Ekstreemumkoht on argumendi väärtus, mille korral on funkts. Suurim vi vähim väärtus Ekstreemumpunkt On graafiku punkt, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Kasvamispk nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funkts. Väärtus (selles piirkonnas on funkts. Graafik tõusev) Kahanemispk on argumendi väärtuste hulk, mille korral suuremale väärtusele vastab väiksem funkts. Väärtus (graafik langev) Käänupkt- punkt, millest läbiminekul joon muutub kumerast või nõgusast kumeraks.
10. Sõnastada ja tõestada muutuja vahetuse valem f ( x)dx a arvutmiseks. Analüüs 1 Teooriatöö lühiküsimused. 1. Defineerida millal on punktis x = x0 funktsioonil f(x) miinimum (või maksimum) Maksimum on kui Piltlikult öeldes on maksimum graafiku tipp ja miinimum graafiku org. Ekstreemumpunkt näitab millal graafik muutub kasvavast kahanevaks ja vastupidi 2. Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.? Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks(täpsemini:esimest jarku kriitilisteks punktideks). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1
24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt- punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks
kasvamispiirkond kasvamispiirkond 7 x 2 - 4, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. X = {(- 2;0 ); (2; )} X = {(- ;-2 ); (0;2 )} 8 Funktsiooni ekstreemumpunkt Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f ( x) < f (a) ( f ( x) > f (a)) Maksimumpunkt Miinimumpunkt (a;f (a)) y y y = f (x) (a;f (a))
suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt A kui sellel punktil leidub selline ümbrus S(A,r), milles funktsiooni muut f = f ( A) - f ( P ) säilitab märki. 2 Maksimumpunkt: f > 0 A lokaalne maksimum Miinimumpunkt: f < 0 A lokaalne miinimum Statsionaarne punkt: Kui funktsioonil w = f (P ) on määramispiirkonna punktis A kõik osatuletised wi , i = 1,2,..
8. Keskväärtusteoreemid. Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b). Lagrange'i keskväärtusteoreem Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g (x) 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem:
Tõestus: Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus. funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, Definitsioon:Kui funktsioonil f ’ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). järku tuletiseks kohal a. Cauchy keskväärtusteoreem
funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Statsionaarsed punktid on need punktid, kus kõige suurema tõenäosusega asuvad ekstreemumid. Seejärel võtame teised osatuletised ning ka segatuletised ja arvutame nende väärtused statsionaarsetes punktides. Saadud numbrite põhjal koostame 2x2 determinandi , kus a11=z''xx ; a12=a21=z''xy ; a22=z''yy statsionaarses punktis. Kui D>0, siis ekstreemumpunkt leidub, ekstreemumpunkti liik selgub, kui vaatame z''xx märki , kui see on positiivne , siis on tegemist miinimumpunktiga , kui negatiivne , siis maksimumpunktiga. Kui D<0 , siis ekstreemumit ei leidu ja kui D=0 , siis meie meetodid meile vastust ei anna ja vaja on täiendavat uurimist. Lisatingimusega ekstreemumülesanne- Kui meil on antud funktsioon z=f(x;y) koos lisatingimusega g(x;y), siis on lahendamiseks kaks võimalust: 1
x max = -1 ; y max (-1) = -3 (- 3) = 9 Pmax (- 1;9 ) Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti funktsiooni uurimise oskust. Põhjendamatult palju eksaminande avas nullkohtade leidmisel funktsiooni avaldises sulud. Ekstreemumkohtadeks pakuti nullkohti, aeti segamini positiivsus(või negatiivsus)piirkond ja kasvamis(või kahanemis)vahemik. Lubamatult palju eksiti ruutvõrrandite lahendamisel. Endiselt on segamini mõisted ekstreemumkoht, ekstreemum ja ekstreemumpunkt. Ei osatud määrata ekstreemumkohtade liiki. 4. (10 punkti) Kaks kiirabiautot kiirustavad sündmuskohtadele, väljudes samaaegselt haiglast ja sõites mööda maanteed vastupidistes suundades. Esimese minutiga läbivad mõlemad autod 1 1 1 km. Iga järgmise minutiga läbib esimene auto km võrra ja teine km võrra pikema 12 6
gradiendi skalaarkorrutist grad* r0 z=a* Z´x + b* Z´y Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) on x = x0 ja y = y0 puhul ekstreemum, siis z esimest järku osatuletised selles punktis võrduvad nulliga või puuduvad. See (5) oli (analoogselt ühe muutuja funktsiooniga) ekstreemumi tarvilik tingimus, võib juhtuda, et see on täidetud, kuid punkt ei ole ekstreemumpunkt. Näiteks :z = x2- y2 punktis (0;0). Def: Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) leiduvad esimest ja teist järku osatuletised statsionaarses punktis (x0;y0), siis on ekstreemumi olemasoluks selles punktis piisav tingimus z '' 2 z '' 2 - ( z '' ) 2 > 0 xy W(x0;y0) = x y .
3).( Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt Logaritmilise tuletise valemi tuletamine(. üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). . Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad
24. Funktsiooni kriitiline punkt - funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt - punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum - funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks
ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f (c) = 0. ~ Toestus. ~ Kuna loigul pidev funkstsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse va¨ artuse, ¨ siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole ¨ konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vahemalt uks ¨ ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a, b). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 13 Keskva¨ artusteoreemid ¨ Lause (Lagrange'i keskva¨ artusteoreem) ¨ ~
annaabi.ee 
