Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon (0)

"Matemaatiline analüüs I"
Funktsioon
Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y
Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda.
Funktsioonide liigid-
1. Paaris funktsioon- rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2)
2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes.(y=sinx)
3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood.
4.Ilmutatud funktsioon- funktsioon, kus esitatava võrdsuse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis .
5. Ilmutamata funktsioon- funktsioon, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist.
6.Ühesed funktsioonid- nimetakse sellist fuktsooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse ainult üks funktsiooni väärtus.
7. Mitmesed funktsioonid- nim funktsiooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni väärtust.( Ruudud jne)
8.Algebraline funktsioon-nim funktsiooni, mis saadakse x-st lõpliku arvu algebraliste tehete teel
8.1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud .
8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0
8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur .
Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed.
Liitfunktsioon
Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist.
Pöördfunktsioon
Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x)
Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2  y= -+ √x )
Piirväärtus
Lõpmata väike suurus, selle omadused.
Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks.
Omadused:
Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus
Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus
Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus.
Arv e
Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx.
Piirväärtuse arvutamine
Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist

• Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga : lim(y+z)=a+b
  
• korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta)
  
• Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b≠0
  
• Kui y≤u≤z ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a
  
• Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus.
  

L’ Hospitali valem, selle kasutamise eeldused.
See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja ∞/∞ korral.
Tuletis , selle rakendused .
Tuletis, selle geomeetriline tähendus
Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile . Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x.
Tuletise arvutamine definitsiooni järgi.

• Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja:
  
• fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus
  
• anda argumendile muut Δx ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+Δx vastav funktsiooni väärtus
  
• arvutada funktsiooni muut Δy
  
• moodustada suhe Δy/Δx
  
• leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut Δx läheneb nullile
  

Liitfunktsiooni tuletis
Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mille analüütilises avaldises funktsioon y sõltub oma argumendist x kas ühe või enama vahendaja funktsiooni kaudu. Olgu y=f(z), kus z on mingi x funktsioon z=φ(x), seega y=f[φ(x)]. Muutuja y on x funktsioon, kuid ta ei sõltu temast vahetult, vaid ühe teise funktsiooni kaudu. Liitfunktsiooni tuletist arvutatakse järgmise valemi järgi:Y´x=Y´z*Z´x
Korrutise tuletis(tõestus)
Kahe funktsiooni korrutise tuletis võrdub esimese funktsiooni tuletise ja teise funktsiooni korrutisega, millele on liidetud teise funktsiooni tuletise ja esimese funktsiooni korrutis.
Tõestus: Olgu meil antud funktsioon y= u(x)*v(x)
1. y=u*v
2.y+∆y=f(x+∆x)=(u+∆u)*(v+∆)
3.∆y=(u+∆u)*(v+∆)-(u*v)=u∆v+v∆u+∆u∆v
4.∆y/∆x= u∆v+v∆u+∆u∆v/∆x
5.lim.∆y/∆x=lim u∆v+v∆u+∆u∆v/∆x=lim(u∆v/∆x)+lim(v∆u/∆x)+lim(∆u∆v/∆x)
Kuna u ja v ei sõltu argumendi muudust ∆x, siis lim(u∆v/∆x)=u*v´ja lim(v∆u/∆x)=v*u´
Y´=u´v+u+v´
Jagatise tuletis(Tõestus)
Olgu meil antud funktsioon .Kui argumendile x anda muut , siis saame
x
x + x
Järelikult
Pöördfunktsiooni tuletis
Funtsiooni pöördfunktsiooni tuletis on võrdne funktsiooni tuletise pöördväärtusega.
Arcsin tuletis
Arkusfunktsioonid kujutavad endast vastavate trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioone (määramiospiirkonna teatud ahendis) ja seetõttu saab nende tuletiste arvutamisel kasutada valemit
1. Olgu , pöördfunktsioon on
Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus
Kui funktsioonil y=f(x) on punktis x lõplik tuletis y'=f'(x), siis on funktsiooni muut Δf, mis vastab argumendi muudule Δx, esitatav kujul Δy=f'(x)Δx+α(Δx), ja vastupidi. Avaldist f'(x)Δx nim funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga df=f'(x)Δx. α on lõpmata väike arv.
Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni muudu osa, mis on lineaarne argumendi muudu suhtes ja erineb funktsiooni muudust suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu.
Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=Δx, ja funktsiooni diferentsiaal on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x). Seega võrdub funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi jagatisega.
Joone puutuja ja normaal
Normaalik punktis M0 nimetakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga.
Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0
Funktsiooni uurimine
Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne).
1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav).
2. Nullkohad , so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0).
3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes:
f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes;
f(-x) = -f(x) – paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes;
4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond : f(x) > 0 - positiivsuspiirkond;
f(x) 5. Kasvamis - ja kahanemispiirkond : f ’(x) > 0 – kasvamispiirkond;
f ’(x) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse mingis x väärtuste vahemikus kasvavaks, kui argumendi x kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad .
Näide 1: Leida funktsiooni
kasvamis- ja kahanemispiirkonnad
. Lahendades viimase võrratuse, saame
ja , mis annabki kasvamispiirkonna.
Lahendades võrratuse , saame .
Seega funktsioon
kasvab vahemikes
ja
ning kahaneb vahemikus
6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides.
Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f ‘(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f ‘(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f ‘’ 0 miinimumpunkt.
Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte.
Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum ) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides.
7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid.
Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat.
Kõverat y = f(x) nimetatakse nõgusaks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb ülalpool oma puutujat.
Kui funktsioon on nõgus mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on positiivne selle vahemiku igas punktis. f ’’(x) > 0
Kui funktsioon on kumer mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on negatiivne selle vahemiku igas punktis. f ’’(x) Käänupunktiks nimetatakse punkti, milles kõver muutub kumerast nõgusaks või vastupidi. Selle leidmiseks esmalt lahendada võrrand f ’’(x) = 0 (see on ainult tarvilik tingimus) ja seejärel uurida, kas f ‘’ (x) muudab märki nimetatud punktis.
Näide: Leida, kas punktis x = 1 ümbruses funktsioon on kumer või nõgus.
8. Joone asümptoodid.
Def Kui joone
punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone
asümptoodiks
Erijuhud: sirge võrrandiga
on joone püstasümptoot;
sirge võrrandiga
on joone rõhtasümptoot;
sirge võrrandiga
on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui
Ligikaudne arvutamine
Defineerisime diferentsiaali kui funktsiooni muudu peaosa . See võimaldab kasutada diferentsiaali kui funktsiooni muudu ligikaudset väärtust
Valem on seda täpsem, mida väiksem on muut . Valemit kasutatakse siis, kui funktsiooni diferentsiaali on kergem arvutada kui tema muutu.
Anname valemile teise kuju
Siit saame ligikaudse väärtuse funktsiooni uuele väärtusele.
Seda valemit on sobiv kasutada siis, kui teame funktsiooni väärtust mingis punktis x.
Võrrandi numbriline lahendamine
Võrrandi lahendamise vise on palju. Igale tüübile vastav metoodika. 1. Tavaline on analüütiline, täpne lahendamine. 2. Graafiline lahendamine 3. Numbriline lahendamine.-reaalselt kasutakse väga palju. Vaja on tavalist vastus(Kolme tüvekohaga)
f(x)=0 Joosteme graafiku y=f(x) Leiame lõigu [a,b] Kus funktsioon muudab märki.Selles lõigus on pukt, kus f(punkt)=0 1.Edasi kasutakse lõigu poolitamist. Lahend on [a,b] f´peab olema sama märgiga Leidub täpstelt üks lahend. Võetakse keskkpunk a+b/2 ja arvutame f(a+b/2) jälgime märki saab teada kas lahend kuulub [a+b/2;b] ja siis korratakse seda.
Taylori( MacLaurini )valem
Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks .
Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused
Määramispiirkond
Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks.
Nivoojoon(Nivoopind)
Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks.
Osatuletis , selle geomeetriline tähendus
Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust
ja tähistatakse . Lahtiseletatult – leides osatuletist x järgi anname muudu ainult argumendile (muutujale) x (tema muut on x), y on konstantne (muutumatu) ja seejärel arvutame funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte (sisu sama, mis ühe muutuja korral).
Tuletis y järgi analoogiliselt .
Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z = f (x;y) graafiku) puutujatasandi tõusu x telje sihis.
Kõrgemat järku osatuletis.
Arvutades osatuletised osatuletistest saame teist (ja kõrgemat) järku osatuletised. Teist järku osatuletist x järgi tähistame kas , tavaliselt eelistame teisena esitatud kirjapilti.
Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: . Eelnevas avaldises on esimesena võetud tuletis x järgi (x on z-le lähemal) ning seejärel y järgi.
Kui funktsioon z = f (x;y) ja tema esimest ning teist järku osatuletised on pidevad (aga ainult niisuguste funktsioonidega me tegelemegi), siis kehtib
ehk tulemus ei sõltu diferentseerimise (tuletise leidmise) järjekorrast. Ja enamasti leiame neist ainult ühe.
Kuna definitsiooni järgi (piirväärtust kasutades) osatuletise leidmine on tülikas, kasutame niisamuti kui ühe muutuja funktsiooni korral tuletiste tabelit (seesama tabel, tuleb jälgida, et tuletist võetaks õige muutuja järgi).
Täisdiferentsiaal
Funktsiooni muudu kaht esimest liiget nimetakse funktsiooni täisdiferentsiaaliks
dz = . Diferentsiaal (mõnikord unustatakse eesliide täis) on (väikeste x ja y korral) ligikaudu võrdne funktsiooni muuduga z ≈ dz.
Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel.
Kasutame sama võtet, mida ühe ühe muutuja funktsiooni väärtuste ligikaudsel arvutamisel:
Diferentsiaal on (väikeste x ja y korral) ligikaudu võrdne funktsiooni muuduga z ≈ dz .
z(x+x;y+y) = z(x;y) +z ≈ z(x;y) +dz = z(x;y) +
Gradiendi mõite ja tema tähendus
Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetakse vektorit gradz=(Z´x;Z´y) Kehtib sama moodi ka kolme ja enama muutuja korral. Gradieniks saab arvvektori, mis näitab funktsiooni kiireima kasvu suuna, gradient on risti nivoojoonega.
Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas
Funktsiooni Z=f(x,y) tuletiseks ühikvektori r0=(a,b) suunas nimetatakse selle ühikvektori ja gradiendi skalaarkorrutist grad* r0 z=a* Z´x + b* Z´y
Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel
Teoreem : Kui funktsioonil z = f(x, y) on x = x0 ja y = y0 puhul ekstreemum, siis z esimest järku osatuletised selles punktis võrduvad nulliga või puuduvad.
See (5) oli (analoogselt ühe muutuja funktsiooniga) ekstreemumi tarvilik tingimus, võib juhtuda, et see on täidetud, kuid punkt ei ole ekstreemumpunkt . Näiteks :z = x2- y2 punktis (0;0).
Def: Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks.
Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) leiduvad esimest ja teist järku osatuletised statsionaarses punktis (x0;y0), siis on ekstreemumi olemasoluks selles punktis piisav tingimus W(x0;y0) = .
Kui W väärtus lahtine (nii või teisiti) ja peame kasutama teisi meetodeid .
Kas ekstreemum on maksimum või miinimum selgitatakse
või
märgi järgi:
ja (sama oli ka ühe muutuja korral).
Lisatingimusega ekstreemumülesanne.
Olgu vaja leida funktsiooni z = f(x, y) ekstreemum lisatingimusel g(x;y)=0. Siin on lahendamiseks kaks võimalust:

Üldjuhul koostame uue funktsiooni w = f(x, y) + g(x;y). ja esialgse funktsiooni ekstreemunid on uue funktsiooni statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: . Siin viimane võrrand on tegelikult.

Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada.
Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks.
Integraal
Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste.
Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x)
Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea.
Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks.
Integraali seos tuletisega
Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite taguspidi rakkendamisel. Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma integraalialuse funktsiooniga.
Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine.
Tuletise rakendused
Lopitali valem
Ligikaudne arvutamine
Ritta arendamine
Rolli ja lagrange teoteemid
Funktsiooni uurimine
Joone puutuja ja võrrand
Numbriline arvutamine
Kiirused ja kiirendused-füüsikalised rakendused
Integraali arvutamine tabeli kaudu
Mõne valemi tõestamine.
Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis .
Vaatleme määramata integraali ∫ f(x)dx . (5.2)
Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja
vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = φ(x)
ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv . Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni
ψ-ga. Seega x = ψ(u) . (5.3)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du = ψ′(u).
Korrutades seda võrdust du-ga saame
dx = ψ′(u)du . (5.4)
Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise
∫ f(x)dx = ∫ f[ψ(u)]ψ′(u)du .
Muutujavahetus määratud integraalis:
.Vaatleme määratud integraali
Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel
viisil: u = φ(x). Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame φ
pöördfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena:
dx/du =ψ′(u).
Korrutades seda värdust du-ga same dx = ψ′(u)du .
Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u = φ(x)
väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a, b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega,mis vastab muutuja x v.a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja φ(a) ja
ülemine raja φ(b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi:
Ositi integreerimise valemi tuletamine
Vaatleme funktsioone
ja . Korrutise tuletise valem on: . Teisendame:
Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx
ja integreerime
Et,
ning määramata integraali 3. omaduse põhjal .
Ühendame integreerimiskonstandi parema poole integraali omaga , saame ositi integreerimise valemi:
Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalis.Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsioonid hulgal X ja eksisteerib määramata integraal ∫uv 'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal ∫u'v dx, kusjuures peab paiksa seos ∫u dv=uv-∫v du.
Määramata integraali ∫f(x) dx leidmisel ositi integreerimise abil üritatakse suurust f(x) dx lahutada korrutiseks uv' dx ehk u dv nii, et ositi integreerimisel saadav integraal ∫u'v dx ehk ∫v du oleks võimalikult lihtne. Seega tuleb ositi integreerimise valemi rakendamisel valida tegurid u ja dv nii, et:

• funktsiooni u tuletis u' oleks lihtsam kui funktsioon u ise;
  
• funktsioon v oleks diferentsiaali dv põhjal lihtsalt leitav.
  

Ositi integreerimise põhivalem määratud integraali korral
Lihtsamate ratsionaalmurdude (nimetaja lahutub esimest järku teguriteks ) integreerimine.
I
II
III
I
II
Integraali rakendused
1.Pindala arvutamine. Määratud integraal annab kõvertrapetsi pindala.
2.Pöördkeha ruumala. Oletame et f y=f(x) pöörleb ümber x telje, tekib pöördkeha.
juhul kui pöörleb ümber x telje
juhul kui pöörleb ümber y telje
3.Funktsiooni keskmine väärtus lõigul
Joonestame ristküliku, mille kaks külge on paralleelsed sirged x = a ja x = b ning teised kaks y = 0 ja y = k, kus k on funtsiooni f(x) keskmine väärtus lõigul [a;b]. Seesuguse kujundi pindala on . Selle ristküliku pindala on võrdne joone y = f(x) (ja sirgete x=a ja x=b) poolt moodustatud kõverjoonse trapetsi pindalaga. .
Kokku saame, et funktsiooni keskmine väärtus lõigul [a;b] .
4.Joone kaare pikkus.
Kui jagada kaar n osaks nii et n∞, siis saab tinglikult lugeda kaared sirgeteks.mille pikkus on
Minnes üle diferentsiaalidele . Kui summeerida saame määratud integraali