Kordamine V 1. Silindri kõrgus on 10 cm ning telglõike diagonaal moodustab põhja diameetriga nurga 30°. Arvuta silindri täispindala ja ruumala. 2. Ristkülik külgedega 5 cm ja 10 cm pöörleb ümber pikema külje. Arvuta tekkinud silindri põhja pindala, külgpindala ja täispindala ja ruumala. 3. Täisnurkne kolmnurk kaatetitega 5 cm ja 12 cm pöörleb ümber pikema külje. Leia tekkinud kujundi põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolmnurkse püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 15 cm ja üks kaatet 12 cm. Prisma kõrgus on 11 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 13. Nelinurkse püstprisma põhi on romb, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 7 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 14. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16 cm ning püramiidi kõrgus on 15 cm.
Täisnurkne kolmnurk Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Kera Ruumala: Pindala: Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Ruutvõrrand Intress
Valemeid Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Kera Ruumala: Pindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Täisnurkne kolmnurk
Ringjoone pikkus: C = 2 · · r Pindala: S = · r2 Ruumilised kujundid Kuup Ruumala: V = a3 Täispindala: St = 6 · a2 AB - diagonaal Risttahukas Ruumala: V = a · b · c Täispindala: St = 2(ab + ac + bc) AB - diagonaal Püströöptahukas Põhja pindala: Sp = a · ha Külgpindala: Sk = P · h Ruumala: V = Sp · h Põhja ümbermõõt: P = 2(a + b) Täispindala: St = Sk + 2Sp Korrapärane püstprisma Põhjapindala - kus n on tahkude arv Külgpindala - Sk = a · h · n Silinder Põhja pindala: Sp = Külgpindala: Sk = 2 · · r · h
Külgtahud on ristkülikud ABED, BCFE ja ACFD. Põhiservad on lõigud AB, BC, AC, DE, EF ja DF. Külgservad on lõigud AD, BE ja CF. Kolmnurkne püstprisma on ruumiline kujund ehk keha, sest tema kõik punktid ei asu samal tasandil. Kolmnurkse püstprisma pindala Kolmnurkse püstprisma pindala leidmist on hea vaadata püstprisma pinnalaotuse põhjal. Külgpindala leidmine Sk = P . H Sk - külgpindala P - põhja (kolmnurga) ümbermõõt H - püstprisma kõrgus Põhja pindala - Sp = kolmnurga pindala Täispindala leidmine St = Sk + 2 . Sp
hulknurk ja kõik külgservad on võrdsed. Joonisel on korrapärane püramiid, mille põhjaks on ruut. Püramiidi tipp on S, põhi on ruut ABCD, külgtahud on ABS, BCS, CDS, ja ADS, külgservad on AS, BS, CS, DS, põhiservad on AB, BC, CD ja AD kõrgus on SO. Mis on püramiidi apoteem ? Korrapärase püramiidi tipust tõmmatud külgtahu kõrgust nimetatakse püramiidi apoteemiks. Külgpindala Püramiidi külgtahkude pindalade summa on püramiidi külgpindala. Korrapärase püramiidi 1 külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja püramiidi S k = Pm apoteemi poole korrutisega. 2 Põhja pindala Korrapärase püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk. Korrapärase 1 hulknurga pindala võrdub hulknurga S p = Pr ümbermõõdu (P) ja hulknurga apoteemi
Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H. 0 Arvutame põhja pindala (a ruudus (näiteks 4cm ruudus võrdub 16 ruutsentimeetrit)) 0 Arvutame külgpindala Pythagorase teoreemi abiga. (Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja H vahel on täisnurkne (m on põhikülje keskpunkti kaugus püramiidi tipust). 0 Pythagorase teoreem: H ruudus+a ruudus=m ruudus. 0 Külgpindala valem on P*m, seega kui hetkel oleks a=4cm, H=3cm, siis m=5cm, sest (4*4)+(3*3)=(5*5), 16+9=25. 0 Ruutjuur 25st on 5 ja seega on külgpindala 5cm*(4a)=5cm*16cm=90 ruutsentimeetrit. 0 Täispindala seega 90+(4 ruudus)=90+16=116 ruutsentimeetrit Kas teadsid seda?
Prisma kõrguseks nimetatakse prisma põhjadevahelist kaugust ja seda määravat ristlõiku. Prisma diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu. Korrapäraseks prismaks nimetatakse püstprismat, mille põhjaks on korrapärane hulknurk. Prisma diagonaallõige saadakse, kui lõigata prismat tasandiga, mis läbib prisma kaht mitte ühele tahule kuuluvat külgserva. Prisma külgpindalaks nimetatakse tema külgtahkude pindalade summat. Prisma külgpindala võrdub prisma ristlõike ümbermõõdu ja külgserva korrutisega. Prisma täispindala võrdub külgpindala ja kahe põhja pindala summaga. Prisma ruumala võrdub prisma põhja pindala ja kõrguse korrutisega. S k = Pm V = S p h ( d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) 2 2 2 2 d = a +b +c Sk külgpindala Sp põhja pindala P ristlõike ümbermõõt m külgserv V ruumala h kõrgus a, b rööpküliku küljed d1, d2 rööpküliku diagonaalid
Töötuba on 12,5 m pikk, 9,8 m lai ja 4 m kõrge. Uste ja akende pindalad arvatakse maha üldpindalast. Mitu ruutmeetrit seina tuleb värvida, kui töötoas on kaks ust pindalaga a´ 2,8 m2 ja 6 akent pindalaga a´ 1,4 m2? Lahendus: Töötoa seinte värvimiseks on vaja teada seinte pindalade summat ehk külgindala, millest on maha lahutatud uste ja akende pindalad. Arvutame kõigepealt seinte pindalad koos uste ja akendega ( S k = P H - külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja tahuka kõrguse korrutisega.). Saame S k = 2(12,5 + 9,8) 4 = 178,4 m 2 . Teame, et töötoas on kaks ust pindalaga a´ 2,8 m2 ehk uste jaoks on 2 . 2,8 = 5,6 m2 ja 6 akent pindalaga a´ 1,4 m2 ehk 6 . 1,4 = 8,4 m2. Seega värvida tuleb 178,4 5,6 8,4 = 164,4 m2 seina. Vastus: Värvida tuleb 164,4 m2 seina. 4. Puukuuris oli sügisel üks 2,8m pikkune ja 2,3m kõrgune riit 75 cm pikkuste
PÜRAMIID Tipud E Servad Põhiservad külgservad D C Tahud Põhitahk A B külgtahud Püramiidi pindala Põhja pindala apoteem nar m Sp = 2 Külgpindala nam Sk = 2 Täispindala St=Sp+Sk Püramiidi ruumala E 1 V = Sp H 3 H D C A B Leia korrapärase kuusnurkse püramiidi täispindala ja ruumala, kui põhiserv on 3 cm, põhja apoteem 2,6 cm, püramiidi kõrgus 5 cm ja külgtahu apoteem 5,5 cm. Lahendus Kirjutan välja andmed. Leian põhjapindala Sp Leian külgpindala Sk Leian täispindala St Leian ruumala V
V = 2 · 3 · 4 = 24 cm3. Kolmnurkne püstprisma Kolmnurkse püstprisma põhiservad on a, b, c; põhja kõrgus on h ja prisma enda kõrgus on H. Prisma ruumala saame Prisma täispindala leiame samm haaval. kui põhja pindala korrutame 1) Leiame põhja ümbermõõdu prisma kõrgusega: P=a+b+c 2) Leiame külgpindala V = Sp · H Sk = P · H 3) Leiame põhja pindala a·h Põhjaks on kolmnurk, järelikult Sp = 2 põhja pindala on kolmnurga 4) Leiame täispindala a·h pindala Sp = 2 St = Sk + 2 · Sp
Ristküliku külge AB, mille ümber pöörleb silindrit moodustav ristkülik, nimetatakse silindri teljeks. Silindri telje vastas asetsev ristküliku külg CD on silindri moodustaja, silindri moodustaja on ka silindrile kõrguseks, kõrgust tähistame tähega H ja ristküliku kaks ülejäänud külge on silindri raadiusteks, raadiuseid tähistame tavaliselt tähega r. Valemeid Silindri täispindala Silindri täispindala St on külgpindala Sk ja põhitahkude pindalage Sp summa St = Sk +2 Sp Silindri külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja silindri kõrguse korrutisega. Sk = PH Silindri ruumala Silindri ruumala on võrdne selle põhja pindala Sp ja silindri kõrguse H korrutisega: V = SpH
nimetatakse koonuse põhjaks. Lõiku CA, mis on koonuse põhja raadius, tähistatakse ka tähega r. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna. Punkti B nimetatakse koonuse tipuks ning tipu kaugust koonuse põhjast (lõiku BC) koonuse kõrguseks ning tähistatakse tavaliselt tähega H. Koonuse pinnalaotus Valemeid Koonuse täispindala Koonuse täispindala St on külgpindala Sk ja põhitahu pindala Sp summa St = Sk + Sp Koonuse külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja püramiidi apoteemi poole korrutisega. Sk = 1/2 Pm Koonuse ruumala Koonuse ruumala on võrdne kolmandikuga selle põhja pindala Sp ja koonuse kõrguse H korrutisega: V = 1/3 SpH
Prismasid võib eristada ka nende põhjade kuju järgi. Kui prisma põhi on nnurk, siis nimetatakse prismat nnurkseks prismaks. Vastavalt räägitakse kolmnurksest prismast, nelinurksest prismast jne. Prismat, mille põhjaks on korrapärane hulknurk, nimetatakse korrapäraseks prismaks. Rööptahukas on nelinurkne prisma, mille põhjaks on rööpkülik. Risttahukas on nelinurkne püstprisma, mille põhjaks on ristkülik. Prisma pindala Prisma (kogu)pindala S on külgpindala Sk ja põhitahkude pindala Sp summa S = Sk + 2Sp kus külgpindala avaldub põhja ümbermõõdu P ja prisma kõrguseH korrutisena: Sk = PH Prisma kõrguseks nimetatakse selle põhjade vahelist kaugust. Prisma ruumala Prisma ruumala on selle põhja pindala Sp ja prisma kõrguse H korrutis: V = SpH
pöörlemisel tekitatud pinda silindri külgpinnaks.Ristküliku küljed tekitavad pöörlemisel kaks võrdset ringi,mida nim silindri põhjadeks.Silindri lõikamisel tasandiga,mis läbib silindri telge,saame lõikeks ristküliku, mida nim silindri telglõikeks.Silindri lõikamisel tasandiga,mis on risti silindri teljega,saame lõikeks põhjadega võrdse ringi,mida nim silindri ristlõikeks.Silindri põhjade vahelist kaugust ja ka vastava pikkusega lõiku nim silindri kõrguseks.Silindri külgpindala on võrdne põhja ümbermõõdu ja kõrguse korrutisega.Sk=P*h;Sk=2*3,14rh;St=2Sp+Sk;V=Sp*h Koonus-keha,mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk.Kaatetit,mille ümber täisnurkne kolmnurk pöörleb nim koonuse teljeks,hüpotenuusi aga koonuse moodustajaks.Pöörleva kolmnurga teine kaatet moodustab ringi,mida nim koonuse põhjaks.Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna
1 1 V Sp H r2 H r 3 3 Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H nurk-külg) tunnuse põhjal. Seega on võrdsed m külgtahkude apoteemid (tähistame m)
Pöördkehad reede, 10. mai 2013. a Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium Definitsioon Pöördkehaks nimetatakse geomeetrilist keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel ümber kujundi tasandil asetseva sirge (telje) Pildid: http://mathworld.wolfram.com/ Silinder Silindriks nimetatakse pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe oma külje Külgpindala Täispindala S k = 2 r h S = Sk + 2 S p = silindri külgpind = 2 r (r + h) gl et h Ruumala i r dnili s V = r 2h silindri moodustaja r
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos
2) 4751´ Lahendus: 4751´ = 4751 : 60 = 79 (kraadi), jääk 11 (minutit); 4751´ = 7911´. 3) 82´ Lahendus: 82´ = 82 : 60 = 1 (kraad), jääk 22 (minutit); 82´ = 122´. 4) 5560´ Lahendus: 5560´ = 5560 : 60 = 92 (kraadi), jääk 40 (minutit); 5560´ = 9240´. Pöördkehad Silinder 1. Silindri põhja raadius on 2 cm ja kõrgus 5 cm. Leia silindri külgpindala, põhjapindala ja täispindala. Lahendus: Teeme joonise. h r Antud on r = 2 cm; h = 5 cm. Leiame Sk; Sp; St. Külgpindala Sk = 2rh; Sk = 2 . 2 . 5 = 20 (cm2); põhjapindala Sp = r2; Sp = . 22 = 4 (cm2); täispindala St = 2Sp + Sk = 2 r2 + 2rh = 2r(r + h); St = 2 . 4 + 20 = 28 (cm2). Vastus: Silindri külgpindala on 20 cm2, põhjapindala 4 cm2 ja täispindala 28 cm2. 2
Rakendus Exceli valemitega. b Mõõtmed: f Ristküliku kõrgus a 120 Ristküliku laius b 80 Kolmnurga alus e 40 e Kolmnurga kõrgus f 25 Ringi raadius r 20 Detaili kõrgus h 40 Põhja pindala Err:509 r Külgpindala Err:509 Täispindala Err:509 Ruumala Err:509 ÕM_nr Variant 12 Materjal: liimpuit Värv: pulbervärv Materjal Värvi liik 2 8 Muud kulud(40%) Detaili üldmaksumus
12736,9179 17734,5 4997,5821 5275,21015 7489,65 2214,43985 25614,6219 36007,2 10392,5781 130635,1077 KASUM KOKKU e konstante, vaid viiteid vastavatele utada valem, mida saab kopeerida ka gu E. Ülesanne2: Lillevaas Silinder Põhja Kõrgus Põhjapindala Külgpindala Ruumala Materjali kulu raadius cm cm2 cm2 cm3 cm2 cm 3 6 28,27 113,1 169,62 141,37 15 35 706,86 3298,67 24740,1 4005,53 48 90 7238,23 27143,36 651440,7 34381,59
Pöördvõrdelise x sõltuvuse graafik koosneb kahest eraldi seisvast harust, mis asuvad kumbki eraldi veerandites. Tabeli koostamisel ei anna x väärtust 0, sest nulliga ei saa jagada. Näide: 1 y= x x -3 -2 -1 - 1 2 3 3 y -0,(3) -0,5 -1 - 1 0,5 0,(3) -0,(3) Rööpkülik: Romb: Trapets: Püströöptahukas: Hulknurga nurkade summa: Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: 8 Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Kera Ruumala: Pindala: 9
Silinder Pindala: Sp = 2*r2 Sk = 2rh St = 2Sp+Sk St= 2r(r+h) h- kõrgus r- raadius St- täispindala Sk- külgpindala Sp- põhjapindala Ruumala: V = r2h V- ruumala h- kõrgus r- raadius Koonus Pindala: Sk = rm Sp = r2 St = Sk+Sp r- raadius m- moodustaja Ruumala: V = * r2*h V- ruumala h- kõrgus r- raadius Kera Pindala S = 4R2 Ruumala V = 4/3*R3 V- ruumala R- raadius
Tähised ja valemid Tähised P= ümbermõõt H= ruumilise kujundi kõrgus (suur kõrgus) S= pindala Sp = põhjapindala Sk = külgpindala St = täispindala V= ruumala C= ringjoone pikkus a, b, c, jne = kujundi küljed h = tasapinnalise kujundi kõrgus (väike kõrgus) valemid Rööpkülik S= ah P=2a + 2b Romb S= d1d2 2 P= 4a Kolmnurk S = ah 2 P=a+b+c Ruumilised kujundid (püströöptahukas, risttahukas, kuup, kolmnurkne püstprisma) Sk = PH St = Sk + 2Sp V= SpH Ring C= 2r S=r² π = 3,14
KOONUS Ulvi Klemmer EKL 2kõ Koonus... ... Keha, mille moodustab ühe oma kaateti Täisnurkne ümber kolmnurk pöörlev täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC Täisnurkse kolmnurga puhul saame kasutada Pythagorase teoreemi m² = h² +r² Külgpindala B Täispinadala Ruumala A C Kaatet BC on koonuse telg. Hüpotenuus AB on koonuse moodustaja. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA moodustab ringi, mida nimetatakse koonuse põhjaks. Lõik CA on ka kolmnurga raadiuseks. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel C A koonuse külgpinna. Punkti B nimetatakse koonuse kõrgus h
Prisma hulktahukas, mille 2 tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. Paralleelsed tahud on põhjad, ülejäänud tahud on külgtahud. Prisma diagonaaltasand tasand, mis läbib kahte mitte ühele tahule kuuluvat külgserva. Püstprisma - kui külgservad on põhjaga risti. Kui ei ole, siis on kaldprisma (külgtahud on rööpkülikud). Püstprisma külgpindala põhja ümbermõõt*kõrgus. Korrapärane prisma põhjadeks on korrapärased hulknurgad. Mittekorrapärane prisma prisma, mis ei ole püstprisma või mille põhjaks pole korrapärane hulknurk. Rööptahukas kõik tahud on rööpkülikud. Püströöptahukas külgtahud on ristkülikud, põhjad rööpkülikud. Risttahukas kõik tahud on ristkülikud.
ABCD ~ KLMN AB BC CD DA = = = =K KL LM MN NK 2 S h = S1 h1 1 Sk = nam 2 1 S t = na ( m + k ) 2 1 V = S ph 3 ABCD püramiidi põhi KLMN püramiidi põhjaga paralleelne ristlõige S püramiidi põhjapindala S1 püramiidi põhjaga paralleelse ristlõike pindala h püramiidi kõrgus h1 püramiidi põhjaga paralleese ristlõike kõrgus Sk korrapärase püramiidi külgpindala St korrapärase püramiidi täispindala Sp põhja pindala V ruumala n põhja nurkade arv a püramiidi põhiserv m püramiidi apoteem k põhja apoteem
29.Kolmnurkne püstprisma - põhjadeks ehk Ül.1188 põhitahkudeks on kaks võrdset komnurka; Selgitada püstprisma elemente. kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma n=3 põhiservadeks; külgtahkudeks kolm tippe 6, külgservi 3, põhiservi 6, külgtahke 3 ristkülikut; ristkülikute ühiseid servi n=4 nimetatakse püstprisma külgservadeks; tippe 8, külgservi 4, põhiservi 8, külgtahke 4 valemid: põhjapindala Sp=ah:2, külgpindala n=5 Sk=PH, täispindala St=Sk+2Sp, ruumala tippe 10, külgservi 5, põhiservi 10, külgtahke V=SpH 5 vaata n=6 tippe 12, külgservi 6, põhiservi 12, külgtahke 6 NB näiteks võib olla sellise kujuga sammas, n=7
VII kursus STEREOMEETRIA Keha Põhja pindala Külgpindala Täispindala Ruumala -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TAHKKEHAD ..................................................................................................................................................................................................................
Koonus Koonuseks nimetatakse pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma kaateti koonuse Külgpindala Täispindala moodustaja Sk = r m d S = Sk + S p = pin ülg gl et m = r (r + m ) ek h us on
2 Valemi nimetus Valem Avalda muutuja Ristküliku pindala S = ab a Ruudu ümbermõõt P = 4a a Ringjoone pikkus c = 2r r Ringi pindala S = r2 r a+b Trapetsi pindala S= h h 2 Koonuse külgpindala Sk = rm m Aritmeetilise jada üldliige an = a1 + (n 1)d n, d F s Võimsus P= F, t t gt 2 Kehade vaba langemine s= T 2 4 Kera ruumala V = R 3 R 3
nurga 680. Leia püramiidi täispindala ja ruumala. 12. Püstprisma põhjaks on ristkülik külgedega 15cm ja 20cm. Prisma diagonaal on põhja suhtes kaldu 340. Leia prisma täispindala ja ruumala. 13. Risttahuka põhisrvad on 12m ja 16m ning kõrgus on 25% võrra pikem lühemast põhiservast. Leia risttahuka diagonaallõike pindala ja ruumala. 14. Korrapärase nelinurkse püstprisma diagonaal pikkusega 18dm moodustab põhjaga nurga 720. Leia prisma külgpindala. 15. Korrapärase nelinurkse püstprisma külgtahu diagonaal pikkusega 6m moodustab külgservaga nurga 330. Leia prisma ruumala.
2.18. Pöördkehade ruumalate arvutamine i-nda osakaare pöörlemisel tekkinud püstsilinder: Saame lähisväärtuse meid huvitava pöördkeha ruumala jaoks: Lause1. Kui meil on lõigul (a,b) antud pidev funktsioon y=f(x), mis on pidev sellel lõigul, siis kaare pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala avaldub selliselt: Kui aga sirge võrrand on antud meile parameetrilisel kujul, näitkes nii: Külgpindala Tingimustel, et joon on sile ja pidev lõigul [a,b] saame integraalsumma:
Pindala on 166 cm . 29.Kolmnurkne püstprisma - põhjadeks ehk Ül.1188 põhitahkudeks on kaks võrdset komnurka; Selgitada püstprisma elemente. kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma n=3 põhiservadeks; külgtahkudeks kolm tippe 6, külgservi 3, põhiservi 6, külgtahke 3 ristkülikut; ristkülikute ühiseid servi n=4 nimetatakse püstprisma külgservadeks; tippe 8, külgservi 4, põhiservi 8, külgtahke 4 valemid: põhjapindala Sp=ah:2, külgpindala n=5 Sk=PH, täispindala St=Sk+2Sp, ruumala tippe 10, külgservi 5, põhiservi 10, külgtahke V=SpH 5 vaata n=6 tippe 12, külgservi 6, põhiservi 12, külgtahke 6 NB näiteks võib olla sellise kujuga sammas, n=7 tippe 14, külgservi 7, põhiservi 14, külgtahke
tan 1 sin P- põhja ümbermõõt, H ruumilise kujundi kõrgus 3 1 + tan 2 = tan = Sp- põhja pindala, Sk külgpindala, St-täispindala 1 3 cos 2 cos 3 V-ruumala, n-külgede arv, H-kõrgus, h- põhitahu kõrgus
) -2 = 2 77. Kui kahekohaline arv jagada tema numbrite korrutisega, siis tekib jagatis 2 ja jääk 1,6. Kui jagada arv tema numbrite summaga, siis tekib jagatis 6 ja jääk 4. Leia see arv. 78. Püstprisma põhjaks on romb. Prisma üks diagonaal on d, mis moodustab põhjaga nurga . Prisma külgpindala on 3 korda suurem põhja pindalast. Leia prisma ruumala. 79. On antud punkt A(2;-1) ja sirge a võrrandiga 4x-7y+12=0. Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti A, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a. Tee joonis. x +4 80. Leia funktsiooni y = käänupunktid , positiivsuspiirkond jab 3x + 6 kahanemisvahemik. 81
tanα 1 sin α P- põhja ümbermõõt, H – ruumilise kujundi kõrgus 3 1 + tan 2 α = tan α = Sp- põhja pindala, Sk – külgpindala, St-täispindala 1 3 cos α 2 cos α 3 V-ruumala, n-külgede arv, H-kõrgus, h- põhitahu kõrgus
2 5.4 Ringjoon ja ring Ringjoone pikkus c = 2 r . Ringjoone kaare pikkus l = r , kus r on ringi raadius ja kesknurk radiaanides. Ringi pindala S = r 2 . r2 Ringi sektori pindala S = . 2 STEREOMEETRIA 6.1 Rööptahukas Põhja pindala S p = ab sin = ah . Püströöptahuka külgpindala S k = 2( a + b ) h . Kaldrööptahuka külgpindala võrdub ristlõike ümbermõõdu ja külgserva korrutisega. Kaldrööptahuka ruumala V = S p h = S r l ( S r - ristlõike pindala, l - külgserv), püströöptahuka ruumala V = S p h = abh sin . 6.2 Püramiid 42 1 Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala S k = nam , kus a on püramiidi põhiserv
2 5.4 Ringjoon ja ring Ringjoone pikkus c 2 r . Ringjoone kaare pikkus l r , kus r on ringi raadius ja kesknurk radiaanides. Ringi pindala S r 2 . r2 Ringi sektori pindala S . 2 STEREOMEETRIA 6.1 Rööptahukas Põhja pindala S p ab sin ah . Püströöptahuka külgpindala S k 2 a b h . Kaldrööptahuka külgpindala võrdub ristlõike ümbermõõdu ja külgserva korrutisega. Kaldrööptahuka ruumala V S p h S r l ( S r - ristlõike pindala, l - külgserv), püströöptahuka ruumala V S p h abh sin . 6.2 Püramiid 42 1
a) kolm lahendit; b) neli lahendit; c) null lahendit; d) lõpmata palju lahendeid; e) kaks lahendit Võrrandit kujul x2+px+q=0 nimetatakse a) lineaarvõrrandiks; b) taandamata ruutõrrandiks; c) taandatud ruutvõrrandiks; d) vabaliikmeks; e) ruutliikmeks 68cm on sama, mis a) 680m; b) 6,8mm; c) 6800mm; d) 0,68mm; e) 680mm. 26dm2 on sama, mis a) 260cm2; b) 26m; c) 2600cm2; d) 260cm; e) 2,6cm2 Kui korrapärasel prismal on 6 tippu, põhjaserva pikkus on 8dm ja prisma kõrgus 10dm, siis tema külgpindala on a)480dm2; b)48m2; c) 60dm2; d) 460 dm2; e) 65cm2 VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE!
d) kaheksanurk, siis : S p = 4,828a . 2 e) kaksteistnurk, siis : S p = 11,2a . 2 49.Püstprisma ruumala Püstprisma ruumala V on võrdne põhja pindala ja prisma kõrguse korrutisega : V = S p * h . 50.Püramiidi pindala Püramiidi pindala arvutamiseks leiame põhja pindala S p ja külgpindala S k . Liites need kokku saamegi püramiidi täispindala S t kujul : S t = S p + S k . S p arvutame selle valemiga, milline kujund on põhjaks. P*h S k on võrdne põhja ümbermõõdu P ja kolmnurga kõrguse h poolekorrutisega : S k = . 2 51.Püramiidi ruumala
08.01.2004 Paju Suhkur 7 9,00 kr 63,00 kr 09.01.2004 Paju Suhkur 6 9,00 kr 54,00 kr Kokku: 1 166,00 kr Esileht Esileht Risttahukas ümbermõõt(P Ruumala (V) Külgpindala pindala(Sp) Täispindala Põhja Põhja (Sk) (St) a b c )
Kui kaugele tipust tuleb teha põhjaga paralleelne lõige, mille pindala on 0,25 põhja pindalast? Lahendus: Antud on meil koonus, mille tipp asub punktis T(0; 0; 8). Seega R = 8 ühikut. Koonuse kõrgus on h., koonuse moodustaja on m. Punkt A (3 2 ; 3 2 ; 16) asub põhja ümberringjoonel. 1) Leiame koonuse täispindala St ja ruumala V. Märkus: Koonuse täispindala valem on St = Sp + Sk; ruumala 1 V = S p h ; põhja pindala S p = r 2 ; külgpindala S k = r m 3 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Koonuse moodustaja m leiame lõigu pikkuse valemi järgi: ( ) ( ) 2 2
Kolmnurga 2 Kolmnurk ümbermõõt on Kolmnurga pindala kolmnurga külgede võrdub aluse ja kõrguse pikkuste summa. poole korrutisega St= Sk + 2Sp V= a · b · c = Sp · H Püstprisma Korrapärane täispindala võrdub püstprisma külgpindala ja Püstprisma ruumala kahekordse võrdub põhja pindala ja põhjapindala püstprisma kõrguse summaga korrutisega St= 6a² V= a³ täispindala = 6· serva ruumala = serva pikkus · Kuup pikkus · serva pikkus serva pikkus · serva pikkus (C)P= 2· · r S = · r2
ühe, harva mitme rakukihiga kambiumikiht, tänu mille tegevusele toimub puutüvede jämeduskasv e teiskasv. Kambiumirakud on õhukeseseinalised, suuretuumalised, protoplasmaga täidetud rakud, mis vegetatsiooniperioodil korduvalt pooldudes toodavad endast sissepoole puiduosa rakke ja väljapoole niineosa rakke. Kambiumi ühtlase tegevuse tõttu pakseneb puutüvi ja oksad ühtlaselt. Kambiumirakud peavad ka endid juurde tootma puutüve jämenemisest ja pikkuskasvust tuleneva puutüve ja okste külgpindala suurenemise tõttu. 4. Kambiumirakkudest sissepoole jääb puiduosa e ksüleem, mis tekib kambiumi rakkude pooldumise tulemusel. Okaspuude ja lehtpuude puit on erineva ehitusega. Okaspuudel koosneb puit peamiselt pikliku kujuga rakkudest – trahheiididest (kuni 90%). Need on piklikud, radiaalsuunas ühtlaste ridadena paiknevad puitunud seintega rakud, ristlõikes tavaliselt nelja- kuni kuuekandilised, keskmise pikkusega 3-5 mm, ületades rakkude laiust kuni 100 korda
- nurk külgserva ja põhiserva b H vahel a N1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv on 3 cm a a ning külgpindala on kaks korda suurem põhja pindalast. Leida püramiidi ruumala. Lahendus: 1 a2 3H Sk = 1,5am ja V = Sp H = . 3 12
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium lahus hoopis kilogrammi 20%-lise lahusega saadakse 18%-line lahus. Leia millega võrdub b a. B-10 Korrapärase nelinurkse prisma külgservad on 12,5% väiksemad põhiservadest, Kahe mitte ühele põhitahule kuuluva ja mitteparalleelse serva keskpunktide vaheline kaugus on 9. Leia prisma külgpindala. B-11 Viisnurga ja tema ümberringi puutepunktid jaotavad ringjoone võrdeliselt arvude 1 : 2 : 2 : 2:5.. Leia selle viisnurga pindala teades, et ringjoone raadius on vähim positiivne arv, mis on võrrandi r 4 - 8r 2 + 13 = 0 lahendiks. 2 2 -x+2 C-1 Lahenda võrrand 2 2 x - 17 2 x + 2 8-2 x = 0 28 -5a 5
Ankrud Ankruid on vaja mitmesuguste konstruktsioonide kinnitamiseks müüritise külge. Uurimised on näidanud, et ankru välja rebimisel müüritisest (betoonist; haprast materjalist) rebitakse koos ankruga välja püramidaalne müüritise osa. Skeem Ankru töötamine Tasakaaluvõrrandi saame N + hAk = 0 , (9.25) kus N on ankrule rakenduv jõud, h on peapinge horisontaalkomponent ja Ak on püramiidi külgpindala. Kui võtta peapinge võrdseks materjali tõmbetugevusega, saame ankru kandevõime tõmbele. Kivimüüritises on peapinge realiseerimine erinev muudest habrastest materjalidest. Väljarebitava püramiidi neljast küljest töötava seega ainult kaks, alumine ja ülemine ja seal ka ainult horisontaalvuugi osa. Pingekomponent h võetakse vastu müüritise nihketugevusega fvk. Vastavalt skeemile 9.28 on sel juhul ankru tugevus a on ankruplaadi paigutamise sügavus,
ruudu pindalast. Ruumiliste kujundite pindalad Lisaks kahemõõtmelistele kujunditele võib meid muidugi huvitada ka mõne kolme- mõõtmelise kujundi välispinna suurus. Hulktahukate ehk igasugu erinevate risttahukate ja püramiididega, mille tahud on hulknurksed, käib asi üsna lihtsalt: lõikame kujundi mööda servasid lahti ning arvu- tame iga tahu pindala eraldi välja. Liites need kõik kokku, saamegi kogu pindala. Näiteks kolmnurkse põhjaga püramiidi külgpindala leidmiseks peame kokku liitma nelja kolmnurga pindala. Koonuse pindala Üldiselt läheb kumeramate kehadega olukord keerulisemaks, aga koonuse kor- ral aitab siiski üsna sarnane strateegia. Alustuseks võime koonuse pinna jagada kaheks – saame ringikujulise põhja ning teatava kujuga külgpinna. 369 ümbermõõt, pindala, ruumala
on konstrueeritud nii, et tema ulatuses r const . Siis võime elektrivälja tugevuse voo definitsioonvalemis (10.16) integraali asendada korrutisega ning skalaarkorrutise tavalise korrutisega, mis annab tulemuseks E S külg ES külg . Tulemust valemisse (10.22) asendades saame E (S ) E S külg ES külg . (10.23) Et silindri külgpindala leitakse valemist S k ülg 2rl , võtab (10.23) kuju E ( S ) 2rlE . Selle tulemuse asendame Gaussi teoreemi esitava valemi (10.18) paremale poole, silindris sisalduva laengu avaldise (10.21) sama valemi vasakule poole. Tulemuseks on 2rlE l / 0 , millest avaldamegi lõpmata pika, ühtlaselt laetud sirge varda elektrivälja tugevuse kujul
annaabi.ee 
