandi = lahendid negatiivsed ? 2 x - t 4 - tx 6 x -1 3 x 69)Millise n korral on võrrandi = - lahend x>-2. n -2 n+2 n+2 70)Koosta ruutvõrrand mille lahendid on a) (7; -5) b) (0,5; -0,25) c) (a + 3b; 3a + b) d) (2a; -2b) 71)Millisel tingimusel on kolmliige ( a - b ) x 2 - ( a + b ) x + a - b kaksliikme ruut ? ( 72) Lahenda võrrand 2 x 2 - 3 x + 2 ) -1 ( - x 2 - 4x + 3) -1 =0 (4) x1 x 73) Võrrandit x2 + 5x + 8 = 0 lahendamata arvuta + 2 ,kus x1 ja x2 on võrrandi
3 3 V=3 =27 (cm ) VASTUS. Kuubi serv on 3 cm ja ruumala NB vastusesse mitte kirjutada "Lahendid 3 27 cm . on ...", vaid vaadata ülesande tekstist korralikult järele, mida küsiti 2 19.Ruutvõrrandi ax +bx+c=0 lahendamine Ül.1367 kaksliikme ruuduks täiendamise võttega - Lahenda võrrand kaksliikme ruuduks viia vabaliige vasakult poolelt paremale; täiendamise võttega. täiendada sobiva arvu liitmisega vasakut 2 poolt nii, et tekib kaksliikme ruut; liita x -6x+8=0 viia vabaliige paremale sama arv ka parema poolega; võtta poolele 2 saadud kaksliikmest ruutjuur; leida x -6x=-8 liita mõlema poolega sobiva
ratsionaliseerimiseks kasutatakse muutuja vahetust = t k , kus k on juurijate cx + d m, n ,..., s vähim ühiskordne. Viimasest võrdusest avaldame muutuja x ja tema diferentsiaali. 2. Teiseks vaatleme irratsionaalavaldise integraali kujul R( x , ax 2 + bx + c )dx. (2) Alati on juurealusest avaldisest võimalik eraldada kaksliikme ruut: b b b2 b2 ax 2 + bx + c = a x 2 + x + c = a x 2 + 2 x + 2 - 2 +c= a 2a 4a 4a 2 2 b b2 b 4ac - b 2 = a x + + c - = a x + + .
saab kasutada näiteks kolmnurkade täisnurkse kolmnurga teravnurgad kokku võrdsuse tunnuseid, kõrvunurkade 90° omadust vm teoreeme; nõutud suuruste Suure ruudu külg x+y 2 arvutamisel jälgida andmeid, kasutada Suure ruudu pindala S=(x+y) kujundi omadusi, vastavaid valemeid Kolmnurkade pindala S=4 =2xy (antud juhul ruudu ja kolmnurga pindala, kaksliikme ruut), teha vastavaid teisendusi Väikese ruudu pindala 2 2 2 2 2 S=(x+y) -2xy=x +2xy+y -2xy=x +y
kolmnurga ümberringjoonel · Kolmnurga tasandi punkt asub kolmnurga ümberringjoonel siis ja ainult siis, kui selle punkti projektsioonid kolmnurga külgedel (külje pikendustel) asuvad ühel sirgel. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 14 6 4 1 9. .......... ......... Newtoni binoomvalem- Uurime kombinatsioone, Pascali kolmnurka ja kaksliikme astmeid ( a + b) 0 = 1 0 (a + b)1 = a + b C 0 0 1 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 C 1 C1 C 0 C 1 C 2 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 2 2 2 C30 C31 C32 C33
kusjuures A ja B valikud on teineteist välistavad (s.t. ei saa korraga valida nii objekti A kui ka objekti B), siis kas A või B valimiseks leidub m + n erinevat võimalust. Korrutamisreegel: kui objekti A saab valida m erineval viisil ja pärast iga sellist valikut saab objekti B valida n erineval viisil, siis nii A kui ka B valimiseks (selles järjekorras) leidub m n erinevat võimalust. 9.2 Newtoni binoomvalem Newtoni binoomvalem on valem binoomi (kaksliikme) astme avaldamiseks tema liikmete astmete kaudu: n ( a + b) = Cnm a n - mb m = a n + Cn1a n -1b + Cn2 a n -2b 2 + ... + Cnn -1ab n -1 + b n . n m =0 9.3 Juhuslikud sündmused Katseks (vaatluseks) nimetatakse teatud tingimuste kompleksi realiseerumist, mille tulemusena võivad esineda teatud sündmused.
kusjuures A ja B valikud on teineteist välistavad (s.t. ei saa korraga valida nii objekti A kui ka objekti B), siis kas A või B valimiseks leidub m n erinevat võimalust. Korrutamisreegel: kui objekti A saab valida m erineval viisil ja pärast iga sellist valikut saab objekti B valida n erineval viisil, siis nii A kui ka B valimiseks (selles järjekorras) leidub m n erinevat võimalust. 9.2 Newtoni binoomvalem Newtoni binoomvalem on valem binoomi (kaksliikme) astme avaldamiseks tema liikmete astmete kaudu: n a b Cnm a n mb m a n Cn1a n 1b Cn2 a n 2b 2 ... Cnn 1ab n 1 b n . n m 0 9.3 Juhuslikud sündmused Katseks (vaatluseks) nimetatakse teatud tingimuste kompleksi realiseerumist, mille tulemusena võivad esineda teatud sündmused.
Trigonomeetrilised asendused Euleri asendused on integraali (9.15) leidmisel alati rakendatavad, kuid sarnaselt universaalse x asendusega t = tan trigonomeetriliste avaldiste integreerimiseks tekivad ka siin paljudel juh- 2 tudel keerukad teisendused, mida on v~oimalik v¨altida spetsiaalseid muutuja vahetusi kasutades. Viimastest vaatleme trigonomeetrilisi asendusi integraali (9.15) leidmiseks. Alati on v~oimalik juurealusest avaldisest eraldada kaksliikme ruut teisendustega 2 b b b2 ax2 + bx + c = a x2 + x + +c- a 2a 4a 2 b 4ac - b2
annaabi.ee 
