"pöördkeha" - 48 õppematerjali

kuup) Hulktahukaks nimetatakse geomeetrilist keha, mida piiravad ainult hulknurgad. Hulktahukat piiravaid hulknurki nimetatakes hulktahuka tahkudeks, hulknurkade tippe hulktahuka tippudeks ja hulknurkade külgi hulknurga servadeks. Hulktahukad jagunevad kumerateks ja mittekumerateks. Pöördkehadeks nimetetakse geomeetrilist keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel ümber oma telje. Telglõikeks nimetatakse pöördkeha lõiget telge läbiva tasandiga.  Prisma St=2Sp+Sk Sp=a*b (Sp=4a) Sk=P*H P=2a+2b V=Sp*H H=V/Sp Kaldprisma korgus on lühem, kui külgserva pikkus. Püramiid St=Sp+Sk Sp= vastavalt, kas põhi on ruut, ristkülik või kolmnurk. Sk=a*h(m)*n/2 Sk=P*n/2 P=a*n V=Sp*H/3 Kuup St=(4*a)6 Sk=4*a V=Sp*H Kera Kera on pöördkeha. Kera pinda nimetatakse sfääriks. Suur ringi pöörlemisel ümber oma telje moodustub kera. Koonus Koonus on kolmnurk, mis pöörleb ümber oma telje,

Pöördkeha ruumala arvutamine

Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0

Pöördkehad

Pöördkehad reede, 10. mai 2013. a Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium Definitsioon Pöördkehaks nimetatakse geomeetrilist keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel ümber kujundi tasandil asetseva sirge (telje) Pildid: http://mathworld.wolfram.com/ Silinder Silindriks nimetatakse pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe oma külje Külgpindala Täispindala S k = 2 r h S = Sk + 2 S p = silindri külgpind = 2 r (r + h) gl et h Ruumala i r dnili s

Geomeetria stereomeetria

2 1 3 1  63  V  r 2  H      63 3     tan 32     13514 cm 3 r . Vastus. Koonuse külgpindala on ligikaudu 2384 cm² ja ruumala 13514 cm³. 6) Võrdhaarne kolmnurk haaraga 8 cm ja alusnurgaga 30o pöörleb ümber ühe haara. Leidke tekkinud pöördkeha ruumala ja pindala. Lahendus. C 8 A´ Kolmnurga pöörlemisel tekib pöördkeha, mis koosneb kahest koonusest, milledel on ühine põhi. Ühe koonuse ristlõige on võrdhaarne 8 8 kolmnurk ABA´ ja teisel AA´C. Leiame pöörleva kolmnurga aluse 2x. AO

Määratud integraal

= - + 2 + 3 x = - + 2 + 3 3 - - +2 3 2 -1 3 2 3 2 1 1 11 3 - 1 32 2 = -9 + 9 + 9 - + 1 - 3 = 9 + 2 - = = = 10 3 3 3 3 3 PÖÖRDKEHA RUUMALA Pöörelgu funktsiooni y = f ( x ) graafik ümber x telje. Tekib pöördkeha, mille ruumala otsime. Jaotame lõigu [a, b ] n osaks xi ( i = 1,2, , n ) . Jaotuspunktidest paneme läbi x teljega ristuvad tasandid, mis jaotavad pöördkeha n-ks kettataolisteks osaks. Igal osalõigul [ xi -1 , xi ] valime punkti i . Asendame vastava pöördkeha osa silindriga, mille põhja raadius on f (i ) V = r 2 h Sellise silindri ruumala on [ f ( i ) ] xi , xi = xi - xi -1 . 2

Määratud integraal

= - + 2 + 3 x = - + 2 + 3 3 - - +2 3 2 -1 3 2 3 2 1 1 11 3 - 1 32 2 = -9 + 9 + 9 - + 1 - 3 = 9 + 2 - = = = 10 3 3 3 3 3 PÖÖRDKEHA RUUMALA Pöörelgu funktsiooni y = f ( x ) graafik ümber x telje. Tekib pöördkeha, mille ruumala otsime. Jaotame lõigu [a, b ] n osaks xi ( i = 1,2, , n ) . Jaotuspunktidest paneme läbi x teljega ristuvad tasandid, mis jaotavad pöördkeha n-ks kettataolisteks osaks. Igal osalõigul [ xi -1 , xi ] valime punkti i . Asendame vastava pöördkeha osa silindriga, mille põhja raadius on f (i ) V = r 2 h Sellise silindri ruumala on [ f ( i ) ] xi , xi = xi - xi -1 . 2

Kollokvium V määratud integraal: kõik mida küsitakse

Järeldus: Kui meil on y=f(x) sile joon x,y-tasandil, siis selle joone pikkus on välja arvutatav sellise valemiga: N. y=chx (0x2) s-? N. Kui joon on antud polaarkordinaatides =() [] Siin on kasulik teisendada parameetrilisele kujule ja parameetriks võtta : Lause2. Kui sile joon on antud nii: =() (), siis tema pikkus s on arvutatav nii: 2.18. Pöördkehade ruumalate arvutamine i-nda osakaare pöörlemisel tekkinud püstsilinder: Saame lähisväärtuse meid huvitava pöördkeha ruumala jaoks: Lause1. Kui meil on lõigul (a,b) antud pidev funktsioon y=f(x), mis on pidev sellel lõigul, siis kaare pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala avaldub selliselt: Kui aga sirge võrrand on antud meile parameetrilisel kujul, näitkes nii: Külgpindala Tingimustel, et joon on sile ja pidev lõigul [a,b] saame integraalsumma:

Survetöötlemine ja valutehnoloogia

1.2 Leida horisontaalse valuvormi pöörlemiskiirus nhor Osa 2. Vertikaalsesse vormi kõrgusega HV ja raadiusega RV valatakse sulametalli kogus Vmet. Nõutud on valandi minimaalne seinapaksus t1 . 2.1 Leida vertikaalse valuvormi pöörlemiskiirus nvert 2.2 Skitseerida vastav pind (tähistada HV, RV, t1, x1, T, P) Osa 3. Vertikaalne vorm kõrgusega HV ja raadiusega RV pöörleb kiirusega n. Vormi valatakse sulametalli kogus Vmet. 3.1 Arvutada vajalikud pöördkeha vabapinna koordinaadid 3.2 Skitseerida tekkiv pind (tähistada HV, RV) 3.3 Kontrollida valandi seinapaksuse vastavust lubatud hälbele R. Algandmed võtta tabelist vastavalt variandile kus: HV ­ Valuvormi kõrgus (pikkus), mm. RV ­ Valuvormi raadius, mm. K ­ koormustegur (mitu korda tsentrifugaaljõud ületab gravitats. jõu) Vmet ­ vormi valatud sulametalli kogus, cm3. t1 ­ valandi seinapaksus vormi ülemises osas, mm

Silinder ja selle osad. Silindri pindalad ja ruumala.

Silinder ja selle osad. Silindri pindalad ja ruumala. 1. SILINDER JA SELLE OSAD. Silindriks nimetatakse pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe külje. Külg, mille ümber ristkülik pöörleb on silindri kõrguseks. H Külg, mis pöörleb on raadiuseks. R Silindri diagonaaliks on diagonaallõike diagonaal. 2. SILINDRI PINDALAD ja RUUMALA. Silindri põhjaks on ringid. Seega on põhjapindalaks ringi pindala. PÕHJAPINDALA 3. NB!!!! pöördkehade ARVUTUSTES:

Koonus referaat

 Koonus Koonuseks nimetatakse pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma kaateti koonuse Külgpindala Täispindala moodustaja Sk = r m d S = Sk + S p = pin ülg gl et m

Kera, selle pindalad ja ruumala.

Kera, selle pindalad ja ruumala. Keraks nimetatakse pöördkeha,m is tekib ringi (või poolringi) pöörlemisel ümber diameetri.' Kera pinda nimetatakse SFÄÄRIKS. Kera lõiget keskpunkti läbiva tasandiga nimetatakse SUURRINGIKS. Sfääri mistahes punkti kaugust kera keskpunktist nimetatakse kera RAADIUSEKS. 2. Mõningad mõisted, mis on seotud kera, ringi ja ringjoonega: Ringjoone puutuja ­ sirge, mis puutub ringjoont (kera pinda) ainult ühes kohas ja on risti ringi (kera) raadiusega

Insenerigraafika spikker

Vaatega ühendatud lõike puhul ei lõigata eset mitte terves ulatuses läbi, vaid ainult teatud osas, joonestades lõigatud osa kokku lõikamata jäänud vaateosaga. Siia kuuluvad poolvaatlõige ja kohtlõige. Poolvaatlõige vormistatakse ainult sümmeetrilistest kehadest, kusjuures vaate- ja lõikeosa eraldusjooneks on sümmeetriatelg. Poolvaatlõiget ei tähistata. Poolvaatlõikes võib kujutada ka selliseid esemeid, mis tervikuna ei ole sümmeetrilised, kuid omavad pöördkeha näol sümmeetrilist elementi. Kohtlõige tehakse eseme konstruktsiooni näitamiseks ühes kitsalt piiratud kohas. Kohtlõige eraldatakse vaateosast kas pideva vabakäejoone või murretega peenjoone abil. Ka kohtlõiget ei tähistata. Ristlõige on kujutis, mis saadakse eseme mõttelisel läbilõikamisel tasapinnaga. Ristlõike ülesandeks on selgitada eseme läbilõigatud koha geomeetrilist kuju moondevabalt. Ristlõikel (erinevalt lõikest) näidatakse üldjuhul ainult lõikavale

Matemaatiline analüüs KT2

Newton-Leibnitzi valem. Teoreem: Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem ba f(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)|ba 37. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks Ositi integreerimise valem: 38. Üks määratud integraali rakendus omal valikul, koos tõestusega Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. Tekkiva ristlõike pindala sõltub lõiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funktsioon. Tähistame ristlõike pindala S (x) -ga. Eeldame, et S (x) on pidev. Tükeldame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega a = < < < . . . < = b. Valime igal osalõigul [, ] ühe punkti . Tähistame = -

Valemid ja Mõisted

Hulktahukat, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänd tahud ühise tipuga kolmnurgad. Joonisel on korrapärane püramiid, mille põhjaks on ruut. Püramiidi tipp on -S, põhi on ruut -ABCD, külgtahud on -ABS, BCS, CDS, ja ADS, külgservad on -AS, BS, CS, DS, põhiservad on- AB, BC, CD ja AD kõrgus on - SO. Liigid: 1. Korrapärased ja mittekorrapärased 2. kolmnurksed, nelinurksed jne püramiidid Pindala: St=Sk+Sp Ruumala: V=·h·Sp 8. Silinder: Mõiste: Silinder on pöördkeha. Silindri moodustab ristkülik, mis pöörleb ümber ühe külje. Telgllõige: Silindri telglõige tekib, kui silindrit lõigata tasandiga, mis läbib põhjade diameetreid. Pindala: S=Sk+2Sp Ruumala: V= r²·h 9. Koonus: Mõiste: Koonus on pöördkeha. Koonuse moodustab täisnurkne kolmnurk, mis pöörleb ümber ühe kaateti. Koonuse telglõige: Koonuse lõikamisel tasandiga, mis läbib telge nim. telglõikeks. Pindala: S=Sk+Sp Ruumala: V= r²·h 10. Kera:

Puutüve mahu määramine

ÕPPEMATERJAL Puutüve mahu määramine Maaelu Arengu Euroopa Põllumajandusfond: Euroopa investeeringud maapiirkondadesse TÜVE MAHU MÄÄRAMINE Tüvemoodustaja, koondekoefitsient, vormiarv, vormikõrgus  Puutüve moodustaja • … on puutüve kuju pikisuunas kujutav joon graafikul  Puutüve moodustaja • Kui kujutada tüvemoodustajat pöörlema ümber oma telje, tekib pöördkeha, mille ruumala on vastavuses puutüve ruumalaga  Puutüve moodustaja • Mis kasu saab tüvemoodustaja teadmisest?  Puutüve moodustaja • Selle abil saab arvutuslikult leida puutüvest saadavate erinevate puidusortide maksimaalseid mahtusid. Piiriks on puidusortide minimaalsed ladvadiameetrid.  Puutüve moodustaja • Kui täpselt saab puutüvemoodustajat ennustada ainult puu rinnasdiameetri ja kõrguse järgi?

Lõiked

44:2001 (E) ja ISO 128-50:2001 (E) järgi]. Mõlemad on ühe tasandiga tehtavad lõiked, seejuures lõigatakse objekti ainult teatud osas, joonestades lõigatud osa kokku lõikamata jäänud vaateosaga. Poolvaatlõige joonestatakse ainult sümmeetrilistest kehadest, kusjuures vaate ja lõike osa eraldusjooneks on sümmeetriatelg (kriips-punktpeenjoon). Poolvaatlõiget ei tähistata. Poolvaatlõiget võib kasutada ka selliste esemete juures, mis tervikuna ei ole sümmeetrilised, kuid omavad pöördkeha kujulist sümmeetrilist elementi. Kohtlõiget kasutatakse eseme sisemise konstruktsiooni näitamiseks kitsalt piiratud kohas. Kohtlõige eraldatakse vaateosast kas pideva peene vabakäejoonega või murretega peenjoone abil. Ristlõiked Ristlõige on kujutis, mis saadakse detaili mõttelisel läbilõikamisel tasandiga [vastab standardile ISO 128-40:2001 (E), ISO 128-44:2001 (E) ja ISO 128-50:2001 (E)].

Kolmas kollokvium

Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja Darboux’ al...

Loodusteaduste Matemaatika kordamisküsimused

http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid. 29) Tehetega seotud integreerimisreeglid. 30) Muutujate vahetus määramata integraalis. Muutujate vahetuse valem: For more information go to porns lecture nr 11 31) Ositi integreerimine. For more information go to porns lecture nr 11 32) Määratud integraal. 33) Tasandilise kujundi pindala. 34) Pöördkeha ruumala. 35) Määratud integraali ligikaudne arvutamine.

Treimine-lihvimine

Ettevalmistus treimiseks Enne treimise alustamist tuleb ette valmistada treitav toorik, esmalt eemaldada detaililt kõik naelad ja muud võõrkehad. Puidu treimiseks vali selline materjal, millel puuduvad oksa kohad. Joonlaua abil tee kindlaks ja märgi ära töödeldava detaili mõlema otsa tsentrid. Töödeldava detaili mõlemasse otsa puuri tsentri augud ja anna seejärel töödeldavale detailile võimalikult suur pöördkeha kuju. Eriti kõva puidu korral on töödeldavale detailile kaasaveotsentri poolsesse otsa vaja teha sälgud. Tooriku paigaldamine treipinki Kui toorik on ette valmistatud, aseta treitav toorik korralikult treipinki. Jälgi ohutustehnikat. Kinnita tsentreeritud töödeldav detail esi- ja tagapuki tsentrite vahele. Keera tagapuki käsiratast seni, kuni ujutsenter tungib töödeldavasse detaili.

12. klass matemaatika kordamine

Mitme protsendi võrra väheneks autol selle vahemaa läbimiseks kuluv aeg, kui ta a) suurendaks kiirust 60% võrra? b) lisaks kiiruse suurendamisele 60% võrra swõidaks 10% võrra lühemat teed? 39. Leia milliste a parameetri a väärtuste korral on võrrandil 4 5 = positiivne lahend. 3 x - a ax - 2 40. Võrdhaarne kolmnurk haaraga 10 cm ja alusnurgaga 30º pöörleb ümber telje, mis läbib tippu ja on paralleelne alusega. Leia pöördkeha ruumala. 41. Ringi raadiusega 15 cm on joonestatud korrapärane viisnurk. Mitu protsentiringi pindalast jääb viisnuragast väljaspoole? t -5 t -1 42. Kas leidub muutuja t selline väärtus, mille korral murdude ja summa 5 - 3t 4t +1 oleks võrdne nende murdude korrutisega? 43

Kollokvium integraal

Funktsioon uurimine 1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algf...

Matemaatiline analüüs - konspekt II

võrranditega {x=(t) ja y=(t), (t[,]), kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv f-n lõigul[,]. Kui ()= a ja ()= b, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trspetsi pindala avaldub kujul S= (t)'(t)dt. 50. Keha ruumala arvutamine määratud integraali abil: Kui f-n f(x) on lõigul [a,b] pidev ja mittenegatiivne, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b määratud kõverjoonelise trapetsi D pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumalaks V nim piirväärtust lim(n, maxxi0) (n,i=1) f2(i)xi, kui see ei sõltu lõigu [a,b] tükeldamise viisist ja valikust i [xi-1,xi] (i = 1;2;...n). Et f(x) C[a,b] f2(x) [a,b] f2(x) I [a,b], siis eelnimetatud piirväärtus eksisteerib. Vormistame saadud tulemuse. Kui f(x) >=0 ja f(x) C[a,b], siis joontega y=f(x) (a<=x<=b), x=a (0<=y<=f(a)), x=b (0<=y<=f(b)) ja y=0 (a<=x<=b) piiratud kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala V avaldub kujul

Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor)

kaubelda 5% võrra odavamaks. Kui suur on nüüd laenuprotsent? 8. Kolme arvu summa on 217. Need arvud on mingi geomeetrilise jada kolm järjestikust liiget ja teatava aritmeetilise jada teine, üheksas ja 44-es liige. Mitu esimest liiget tuleb võtta sellest aritmeetilisest jadast, et nende summa oleks 820? 9. Võrdhaarse trapetsi lühem alus on 4 dm ja haar 5 dm ning teravnurk 45o. Trapets pöörleb ümber oma pikema aluse. Leidke pöördkeha ruumala ja täispindala. 2x 10. Uurige f-ni y = (X, Xo, X+; X-; X , X , Xe) ja skitseerige graafik. 1- x2 11. Rombi diagonaalid suhtuvad nagu 3:4 ja ta ümbermõõt on 6 m. Arvutage diagonaalide pikkused ja nurk lühema diagonaali kõrguse vahel. Vastused. 1. AB: x ­ 3y + 5 = 0; (-5;0) ja (0;5/3); AC: 3x ­ y ­ 1=0; (1/3;0) ja (0;-1); x ­ 3y + 13 = 0; k = -3; 2. x2 + (y-4,5)2=6,25 ja y = 2; (2,5;2). 3. x + 3y ­ 1 = 0

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Järelikult tuleb S-i leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned ja asetsevad ülalpool x-telge võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame joone ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindalast joone ja x telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala. Valemi põhjal võrdub esimese kõrvertrapetsi pindala integraaliga ning teine . Lõpuks arvutame 22. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem. a. Olgu antud ruumiline keha V, mis paikneb tasandite x=a ja x=b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V-ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. b. Eeldame, et ristlõike S(x) pindala on pidev. c. Tükeldame lõigu [a,b] osalõikudeks punktidega: d. Valime osalõigul punkti pi tähistame: xi= e. Kui vaadelda tasandite vahele jäävat kihti, siis tuleb ligikaudseks valemiks: f. , kui g

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

b 2 V fx dx a Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud keha ruumala b V 2 xf x dx a  Näide 16. Vaatleme kõvertrapetsit (sinusoidi), mis on piiratud joonega y sin x, x 0, ja x-teljega. Kui see kõvertrapets pöörleb ümber x-telje, on tekkinud pöördkeha ruumala 1 2 V sin 2 xdx 2 1 cos 2t dt 2 t 0 4 sin 2t 0 2 4. 93 0 0

Matemaatika mõisted

alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk ­ nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma ­ hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud ­ kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha ­ keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem ­ antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66. Pöördvõrdeline seos ­ niisugune seos kahe suuruse x ja y vahel, mille korral nende suuruste korrutis on konstant a : xy = a. 67. Püramiid ­ hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad. 68

Tehniline mehaanika I

Massikese- sinna võib kujutletavalt koondada süsteemi kogu massi. Homogeene keha- ühtlane keha. 1. Pappose-Guldini teoreem ­ Kui tasandiline joon pöörleb ümber joone tasandis paikneva ja joont mitte lõikava telje, siis võrdub tekkiva pöördpinna pindala joone pikkuse ja joone keskme poolt läbitud ringjoone pikkse korrutisega. 2. Pappose-Guldini teoreem- Kui tasandiline kujund pöörleb ümber kujundi tasandis paikneva ja kujundit mitte lõikava telje, siis võrdub tekkiva pöördkeha ruumala kujundi pindala ja tema pinnakeskme poolt läbitud ringjoone pikkuse korrutisega. Staatiline moment- liitkujundi staatiline moment mingi telje suhtes võrdub teda moodustavate kujundite staatiliste momentide algebralise summaga sama telje suhtes.Sx=ycA, Sy=xcA Keskteljed- Teljed,mis läbivad kujundi pinnakeset. Staatiline moment iga kesktelje suhtes võrdub nulliga. Telginertsmoment-on pinnakaraketeristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotust mingi telje suhtes.

LÕIKETEOORIA

paiknevad otspinnal  Puuri vardale on töödeldud spiraalne soon  , mille ülesandeks on laastu väljstoomine avast .  Pealiikumine puurimisel on puuri pöörlemine ümber oma telje  Etteandeliikumine puurimisel toimub puuri telje suunas  Puurimisel tekkiv laast on kruvikujuline . Treimine .  Treimine on tehnoloogiline protsess, mille tulemusena saadakse pöördkeha kujulisi detaile  Toorikule antakse pöörlev liikumine ümber oma telje  Tera liigub piki kahes suunas  Raadiuse suunaline etteanne  Teljesuunaline etteanne . Lihvimine  Lihvimine on puidu töötlemine abrasiivmaterjalidega  Abrasiiv osakeste teravad servad lõikavad puidu pinnalt laastu  Mida väikesemad on abrasiiv osakesed seda õhemat laastu nad eemaldavad seega saadakse peenema abrasiiviga siledam pind

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

keha ruumala valem. Teisest küljest: valemi paremal poolel seisab funktsiooni S integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult saame pikima osalõigu pikkuse lähenemisel nullile järgmise täpse valemi keha ruumala jaoks ristlõigete pindalade järgi: Pöördkeha ruumala Olgu antud funktsioon f lõigul [a, b]. Eeldame, et f (x) on pidev ja f (x) 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit K. Paneme kujundi K pöörlema ümber x-telje. Tulemusena saame pöördkeha V. Keha V lõikamisel x-teljega ristuva tasandiga tekkiv lõige on ring, mille raadius võrdub f (x)-ga (sest kujundi K kõrgus punktis x on f (x)). Seega on ristlõike pindala ja üldisest keha ruumala valemist saame järgmise valemi V ruumala jaoks: 45. Tuletada joone pikkuse valem Olgu antud joon võrrandiga y = f (x), kus a x b. Tähistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega

Matemaatiline analüüs 1

ning y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga , siis Lõpuks arvutame Olemegi tõestanud valemi. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. Tekkiva ristlõike pindala sõltub lõiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funktsioon. Tähistame ristlõike pindala S (x) -ga. Eeldame, et S (x) on pidev. Tükeldame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega a = < < < . . . < = b. Valime igal osalõigul [, ] ühe punkti

Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon

I dx = A = A ln x - a + C x -a x -a  A ( x - a) -m +1 ( x - a ) m dx = A ( x - a ) dx = A - m +1 + C = -m II A = +C (1 - m )( x - a ) m -1 Integraali rakendused 1.Pindala arvutamine. Määratud integraal annab kõvertrapetsi pindala. 2.Pöördkeha ruumala. Oletame et f y=f(x) pöörleb ümber x telje, tekib pöördkeha. b V = [ f ( x ) ] dx juhul kui pöörleb ümber x telje 2 a d V = [ g ( y ) ] dy juhul kui pöörleb ümber y telje 2 c 3.Funktsiooni keskmine väärtus lõigul Joonestame ristküliku, mille kaks külge on paralleelsed sirged x = a ja x = b ning teised kaks y = 0 ja y = k, kus k on funtsiooni f(x) keskmine väärtus lõigul [a;b]. Seesuguse kujundi pindala on (b - a ) k

Matemaatiline analüüs I eksami kordamisküsimused vastused

a. 1. Lõigus (a;b) pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus b. 2. Lõigus(a;b) monotoonne funktsioon f(x) on integreeruv selles loogus(kasvav või kahanev) c. 3. Lõigus (a;b) integreeruv funktsioon f(x) on tõkestatud selles lõigus(funk. Saab ette panna piirid) 27. Ositi integreerimine: ∫ udv=uv −∫ vdu 28. Määratud integraal rakendused: Tasandilise kujundi pindala leidmisel, ruumilise kujundi ruumala leidmisel, pöördkeha ruumala leidmisel, töö arvutamisel. 29. Kui funktsiooni f(x) pole tõkestatud punkti b ümbruses, siis defineerime päratu integraali kui f ( x ) dx= lim ¿ t t−b −¿ ∫ f ( x ) dx a

Nimetu

1. TASANDILISE KUJUNDI PINDALA Olgu tasandiline kujund D piiratud joontega y = f(x) ja y = g(x), kusjuures Dx = [ a, b ] ning f(x) > g(x), x [ a, b ]. Siis b SD = (f(x) ­ g(x))dx. a 2. KEHA RUUMALA ARVUTAMINE Olgu keha K lõigatud tasandiga x = const ja olgu selle lõike pindala S(x). Kui Kx = [ a, b ], siis b VK = S(x)dx. a Kui K on pöördkeha, mille moodustajaks on joon võrrandiga y = f(x), siis S(x) = f 2 (x) ja seega b VK = f 2 (x)dx. a 3. TASANDILISE KAARE PIKKUS Olgu tasandiline joon L määratud ilmutatud võrrandiga y = f(x). Kui selle joone kaare jaoks Lx = [ a, b ], siis b sL = 1 ­ [f´(x)]2 dx. a  13 PÄRATUD INTEGRAALID 1

Joonestamine

 Mõlemad on ühe tasandiga tehtavad lõiked, seejuures lõigatakse objekti ainult teatud osas, joones- tades lõigatud osa kokku lõikamata jäänud vaateosaga. Poolvaatlõige joonestatakse ainult sümmeetrilistest kehadest, kusjuures vaate ja lõike osa eraldusjooneks on sümmeetriatelg (kriips-punktpeenjoon). Poolvaatlõiget ei tähistata. Poolvaatlõiget võib kasutada ka selliste esemete juures, mis tervikuna ei ole sümmeetrilised, kuid omavad pöördkeha kujulist sümmeetrilist elementi. Sele 41. Poolvaatlõige Sele 42. Detaili sümmeetriline osa poolvaatlõikes Kohtlõiget kasutatakse eseme sisemise konstruktsiooni näitamiseks kitsalt piiratud kohas. Kohtlõige eraldatakse vaateosast kas pideva peene vabakäejoonega või murretega peenjoone abil. Sele 43. Kohtlõiked Ristlõiked Ristlõige on kujutis, mis saadakse detaili mõttelisel läbilõikamisel tasandiga [vastab standardile

Füüsika

1.2.7. Pöörleva keha kineetiline energia: Ümber fikseeritud telje OO' pöörleva keha Wk arvutamiseks tuleb keha jälle jagada punktmassidena vaadeldavateks väikesteks osadeks ja liita nende punktmasside kineetilised energiad. Tulemusena 1 2 saame: Wk = I O , kus IO on keha inertsimoment telje OO' 2 suhtes ja on keha pöörlemise nurkkiirus. Pöördkeha veeremisel 1 2 1 2 saame Königi teoreemi abil: Wk = I C C + mvC . Siin indeks C 2 2 tähistab pöördkeha puhul alati pöörlemisteljel asuvat massikeset, ühtlasi siis ka pöörlemistelge ennast. 1.3. Töö ja energia 1.3.1. (ja 1.3.2) Töö ja võimsus 5 6 1.3.2. 1.3.3

Solid Edge

joonis 5-30 5.3 Velg o Luua Sketch [joonis 5-31;a] o Soovitatavad vahendid on Arc, Circle, Offset ja Trim. Luua üks pool, peegeldada (Mirror) teine pool ning siduda (Connect) pooled kaarte otspunktides tervikuks. Kuna tegemist on pöördkehaga, siis tuleb lisada ka joon (pöördetelg), ümber mille soovitakse eskiis pöörlema panna. o Luua pöördkeha. 3600(Revolve) [joonis 5-31;a] a b joonis 5-31 51 3d modelleerimine o Luua XY tasapinnale joonestatavast Sketchist pöördkeha [joonis 5-32;a;b] a b joonis 5-32

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I"

x =2 2 2 -1 = A( 2 - 2 ) + B ( 2 -1) 3=B Saime A = -1, B = 3 2 x -1 -1 3 Seega = + ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2 . Kui liikmeid on rohkem, siis võetakse ka konstante rohkem . Meie reegilina rohkem kui kolme konstandiga ratsionaalavaldisi ei lahenda. Integraali rakendused (ilma ülesanneteta)- Integraali rakendused : 1. Pindala arvutamine määratud integraali abil 2. Pöördkeha ruumala arvutamine 3. Funktsiooni keskmine väärtus lõigul 4. Joone kaare pikkus 5. Kehade pind- ja masskeskmed, tehnikas inertsmomendid, staatilised momendid 8

Metsade hindamise konspekt

korrigeerinud nii A.Nilson kui A.Lepp. Nimetatud lähendit kasutatakse peamiselt kasvavate tüvede mahu määramisel. Puutüve pikilõikest annab hea ülevaate selle graafiline kujutis, milleks mitmesugustelt tüve pikkustelt (kasvava tüve korral kõrgustelt) määratud läbimõõtu kujutatakse mõõdus 1 : 1 või 1 : 2 , vastavat pikkust (kõrgust) aga mõõdus 1 : 100 või 1 : 200. Kujutades tüvemoodustajat ümber oma telje pöörlema, tekib pöördkeha, mille ruumala on vastavuses puutüve ruumalaga Iga puu tegelikkusele võimalikult lähedase tüvemoodustaja saab teada ainult mõõtmiste kaudu(mida tihedamalt mõõdetud seda täpsem) Puutüve moodustaja valemid on üldistatud keskmised Lihtsamad analüütilised pöördkehad, millega tüve üksikuid lõike saab võrrelda on (alates tüükaotsast): neiloid, silinder, paraboloid ja koonus. Mahu valemid-ei ole väga täpsed, üldistatud keskmised 1)A. Nilson 2) A. Denzin

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferent...

Loogika konspekt 1-5

Liigierisus (differentia specifica) on tunnus, mis eristab mõistet samasooliste (st sarnaste või lähedaste) mõistete hulgast. Liik (species) soomõiste suhtes on mõiste, millele on omased kõik soomõiste tunnused ja lisaks ka veel liigierisus. species (S) = genus (P) + differentia specifica Levinud määratluse liik on geneetiline definitsioon (kr genesis 'teke, tekkelugu'). See on käsitletav klassikalise definitsiooni alamliigina. Nt: Silinder on pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber oma ühe külje. Ka siin on leitud soomõiste (pöördkeha), millele on liigierisusena lisatud geneetiline tunnus. Problemaatilisem on aga nt toiduretsepti käsitlemine geneetilise definitsioonina. Operatsionaaldefinitsiooni puhul piiritletakse Dfd sisu spetsiifilise protsessi kaudu, nt: Hape on aine, mis värvib lakmuse punaseks.  8_fl_i-v

Matemaatika õpetajaraamat 1. klassile I osa

tatakse püramiidi külgtahkudeks. Geomeetriliste kujundite komplektist lõigatakse välja kolmnurgad, mida kasutatakse ülesande 3 lahendamisel. 10 Egiptuse püramiidid Maailma kõige kuulsam püramiid asub Aafrikas Egiptuses. See on Cheopsi püramiid, mis on ehitatud umbes 2650 eKr. See ehitis on 137 meetrit kõrge. Silinder Tööraamat lk 12 ja 13 Silindri pinnalaotuse näitvahendi valmistamiseks leiab õpetaja raa- matu lisast. Silindriks nimetatakse pöördkeha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev ristkülik. Silindri põhjad on ringid. Silindrit õpitakse tundma sarnaselt eelnevalt õpitud kujunditega vaatluse ja võrdlemise teel. Selles tunnis lahendatakse 1. töö I klassile mõeldud kogumikust „Iseseisvad tööd”. 1. töö selles kogumikus annab võimaluse kontrollida laste teadmisi geomeetriliste kujundite tundmises. 11 Kõverjoon, sirgjoon, punkt ja sirglõik

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused ...

Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...

Matemaatiline analüüs 1 kordaisküsimuste vastused

1. Muutuvad suurused. Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71 1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a0 (joonis) 2. Funktsiooni mõiste Olgu antud 2 suurust x-muutumisp. X, y-muutumisp. Y *Def.1 Me nim funktsiooniks kujutust, mis seab igale x väärtusele piirkonnas X ...

Valemid ja mõisted

a Kui funktsioonid f ( x ) ja g ( x ) täidavad lõigul [ a ; b ] tingimust f ( x ) g ( x ) , siis joontega y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b piiratud kujundi pindala b S = f ( x ) - g ( x ) dx . a Joontega y = f ( x ) , x = a , x = b , y = 0 piiratud kujundi pöörlemisel ümber x-telje moodustuva pöördkeha ruumala b V = f ( x ) dx . 2 a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis.

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE: Valemid

joontega y  f  x  , y  g  x  , x  a , x  b piiratud kujundi pindala b S    f  x   g  x  dx . a Joontega y  f  x  , x  a , x  b , y  0 piiratud kujundi pöörlemisel ümber x-telje moodustuva pöördkeha ruumala b V     f  x  2 dx . a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o,

LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest

nt lõbu on vaeva vastand. Operatsionaalsetest definitsioonidest oli juba ülalpool juttu. Operatsionaalsete definitsioonide hulka ei liigilata selliseid klassikalisi definitsioone, mille liigierisus defineeritakse operatsionaalselt. Mõnel juhul on tegemist klassikalise definitsooni erijuhtumiga, mida tuntakse kui geneetilist definitsiooni, milles liigierisus määratakse Dfd tekke või valmistamisloo kaudu, nt silinder on pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe oma külje. 15 Tähtsaimaks defineerimise liigiks peetakse klassikalist defineerimist, st defineerimist soo ja liigierisuse kaudu (definitions by genus and difference). i Joonis 3.7. Klassikalises definitsioonis on liigitermini maht identne defineeritava (Dfd) mahuga, sest liiki ju defineeritaksegi, samuti on see võrdne defineeriva (Dfn) mahuga, mis saadakse sootermini mahu kitsendamisel, mis jätab alles ainult liigierisust kandvad objektid

LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK

nt lõbu on vaeva vastand. Operatsionaalsetest definitsioonidest oli juba ülalpool juttu. Operatsionaalsete definitsioonide hulka ei liigilata selliseid klassikalisi definitsioone, mille liigierisus defineeritakse operatsionaalselt. Mõnel juhul on tegemist klassikalise definitsooni erijuhtumiga, mida tuntakse kui geneetilist definitsiooni, milles liigierisus määratakse Dfd tekke või valmistamisloo kaudu, nt silinder on pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe oma külje.  15 Tähtsaimaks defineerimise liigiks peetakse klassikalist defineerimist, st defineerimist soo ja liigierisuse kaudu (definitions by genus and difference). i Joonis 3.7