docstxt/13813960498367.txt...
docstxt/14155672529129.txt...
docstxt/14155674642738.txt...
docstxt/14155675611828.txt...
docstxt/14185730602404.txt...
docstxt/1418574066795.txt...
docstxt/14185748439186.txt...
Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R,...
KLASS GEOMEETRILISED KUJUNDID Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. Sektori kaare AB kohta öeldakse, et kesknurk toetub sellele kaarele. Kaarekraad Ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nimetataks piirdenurgaks. Kõõlude teiste otspunktide vahelise kaare BC kohta öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEOR...
STEREOMEETRIA Risttahukas S 2ab bc ac c V S p H abc d d a2 b2 c2 b a Kuup S 6a 2 d a V a3 d a 3 a a Püstprisma S t 2S p S k H= l Kü lg pindala S k P H V Sp H A B C Kaldprisma S t 2S p S k...
1. Mis on kujutava geomeetria esimeseks ja olulisimaks eesmärgiks? Kujutava geomeetria eesmärgiks on teoreetiliste aluste andmine jooniste valmistamiseks ja lugemiseks 2. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Tsentraal projekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist, paralleel projekteerimisel on kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine siht. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad?...
Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge...
Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse v...
Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvut...
docstxt/13862819699067.txt...
Tõelist kujutist saab tekitada ekraanile, näivat ei saa. Silm annab esemest alati tõoelise kujutise. Joonis 1: Tõeline ja näiv kujutis Joonis 2: Punktvalgusallikas tekitab esemest täisvarju. Joonis 3: Poolvarju tekkimine kahe punktvalgusallika ja suure valgusallika korral. Joonis 4: Langemisnurk ja peegeldumisnurk on võrdsed. Joonis 5: Valguse peegeldumine siledalt ja karedalt pinnalt. Joonis 7: Kujutise leidmine tasapeeglis. Joonis 8: Nõoguspeegel (vasakul) ja kumerpeegel (paremal). 2.3.1 Kujutise leidmine nõoguspeegli puhul Kasutame esemest väljuvatest kiirtest vähemalt kahte järgmistest: A) optilise peateljega paralleelset kiirt, mis pärast peegeldumist läbib fookuse; B) fookust läbivat kiirt, mis pärast peegeldumist on optilise peateljega paralleelne; C) sfääri keskpunkti C läbivat kiirt, mis pärast peegeldumist läheb sama teed tagasi. D) peegli keskpunkti langenud k...
• A D ABC DEF Sümbolites: C F • Joonisel: Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. • A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE • Joonisel: Teoreem 3: Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. • AB BC AC k ABC DEF Sümbolites: DE FE DF F C • Joonisel: A B D E A...
B C A Eukleidese teoreem Eukleides Vana-Kreeka matemaatik ja filosoof sündinud umbes 325 eKr tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid" sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav tööon kirjutatud ranges loogilises järjekorras on olnud paljude sajandite vältel peaaegu ainsaks geomeetria õpikuks surnud umbes 265 eKr Teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on oma projektsiooni ja hüpotenuusi geomeetriline keskmine. C a fc a fc 2 ehk a h b b gc b gc 2 f g B A...
02.2015 #6 4.5. TRAPETS Joonis 1. Joonisel 𝒔||𝒕 ja 𝒖 ∦ 𝒗. Seega nelinurk ABCD on trapets. Definitsioon 1: Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja teised kaks mitte, nimetatakse trapetsiks. Näiteülesanne: 646 Trapets ja rööpkülik ei ole teineteise erijuhud. Definitsioon 2: Trapetsi paralleelseid vastaskülgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelseid vastaskülgi haaradeks. Alused: 𝐴𝐵 ja 𝐶𝐷 Haarad: 𝐴𝐷 ja 𝐵𝐶 Definitsioon 3: Aluste lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Alusnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐵; ∠𝐶 ja ∠𝐷 Haarade lähisnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐷; ∠𝐵 ja ∠𝐶 Näiteülesanne: 647 Osutub, et haarade lähisnurgad on paralleelsete sirgete (alused) lõikamisel kolmanda sirgega (haar) tekkinud lähisnurgad. Seepärast saame järgmise trapetsi omaduse: Omadus: Trapetsi haarade lähisnurkade summa on 180°. Definitsioon 4: Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks....
Ring ehk kinnine ring on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. 2. Ring sisaldab kõiki punkte, mis on kas ringjoonel või ringjoone sees. 3. Ringi keskpunktiks nimetatakse seda piirava ringjoone kõikidest punktidest võrdsel kaugusel olevat fikseeritud punkti, mis asub ringiga (ja ringjoonega) samal tasandil. 4. Ringi raadiuseks nimetatakse ringi keskpunkti kaugust ringjoonest (ringi keskpunkti kaugus ringjoone mis tahes punktist), samuti ringi keskpunkti ringjoone ükskõik millise punktiga ühendavat sirglõiku. 5. Ringi diameetriks nimetatakse niisugust sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. 6. Ühikringiks nimetatakse niisugust ringi, mille raadiuse pikkus on 1 ühik. 7. Rõngas on kujund, mille moodustavad kaks samal tasandil asuvat kontsentrilist (ühise keskpunktiga) ringjoont....
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
