Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Navigatsioon Riigieksami küsimuste vastused 2005 EMA". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
orientiirg, meridiaan, igat, meridiaani, navigatsioonis, logi, deviatsioon, riigieksami, ellips, deviatsiooni, ekvaator, ekvaatori, ringjoon, projektsioon, loodete, telg, hoovus, isse, projektsiooni, orientiirid, lõikepunkt, vahemaa, vaatleme, gradiendi, gradient, joonel, integraal, asukohta, flinders, rumb, laiuse, loksodroom, observeeritud1 MERESÕlDUASTRONOOMIA OLEMUSEST Üldastronoomia käsitleb universumi ehitust, taevakehade omavahelist asendit, nende tegelikku liikumist ja püüab seletada universumis toimuvate protsesside põhjusi ning arengut. Meresõiduastronoomia tegevusalaks on taevakehade näiv liikumine, selle seos ajaga ja saadud tulemuste kasutanine navigatsioonis. Kokkuvõttes peab meresõiduastronoomia võimaldarna määrata laeva asukohta ja kompassiõiendit taevakehade järgi. Kuna meresõiduastronoomia põhiülesanded lahendatakse taevakehade näiva liikumise alusel, siis lähtutakse seisukohast, et kogu universum tiirleb ümber Maa.Võib-olla seepärast ei olegi meresõiduastronoomia teadusena kirikuga kunagi konflikti läinud. Päikesesüsteemi kuuluvate taevakehade liikumise vaatluse juures peab siiski arvestama tegelikku
Raadiolokaatori kuvaril tekib objekti kujutis koos tunnussignaaliga, milleks harilikult on Morse tähestiku täht. Kujutise orientatsioon kuvaril „Kursi järgi” orientatsiooni puhul ühtib kursijoon laeva pikitasandi suunaga. Kursi muutumisel nihkuvad kuvari objektid iga antennipöördega vastassuunas kursi muutusele, jättes kujutise taha „saba” • Orientetatsioonis „põhi üleval” on kujutis orienteeritud tõelise meridiaani suhtes. „põhi üleval” orientatsiooni puhul laeva kursijoon pöördub kursi muutmise nurga võrra Raadiolokaatorites kasutatavad liikumisrežiimid Kasutusel on kaks liikumisrežiimi: suhteline liikumine, tõeline liikumine Suhtelise liikumise režiimis laeva asend kuvaril ei muutu. Laev võib asuda kuvari keskel või keskmest väljas. Suhtelise liikumise režiimis paigal seisvate objektide kujutised kuvaril liiguvad laeva kiirusega laeva kursile vastassuunas
osal. Järelikult vaba vurri ei saa kasutada kursinäitajana. 4. Vaba vurri muutmine suunanäitajaks pendli meetodil Selleks, et vurri saaks kasutada kursinäitajana on vaja, et 1) vurri peatelg asuks pidevalt meridiaanitasandis 2) Vurri peatelg kõigis laiustes oleks rõhtasendis 3) vurri nähtavad võnkumised oleksid summutatud Viime sisse mõiste tundlik element, mille all mõistame seadet, mis tunnetab Maa pöörlemist ja annab võimaluse määrata meridiaani suunda. Tundliku elemendi põhielemendiks on vurr, mis tekitab tundliku elemendi juhtiva jõu. Tundlikus elemendis võib olla üks või kaks vurri. Sõltuvalt vurride arvust tundlikus elemendis jaotatakse kompassid ühe ja kahe vurriga kompassideks. Tundliku elemendi peateljeks nimetatakse suunda, mis ühe vurriga kompassil langeb kokku vurri kineetilise momendi vektoriga, kahe vurriga kompassil vurride kineetiliste momentide vektorite resultandiga.
Väikelaevajuhid: navigatsioon www.tkj.ee Maa on ebakorrapärane geomeetriline keha, mida nimetatakse geoidiks. Geoid - keha, mille pind on alati risti raskus-kiirenduse vektoriga ning teoreetiliselt ühtib ookeanide veepinnaga. Kõige paremini vastab geoidile lapikellipsoid, mida nimetatakse maaellipsoidiks e. sferoidiks. Suurem pooltelg a = 6378,245 km; väiksem pooltelg b= 6356,863 km, seega vahe on 21,387 km, mis moodustab ainult 0,3 % pikemast. Navigatsioonis loetaksegi Maad ellipsoidiks, mille maht võrdub sferoidi mahuga, s.o R=6371109.7 m või R=6371,1 km. Telge, mille ümber toimub maakera ööpäevane pöörlemine, nimetatakse maakera teljeks. Punkte, kus telg lõikub maakera pinnaga, nimetatakse geograafilisteks poolusteks: Pn - põhja- ehk nordipoolus, Ps - lõuna- ehk süüdipoolus. Kõik punktid maakeral pöörlevad itta (E) Vaadates itta on vasakul põhi (N), paremal lõuna (S) ja selja taga lääs (W).
Väikelaevajuhid: navigatsioon www.tkj.ee Maa on ebakorrapärane geomeetriline keha, mida nimetatakse geoidiks. Geoid - keha, mille pind on alati risti raskus-kiirenduse vektoriga ning teoreetiliselt ühtib ookeanide veepinnaga. Kõige paremini vastab geoidile lapikellipsoid, mida nimetatakse maaellipsoidiks e. sferoidiks. Suurem pooltelg a = 6378,245 km; väiksem pooltelg b= 6356,863 km, seega vahe on 21,387 km, mis moodustab ainult 0,3 % pikemast. Navigatsioonis loetaksegi Maad ellipsoidiks, mille maht võrdub sferoidi mahuga, s.o R=6371109.7 m või R=6371,1 km. Telge, mille ümber toimub maakera ööpäevane pöörlemine, nimetatakse maakera teljeks. Punkte, kus telg lõikub maakera pinnaga, nimetatakse geograafilisteks poolusteks: Pn - põhja- ehk nordipoolus, Ps - lõuna- ehk süüdipoolus. Kõik punktid maakeral pöörlevad itta (E) Vaadates itta on vasakul põhi (N), paremal lõuna (S) ja selja taga lääs (W).
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
YFR0012 Eksami küsimused Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus. Elektrilaengu põhiomadused: Elektrilaenguid on kahte tüüpi: positiivne ja negatiivne. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. Elementaarlaeng. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: Isoleeritud süsteemis on elektrilaengute algebraline summa jääv. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. Coulomb’ seadus, joonis, valem, seletus. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. Valem: k∗1 ∗q 1∗q 2 ε r 12 ∗⃗ r 212 ⃗ F12= r 12 Joonis: ε ≥ 1 on suhteline dielektriline läbitavus, vaakumis ε =1 Elektrivälja tugevus. Valem, ühik, suund. Jõujo
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
1 9 Nõlva püsivus 9.1 Probleemi olemus Maapinna kõrguste erinevuse puhul tekkivad pinnases täiendavad nihkepinged. Kui kõrguste erinevusest tingitud nõlva kalle on piisavalt suur, võib nihkepinge mingil pinnal saavutada nihketugevuse ja põhjustada pinnase purunemise ning nõlva varisemise. Nõlva varisemist võib pinnase tugevuse ja maapinna kalde kõrval mõjutada pinnasevee liikumine, staatiline ja dünaamiline lisakoormus. Nõlva purunemisega võib kaasneda külgnevate ehitiste purunemine ja seega oluline oht nii inimeludele kui ka materiaalsetele väärtustele. Seepärast on nõlva püsivuse tagamine olnud alati tõsine ja vastutusrikas inseneriprobleem. 9.2 Nõlvade liigid ja purunemisviisid Nõlvad võib jaotada looduslikeks ja tehisnõlvadeks. Looduslike nõlvade puhul on probleemiks nende püsivus seoses ehitustöödega nõlval ja selle vahetus läheduses. Igasugused kae
1. Funktsioon: Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiir
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
korral on tegemist Cramer'i peajuhuga, kui 1. võrrandite arv m võrdub tundmatute arvuga n (s.t. n = m); 2. süsteemi maatriks A on regulaarne, s.t. |A| = 0. Lause 2.1 [17]. Kui lineaarvõrrandisüsteemi korral on tegemist Cramer'i peaju- huga, siis on sellel süsteemil täpselt üks lahend. 20 2.7. Gauss'i elimineerimise meetod Igat lineaarvõrrandisüsteemi A · x = b, mille korral on tegemist Cramer'i peajuhuga, on võimalik lahendada Cramer'i valemite abil: |A~i | xi = , i = 1, . . . , n, (2.10) |A| kus A on süsteemi maatriks ning A~ on maatriks, mis saadakse maat- riksist A, kui tema i-s veerg vahetatakse välja vabaliikmete vektoriga b. 2
s1 × s 2 Teist järku jooned. 71. Teist järku joone üldvõrrand: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 72. Ringjoon. x 2 + y 2 = R 2 Keskpunkt punktis K ( a; b ) ( x a ) 2 + ( y b) 2 = R 2 Teist järku joone üldvõrrand esitab ringjoont, kui A = C ja B = 0. 73. Ringjoone parameetrilised võrrandid x = R cos t; y = R sin t 74. Ellips on tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest antud punktist ( fookustest ) on konstantne x2 y2 suurus ( 2a ) ja on suurem fookuste vahelisest kaugusest ( 2c ). 2 + 2 = 1 ,mis on ellipsi kanooniline a b võrrand. 2c c 75
s1 × s 2 Teist järku jooned. 71. Teist järku joone üldvõrrand: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 72. Ringjoon. x 2 + y 2 = R 2 Keskpunkt punktis K ( a; b ) ( x a ) 2 + ( y b) 2 = R 2 Teist järku joone üldvõrrand esitab ringjoont, kui A = C ja B = 0. 73. Ringjoone parameetrilised võrrandid x = R cos t; y = R sin t 74. Ellips on tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest antud punktist ( fookustest ) on konstantne x2 y2 suurus ( 2a ) ja on suurem fookuste vahelisest kaugusest ( 2c ). 2 + 2 = 1 ,mis on ellipsi kanooniline a b võrrand. 2c c 75
V.Jaaniso Pinnasemehaanika 1. SISSEJUHATUS Kõik ehitised on ühel või teisel viisil seotud pinnasega. Need kas toetuvad pinnasele vundamendi kaudu, toetavad pinnast (tugiseinad), on rajatud pinnasesse (süvendid, tunnelid) või ehitatud pinnasest (tammid, paisud) (joonis 1.1). a) b) c) d) J o o n is 1 .1 P in n a s e g a s e o tu d e h i tis e d v õ i n e n d e o s a d .a ) p i n n a s e le t o e t u v a d ( m a d a l - j a v a iv u n d a m e n t) b ) p i n n a s t t o e t a v a d ( t u g is e in a d ) c ) p in n a s e s s e r a j a tu d ( tu n n e li d , s ü v e n d i d d ) p in n a s e s t r a j a tu d ( ta m m i d , p a is u d ) Ehitiste koormuste ja muude mõjurite tõttu pinnase pingeseisund muutub, pinnas deformeerub ja võib puruneda nagu kõik teisedki materjalid. See põhjustab
Omadus 2 (lineaarsus). Iga , R korral (f (P ) + g (P ))dS = f (P )dS + g (P )dS . D D D Omadus 3 (monotoonsus). Kui f (P ) g (P ) iga P D korral, siis f (P )dS g (P )dS . D D Def. Piirkonda D nimetatakse sidusaks piirkonnaks, kui selle piirkonna igat kahte punkti saab ühendada sellesse piirkonda kuuluva pideva joonega. Sidus piirkond koosneb ühest ,,tükist". Omadus 4 (keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D , siis leidub punkt Q D nii, et f (P )dS = f (Q )S (D ) . D b
Loengukonspekt õppeaines MASINAMEHAANIKA Koostanud prof. T.Pappel Mehhatroonikainstituut Tallinn 2006 2 SISUKORD SISSEJUHATUS 1. ptk. MEHHANISMIDE STRUKTUURITEOORIA 1.1. Kinemaatilised paarid, lülid, ahelad 1.1.1. Kinemaatilised paarid 1.1.2. Vabadusastmed ja seondid 1.1.3. Lülid, kinemaatilised ahelad 1.2. Kinemaatilise ahela vabadusaste. Liigseondid. Liigliikuvused 1.2.1. Vabadusaste 1.2.2. Liigseondid. Liigliikuvused. 1.3. Mehhanismide struktuuri sünteesimine 1.3.1. Struktuurigrupid 1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine 1.3.3. Kinemaatiline skeem. Struktuuriskeem 2. ptk. MEHHANISMIDE KINEMAATILINE ANALÜÜS 2.1. Eesmärk. Algmõisted 2.2. Mehhanismide kinemaatika analüütilised meetodid
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud
Gravitatsiooniseadus Tuiklemine Keele võnkumised Bernoulli võrrand Baromeetriline valem Jõud, millega kaks keha tõmbuvad, on võrdeline Samasihiliste liidetavate võnkumiste sagedus 2l Ideaalne vedelik – puudub sisehõõrdumine. Atmosfäärirõhk mingil kõrgusel h on tingitud nende kehade massidega ning pöördvõrdeline erineb vähe(<<). Pulsseeriva amplituudiga l n n seal asuvate gaasikihtide kaalust. Tähistame
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....
· Kui võrduse tingimuse juurde kuulub ka ühise alguspunkti nõue, öeldakse, et tegemist on seotud vektoritega. 6.4 Vektori liitmine Olgu antud punkt A ja vektor a. Kujutame ette, et punkti A nihutatakse vektoriga a määratud sihis ja suunas vektori a pikkuse võrra. Selle tulemusena jõuab A punkti B, mida nüüd nimetatakse punkti A kujutiseks. Vektorit a, mis määrab täielikult nihke e lükke (sihi, suuna, pikkuse), nimetatakse lükkevektoriks. Kui mingi kujundi igat punkti nihutatakse antud vektoriga määratud sihis ja suunas selle vektori pikkuse võrra, siis on antud kujundi lüke e paralleellüke. Lükke tulemusena saadakse võrdne kujund. · Kui esimese vektori lõpppunktis asub teise vektori alguspunkt, siis nende vektorite summaks nimetatakse vektorit, mis on suunatud esimese vektori alguspunktist teise vektori lõpppunkti. Seda vektorite liitmise reeglit nimetatakse kolmnurgareegliks.
f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id
Sissejuhatus Erinevad ühikud rad rad 1 2 = 1Hz 1 = Hz s s 2 Vektorid r F - vektor r F ja F - vektori moodul Fx - vektori projektsioon mingile suunale, võib olla pos / neg. r Fx = F cos Vektor ristkoordinaadistikus Ükskõik millist vektorit võib esitada tema projektsioonide summana: r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k , millest vektori moodul: F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Kinemaatika Kiirus Keskmine kiirus Kiirus on raadiusvektori esimene tuletis aja t2 järgi. s v dt s v = - võimalik leida ühtlase liikumise kiirust vk = = t1 t t t ds t2
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll�
annaabi.ee 
