Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon (0)

"Matemaatiline analüüs I"
Funktsioon
Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y
Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda.
Funktsioonide liigid-
1. Paaris funktsioon- rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2)
2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes.(y=sinx)
3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood.
4.Ilmutatud funktsioon- funktsioon, kus esitatava võrdsuse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis .
5. Ilmutamata funktsioon- funktsioon, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist.
6.Ühesed funktsioonid- nimetakse sellist fuktsooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse ainult üks funktsiooni väärtus.
7. Mitmesed funktsioonid- nim funktsiooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni väärtust.( Ruudud jne)
8.Algebraline funktsioon-nim funktsiooni, mis saadakse x-st lõpliku arvu algebraliste tehete teel
8.1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud .
8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0
8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur .
Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed.
Liitfunktsioon
Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist.
Pöördfunktsioon
Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x)
Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2  y= -+ √x )
Piirväärtus
Lõpmata väike suurus, selle omadused.
Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks.
Omadused:
Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus
Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus
Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus.
Arv e
Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx.

Piirväärtuse arvutamine
Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist

• Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga : lim(y+z)=a+b
  
• korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta)
  
• Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b≠0
  
• Kui y≤u≤z ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a
  
• Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus.
  

L’ Hospitali valem, selle kasutamise eeldused.
See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja ∞/∞ korral.
Tuletis , selle rakendused .
Tuletis, selle geomeetriline tähendus
Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile . Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x.
Tuletise arvutamine definitsiooni järgi.

• Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja:
  
• fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus
  
• anda argumendile muut Δx ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+Δx vastav funktsiooni väärtus
  
• arvutada funktsiooni muut Δy
  
• moodustada suhe Δy/Δx
  
• leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut Δx läheneb nullile
  

Liitfunktsiooni tuletis
Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mille analüütilises avaldises funktsioon y sõltub oma argumendist x kas ühe või enama vahendaja funktsiooni kaudu. Olgu y=f(z), kus z on mingi x funktsioon z=φ(x), seega y=f[φ(x)]. Muutuja y on x funktsioon, kuid ta ei sõltu temast vahetult, vaid ühe teise funktsiooni kaudu. Liitfunktsiooni tuletist arvutatakse järgmise