Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b x1 = 0 x2 = -2 Antud ruutvõrrandi lahendid on 0 ja -
y=4 NB vaja juhul, kui ei ole võimalik kasutada Kontroll. Lahend on x=3 y=4 liitmisvõtet (näiteks võrrandis on sees V1=3+4=7 P1=7 V1=P2 tundmatute korrutis või tundmatu ruut) V2=3 3=9 P2=9 V2=P2 Vastus. Lahend on x=3 y=4 13.Liitmisvõte (võrrandites on sulud) - Ül.1040 teisendada võrrandid normaalkujule: avada Antud süsteem sulud vastavalt korrutamise 2x+4(x+1)=10 jaotuvusseadusele ja kasutada võrrandi x-5(y-1)=5y-22 põhiomadusi; korrutada vajadusel võrrand(id) läbi sobiva arvuga sama Avan sulud tundmatuga liikmete ette vastandarvude 2x+4x+4=10 saamiseks; liita võrrandid ja leida x-5y+5=5y-22 tundmatute väärtused ühe tundmatuga Sorteerin, koondan, jagan/korrutan kui võrrandite lahendamise kaudu; kontrollida vaja
Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtuse 2 ülesandes antud ruutfunktsiooni valemisse muutuja x asemele ja arvutame haripunkti ordinaadi väärtuse: Oleme saanud parabooli haripunkti koordinaadid:H(2;1). 3. Arvuta parabooli nullkohad. Lahendus: Lahendame parabooli vastavad ruutvõrradi . Selleks viime ruutvõrrandi normaalkujule: ,, lahendame saadud ruutvõrrandi kasutades ruutvõrrandi lahendusvalemit Vastus: parabooli nullkohad ehk lõikepunktid x-teljega on ja .
nende üksliikmete kuupide vahega · Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis pluss teine liige kuubis · Kahe üksliikme vahe kuup võrdub esimene liige kuubis miinus kolmekordne esimese korrutis miinus teine liige kuubis · Liitmisvõte 1. Teisendan võrrandid normaalkujule 2. Korrutan võrrandi(d) sobivalt valitud arvu(de)ga nii, et ühe paari tundmatute kordajad oleksid teineteise vastandarvud 3. Liidan võrrandite vastavad liikmed 4. Lahendan saadud võrrandi 5. Asendan saadus tundmatu väärtuse ühte võrrandisse, lahendan võrrandi 6. Teen Kontrolli esialgse süsteemi põhjal 7. Kirjutan vastuse
ning tulemuseks saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus leida. Teise muutuja väärtuse saame, kui asendame leitud muutuja väärtuse ühte esialgsetest võrranditest. x+2y=11 *(5) 5x3y=3 1.) Viin võrrandi normaalkujule. 5x10y=55 2.) Liidan võrrandid. 5x3y=3 3.) Lahendan saadud võrrandid. 13y=52 :(13) 4.) Arvutan teise tundmatu väärtuse. Y=4 5.) Teen kontrolli. x=114*2 6.) Kirjutan vastuse. x=3 Vastus: x=3
minimaalseima keerukusega loogikaskeemina elementidel AND OR NOT. f K = (x2 v x3)( 2 v 3)( 1 v 4) Loogikaskeemi modelleerin Circuit Simulatoris. Karnaugh kaardi abil kontrollides selgub, et loogikaskeem on õigesti koostatud. 9. Realiseerida (punktis 3) MDNK-na saadud loogikafunktsioon lihtsaima loogikaskeemina kahe sisendiga loogikaelementidel (OR-NOT) . Kuna funktsioon oli antud DNK-na, siis tuleb esimese sammuna leida tema KNK (ehk on vaja üle minna "vastupidisele" normaalkujule). Duaalsete normaalkujude omavahelist üleminekut tasub alati teha Karnaugh' kaardi abil. 00 01 11 10 x1 x3 x2 x4 00 0 0 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 0 0 1
milline sündmus põhjustab transaktsiooni käivitumise. 21. Normaliseerimine (teema 9) Normaliseerimine on protsess, mille igal sammul kontrollitakse normaliseeritava relvari vastavust mingile reeglite hulgale. Kui relvar ei vasta reeglitele, tuleb see dekomponeerida (jagada, lagundada, tükeldada) välisvõtmete kaudu seotud relvarideks, millest igaüks vastab nimetatud reeglitele. Iga normaliseerimise sammu tulemusel viiakse relvarid uuele, kõrgemale normaalkujule. Iga relvari saab viia kuuendale normaalkujule. Üldjuhul on soovitav viia relvarid viienda normaalkujuni. Relatsioonilistes andmebaasides peavad relvarid olema viidud vähemalt esimesele normaalkujule. Normaliseerimise eesmärgid: vähendada andmete liiasust ja selle tulemusena vähendada andmete muutmise anomaaliaid ning muuta andmebaasis olevad andmed kasutajale arusaadavamaks. parandada loogiliselt ebakorrektset disaini (täiendava normaliseerimise tulemusena
kuidas jätta meelde, kumb on lugeja ning kumb nimetaja? x + y 2+ y 3 2 13 - = 2 3 2 3. Korruta ülesse märgitud arvuga läbi lugejad. 3x + 3 y - 4 + 2 y = 3 4. Vii normaalkujule 3x+5y=7 5. Lahenda võrrandisüsteem vastavalt oma valikule kolmest lahendusviisist 3 x - y = 5 3 x + 5 y = 7
Ühendamissõltuvus on triviaalne, kui üks atribuutide hulkadest ongi terve relvar. Funktsionaalse soltuvuse determinant ̃ (A=>B puhul on A determinant). Taielik funktsionaalne soltuvus ̃ kui A=>B puhul B sõltub funktsionaalselt Ast, aga ei sõltu A mingist alamhulgast ning A sisaldab 1 või rohkem atribuuti ja B ainult ühte. Tegevused igale normaalkujule uleminekul. ̈ 1: liiasuse tekitamine, et igasse lahtrisse jääks 1 väärtus 2: tuleb eemaldada sõltuvused kandidaatvõtme osadest, teha nt kaheks tabeliks, kus üks on teisega seotud välisvõtme kaudu 3: tuleb eemaldada ülekanduvad sõltuvused ja nende kohta teha eraldi tabelid, mis oleks seotud välisvõtmete kaudu Boyce/Codd: tuleb eemaldada sõltuvused mõne kandidaatvõtme mingist osast
Seega x1 = 0 ja x2 = 1,5. Lahenduskäigu võime esitada järgmiselt: 2x2 3x = 0 x(2x 3) = 0 x = 0 või 2x 3 = 0 2x = 3 : 2 x = 1,5 x1 = 0 ja x2 = 1,5 Näide 12. 5x2 = 0 on mittetäielik ruutvõrrand, milles puuduvad nii lineaarliige kui ka vabaliige. 5x2 = 0 : 5 x2 = 0 x1 = x2 = 0 Sageli tuleb võrrandit lihtsustada ja teisendada normaalkujule. Näide 13. Võrrandi 9x + x2 = 14 lahendamiseks teisendame võrrandi normaalkujuliseks. Selleks viime 14 võrrandi vasakule poolele ja muudame liikmete järjekorda nii, et esimesena on ruutliige (x2-ga liige), teisena lineaarliige (x-ga liige) ja viimasena vabaliige. Võrrandi paremal poolel on 0. Peame meeles, et üleviidava liikme märk muutub vastupidiseks. Saame võrrandi x2 + 9x + 14 = 0. Lahenda see võrrand. Näide 14
685 760 (bit) Vastus: Kogu andmetele edastav aeg = 685 760 (bit) / 9600 (bit/s) 71,43 (s) 4 Telefonis kuluv võimsus Lähteülesanne: IEEE 802.11 liidese (WiFi) ülekandekiirus on 54 Mbit/s, kanali ribalaius on 20 MHz. Signaali võimsus vastuvõtja sisendis on 0dBm, kui suur on müra võimsus? Lahenduskäik: R edastuskiirus = 54 Mbit/s W - sagedusriba laius = 20 MHz S signaali võimsus = 0dBm Teisendus R = W log2 (1+S/N) -> log2 (1+S/N) = R/W (järgnevalt teisendame normaalkujule) -> 2R/W = 1 + S / N -> 2R/W 1 = S / N (jagan S-ga) -> (2R/W 1) / S = 1 / N (astmes -1) -> N = S / (2R/W 1) Vastus: Kuna signaali võimsus vastuvõtja sisendis on 0 ehk sämple on 0, siis on ka müra koheselt 0, sest 0 jagatud mingi arvuga on alati 0. 5 Diskreetimine Lähteülesanne: IP telefoniga üle kantava kõne maksimaalne sagedus on 3,4 kHz. Vähemalt millise sagedusega peab kõnesignaali digitaliseerimisel diskreetima?
lahenduste loomisega. Füüsiline disain optimeerib / häälestab loogilise disaini lahendusi konkreetsete "füüsiliste" keskkondade jaoks. Andmete osas tähendab loogiline disain andmemudeli valimist. Antud kursuses käsitletakse relatsiooniliste andmebaaside projekteerimist. See tähendab loogilises disainis kõigepealt relatsioonilise andmemudeli sissetoomist ning andmestruktuuride viimist vähemalt kolmandale normaalkujule. Andmemudelisse ei tohi jääda mitu-mitmele suhteid, mis analüüsi mudelis on lubatud. Erinevalt analüüsietapil koostatud kontseptuaalmudelist nähakse nüüd iga andmeobjekti (olemi) taga konkreetset (relatsioonilist) andmetabelit. Seepärast nimetame andmemudelit nüüd (loogiliseks) andmebaasiskeemiks. Kirjeldatakse kõik andmeväljad, määratakse (standardsed, mitte konkreetse tarkvaraga seotud) andmetüübid ning väljapikkused.
ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav,
= A ( C A ) ( A B C ) = T Hulgaavaldis teisendatakse hulgaalgebra põhiseoste ja hulgatehete asendusseoste abil lihtsamale / lühemale, kuid esialgsega samaväärsele kujule. = A C ( A B C ) = Teisenduse eesmärgiks võib olla hulgaavaldise viimine Cantori normaalkujule. ( DNK ja KNK analoogid hulgaavaldiste jaoks ) = A C k a |______________________________________________________________________________| i
Nende leidmise algoritmid. Def 7. Lvalemi F täielikuks TDNK nim valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike EKD 3 Valemi F TKNK nim valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike EDK. Kui valem F ei ole samaselt väär, siis tal leidub TDNK. Kui valem F ei ole samaselt tõene, siis tal leidub TKNK (Teoreem 5+Järeldus 1) 4 Täielikule disjunktiivsele normaalkujule viimise algoritmi sammud 1) Elimineerida valemist implikatsioonid ja ekvivalentsid. 2) Viia eitused vahetult lausemuutujate ette, jätta ära kahekordsed eitused. 3) Viia konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale. 4) Jätta ära samaselt väärad ja korduvad liikmed ning liikmetest korduvad literaalid. 5) Lisada liikmetele puuduvad lausemuutujad ning viia uuesti konjunktsioonid
lahend 2 V=6 -6-12=18 arv 6 ei ole lahend 2 V=1 -1-12=-12 arv 1 ei ole lahend 2 V=4 -4-12=0 arv 4 on lahend 12.Ruutvõrrandi teisendamine Ül.1327 normaalkujule - sulgude avamise ja 2v(v-5)=0 2 liikmete ümbertõstmise, koondamisega 2v -10v=0 a=2 b=-10 c=0 tekitada kuju, kus vasakul poolel on 2 2 esimesel kohal positiivse kordajaga (u+1) -2u =3 2 2 ruutliige, teisel kohal lineaarliige, u +2u+1-2u -3=0
X3 X4 7 9. Realiseerida (punktis 3) MDNK- na saadud loogikafunktsioon lihtsaima loogikaskeemina kahe sisendiga loogikaelementidel (OR- NOT). Näidata ära ka skeemi koostamisele eelnev MDNK üleviimine kujule VÕI- EI ja sisendite piiratud arvu (2) arvestamine. MDNK on: f = X1' X3' v X1' X4' v X2 X3' Selleks, et esitada see funktsioon baasis VÕI- EI: {V'}, tuleb antud funktsiooni viia teisele normaalkujule ehk KNK- le. Kuna funktsioon oli antud DNK- na, siis tuleb esimese sammuna leida tema KNK. Konjunktiivne normaalkuju tuleneb teatavasti funktsiooni 0- de piirkonnast. Etteantud DNK järgi saame esmalt leida vaadeldava 4- muutuja funktsiooni 1- de piirkonna, mis on otstarbekas paigutada otse Karnaugh' kaardile. Pärast seda minnes 1- de piirkonnalt üle 0-de piirkonnale, saame funktsioonile MKNK: Y X3 X4 00 01 11 10 00 1 1 1
Joonis 4.3 Põhivõrrand avaldub siin kujul m x = Fx kus Fx = -R Takistusjõud R on võrdeline kiiruse kuubiga ja võrdetegur on km, seetõttu R = k mv 3 Kokkuvõttes võtab põhivõrrand kuju m x =-k mv 3 (4.33) Kui see diferentsiaalvõrrand viia normaalkujule, siis see sisaldab kiiruse v kolmandat astet. Selliseid võrrandeid lahendite tabelis (4.12) ei ole ja seega tuleb see ise ära lahendada. Kõigepealt paneme tähele ülesande teksti põhjal, et siin on vaja siduda kiiruse v ajaga t, seetõttu asendus (4.14) ehk (4.30) siin ei kõlba. See ülesanne lahendub aga üpris lihtsalt ja nimelt -- kuna sirgjoonelisel juhul dv x = v =
-2)) nr väljundisse V:5 3*1 3 P:++ 12. 2)) operaator pinusse V:5 3*1 3 P:-++ ( - on esimene kuna ta on kõige pealmine) 13. )) nr väljundisse V:5 3*1 3 2 P:-++ ( - on esimene kuna ta on kõige pealmine) 14. ) operaator pinust välja ja väljundisse V:5 3*1 3 2 - P:++ 15. operaator pinust välja ja väljundisse V:5 3*1 3 2 -+ P:+ 16. Pinu tühjaks õiges järjekorras. operaator pinust välja ja väljundisse V:5 3*1 3 2 -++ P:Tühi N: 53*132-++ Postfix kujult -> Normaalkujule 1. Pistad kõik pinusse alustades paremalt, ehk pinu kõige alla jääb + ja kõige peale 5. 2. Võtad numbrid välja kuni operandini e. väljas on 5 3 ja pinus on *132-++ 3. Operant Läheb nüüd kahe arvu vahele e. väljas on 5*3 ja piinus on 132-++ 4. Numbrid välja 5*3 1 3 2 pinus on -++ 5.Operant paika (5*3) 1 (3-2) pinus on ++ 6.Operant paika (5*3) 1+(3-2) pinus on + 7.Operant paika (5*3)+(1+(3-2)) pinu on tühi 7. Järjekord. Omadused
pooles) Iga KV grammatika evib Chomsky normaalkuju. Chomsky normaalkuju korral on sõna tuletuspuuks kahendpuu. Greibachi normaalkuju: -vaba KV grammatika on Graibachi normaakujul, kui kõik produktsioonid (va S ) on kujul A a, kus a on terminaal ja on mitteterminaal Mitteterminaali nimetatakse rekursiivseks, kui A =>+ A. Kui = , siis vasakrekursiivne. Iga KV keel on genereeritav mitte-vasakrekursiivse grammatikaga. Teisendamine Greibachi normaalkujule: · Vasakrekursiooni elimineerimine (redutseeritud grammatika sisendiks) · Grammatika viimine greibachi normaalkujule Näide: · Seame sisse mitteterminaalide järjestus nii, et järjestuses vasakul paiknevad oleksid ka produktsioonides pigem vasakul · Hakkan järjestuse vasakult vaatama produktsioone, mis evivad antud mitteterminaali vasakus pooles o kui selles produktsioonis pole vastuolusid mitteterminaalide järjestusega, jäävad
Andmebaaside kodutöö 3 Reddit 1. Inimesed saavad teha endale kasutaja ja meelelahutus eesmärgil postitada erinevaid tekste, pilte, videoid jms. Teised saavad neid kommenteerida, upvoteda ja downvoteda. 2. User Kasutaja tabel, kus asuvad kasutajale vajalikud andmed nagu pildil näha. Post Postituse tabel, kus asuvad postituse jaoks vajalikud andmed. PostMedia Postituse media tabel, kus asuvad postituse meedia kirjeldamiseks vajalikud andmed. MediaType Meediatüübi tabel, kus asuvad meediatüübi id ja nimi. Comment Kommentaari tabel, kus asuvad postituse jaoks vajalikud andmed. Upvote Upvote'i tabel, kus asuvad upvotemiseks vajalikud andmed. Downvote Downvote'i tabel, kus asuvad downvotemiseks vajalikud andmed. 3. Tabelis olevate kirjete kogused: a. User 300 kirjet b. Post 600 kirjet c. Comment 1000 kirjet d. Upvote 900 kirjet e. Downvote 200 kirjet f...
7. Ülesande lahendamise üldine käik on nüüd selline: a) teeme joonise ja kanna- J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 17 me sellele kõik mõjuvad jõud; b) leiame jõudude projektsioonide summa x- teljele (vajaduse korral ka y- ja z-teljele); c) asendame need projektsioonide summad võrrandi(te)sse (4.2); d) teisendame saadud diferentsiaalvõrrandeid ja viime need normaalkujule (lahendite (4.12) kasutamise mõttes); e) vaatame kas saadud diferentsiaalvõrrand esineb lahendite tabelis; f1) kui on: siis kirjutame lahendite tabelist kohe välja üldlahendi ja leiame integreerimiskonstandid alg- tingimuste põhjal; f2) kui ei ole: siis on tegemist hoopis kolmanda klassi ülesandega, kus diferentsiaalvõrrand tuleb ise lahendada. 3. grupp Siia kuuluvad ülesanded, kus jõud oleneb asukohast või (ja) kiirusest ning lahen-
37. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Minimaalne Cantori normaalkuju on vähima keerukusega
ehk vähima hulgatähistega Cantori normaalkuju.
38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või
ühendite ühisosa, kus igas tehtes osalevad kõik avaldises leiduvad hulgad.
39. Kuidas teisendatakse mittetäielik Cantori normaalkuju täielikuks? Mittetäieliku Cantori normaalkuju
teisendamiseks täielikule Cantori normaalkujule saab puudulikke hulki lisada kleepimisseadusega.
40. Mis on hulkade ristkorrutis? Hulkade ristkorrutis on hulga elementide järjestatud paaride hulk, kus
paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari viimane element on viimaseks
teguriks olevast hulgast.
41. Kuidas esitatakse järjestatud paari?
T: teeme palindroome (aiassadassaia) aktsepteeriva automaadi, kogu olekute loogika on asendatud magasini panemise ja sealt võtmise loogikaga. Teoreem: Ühe olekuga pinuautomaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L(M)=L(G). DEF: KV grammatika on Greibachi normaalkujul, kui tema produktsioonid on kujul A→aA1A2…An või A→a (muu on tühi sõne) või kujul S → ε, kui keelde L (G) peab kuuluma ka tühi sõne. Iga KV grammatika on teisendatav Greibachi normaalkujule. T: 1) grammatika peab olema Chomsky nk-l. 2) mitteterminaalid nimetatakse ümber A1-ks, A2-ks jne. 3) produktsioonid asendatakse kujule aA1A2A3… Regulaarsete keelte hulk on KV keelte pärisosahulk. Vaatame kasvõi pumpamise lemmasid: uvjw on lihtsalt uvjwxjy erijuht ehk uvjwjxjy= u(vwx)jy. 13 Taandatud KV grammatikad. Iga KV keele jaoks leidub teda genereeriv taandatud KV grammatika: 1) ε-vaba (puuduvad tühja parema poolega produktsioonid, v
Sellel f-nil võib olla kordajates ainult x'i f-n: y'+F(x)y=Q(x) (L). Kui selle võrrandi parem pool võrdne 0-ga siis ta on hom lin dif võrrand, kui ei ole siis on mittehom lin dif võrr. *Lahendamine=>Bernoulli meetod: tähistades otsitava f-ni 2 f-ni korrutisena y=uv, u=u(x) v=v(x), arv y'=u'v+uv', as (L) u'v+uv'+P(x)uv=Q(x)=> v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x); I abiül u'+P(x)u=0 Kui avaldis, mis sisaldab tuletist on I järku DV oleme saanud u määramiseks hom lin dv: u'=-P(x)u (võime minna normaalkujule) ja (HL) on (E) alati; asendada u tuletis dif suhetena e välja kirj see võrrand, kus dif-d on juba sees: u'=du/dx-> du/dx=-P(x)u |du/u => du/u= du -P(x)dx (E); Integreerida u = - P ( x ) dx (NB C=0) => lnu = -P ( x ) dx ; -P ( x ) dx -P ( x ) dx u=e ; II abiül uv'=Q(x)=> e v'=Q(x)-> v'=Q(x) e
sisaldab võimalust, et ta võib osutuda info täpsustamise käigus piiritletuks. On viis võimalikku varianti suhte S ja P mahtude vahel. Kõiki variante katab kaks otsustepaari: A;O ja I;E. Kõik S on P / Mõned S ei ole P / Mõned S on P < / > Ükski S ei ole P ÜLESANDEID: 3.1. Viige väited normaalkujule, leidke terminite mahud: Mitte kõik tema vastused ei olnud valed. Inimesed on surelikud. Osa inimesi on töötud. Kõik ei ole kuld, mis hiilgab. Kõik on hea, mis hästi lõpeb. Keegi pole patuta. Ainult ausad on lugupeetavad. Ainult sõbrad võivad reeta. Kõigil siinviibijail ei ole sinised silmad. 13_fl_i-v Ühemateeria kategoorilised väited on ühe ja sama subjektiga ning ühe ja sama
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C) näide: A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C) ____________ __ neeldumine: Teisendada hulgaavaldis (A ∆ B ) C Cantori normaalkujule. ____________ ________________________ A ∩(A ∪B) = A A ∪(A ∩B) = A __ __ __ __ _ _ (A ∆ B ) C = (A B ) ∪ ( B A ) ∩ C = A∩(A∪B) = A∩B A∪(A∩B) = A∪B ___________________________
c) (X Y ) Z X (Y Z) 4) a) (X Y ) Z X Z Y Z b) X Y Z (X Z) (Y Z) 5) a) X X X b) X X X 6) a) X t X b) X v v c) X t t d) X v X 7) a) ¬(X Y ) ¬X ¬Y b) ¬(X Y ) ¬X ¬Y 8) a) X Y ¬Y ¬X b) X Y ¬X Y c) X Y ¬(X ¬Y ) 9) a) X Y ¬(X ¬Y ) b) X Y ¬X Y 10) a) X Y (X Y ) (Y X) b) X Y X Y ¬X ¬Y Täielikule disjunktiivsele normaalkujule teisendamine. 1. Asenda implikatsioonid ja ekvivalentsid samaväärsete valemitega 8b), 10b) 2. Vii eitused vahetult muutujate ette 7a), 7b), 1) 3. Vii konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale 4a) 4. Eemalda samaselt väärad ja võrdsed lihtkonjunktsioonid X ¬X v, 6d), 5b) 5. Tee lihtkonjunktsioonid täielikeks K K t K (X ¬X) K X K ¬X 4. LOENG Hulga mõiste ja osahulk
Nt lause „Matemaatikaõpetaja saab 1. tunni” tähiseks on M1. Kolm tingimust peavad olema korraga täidetud: väited M1 ∨ M2 , A1 ∨ A3 ja K2 ∨ K3 peavad olema korraga tõesed, st nende konjunktsioon peab olema tõene. Väidetesüsteem {M1 ∨ M2 ; A1 ∨ A3 ; K2 ∨ K3} koos lisatingimusega ei tohi olla vastuolu, ning me otsime juhtumeid, mis tõestavad uuritava väidetesüsteemi kooskõlalisust arvestades ka lisatingimust. Viime valemi disjunktiivsele normaalkujule, kasutades distributiivsust: (M1 ∨ M2) & (A1 ∨ A3) & (K2 ∨ K3) ≡ M1 & A1 & K2 ∨ M1 & A1 & K3 ∨ M1 & A3 & K2 ∨ M1 & A3 & K3 ∨ M2 & A1 & K2 ∨ M2 & A1 & K3 ∨ M2 & A3 & K2 ∨ M2 & A3 & K3 ≡ M1 & A3 & K2 ∨ M2 & A1 & K3. Konjunkte on võimalik ühekaupa analüüsida, kasutades ülesande lisatingimust. Need konjunktid, mis on samaselt väärad või lähevad vastuollu ülesande tingimustega, on väärad ega muuda kogu disjunktsiooni tõeväärtust (vt taandamise reegel 15)
Nt lause ,,Matemaatikaõpetaja saab 1. tunni" tähiseks on M1. Kolm tingimust peavad olema korraga täidetud: väited M1 M2 , A1 A3 ja K2 K3 peavad olema korraga tõesed, st nende konjunktsioon peab olema tõene. Väidetesüsteem {M1 M2 ; A1 A3 ; K2 K3} koos lisatingimusega ei tohi olla vastuolu, ning me otsime juhtumeid, mis tõestavad uuritava väidetesüsteemi kooskõlalisust arvestades ka lisatingimust. Viime valemi disjunktiivsele normaalkujule, kasutades distributiivsust: (M1 M2) & (A1 A3) & (K2 K3) M1 & A1 & K2 M1 & A1 & K3 M1 & A3 & K2 M1 & A3 & K3 M2 & A1 & K2 M2 & A1 & K3 M2 & A3 & K2 M2 & A3 & K3 M1 & A3 & K2 M2 & A1 & K3. Konjunkte on võimalik ühekaupa analüüsida, kasutades ülesande lisatingimust. Need konjunktid, mis on samaselt väärad või lähevad vastuollu ülesande tingimustega, on väärad ega muuda kogu disjunktsiooni tõeväärtust (vt taandamise reegel 15). Jääb kaks konjunkti,
annaabi.ee 
