Navigatsioon Riigieksami küsimuste vastused 2005 EMA (0)

Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
 
1.  Põhilised punktid ja jooned Maa pinnal. 
 
Maakera kujutab endast pooluste suunas veidi lapikut kera või pöördellipsoidi. 
Tegelikult on maakera korrapäratu geomeetriline keha, mida nimetatakse ka 
gedoid´iks. 
 
Suur pooltelg  = 6 378,24 km 
Väike pooltelg = 6 356,86 km 
Maakera keskmine raadius on 6 371,1 km 
 
Maakera telg  – Maa keset läbiv mõtteline telg, mille ümber ta pöörleb. 
Maa geograafilised poolused – punktid, kus Maakera telg lõikab Maa pinda. 
Meridiaanid – pooluseid läbivad suurringi kaared. 
Ekvaator  – Maakera  teljega ristuv ja maakera keskpunkti  läbiva tasandi ning Maa pinna 
lõikejoon. 
Paralleel –  ekvaatori  rööptasandi ja Maa pinna lõikejoon. 
Tõelise  meridiaani  tasand – püsttasand, mis läbib vaatleja silma ja maakera telge. 
Vaatleja meridiaan – tõelise meridiaani tasandi ja Maa pinna lõike jälg. 
Tõelise horisondi tasand – Vaatleja silma läbiv rõhttasand. 
Esimese vertikaali tasand – tõelise meridiaani  risttasand . 
 
Tõelise meridiaani ja tõelise horisondi tasapindade lõikejoon näitab ükskõik millises maakera 
punktis põhja – lõuna suunda. Tõelise meridiaani risttasandi ja tõelise horisondi  tasapinna  
lõikejoon määrab igas maakera punktis ida – lääne suuna. Horisondi jaotusel on aluseks võetud 
N – S joone suund, mida loetakse põhisuunaks. 
 
Horisondi  jagamise  süsteemid 
1) täisringsüsteem –  jagab  horisondi 360 kraadiks. Loetakse päripäeva 0-360. Kasutatakse 
kõigil põhilistel kaasaegsetel navigatsiooniriistadel ja kaartidel; 
2) poolringsüsteem – loetakse Nordist või Süüdist ida poole või lääne poole 180 kraadini. 
Kasutatakse meresõidu astronoomias; 
3) veerandringi süsteem – loetakse Nordist või Süüdist ida poole või lääne poole 90 
kraadini. Kasutatakse meresõidu astronoomias; 
4) rombisüsteem – jagab horisondi 32-ks rumbiks. 
1 rumb = 360 / 32 = 11,25 kraadi 
Pearumbid:  
N = 0 
 
 
 
S = 180,0 
 
 
 
E = 90,0 
 
 
 
W = 270,0 
Veerandrumbid: 
NE = 45,0 
 
 
 
SE = 135,0 
 
 
 
SW = 225,0 
 
 
 
NW = 315,0 
 
Rumbisüsteemi  kaasajal  kasutatakse tuule ja hoovuste suundade määramisel ja prognoosides 
kusjuures tuul puhub “kompassi sisse” –  hoovus liigub “kompassist välja”. 
 
1 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
2.  Pikkuste ja laiuste vahe. 
 
Igat  punkti maakeral võib määrata geograafiliste koordinaatidega. See on  laiuse  (fii) ja 
pikkuse (lambda) kaudu. 
Geograafiline laius – nurk ellipsoidi pinna  ristsirge  ja ekvaatori tasandi vahel. Loetakse 
ekvaatorist põhja või lõuna poole 0-90 kraadini. N on “+“ ja S on “-“ 
Geograafiline pikkus –  kahetahuline nurk algmeridiaani ja asukoha meridiaani tasandi 
vahel. Loetakse algmeridiaanist ida või lääne poole 0 - 180 kraadini. E on “+“ ja W on “-“ 
 
Mööda Maa sferoidi pinda liikuva laeva asukoht määratakse kolme parameetriga: laius, 
pikkus ja aeg. 
 
 
 
Kahe pikkuse laiuse vaheks (LsV) nimetatakse nende 
punktide paralleelide vahelist meridiaani kaart. 
LsV = Ls2 – Ls1  (0° - 90° N või S) 
 
 
 
 
 
 
 
Kahe punkti pikkuste vaheks (PsV) nimetatakse 
nende punktide meridiaanide vahelist lühimat 
ekvaatori kaart. 
PsV = Ps2 – Ps1  (0° - 180° E või W) 
 
 
 
Laiuste vahe ja pikkuste vahe mõiste võimaldab lahendada meresõidus mitmeid ülesandeid. 
Kui on teada laiuste vahe ja pikkuste vahe ning laeva algkoordinaadid, saab võlja arvutada 
lõpp- punkti koordinaadid või vastupidi. 
 
 
 
Näited: 
1.  Arvutada laiuste ja pikkuste vahed , 
2.  Arvutada lõpp- punkti koordinaadid, 
kui: 
kui: 
 
 
Ls1= 35°34´ N;   Ps1= 007°12´ W 
Ls1=  23°47´2 S;  Ps1=  165°12´7 W 
Ls2= 14°45´ N;   Ps2= 003°23´ E 
LsV= 12°21´7 S;  PsV= 101°53´3 W 
Lahendus: 
 
Ls2= 14°45´ N           Ps2= 003°23´ E 
Lahendus: 
- Ls1= 35°34´ N       -  Ps1= 007°12´ W 
Ls1=  23°47´2 S     Ps1=  165°12´7 W 
  LsV=20°49´ S            PsV=010°35´ E 
        +LsV= 12°21´7 S   +PsV= 101°53´3 W 
 
Ls2=  36°08´9 S      Ps2=  267°06´0 W
 
2 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
3.  Laeva kiiruse ja läbitud vahemaa  määramine. Logiõiend.  
 
Laeva poolt läbitud tee ja laeva kiiruse mõõtmiseks kasutatakse  logi . Meresõidus kasutatakse: 
käsilogi, sektorlogi, mehaaniline  logi, hüdrodünaamiline logi, elektromehaaniline logi, 
elektromagnetiline logi, induktsioonlogi ja dopplerlogi. Sektor-, mehaaniline- ja elektromehaaniline 
logi mõõdavad laeva poolt läbitud teed, ülejäänud aga kiirust. Nagu iga teine mõõteriist, nii ka logid 
näitavad kiirust või läbitud teed teatud veaga, mida nim. logiõiendiks (Δlg). See määratakse laeva poolt 
kaardi järgi ja loginäitude järgi läbitud vahemaa võrdlemisel, väljendatakse protsentides 
kümnendikprotsendi täpsusega: 
 
s  LNV 
 lg 
100  
LNV
,kus s on kaardi järgi läbitud vahemaa, LNV on loginäitude vahe. Logiõiend on negatiivne, kui logi 
näitab rohkem tõeliselt läbitud teest ja positiivne, kui näitab vähem. Logitegur arvutatakse valemiga: 
 
Klg = s / LNV 
 
Logiõiendit saab määrata: 
a)  proovisõit mõõda mõõduliini 
b)  loginäitude vahe võrdlemine tõeliselt läbitud teega , mis on kindlaks tehtud kohamääramise abil. 
Mõõduliinid on proovisõitude jaoks rajatud kohad, kus on pealiitsihit ja rida ristliitsihte läbitud 
vahemaa  määramiseks . Mõõduliinid rajatakse tuule ja lainetuse eest varjatud paraja sügavusega (min. 
6* laeva süvis) kohta, kus peaks puuduma ka hoovused . 
Logiõiend tuleks määrata erinevatel kiirustel erinevalt  koormatud laevale. Kindla režiimi jaoks tuleks 
hoovuse puudumisel mõõduliin läbida kaks korda, võimaliku hoovuse  ellimineerimiseks läbitakse 
mõõduliin kahes  erinevas  suunas. 
Laev sõidab kiirusega Vo, hoovuse 
kiirus on Vh ja hoovuse nurk on q ja 
läbib vahemaa  ajaga  T (t2 – t1). 
Joonisel  näidatud  suunas mõõduliini 
läbitud teepikkus koosneb kahest 
liidetavast: 
 
s  k LNV T v cos q     ja 
lg
1 h
vastassuunas  
 
  s  k LNV T v cos q  
lg
2 h
Peab märkima, et logijärgi läbitud 
teepikkused on erinevad, sest logi  arvestab kiirust veesuhtes (hoovust ei arvesta). Elimineerides 
valemitest hoovuse, saame: 
s T T
1
2 
sT T  k
LNVT  LNV T kust leiame:   k 
 
1
2 
lg 
1 2
2 1 
lg
LNVT  LNV T
1 2
2 1 
 
 lg

s T  T

1
2 
Arvestades, et      k  1 
      saame:   lg  
1100  
lg
100
LNV T  LNV T
1 2
2 1 

 
3 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
4.  Tuletada Maa ellipsoidi meridiaani raadiuse valem. 
  
 
 
dx
dx
Jooniselt saame   Md  
 ,siit avaldades  M  
 
sin
d sin
Loeme koordinaatide alguse Maa keskpunktis olevaks ja kirjutame ellipsi võrrandi kanoonilisel kujul: 
2
2
x
y
2


2xdx
2 ydy
dy
b x
1    Diferentseerides saame   

 0    ,ning   

 
2
2
a
b
2
2
a
b
2
dx
a y
dy
2
b x
2
b x
Jooniselt     
 cot     ,millest     cot 
    ,siit    y 
tan  
dx
2
a y
2
a
2
2
2
2
x
x b tan 
2
2
a  b
Asendame saadud y ellipsi võrrandis  

1  ,arvestades, et 
2
 e   
2
4
a
a
2
a
 
2
x 
2
1 e
x
 2
2
tan 
2
a
2
2
b  a 
2
1 e  ,            

1  ,                   
2
2
1 (1 e ) tan    
2
2
a
a
2
x


 e
e


 e

1 1 e 
2
1

2
2
1 cos
1
1

2
2
1
sin
2
2
1
 11 e 





 
2
2
2
2
2

cos  
cos 
cos 
cos 
cos 
2
2
a cos 

2
a cos
x 
x 
 
2
2
1
           
e sin 
2
2
1 e sin 
Määramaks meridiaani raadiust M, leiame x-i tuletise   järgi 
asin 
2
1 e
dx


 
d
1e sin 3
2
2
2
Siit saame asenduse eespool  väljakirjutatud meridiaani võrrandisse ja saame 
a sin  
2
1 e 
a 
2
1 e 
M 

,  mis on Maa ellipsoidi meridiaani raadiuse valem. 
1e sin 3 sin 1e sin 3
2
2
2
2
2
2
5.  Tuletada näiva horisondi kauguse arvutamise valem. 
 
 
4 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
Vaatleja silma läbivat loodjoont risttasandil nimetatakse tõelise horisondi tasandiks. Selline 
tasapind on üksnes kujutuslik. Tegelikkuses asub vaatleja mingisugusel kõrgusel merepinnast 
ning avamerel näeb vee pinda, mida ümbritseb ringjoon AA’. Seda ringjoont nimetatakse 
näivaks horisondiks. 
B 
 
e  
- 
 silma kõrgus merepinnast 
e 
R 
-  
maakera raadius 
C 
De   
-  
näiva horisondi kaugus 
De 
A’ 
A 
 
R 
Kuna e on suhtes Maaga küllaldaselt väike võime 
 
kaare De lugeda võrdseks sirge AB-ga 
R 
Edasi avaldame kolmnurgast ABO külje AB 
 
Phytagorase teoreemi abil. 

D  AB
e
O 
D2  R2  R  e2
e
 
D2  e2  e
2 R R2  R2
e
D2  e2  e
2 R
e
 
 
2
2
 e

e
2
D  R
 2e s 
  iin o
  n s
  uh  
e
p
  iisavaltv äike e
 , t  võ l
 
ib ugeda võrdsek n
 s ulliga
e


R
R


2
e
Ku   
i

s
 
  
0
i  
is      2
D  2
  
Re ja s
   aame, e
   t   D 
2 Re  .
R
e
e
 
Arvest ade r
 s efrakt s o
io nik
  eskmisek  v
s äärt usek 1
 
s ,
s
 
09 aam   
e D  09
1
2 Re
e
Väljendama
n
 
ks äivah
  orisond k
 i august m
  eremiili e
d s  ,t uleba
  rvest ada
m
 
ka
 
aa r
  aadiust m
  iilides,
3
R= 437,  
75
 
nm ja jagade  
s vaat lej s
 a ilma k
  õrgus 1
 
e 852 m e
 
, t  võrranis
d se s
  isest ada s
  ee m
  eet rit es
e
D  09
1
2  343775
 1
2
e
n
 
  
iisi   
is D 
1
2
e 
e
1852
e
6.  Tuletada kartograafilise projektsiooni  moonutuse ellipsi valem. 
 
Kujutagu punkt e maakera punkti E projektsiooni kaardil. Kujutame punkti E ümber lõpmatult 
väikese  raadiusega  r0 ringi, mille sees asuvad geograafilise paralleeli lõik PP1 ja meridiaani 
lõik MM1. Et lõigud PP1 ja MM1 on lõpmatult väikesed, on ka nende projektsioonid pp1 ja 
mm1 kaardil sirgjooned. Nendevaheline nurk erineb üldjuhul täisnurgast. Seepärast muutuvad 
Maa pinnal asuva punkti F ristkoordinaadid X0 ja Y0  projektsioonil punkti f  kaldnurkseteks 
koordinaatideks x ja y. Tuntud koordinaatide väärtused võimaldavad määrata meridiaani ja 
paralleeli kaardimõõdu, vastavalt m ja p, kus p on paralleeli kaardimõõt ja m on meridiaani 
M 
m 
X0 
F 
c 
t 
x 
f 
r0 
Y0 
y 
P 
P
p 
p1 
E 
1 
e 
 
5 
s 
d 
m1 
M1 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
kaardimõõt. 
 
x
y
p 
m
      
P
     unkt E
 i ü
   mber  k
  ujundatudr
  ingjoon  v
e õrrando
   n  X2
 
 Y2  r2
X
Y
0
0
0
0
0
x 2
y 2
x 2
y 2
T eem a
 e sendused k
  aardimõõ u
d võrran t
diest ,

 r2 e
   
hk 

 1
2
2
0
p
m
p 2r 2
m 2r 2
 
0
0
Saime  e
  llips  ivõrrandim
 , illek
  aaspooltlj
e ed
pp
on 
 
 ja m
  m    
1
1
pp
m m
pr
1

 e p   ja m
   r
1

 e m
0
2
0
2
Seega kera pinnal kujutatud lõpmatult väikese raadiusega ring projekteerub  tasandile  lõpmatult 
väikese ellipsina. Lõplike mõõtmetega ellips, mis saadakse lõpmatult väikese ringi 
projekteerimisel tasapinnale, kannab  moonutuste ellipsi nime. On ilmne, et moonutused on 
suurimad ellipsi suure pooltelje „et“ suunas ja vähimad väikese pooltelje „ed“ suunas. 
 
6 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
7.  Tuletada loksodroomi valem. 
 
Laev alustab sõitu punktist A kursiga K ning sõidab kurssi muutmata. Sel juhul on selle laeva 
liikumise tee võrrandi tuletamiseks vaatleme lõpmatult võikest kolmnurka cdf, mida tema väiksuse tõttu 
võib lugeda tasapinnaks. 
 
Selles kolmnurgas: 
df = Δφ 
cf = Δλ*cosφ 
 
Nende kahe külje suhe on nurga 90° - K  tangens . 

tan(90  K )  
 
cos


Avaldame valemist  pikkuste vahe Δλ:             tan K
 
cos
 
d
Üle minnes diferentsiaalidele saame:       d  tan K
 
cos



0
0
d
0
d
Integreerime avaldise    
d  tan K


 ,  ning saame      tan K 
 
cos
0



cos

Võrrandi paremal poolel on tabeli  integraal , seega võime kirjutada: 
 

 

 
0
 


 tan K ln tan 45 
 ln tan 45 
 
0







2 

2 
 
Sellele võrrandile vastavat kõverat Maa pinnal nimetatakse loksodroomiks.  
Kui K = 0° või 180° on  λ0 – λ = 0 , laeva liikumistee  ühtib meridiaaniga, mis teatavasti on suurringi 
kaar. 
Kui K = 90° või 270° on  tanK  = ∞ , laeva liikumisteeks on paralleel ehk väike ring. 
Loksodroom lõikab iga paralleeli ainult üks kord, aga meridiaani palju kordi , lähenedes iga korraga 
poolusele. Võib öelda, et loksodroom on logaritmiline spiraal, mis assümptootiliselt läheneb poolustele . 
 
7 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
8.  Tuletada Mercatori kaardi paralleeli kaardimõõdu valem. 
 
  
 
Maa pinnal asuva punkti A projektsioon silindrilisel ristprojektsioonil a. Punkti A lõpmatult väike 
nihe paralleeli punkti B kutsub esile projektsioonil punkti a nihke punkti b. Seega kaardimõõt piki 
paralleeli väljendub suhtega: 
ab
p 
   ,milles  ab  a 
     ja     AB  r  
AB
,kus r on paralleeli raadius ja a on ekvaatori ellipsi suure pooltelje pikkus. Tehes valemisse vastavad 
a
asendused, saame  p 
 .  
r
a cos
Võttes paralleeli raadiuse valemi      r 
  ja asendades selle, saame  
1e sin 1
2
2
2
 
a 1 e sin 1
1e sin 1
2
2
2
2
2
2
p 

 1e sin 1
2
2
2 sec  
a cos
cos
Valemist on näha, et kõik paralleelid silindrilisel ristprojektsioonil venitatakse ekvaatori  pikkuses ehk 
pikenevad     e
1
2
2
2
1
sin
sec   korda. 
 
8 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
9.  Tuletada meridionaalosade valem. 
 
NB! Punktis 8 tuletatu jätk!!! 
 
Vaatleme punkti A elementaarset nihet Maa pinnal piki meridiaani punkti C, siis  AC  M 
 , kus M 
meridiaanellipsi raadius. Punkti A nihkele Maa pinnal punkti C vastab projektsioonil punkti a nihe punkti 
D
c. Tähistame  ac  D , siis kaardimõõt m piki meridiaani avaldub suhtega  m 
 
M 
Kuna projektsioon peab olema võrdnurkne, siis p=m. Tehes asendused, saame 



dD
e
1
D
2
2
2
1
sin
sec 
 e

 
 
M 
 . Asendame muudud diferentsiaalidega  
1
2
2
2
1
sin
sec
Md

a 
2
1 e  d

d
   dD  M   e
1
2
2
2
1
sin
   ja asendades M-i, saame  dD 
 
cos
 2 2
1 e sin  cos
Selleks, et leida paralleeli kaugus D ekvaatorist, peame integreerima diferentsiaalvõrrandi vasaku poole 
rajades D ja 0 ning parema poole rajades φ ja 0. 
D

a 
2
1 e  d

a 
2
1 e  d
dD 

 
   ja saame   D  
 
2
2
1 e sin  cos
 2 2
1 e sin  cos
0

0
0

Parempoolne integraal jaguneb kaheks integraaliks  järgmiselt: 


2
2
 ad 
ae cos d
D 


 
 ,milles esimene integraal on tabeli integraal, teises integraalis  teeme 
2
2
 cos 
1 e sin 
0
0
asenduse  e sin  sin   , siis   e cosd  sin  d   ja  
2
2
1 e sin   cos   


ad
aed 

 

 
Seega  D 



 ja seda integreerides D  a ln tan 45 
 a ln tan 45 



  
cos
cos 

2 

2 
0
0
Selleks, et projektsioon oleks võrdne, peab paralleel projektsioonil asuma ekvaatorist kaugusel D. Seda 
kaugust nimetatakse paralleeli meridionaalosaks. Meridionaalosa on paralleeli kaugus ekvaatorist 
minutites. Saab teha asendused: 
e

  1sin 
2

  1 esin 
tan 45 



 ja  sin   e sin , siis  D  a ln tan 45 


 



2  1 sin 

2  1 esin 
Väljendatuna ekvaatori minutites a=3437,7468 minutit. Kümnendlogaritmidele üleminekuks kasutame 
moodulit 0,434294, siis meridionaalosade arvutamiseks saame valemi: 
e 2

  1 esin 
D  7915, 7133ln tan 45 

 
  

2  1 esin 
Mõõda meridiaani mõõdetud kahe paralleeli vahelist kaugust ekvaatormiilides nimetatakse 
meridionaalosade vaheks (MOV). Meridionaalosade vahe ja laiuste vahe on kaks erinevat mõistet. 
 
9 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
10.  Tuletada laeva asukoha arvutamise analüütilised valemid. 
 
Oletame, et laev väljus punktist A koordinaatidega Ls1; Ps1 , liikus kursiga K  ja läbinud tee s, saabus 
punkti B koordinaatidega Ls2 ; Ps2 . Kui on teada lähtepunkti koordinaadid, lähte- ja sihtpunkti 
koordinaatide pikkuste- ja laiuste vahed, saame leida sihtpunkti koordinaadid: Ls2=Ls1+LsV   ja   
Ps2=Ps1+PsV, kus LsV on arvutatav kursi ja läbitud tee järgi. 
Vaatleme kolmnurka abc, milles: 
ab=ds ,  so. laeva poolt läbitud tee punktist a punkti b miilides 
ac=dw ,  so. meridiaanidevaheline kaugus mööda paralleeli miilides 
bc=dφ ,  so. laiuste vahe miilides 
Kolmnurka abc võib lugeda tasapinnaliseks ja sealt saame järgmised diferentsiaalvõrrandid:  
d
dw
d
sin 90  K  
 ;  cos 90  K  
 ;   tan 90  K  
 
ds
ds
dw

d
2
s
cos K 
      
d  ds cos K


       LsV  s cos K  
ds
1
0
dw
w
s
sin K 
        dw  ds sin K


      w  s sin K  ,kus w on kaugenemine 
ds
0
0
d
cot K 
        dw  d tan K  
dw
dw
Ekvaatori ja paralleeli kaare vahelisest  suhtest :  d 
  ehk   dw  d cos   
cos


d
2
2
d
Asendame:   d tan K  d cos  , siit:  d  tan K
    
d  tan K


 
cos
cos


1
   
   
2
1
 


 tan K ln tan

 ln tan

 
1
2






 4
2 
 4
2 
Seega  LsV  s  cos K  ja  PsV  tan K  MOV  ning sihtkoha koordinaadid saab arvutada: 
    Ls  Ls  s  cos K  
2
1
    Ps  Ps  MOV  tan K  
2
1
 
10 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
11.  Tuletada rõhtnurga  gradiendi  valem 
 
Rõhtnurka võib vaadelda kahe peilingu vahena ja gradiendi leiame peilingute gradientide 
geomeetrilise vahena. 
  
 Vektorid gS ja gT on orientiiride S ja T peilingute gradiendid. 
Nende vektorite geomeetriline vahe on vektor gV, mis ongi 
otsitav rõhtnurga gradient . 
   
 Koosiinuteoreemi järgi: 
 
2
2
2
2
g 
g  g  2g g cosV  
V
S
T
S
T
 
  Asendades orientiiri peilingute gradiendid nende väärtustega: 
1
1
g 
  ja   g 
   saame: 
S
D
T
D
S
T
1
1
2 cosV
d
g 



 , kus d on vahemaa orientiiride S ja T vahel, mis mõõdetakse 
V
2
2
2
2
D
D
D D
D D
S
T
S
T
S
T
kaardilt . Rõhtnurga gradient on suunatud ringjoone keskpunkti, nurga V suurenemise suunas. 
 
12.  Tuletada kauguse ja peilingu gradiendi valemid. 
 
Peilingu gradient 
 
Oletame, et laevalt mõõdeti orientiiri T  peiling  veaga mP. Samajoone 
nihke määrame jooniselt kolmnurgast TT’L.  D  D  m , kus D on 
S
P
kaugus orientiirini 
                               mP on peilingu viga radiaanides 
Et   dU  m  , siis peilingu gradiendi  moodul  on: 
P
 
m
1
       
P
g 

 
Dm
D
p
 
 
Kauguse gradient 
 
Oletame, et  laevast  mõõdeti orientiiri T kaugus veaga md. Kui 
kauguse samajoon – ring – on kaardile kantud , siis samajoone nihe DS 
on võrdne kauguse mõõtmise veaga md ja gradiendi moodul g võrdub 
ühega. 
m
   
P
g 
1 
DmP
Gradient on suunatud orientiirist laeva poole. 
 
11 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
13.  Laeva asukoha määramine kahe rõhtnurga järgi. 
 
Kui mõõta rõhtnurk kahe orientiiri 
vahel, siis asub laev neid orientiire 
laeva asukohta läbival ringjoonel. 
Kolme orientiiri vahel kahe rõhtnurga 
mõõtmisel saadakse nurkade 
samajoonte (ringide) lõikepunktis laeva 
observeeritud asukoht. 
Et kaardile märkida laeva asukoht, 
võime kasutada protaktorit, mille 
liikuvad joonlauad pannakse vastavalt 
mõõdetud nurkadele kindlasse 
asendisse. Seejärel leitakse talle selline 
asend, et joonlaudade servad läbiksid 
vastavaid orientiirisid. Kasutada võib 
ka kalkat, millele tõmmates kolm joont 
ühest punktist ja jättes nende joonte vahele mõõdetud nurgad, asetades kalka kaardile ja nihutades seda 
seni, kuni jooned läbivad mõõdetud orientiirisid ja ongi laeva asukoht käes. 
Laeva asukoha määramine kahe rõhtnurga järgi on üks täpsemaid viise, kuna mõõtmisi teostatakse 
sekstandiga, mille mõõdetud nurkade täpsus ulatub ühe minutini ja tema viga on väga lihtne leida. 
Kasutada võib ka kompassi, mis aga ei anna nii suurt täpsust kui  sekstant . Kompassiga tuleb võtta kolm 
peilingut ja seejärel tuleb leida peilingute vahed. 
 
NB! Kahe rõhtnurga meetodi puhul esineb ka määramatuse juhtum, milleks on: 
 
α + β + B = 180°, kus B on nurk orientiire ühendavate sirgete vahel. 
 
Geomeetriliselt tähendab see seda, et mõlemad ringjooned langevad kokku ning laev ja  orientiirid  
asuvad kõik ühel ja samal ringjoonel. 
Kui on kahtlust, kas on tegemist määramatuse juhtumiga, tuleb leida ülalmainitud nurkade summa. 
Nurga B suurus määratakse kaardilt. On ka tunnused, millede puhul määramatuse juhtum on välistatud: 
- 
kõik orientiirid asuvad enamvähem ühel sirgel 
- 
orientiirid asuvad mõlemal pool laeva 
- 
keskmine orientiir  on tunduvalt lähemal kui äärmised 
 
Laeva asukoha täpsust hinnatakse valemiga: 
1
D D
D D
2
2
M 
s  s   ,kus  
S
T
s 
m   ja   
V
T
s 
m  
1
2


sin
1
d
2
D
ST
VT
Asendades need väärtused ja lugedes  mα = mβ, saame: 
2
2
D m  D 
 D 
T
S
V
M 

  
  
sin
d
d
 ST 
 TV 
 
12 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
14.  Laeva asukoha määramine kahe peilingu järgi. 
 
Laeva asukoha määramiseks kahe peilingu järgi, võetakse kahe nähtavuses oleva orientiiri  peilingud , 
õiendatakse kompassiõiendiga ja kantakse kaardile. Peilingute lõikepunkt annab laeva asukoha. 
Selle meetodi põhiliseks puuduseks on võimatus kontrollida saadud asukoha täpsust. Seepärast tuleb 
saadud asukohta hoolikalt analüüsida. 
Vähendamaks viga laeva asukoha määramisel, mis tekib see tõttu, et peilingud võetakse erinevatel 
ajamomentidel, peilitakse orientiire kindlas järjekorras. Esimesena peilitakse pikitasandi lähedal olevat 
orientiiri ja siis traaversi lähedal olevat orientiiri. Kontrollime sellise peilimisjärjekorra õigsust 
matemaatiliselt. 
Oletame, et peiliti esimesena traaversi lähedal olevat 
orientiiri. Teise orientiiri peilimise hetkeks oli laev 
liikunud mõõda kursijoont edasi lõigu LL1 võrra ja asus 
punktis L1. 
Peilingute lõikepunkt annab laeva asukohaks punkti K. 
Kui 
aga peilida orientiire vastupidises järjekorras, saame 
laeva 
asukohaks punkti K1. Vaatleme saadud kolmnurki  LKL1 
ja 
LK1L1.  Esimesest  kolmnurgast näeme, et on võimatu 
kontrollida saadud asukoha õigsust.  
Asukoha nihke suurust saab määrata valemiga:  
K L
LL
LK
LL
Esimesest kolmnurgast: 
1 1
1

  ja teisest: 
1

 
sin n
sin
sin n
sin
S
t
1
Et peilingud võetakse praktikas lühikese aja jooksul, võib lugeda, et  q  q .  
1
sin n
Sel juhul saame võrdusest: 
S
K L  LK
 , 
1 1
sin nt
et:   n
n  , kehtib võrratus:   K L
LK . 
t
S
1 1
Seega peilides esimesena pikitasandi lähedal asuvat orientiiri, on laeva asukoha nihkumine peilingute 
mitteüheaegse võtmise tagajärjel väiksem kui peilimisel vastupidises järjekorras. 
 
Vaatleme kompassiõiendi vea mõju asukoha määramisel. See 
viga 
põhjustab laeva asukoha nihkumise mööda orientiire ja laeva 
asukohta läbivat ringjoont punktist K punkti K1. Asukoha nihke 
suurust saab määrata valemiga: 

1
1
2 cos
k
LL ' 


  
2
2
sin
g
g
g g
1
2
1
2
Asendades valemisse gradientide väärtused, saame 


k
2
2
LL ' 
D  D  D D cos
k
 
d    , 
sin
S
T
S
T

sin
kus d on orientiiride vaheline vahemaa. Valemit analüüsides leiame, et viga suureneb järsult kui nurk 
150°, sest siis väheneb nurga siinuse väärtus väga kiiresti. 
Kompassiõiendis on viga, kui lühikeste ajavahemike tagant määratud asukohtade ühendamisel saame 
kõvera joone ja ka kui kaht observeeritud asukohta ühendava sirge ja kaardile kantud kursijoone vahel 
mp
moodustub nurk. Asukoha  ruutviga määratakse valemiga: 
2
2
M 
n  n  
1
2
sin
 
13 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
15.  Laeva asukoha määramine kauguse järgi. 
 
Selleks mõõdetakse laevalt kaugus kahe või enama orientiirini. Seejärel tõmmatakse kaardile 
ringjooned, millede  raadiused võrduvad mõõdetud kaugusega.  
Mõõtnud kauguse DT orientiirini T, joonestame kaardile 
ringjoone raadiusega DT . Pärast kauguse DS mõõtmist 
orientiirini S, saame teise ringjoone raadiusega DS. Nende 
ringide lõikepunkt annab meile laeva observeeritud asukoha L. 
Loginäit ja kellaaeg  märgitakse teise mõõtmise hetkel. 
Orientiiride valikul  tuleb silmas pidada, et nendevaheline 
rõhtnurk oleks 30° ja 150° vahel. Esimesena mõõdetakse kaugus, 
mis 
asub traaversi lähedal, sest see muutub kõige kiiremini. 
 
 
 
Laeva asukoha määramisel ühe orientiiri kahekordsel peilimisel.  
 
Selle meetodi olemus põhineb asujoonte edasikandmisel.  
Antud kursil liikuvalt laevalt võetakse ajahetkel T1 
orientiiri S peiling ja kantakse kaardile. Peilimise hetkel 
märgitakse kellaaeg ja loginäit. Hetkel T2 võetakse teine 
peiling ja kantakse kaardile. Et hetkel T1 asus laev esimese 
peilingu  joonel , hetkel T2 aga teisel, siis nihutades rööpselt 
esimest peilingut ajahetke T1 ja T2 vahel läbitud tee võrra, 
annab 
peilingute lõikepunkt laeva asukoha hetkel T2.  
 
14 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
16.  Satelliitnavigatsioonisüsteem NAVSAT 
 
 
15 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
17.   Loodete teooria. Loodete ebavõrdsused. Süsüügia ja kvadatuur. 
 
Loode –  merepinna perioodiline kõikumine, mida põhjustavad Kuu ja Päikese külgetõmbejõud ning 
Maa ja Kuu ühise keskme ümber pöörlemisel tekkiv tsentrifugaaljõud. Loodete lihtsustatud teooria 
saame tuletada eeldustel: 
  Maa ei pöörle oma 
telje ümber 
  Maa on homogeenne  
kera, mis on üleni 
veega kaetud 
  Kuu kääne on null 
 
Vaadeldakse ainult 
süsteemi Kuu – Maa 
 
Süsteem Maa – Kuu 
pöörleb ümber ühise 
keskme, mis asub 4070 km kaugusel Maa keskmest. Sellise liikumise tagajärjeks on tsentrifugaaljõud, 
mis mõjub maakera igale punktile. Selle jõu siht on paralleelne Maa ja Kuu keskmeid ühendava sirgega  
ja on suunatud väljapoole. Seega mõjuvad maakera igale punktile kaks jõudu: tsentrifugaaljõud ja Kuu 
külgetõmbejõud. Nende jõudude tulemusel võtab maailmamere pind ellipsoidi kuju, mille suur telg on 
suunatud Kuu keskme poole ja mida nim. loodete ellipsoidiks. 
Ellipsoidi väike telg  jaotab  Maa kaheks: Kuu poolt valgustatud ja Kuu poolt valgustamata pooleks. 
Kõrge vesi esineb meridiaanil, mis läbib ellipsoidi suurt telge. Madal vesi on punktides, mis asuvad 
valgusringil. 
 
Vaatleme loodete ellpsoidi, 
kui Kuu 
ei ole võrdne nulliga (ei ole 
ekvaatoril ). 
 Oletame, et Kuu kalle on 
punkti N
s  . Loodete ellpsoidi suurpooltelg on endiselt suunatud Kuu keskmesse. Olgu punktis A1 vaadeldaval hetkel kõrgvesi. Maa pöörlemise tõttu osutub A1 mõne aja pärast olevaks asendis A2, kus on madalvesi . Teine kõrgvesi esineb punktis A3, kuid selles 
on kõrgvee suurus väiksem 
kui 
punktis A1, sest loodete 
ellipsoidi telg on nihutatud 
Maa 
telje ja ekvaatori suhtes, seda 
nimetatakse ööpäevaseks 
ebavõrdsuseks, mis tingivad 
mitmete 
terminite sissetoomist: kõrge 
kõrgvesi, madal kõrgvesi, 
kõrge 
madalvesi, madal madalvesi. 
Poole ööpäeva jooksul läbib punkt A ellipsi kaare A1 A2 A3. Kaar A1 A2 pikem kui A2 A3. Seega on 
ajavahemik  kõrge kõrgvee ja madala madalavee vahel suurem, kui ajavahemik madala kõrgvee ja 
madala madalavee vahel. Suurimaid ebavõrdsusi täheldatakse Kuu suurima kalde puhul, kui Kuu kalle 
on null, siis ebavõrdsusi ei esine. 
 
16 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
2) Süsüügia ja kvadratuur ( spring & neap). 
 
 
Süsteemi Maa – Kuu pöörlemise ning Maa liikumise tulemusena ümber Päikese, muutub 
pidevalt Maa, Kuu ja Päikese vastastikune asend. Kui Maa, Kuu ja Päike asuvad umbes samal 
joonel, siis loodeid tekitavad jõud liituvad. Sel ajal täheldatakse kõige  suuremaid merepinna 
kõikumisi. Niisuguseid loodeid nimetatakse süsüügia loodeks. Süsüügia looded esinevad kaks 
korda sünoosilise kuu jooksul – noorkuu ja täiskuu ajal.  
 
 
 
 
 
 
 
 
Kui Kuu ja Päike asetsevad risttasanditel, vähendab Päike Kuu loodeid tekitavaid jõude. Sel 
ajal täheldatakse kõige väiksemaid merepinna kõikumisi. Selliseid loodeid nimetatakse 
kvadratuurideks. Ka kvadratuursed looded on kaks korda sünoodilise kuu jooksul – Kuu 
esimese ja kolmanda veerandi ajal. 
 
 
 
 
Tõusu kõrguse muutus süsüügiast kvadratuurini kannab faasi ebavõrdsuse  nimetust . 
 
17 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
18.  Laeva asukoha määramine kolme peilingu järgi ja kompassiõiendi 
täpsustamine. 
 
Kolme peilingu järgi laeva asukoha määramiseks võetakse üksteise järel võimalikult kiirest kolme 
orientiiri peilingud, õiendatakse kompassiõiendiga ja kantakse kaardile. Peilingute lõikepunkt annab 
laeva asukoha. Reeglina aga ei lõiku kõik kolm peilingut ühes punktis vaid moodustavad kolmnurga, 
sel juhul on observeeritud asukoht kolmnurga keskel. Et neid vigu vältida, peilitakse  kõigepealt  
orientiire, mis asuvad laeva diametraaltasandi lähedal ja siis alles orientiir laeva traaversis, sest see 
peiling muutub kõige kiiremini. Suure kiirusega laevadel tuleb peilida laeva diametraaltasandi lähedal 
asuvaid orientiire kaks korda ja arvutatakse nende keskmine. 
Oletame, et nähtaval on kolm orientiiri R, S, T millest R ja 
T 
asuvad laeva diametraaltasandi lähedal. Orientiire peilitakse 
järjekorras R(P1), T(P2), S(P3), T(P4), R(P5) ning 
arvutatakse R ja T keskmised peilingu: 
P  P
P  P
1
5
P 
  ja   
2
4
P 
 
R
2
T
2
Aeg ja loginäit märgitakse orientiiri S peilimise hetkel. 
 
 
 
 
Vaatleme, kuidas kompassiõiendi süstemaatiline viga mõjutab laeva observeeritud asukohta. 
 
 
Oletame, et laeva tegelik asukoht on punktis L. Kujutame rõhtnurkadele α=P
–
1+P2  ja β=P2 P3 
vastavad samajooned. Kui muuta mingi suuruse p võrra üht peilingutest, pöörduvad ka teised peilingud 
sama nurga võrra samas suunas ja saame kujundi str, mida nimetatakse veakolmnurgaks, mille tipp s 
asub orientiiride T ja V läbival ringjoonel, tipp t orientiire S ja V läbival ringjoonel ning tipp r 
orientiire T ja S läbival ringjoonel. Kui kompassiõiendi vea suurus jätta muutumatuks, muuta aga vea 
märki, nihkuvad veakolmnurga tipud mööda vastavaid ringjooni uutesse punktidesse. Seega 
kompassiõiendi süstemaatilise vea korral ei asu laeva tegelik asukoht veakolmnurga sees. Kui 
peilingute kaardile panekul tekib veakolmnurk, mille külje pikkus ületab 5 kbt, on otstarbekas leida 
peilingute  lahutamise  teel orientiiridevahelised rõhtnurgad ja kanda laeva asukoht kaardile kalka või 
protaktori abil. Ühendades saadud asukoht ükskõik millise orientiiriga, saab määrata kompassiõiendi 
õige väärtuse. 
 
18 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
19.  Anda teoreetiline põhjendus jõu C’λH hävitamiseks. 
20.  Anda teoreetiline põhjendus jõu B’λH hävitamiseks. 
 
Kui deviatsiooni tekitavad jõud on suured, võib juhtuda , et teatavatel kurssidel nende summa 
neutraliseerib kasuliku jõu λH ja kompass lakkab töötamast. Praktikas nimetatakse deviatsiooni 
vähendamist deviatsiooni hävitamiseks. Deviatsiooni hävitamiseks kompassikodariku lähedale 
asetatakse püsi- või pehmeraua magnet. Magnetide kasutamisel  lähtutakse reeglist- kõvaraua poolt 
tekitatud jõudude kompenseerimiseks kasutatakse püsimagneteid, pehme raua poolt tekitatud jõudude 
kompenseerimiseks kasutatakse pehmeraua pulkade või keerede abil. Kompenseeriva jõu suurus ja 
suund sõltuvad kompensatsioonimagneti kaugusest ja asendist kompassikodariku suhtes. Deviatsiooni 
hävitamisest rääkides peetakse silmas eelkõige poolringideviatsiooni kompenseerimist. 
Teatavasti koosneb poolringi deviatsiooni esile kutsuvad  jõud B’λH= cZ+P ja C’λH= fZ + Q kõva ja 
pehme laevaraua magneetimist. Põhimõtteliselt tuleks neid jõude kompenseerida kombineeritult kõva ja 
pehme rauaga. Kuid pehmeraua jõud cZ ja fZ on reeglina väiksed ja seepärast kasutatakse poolringi 
deviatsiooni hävitamiseks ainult püsimagneteid. 
 
Poolringi deviatsiooni hävitamine Ayri meetodil. 
Smith’i valem: tanδ= (A’+B’ sinK  + C’cosK + 
D’sin2K + E’cos2K)/(1 + B’cosK- C’sinK + 
D’cos2K- E’sin2K), K=MK 
Kirjutame Smith’i valem 0° jaoks: 
Tanδ = (A’+C’+E’)/(1+B’+D’). korrutame mõlemad 
pooled λH. 
 
Jõu C’λH kompenseerimiseks asetame 
kompassijalga laevaga risti asuva püsimagneti 
niimodi : 
A’ λH + C’ λH + E’ λH = F, A’ λH + E’ λH = f1 ja  
C’ λH  
= f2 ehk F= f1+f2 
Jõud f2 kompenseerib jõu C’λH igal kursil, sest 
ükskõik millisel kursil ka laev asub, need kaks jõudu 
on 
alati vastassuunalised.  
Pöörame laeva magnetkursile S ja kirjutame 
Smith’i valemi selle kursi jaoks: 
Tanδ = (A’λH-C’λH+E’λH + f1+f2)/(λH-B’λH+D’λH) 
Sellel kursil peavad deviatsiooni tekitama jõud A’λH+E’λH, tegelikult aga tekitab deviatsiooni kaks 
korda suurem jõud. Seega jõudude A’λH+E’λH taastamiseks tuleb kaotada jõud f1. See saadakse 
kompensatsioonimagneti   nihutamisega asendisse, kus deviatsioon on poole võrra väiksem esialgsest. 
Teine poolringideviatsiooni tekitav jõud B’λH hävitatakse magnetkurssidel E ja W. Selleks kasutame 
kompensatsioonimagneti pikitasandis. 
Tuleb meeles pidada, et deviatsiooni hävitamine Airy meetodil toimub magnetkurssidel. 
 
19 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
Jõu C’λH hävitamine 
Jõu B’λH hävitamine 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
21.  Selgitada deviatsiooni muutumist magnetlaiuse muutumisel ja 
kompensaatori kasutamist. 
 
Deviatsioon muutub magnetlaiuse muutudes , kuna muutub poolringiline deviatsioon, mida tekitavad 
jõud B’λH=cZ+P ja C’λH=fZ+Q (B’λH ja C’λH- laeva magnetjõud, mida põhjustavad laeva kõvaraud, 
Z- Maa magnetvälja püstkomponent, c ja f – Poissoni  parameetrid ). Jõud B’λH ja C’λH koosnevad 
jõududest P ja Q, mida tekitavad laeva kõvaraud ja magnetiseeruvast jõust Z. Järelikult magnetlaiuse 
muutumisega muutuvad ka cZ ja fZ jõu Z muutuse tõttu ning muutub ka poolringiline deviatsioon. 
Selleks, et poolringiline deviatsioon oleks kompenseeritud kõikidel  laiustel , on vajalik jõud P ja Q 
kompenseerida magnetitega ja cZ ning fZ  pehmete vertikaalraudadega, mida nimetatakse  Flinders  
paarideks.. Peakompassidel, mis asetuvad laeva diametraaltasandis,  parameeter  f=0. Kuna selliste 
kompasside suhtes laeva vertikaalrauad asetsevad sümmeetriliselt ja seetõttu jõu fZ kompenseerimist pole 
vaja, jõud C’λH=0, mis kompenseeritakse põiki magnetitega kõikide magnetlaiuste jaoks. Seega Flinders 
paar asetatakse ainult jõu cZ kompenseerimiseks. Enamikel laevadel on jõud cZ negatiivne ja selle jõu 
kompenseerimiseks kinnitatakse kompassi ette vertikaalselt pehmeraud, mis annab positiivse cZ’i. 
Flinders paari valik toimub praktiliselt  kaldal ., sest see magnetiseerub jõust Z ja kuna laeva pikijõud 
tekitavad maksimaalse deviatsiooni W ja E kurssidel, siis pööratakse kompass ühes selle paariga nendele 
kurssidele. Flinders paar valitakse järkjärguliste raudade katsetustega, kuni  saavutatakse  W või E kursil 
arvutatud kõrvalekaldumine. Flinders paarid kujutavad endast 7,5 cm läbimõõduga toru, mille seina 
paksus on u. 2,5 mm ja pikkus on kuni 60 cm. 
Et jõud B’λH ja C’λH jääksid kompenseerituks ka magnetlaiuste muutumisel, peab neid 
kompenseerima erinevate magnetitega. Laeva püsimagnetvälja jõud P ja Q tuleb kompenseerida põiki ja 
piki püsimagnetitega ning jõud fZ ja cZ püstiste pehmeraua magnetitega. 
Kõva laevaraua ja kompenseerimismagnetite jõud laeva asukoha muutumisel ei muutu, pehme 
laevaraua ja kompensaatorite pehme raua aga magneedib ühe ja sama väärtusega Maa magnetvälja 
püstkomponent. 
Pehme laevaraua jõu kompenseerimiseks kasutatavat püstkompensaatorit nimetatakse flindersbariks. 
 
 
21 
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005                                                                                
 
22.  Veerandringideviatsiooni hävitamine. 
 
Veerandringedeviatsiooni tekitavad jõud D’λH ja E’λH, mille tekitab pehme laevaraua magnetväli . 
Need jõud tähistatakse:  
a-e
d+b
D'H=
H    ja    E'H=
H  
2
2
Nendest  väärtustest leiame deviatsiooni täpsed väärtused: 
a  e
d  b
D ' 
   ja     E ' 
 
2
2
Deviatsioonitegur D’ on laevades positiivne. Parameetri a tekitavad kompassi suhtes sümmeetriliselt 
piki laeva asuvad talad  – stringerid, nende poolt tekitatav parameeter on negatiivne. Parameetri e 
tekitavad sümmeetriliselt põiki laeva asetsevad talad – piimid, ka nende poolt tekitatud parameeter on 
negatiivne. Absoluutväärtuselt on parameeter e suurem kui a, sest piimide otsad  asuvad asuvad 
kompassile lähemal kui stringerite. 
Asetades parameetrite väärtused D’ valemisse arvestades, et  
|a|