1. Lahendage juurvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: x + 2 = 4x -4 2. Lahendage eksponentvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: 2 -2 26x = 42x 3. Lahendage logaritmvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: ( log x ) 2 - 6 log x + 7 = 0 4. Leidke koonuse telglõike pindala, kui moodustaja on 15 cm ja kõrgus 12 cm. 5. On antud funktsioon y = 2x3 + x 2 · Leidke funktsiooni nullkohad X0 · Leidke funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond X+, X- · Leidke funktsiooni tuletis · Leidke funktsiooni kasvamine ja kahanemine X , X · Leidke ekstreemumpunktid · Skitseerige funktsiooni graafik Matemaatika proovieksami ülesanded
Külgpindala S k 2 23 2400 cm 2 . Täispindala S 1200 3 2400 1200 3 2 cm 2 . Vastus. Püramiidid täispindala on 1200 3 2 cm². 5 5) Riigieksam 1999 (15p.) Koonuse telglõike tipunurk on 64o ja põhja ümbermõõt on 126 cm. Arvutage selle koonuse külgpindala ja ruumala. Lahendus. 63 Ülesande andmete põhjal on põhja ümbermõõt C = 2 r 126 r . Kuna telglõikeks on võrdhaarne kolmnurk, kus kõrgus poolitab tipunurga, siis r 63
Kordamine V 1. Silindri kõrgus on 10 cm ning telglõike diagonaal moodustab põhja diameetriga nurga 30°. Arvuta silindri täispindala ja ruumala. 2. Ristkülik külgedega 5 cm ja 10 cm pöörleb ümber pikema külje. Arvuta tekkinud silindri põhja pindala, külgpindala ja täispindala ja ruumala. 3. Täisnurkne kolmnurk kaatetitega 5 cm ja 12 cm pöörleb ümber pikema külje. Leia tekkinud kujundi põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolmnurkse püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 15 cm ja üks kaatet 12 cm. Prisma kõrgus on 11 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 13. Nelinurkse püstprisma põhi on romb, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 7 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 14. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16 cm ning püramiidi kõrgus on 15 cm. Arvuta põhja pindala, apoteem, külgpinda...
2r Ülesanded Kui koonuse põhja pindala on 16 m2 ja kõrgus 3 m, siis koonuse ruumala on 24 m3 16 m3 48 m3 144 m3 Kui koonuse kõrgus on 4 m ja põhja diameeter on 6 m, siis koonuse moodustaja on m 24 m 5m 10 m Kui koonuse kõrgus on 4 m ja moodustaja 5 m, siis koonuse täispindala on 29 m2 33 m2 24 m2 8 m2 Kui koonuse põhja raadius on 2 m ja koonuse telglõikeks on täisnurkne kolmnurk, siis koonuse telglõike pindala on 8 m2 2 m2 4 m2 16 m2 Suurehitustel hoitakse tsementi kinnistes mahutites, mille ülemine osa on silindrikujuline ja alumine koonusekujuline (vt joonist). 1) Mitu kuupmeetrit tsementi on võimalik sellises mahutis hoida, kui see ääreni täita? 2) Tsementi müüakse 50-kilostes kottides, ühes kotis u. 26 dm³ tsementi. Mitu sellist kotti on vaja osta, et mahutit täita? 3) Mitu % mahutist on täidetud, kui ülevalt
40 10. ÜLESANNE (20 punkti) I Koonuse põhjal on neli ühesuurust kera, millest igaüks puutub ülejäänud keradest kahte. Nendel keradel asetseb viies niisama suur kera, vt joonist. Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurga suurus, kui kerade raadius on r. II Koonuse põhjale on asetatud kolm ühesuurust kera, millest igaüks puutub ülejäänud kahte kera. Nendel keradel asetseb neljas niisama suur kera, vt joonist. Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke kaugus ülemise kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurk, kui kerade raadius on r. III Silindris paikneb üks suur ja kaks väikest kera, mis puutuvad nii silindri põhjasid, külgpinda
Korstna külgpindala on Sk = 2rh = dh; Sk = . 0,4 . 15 = 6 ~ 18,84 (m2). Pleki valtsimiseks kulub 8 % materjalist s.o. 0,08 . 18,84 = 1,5 (m2). Kokku on materjali vaja osta 18,84 + 1,5 = 20,34 (m2). Korsten kaalub seega 7 . 20,34 = 142,4 kg. Vastus: Silindrikujuline korsten kaalub 142,4 kg. 11. Silindri telglõige on ruut, mille külg on 12 cm. Leia silindri täispindala. Lahendus: Joonistame silindri, mille telglõige on ruut. Antud on silindri telglõike külje pikkus, mis on 12 cm; silindri diameeter on ka 12 cm ehk raadius r = 6 cm. Leiame silindri täispindala St. Täispindala St = 2Sp + Sk = 2 r2 + 2rh = 2r(r + h); St = 2 . 6(6 + 12) = 216 (cm2). Vastus: Silindri täispindala on 216 cm2. 12. Silindri kõrgus on 5 cm ja põhja raadius 6 cm. Kui pikk on telglõike diagonaal? Lahendus: Teeme joonise. Antud on silindri kõrgus h = 5 cm; põhja raadius r = 6 cm.
4 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2.
Vastus: Kujundi pindala on 2 pindalaühikut ja a = ln 2. Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Paja telglõige on piiratud joontega y = x2 ja y = 1. Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke paja põhja kaugus koonuse tipust. Lahendus: Paja telglõige on piiratud parabooliga y = x2 ja sirgega y = 1. Teeme joonise: Kolmnurk KCL on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk. KCL = 900 ja CLK = 450 .Seega moodustaja tõusunurk on 45o. Leiame puutuja võrrandi koonuse moodustajale kui parabooli puutujale. Enne tuleb leida aga tuletis funktsioonist y = x2. y´(x) = 2x. k = f ( x0 ) = 2 2 x0 2 x0 = 1 x0 = 0,5 y0 = 0,52 = 0, 25
tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9. Koonuse põhja pindala ja telglõike pindala on võrdsed. Avalda koonuse ruumala, kui moodustaja on m. 10. Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11. Ringi raadiusega 1 on joonestatud maksimaalse suurusega võrdkülgne kolmnurk, sellesse siseringjoon, saadud ringi võrdkülgne kolmnurk jne. Leia tekkivate kolmnurkade pindalade summa. 12. Humalavars kasvab 6 cm ööpäevas. Ta väändub ümber puu maaga 30° nurga all. Puu
Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 . 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamisvahemik ja ekstreemumid. 3) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 7
3) Järgnevalt leidke kõigi kolmekohaliste arvude summa 4) Mitu protsenti punktis 2) leitud summa moodustab punktis 3) leitud summast. Vastus: 1) 101;104; 107 ja 992; 995; 998 2) 164850 3) 494550 4) ligikaudu 33% 9. Sõnalised ekstreemumülesanded a) Traadiga, mille pikkus on 800m, tuleb viierealiselt piirata ristkülikukujuline maatükk. Leida ristküliku mõõtmed nii, et maatüki pindala oleks suurim. Vastus. 40m, 40m b) Silindri telglõike ümbermõõt on 6dm. Milline on selle silindri suurim ruumala? Vastus. dm 3 -8- - c) Koonuse moodustaja on 2 3 dm. Milline võib olla koonuse suurim ruumala? Leida see. 1
Vastus: 1) cos 2x 2)1/7 3) paaris 4) x {-135 ° ;-45 ° ; 45 ° ;135 ° } 10.Sõnalised ekstreemumülesanded a) Traadiga, mille pikkus on 800m, tuleb viierealiselt piirata ristkülikukujuline maatükk. Leida ristküliku mõõtmed nii, et maatüki pindala oleks suurim. Vastus. 40m, 40m *b) Silindri telglõike ümbermõõt on 6dm. Milline on selle silindri suurim ruumala? dm3 Vastus. 3 *c) Koonuse moodustaja on 2 dm. Milline võib olla koonuse suurim ruumala? Leida see.
Iga negatiivse argumendi väärtuse korral on funktsiooni väärtus 4 võrra väiksem funktsiooni g ( x ) = ( x 2 - 3x - 2 ) väärtusest. Leia mitu lahendit on võrrandil f ( x ) = 0 . 2 B-9 On antud ristkülik külgedega 5 cm ja 12 cm, järgmise nelinurga saamiseks ühendatakse antud ristküliku külgede keskpunktid jne. Leia mitmendast ristkülikust alates on ristküliku ümbermõõt väiksem, kui 2mm. B-10 Leia koonuse telglõike pindala, kui koonuse kõrgus on 4 ja pindala 24 . B-11 Leia rööpküliku pindala, kui suurem diagonaal on 13 ja vähima kõrguse ja nurga suurused on vastavalt 5 ja 450. C-1 Lahenda võrrand log 2 ( x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 ) = log 2 ( x - 1) 11 - 2 x y=
annaabi.ee 
