Võrdhaarne trapets Kui trapetsi haarad on võrdsed, siis nimetatakse trapetsit võrdhaarseks. Võrdhaarse trapetsi teoreemid: · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge läbib diagonaalide lõikepunkti. · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge jaotab trapetsi kaheks võrdseks täisnurkseks trapetsiks. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi alused on paralleelsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi diagonaalid on võrdsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis tema alusta keskristsirge on sümmeetriateljeks. · Kui trapets on võrdhaarne, siis tema aluse lähisnurgad on võrdsed. Ümbermõõt: P=a+b+c+d
ning haarad. Võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarse kolmnurga erijuht. 1. Kas leidub selliseid kolmnurki, mis on * võrdhaarsed ja nürinurksed ....ei................ * võrdhaarsed ja täisnurksed .......ei............. * erikülgsed ja nürinurksed .................ja........ * võrdkülgsed ja nürinurksed ..................... * võrdkülgsed ja täisnurksed ..................... 3. Kas kolmnurk on erikülgne, võrdhaarne 2. Joonesta selline võrdhaarne kolmnurk, või võrdkülgne, kui tema mõõtmed on mille haar on 6 cm ja tipunurk 25º. 2 cm, 6 cm ja 5 cm ....... .erikülgne......................................... 4,6 cm, 2 cm ja 46 mm .............võrdhaarne....................................
6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12. Kolmnurga keskristsirge - (ehk mediatriss) antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Nende ristumiskoht on
järgmiselt: täisnurkse kolmnurga kaatetitele joonestatud ruutude pindala summa on võrdne hüpotenuusile joonestatud ruudu pindalaga. 1.2 Kasutamine 1.2.1 Täisnurkne kolmnurk c²=a²+b² c= a2+b2 a²=c²-b² a= c ²-b ² b²=c²-a² b= c ²-a ² 1.2.2 Ruut d²=a²+a²=2a² d= 2 a2 a²+a²=d² 2a²=d² | :2 2 a²= d 2 a= d 2 2 1.2.3 Ristkülik d²=a²+b² d= a2+b2 b²=d²-a² b= d ²-a² a²=d²-b² a= d ²-b ² 1.2.4 Võrdhaarne kolmnurk 2 b²=h²+ ( a ) 2 2 b= h2+( a ) 2 2 h²=b²- ( a ) 2 2 h= b2-( a ) 2 a 2 ( ) = b ²-h ² 2 a= 2 b ²-h² 1.2.5 Täisnurkne trapets x=ab d²=x²+c² d= x²+c ² h²=d²x² h= d ² x² a²-b=d²-h² a= d ²-h² +b b=a-(d²-h²) 1.2.6 Võrdhaarne trapets x= a-b 2 h²=c²-x² h= c 2-x 2 c²=h²+x²
Et on 45 kraadi ning on täisnurk, eeldan, et kui jõule P joonistada täisnurkne kolmnurk nii, et P on hüpotenuusiks tekib nurk : 2, mis on 45 kraadi, sest ka nurk on 45 kraadi. Xa+ P*sin /2=0 2) Leian Y'i projektsioonide võrrandi. Ya-Q-P*cos /2=0 3) Leian momentide võrrandi punkti A suhtes. Sealjuures eeldan, et kuna kolmnurk CBD on täisnurkne ning ülejäänud kaks nurka on omavahel võrdsed on kolmnurk ka võrdhaarne, st CD=BD. Ma-M-Q*AC/2-P2*AD-P1*BD=0 II 1) Leian Xa. Xa+P*sin /2=0 Xa= -P*sin45° Xa= -4*0,707 Xa= -2,828 Xa -2,83kN 2) Leian Ya. Ya-Q-P*cos /2=0 Ya=Q+P*cos /2 Ya=2+4*0,707 Ya=4,828 Ya4,83kN 3) Leian Ma. Ma-M-Q*AC/2-P2*AD-P1*BD=0 Ma=M+Q*AC/2+P2*AD+P1*BD Kuna CDB on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk, on hüptenuus CB väljaarvutatav. CD²+BD²=CB² 9+9=18 CB=4,2424,24m Teades AC ja CB on võimalik välja arvutada ka jõu P jõuõlg, milleks on kolmnurga ACB haar AB.
.............................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk........................................................................................................................7 3.Võrdhaarne kolmnurk........................................................................................................................8 2 Sissejuhatus Valisime referaadi teemaks kolmnurkade liigitamise sellepärast, et see huvitas meid kõige rohkem ning arvasime, et selle kohta leiab ka üpriski palju materjali. Samuti oli meil soov oma mälu kolmnurkade koha pealt värskendada.
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega.
Pindala valemid , , , , , Kolmnurkade sarnasuse tunnused KKK, NN, KNK (2 külge ja nendevaheline nurk), KKN (2 külge ja pikema külje vastasnurk). Võrdhaarne kolmnurk: 1. alusnurgad võrdsed; 2. tipunurgast tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st kõrgus poolitab aluse ja tipunurga; 3. alusnurkadest tõmmatud kõrgused või mediaanid võrdsed. Võrdkülgne kolmnurk: 1. kõik nurgad 60°; 2. samast tipust tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st sise- ja ümberringjoone keskpunkt
Kolmnurga nurgad võivad olla 41 kraadi 100 kraadi ja 39 kraadi Määra kolmnurga liik, kui kolmnurga nurgad on: 60o, 30o ja 90o kolmnurk 45o, 70o ja 65 o kolmnurk 60o, 60o ja 60o kolmnurk 18o, 137o ja 25o kolmnurk 10o, 10o ja 160o komnurk Joonisel on täisnurkne kolmnurk KLM ja võrdhaarne kolmnurk PQR. Vali õiged lauselõpud: Külg KL on Külg MK on Külg LM on Külg PR on Külg QR on Nurk Q on Nurk R on Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 50o. Tipunurk on: kraadi Täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 63 o. Teine teravnurk on: kraadi Võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 70 o. Alusnurk on: kraadi Täisnurkse võrdhaarse kolmnurga üks teravnurk on: kraadi
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12. Võrrand, võrre, võrratus. 13. Protsent. 14. Ristsumma. 15. Aritmeetiline keskmine. 16. Aksioom.
NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Rööpküliku diagonaalid tõestamisel poolitavad teineteist. Väide: diagonaalid poolitavad teineteist 12.Teoreemi tõestamine - loogiline arutelu; Ül.616 teoreemi tõesuse põhjendamine; Antud AM=AN. Tõesta, et kasutatakse aksioome; lähtutakse TÕESTUS. teoreemi eeldusest ning varem teada 1.Joonisel on võrdhaarne kolmnurk, olevatest tõdedest; jõutakse otsusele, et haarad võrdsed. teoreemi väide on tõene 2.Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 3.Nurgad 1 ja 2 on alusnurkade kõrvunurgad. 4.Kui nurgad on omavahel võrdsed, siis on
PUU KÕRGUS 1. Võtke täisnurkne võrdhaarne kolmnurk ja paigutage see silmade tasemele, nii et vaadates mööda hüpotenuusi, saaks näha puulatva. Kaatetid on vaja paigaldada horisontaalselt ja vertikaalselt. Vaadake skeeemi. 2. Nüüd on vaja mõõta kaugust enda ja puu vahel (L) ja on vaja mõõta kaugust maast silmadeni (h). Skeemilt võib näha , et puu kõrgus võrdub L+h. PUUTÜVE DIAMEETER 1. Puutüve diameetrit tavaliselt mõõdetakse rinnatasemel (1,3 m maast). Mõõtke puu ümbermõõt - C. 2. Nüüd arvutage! Matemaatikast on teada, et ringjoone pikkust arvutatakse järgmise valemi abil C = D . C on mõõdetud juba, 3,14 .. 3. Siis puutüve diameetri arvutamiseks võib kasutada valemi D = C:
Iseseisev töö Vabadussõjas ja I maailmasõjas langenute mälestusmärk 1. Mälestusmark on pühendatud Vabadussõjas ja I maailmasõjas langenute omakestele. 2. Pole teada. 3. Mälestusmärk asub Järvamaal, Kareda vallas, Peetri alevikus, Järva-Peetri kirikuaias. Ümbruses on hauad, puud ja kirik. 4. Kuju pikkus on 165 cm., samba kõrgus on 350 cm ja laius on 270 cm. 5. Samba materjal on betoon ja sõjamehekuju on pronksist. 6. Võrdhaarne rist samba peal. 7. Mundris sõjamees kes hoiab mõõka. 8. Raidkirjad puuduvad, kuid on pronksist tahvlid kuhu on kirjutatud langenute nimed ja veel on kirjad: "LANGENUILE VABADUS- JA MAAILMASÕJAS" ja "MÄLESTA LANGENUID". 9. Mälestusmärk pöördub kõigi poole, et nad mälestaksid langenuid. Tõnis Kruusement
· rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks osaks Pindala:S-ah S- d1 x d2 : 2 Ümbermõõt: P-4a Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku omadused: · vastasküljed on võrdsed · vastasnurgad on võrdsed · lähisnurkade summa on 180 C · diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks · diagonaalid poolitavad teineteist Trapets-kaks külge on paralleelsed ja kaks mitte 1. Võrdhaarne trapets · haarad on võrdsed alusnurgad on võrdsed täisnurkne trapets: üks haar on risti alusega S-a plus b : 2
Teoreem: Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. Eeldus: Kolmnurk on võrdhaarne, AC = BC (vt. joonist) Väide: Alusnurgad on võrdsed, = Joonis: Tõestus: 1. Ühendame tipu C küje AB keskpunktiga D. Saame kaks kolmnurka ADC BDC 2. Vastavalt eeldusele on küljed AC ja BC võrdsed: AC = BC 3. Küljed AD ja BD on samuti võrdsed: AD = BD, sest D on lõigu AB keskpunkt (vt. tõestuse punkt 1) 4. Külg CD on kolmnurkade ADC ja BDC ühine külg. 5. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurkade ADC ja BDC küljed on võrdsed. Seega on ka
nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on 90°. 2. nürinurkne kolmnurk Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 3. teravnurkne kolmnurk Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on kõik väiksemad kui 90° Külgede järgi: 1. erikülgne kolmnurk Erikülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on ebavõrdsed 2. võrdhaarne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (märgitakse h- ga). · Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (märgiktakse k-ga). Kolmnurga välisnurk on võrdne
Kujundi nim. Definitsioon Joonis Ümbermõõt P Pindala S Kolmnurk Hulknurk,millel on P=a+b+c S=ah 3 nurka 2 Täisnurkne Kolmnurk, mille P=a+b+c S=ab kolmnurk üks nurk on 2 täisnurk Võrdhaarne Kolmnurk, mille P=a+2b S=ah kolmnurk kõik küljed on 2 võrdsed Romb Rööpkülik, mille P=4a S=ah kõik küljed on S=d1*d2 võrdsed 2 Rööpkülik Nelinurk, mille P=2*(a+b) S=ah=b*h vastasküljed on paralleelsed
36 Võrdkülgne h y= kolmnurk 3 a ⋅ h3 Iy = 48 Võrdhaarne y= h a4 3 kolmnurk Ix = Iy = 3 9 6 a3 ⋅ h Ix =
M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus. 4. Rööptahuka kolme külje vektorid on järgmised: a = (-2; 4, 6 ) ; = (5;6;-4) ja b c = (-1;6;-7) . 4.1. Leia selle rööptahuka ruumala
S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes 2)Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurgad 31.Trapets:nelinurk mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitte paralleelsed(Näide29) S = (a + b)/2 *h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Omadus:trapetsi haara lähinurkade summa on 180' 32.(Näide30) Kolmnurk: S = a*h /2 P=a+b+c S=a*b/2 Võrdhaarne on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline oma tipunurga poolitaja suhtes, seega selle sirge suhtes, mille joonestasid. Sümmeetriast järelduvad võrdhaarse kolmnurga omadused: * võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed ja * võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab ka aluse ja on sellega risti. Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega.
küllastus, puhtus) 5. Simutankontrast –silm segab (hall+toon) 6. Järelkontrast (vibra, 50:50 suhe) Kontrast on üliharmoonia. Igas tervikus on vastand. Vastand on ALATI kontrast. Kontrast ei pea alati olema vastand, nad peavad olema erinevad VÄRVIHARMOONIAD 1. Vastand 2. Lehvik (omavahel harmoonias) 3. Monokroomne – ühe värvi keskne 4. Kromaatiline koos aksomaatilisega 5. Perefirma (isa + ema ja lapsed) 6. Kolmkõla (võrdhaarne kolmnurk) 7. Nelikõla (ruut, ristkülik) 8. Pastelseid pigem rohkem korraga 9. Jõulisi, puhtaid pigem vähem 10. Pits viina HARMOONIATE MÕJUTAJAD • Valgus • Materjal • Vorm, proportsioonid • Faktuur • Disain • Stiil • Kultuuritaust (religioon, rahvus, piirkond) • Eesmärk PÕHILINE Primaarvärvid Kollane Punane Sinine Sekundaarvärvid Violet Oranž
Haarade lähisnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐷; ∠𝐵 ja ∠𝐶 Näiteülesanne: 647 Osutub, et haarade lähisnurgad on paralleelsete sirgete (alused) lõikamisel kolmanda sirgega (haar) tekkinud lähisnurgad. Seepärast saame järgmise trapetsi omaduse: Omadus: Trapetsi haarade lähisnurkade summa on 180°. Definitsioon 4: Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks. Joonis 2. Võrdhaarne trapets KLMN, st KN=LM.Lisaks ∠𝐾 = ∠𝐿 ja ∠𝑀 = 𝑁. Omadus: Võrdhaarse trapetsi alusnurgad on võrdsed. Definitsioon 5: Trapetsit, mille üks haar on alusega risti, nimetatakse täisnurkseks trapetsiks. Joonis 3. 𝑇ä𝑖𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑡𝑠 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑠𝑡 ∠𝐵𝐴𝐷 = 90°. Tegelikult ka ∠𝐶𝐷𝐴 = 90°. Näiteülesanne: 650
Ristlõiku, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljele või selle pikendusele, nimetatakse KOLMNURGA KÕRGUSEKS (h). h h Külge, mille vastastipust on joonetatud kolm- nurgale kõrgus,nimetatakse KOLMNURGA ALUSEKS(a). h a h a KOLMNURKADE LIIGITAMINE KÜLGEDE JÄRGI NURKADE JÄRGI erikülgne kolmnurk teravnurkne võrdhaarne kolmnurk kolmnurk täisnurkne võrdkülgne kolmnurk kolmnurk nürinurkne kolmnurk KÜLGEDE JÄRGI LIIGITAMINE Erikülgseks nim. kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarseks nim. kolmnurka, millel on kaks võrdse pikkusega külge. Võrdkülgseks nim. kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk
vastasküljele või selle pikendusele, nimetatakse KOLMNURGA KÕRGUSEKS (h). h h Külge, mille vastastipust on joonetatud kolm- nurgale kõrgus,nimetatakse KOLMNURGA ALUSEKS(a). h a h a KOLMNURKADE LIIGITAMINE O KÜLGEDE JÄRGI O NURKADE JÄRGI O erikülgne O teravnurkne kolmnurk kolmnurk O võrdhaarne O täisnurkne kolmnurk kolmnurk O nürinurkne O võrdkülgne kolmnurk kolmnurk KÜLGEDE JÄRGI LIIGITAMINE O Erikülgseks nim. kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarseks nim. kolmnurka, millel on kaks võrdse pikkusega külge. Võrdkülgseks nim. kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk haar haar
P=4a S=a2 P=2(a+b) Ristkülik S=ab Rööpkülik S=ah = D1+D2 P= 2(a+b) Romb S=ah=D1D2 P=4a Trapets S=a+b . h P=a+b+c+d RING C= d=2 r S= r2 D=2r Võrdkülgne kolmnurk P= 3a S= ab Võrdhaarne kolmnurk P=2b+a S= ah Täisnurkne kolmnurk P=a+b S= ab S= ch KUUP Sp = a 2 Sk = 4a2 St = 2Sp+Sk = 6a2 V=a3
a S =kh O järeldus: B D OC OD CD a -b CO=2OD,CD=3OD = = 1) NN p BAC = p DAE, p ACB = p AED Võrdhaarne trapets a ABDE x= k= AO=2OE,AE=3OE OA OB AB 2) KNK p C = p E , AE ED b 2 2 AD=DC BO=2OF,BF=3OF =
silindri ruumala on koonuse ruumalast 3 korda suurem r Vsilinder : Vkoonus = 3 ehk h Vsilinder = r 2 h 1 1 Vkoonus = r h = Vsilinder 2 3 3 Koonuse telg- ja ristlõige Telglõikeks - Ristlõige - võrdhaarne kolmnurk ring rl lõike raadius h 2r Ülesanded Kui koonuse põhja pindala on 16 m2 ja kõrgus 3 m, siis koonuse ruumala on 24 m3 16 m3 48 m3 144 m3 Kui koonuse kõrgus on 4 m ja põhja diameeter on 6 m, siis koonuse moodustaja on m 24 m 5m 10 m Kui koonuse kõrgus on 4 m ja moodustaja 5 m, siis koonuse täispindala on 29 m2 33 m2
Kõõl- on ringjoone kaht punkti ühendav lõik. Ruut- on võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk. Rööpkülik- on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Romb- on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Trapets- on kumer nelinurk, mille 2 külge on omavahel paralleelsed ja 2 ülejäänud küljed ei ole. Võrdkülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk- on kolmnurk, mille 2 külge on võrdse pikkusega. Erikülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne kolmnurk- on kolmnurk, mille 1 nurk on täisnurk. Nürinurkne kolmnurk- on kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui täisnurk. Teravnurkne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi.
silindri ruumala on koonuse ruumalast 3 korda suurem r Vsilinder : Vkoonus = 3 ehk h Vsilinder = r 2 h 1 1 Vkoonus = r h = Vsilinder 2 3 3 Koonuse telg- ja ristlõige Telglõikeks - Ristlõige - võrdhaarne kolmnurk ring rl lõike raadius h 2r Prisma ja silinder P = na nar Sp = 2 Sk = P h S t = S k + 2S p V = Sp h Sp = r2 P = 2 r Püramiid ja koonus P = na nar Sp = 2 Pm Sk = 2
a S =kh O järeldus: B D OC OD CD a −b CO=2OD,CD=3OD = = 1) NN p BAC = p DAE, p ACB = p AED Võrdhaarne trapets a AB׀׀DE x= k= AO=2OE,AE=3OE OA OB AB 2) KNK p C = p E , AE ED b 2 2 AD=DC BO=2OF,BF=3OF =
4. Idakirik e. bütsants 395 a. jaguns rooma impeerium kaheks: lääne-rooma ja ida-rooma. Ida-roomat kutsuti bütsantsiks ja ka selle keskus oli bütsantsis (praegune istmbul); keeleks oli kreeka keel; levitati usku ida-euroopas, aasias ja aafrikas. Peamised vastuolud olid läänega piibli tõlgendamisel ja mõjusfääride jagamisel. Bütsantis kirikud olid tentraalehitised-põhiplaani äärmised punktid olid keskpunktist ühe kaugusel-ring, ruut, võrdkülgne hulknurk, võrdhaarne kreekarist. 6 saj püstitati kuulus Hagia Sofia katedraal, milles on püütud ühitada basiilikat ja tsentraalehitist. Roomas osati katta ruutu, nüüd tekkis vajadus ehitada kuppel ristkülikule-viklid. 5. Bütsantsi mosaiigid ja seinamaalid. Ikoonid. 15 saj jäid Bütsantsialad islamiusuliste türklaste võimu alla. Islami usk keelas elusolendite kujutamise kunstis, seetõttu nad hävitasid Bütsantsi kunstipärandit ( st pole enam seda eriti järgi). Ikoon- usulise sisuga pilt
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu TEEMADE JÄRJEKORD: 20.Võrdhaarne kolmnurk 1. Peegeldus punktist ehk tsentraalsümmeetria 21.Võrdkülgne kolmnurk 2. Sümmeetrilised kujundid 22.Võrdhaarse kolmnurga omadused 3. Lõigu keskristsirge joonestamine 23.Võrdhaarse kolmnurga omadused 4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6
32.KKK 33.KNK 34.NKN Vastused . 1.lõikuvateks sirgeteks 27.arvu kujutleva punkti kaugust arvteljel null punktist 2. ristuvateks sirgeteks 28.täisnurkse kolmnurga vastas asetsev külg 3. Paralleelsed sirged 29. tundmatud sisaldav võrdus 4. kõrguseks 30.esimese astme võrrand 5. täisnurkseks kolmnurgaks 31.nurk , mille haarad moodustavad sirge 6.eriküljeline kolmnurk 32.kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega siis on kolmnurgad võrdsed 7. võrdhaarne 33. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed 8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19
Avaldada koomnurga pindala. 23. Võrdhaarse kolmnurga alusnurga poolitaja on võrdne haaraga. Leida alusnurk. 24. Võrdhaarse kolmnurga kõrgus on 20 cm ning aluse suhe haaraga 4:3. Arvutada siseringjoone raadius. 25. Võrdhaarse kolmnurga haar on 2 cm ja tipunurk 120°. Arvutada ümberringjoone diameeter. 26. Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on A. Leida sise ja ümberringjoone raadiuste suhe. 27. Ringi ümber on joonestatud võrdhaarne kolmnurk tipunurgaga 120°. Leida kolmnurga küljed, kui ringi raadius on R. 28. Leida võrdkülgse kolmnurga pindala, kui tema kõrgus on 30 cm. 29. Avaldada võrdkülgse kolmnurga külg kõrguse h kaudu. 30. Võrdkülgse kolmnurga kõrgus on küljest m võrra lühem. Avaldad kolmnurga pindala. 31. Kahe sarnase kolmnurga pidalade suhe on 3,24 cm. Suurema kolmnurga küljed on 5,76 m, 4,5 m ja 8,28 m. Kui pikad on väiksema kolmnurga küljed? 32. Kolmnurga kaks külge on a ja b, pindala 0,4ab
Raadius- ringjoone keskpunkti jam is tahes punkti ringjoonel ühendav lõik Diameeter- lõik, mis ühendab ringjoone kahte punkti läbib ringi keskpunkti Kolmnurga kõrgus- Kolmnurga tipust tema vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõik Kolmnurga kesklõik- kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendav lõik Kolmnurga mediaan- kolmnurga tipust tema vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõik Trapetsi kesklõik- trapesti haarade keskpunkte ühendav lõik Võrdhaarne kolmnurk- kolmnurk, millel on kaks võrdse pikkusega kluge Nürinurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks külg on suurem kui 90kraadi Teravnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi Täisnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks nurk on 90kraadi Korrapärane hulknurk- hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed Ristkülik- nelnurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on võrdsed j paralleelsed Ruut- võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk
Sp r2 H Sk r m 1 1 V Sp H r2 H r 3 3 Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg-
Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena Lõikuvad sirged-2 sirget, millel on ainult 1 ühine punkt Ristuvad sirged-2 lõikuvat sirget, mille vahel on täisnurk Paralleelsed sirged-sirged, mis ei oma ühiseid punkte ehk mis kunagi ei lõiku Nürinurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi Teravnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad Täisnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi Võrdhaarne kolmnurk-kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed Võrdkülgne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed Erikülgne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega Ruut-võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Ristkülik-nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed paralleelsed Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed Trapets-kumer nelinurk, mille kaks külge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks
Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Roosa püramiid. Varem püramiidi seinad olid kaunistatud ja poleeritud valge lubjakiviga, mis meie ajal kas varises või oli röövitud kohalikude elanikudega. See on kõige täpsema kujuga püramiid Egiptuses, see on peaaegu võrdhaarne, seinad on kõige madalama kaldaga. Selle kõrgus on 104,4 (sada neli koma neli) meetrit. Sees on kolm kõrvalkambrid. Seinade kõrgus sees 17 (seitseteist) meetrit. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Suur Sfinks.
6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12. Kolmnurga keskristsirge - (ehk mediatriss) antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Nende ristumiskoht on
· Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte Teoreem: kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga vastava küljega ja võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. · Trapets Trapetsiks nim nelinurka, mille kaks külge paralleelsed ja kaks külge mitte. Trapetsi paralleelseid külgi nim trapetsi aluseks. Trapetsi aluste kaugust nim trapetsi kõrguseks. Trapetsi liigid: võrdhaarne trapets, täisnurkne trapets, trapets Trapetsi kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. Omadus 1: trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. Omadus 2: trapetsi kesklõigu pikkus võrdub poolega aluste poolsummaga. Trapetsi P= a+b+c+d Trapetsi S= a+b/2*h S= k*h Traaketsi kesklõik k= a+b/2 · Kolmnurga mediaanid Def: kolmnurga mediaaniks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastasküle keskpunktiga.
pärast Jeruusalemma saabumist 9 ingellik arv (üheksa inglikoori) Katakombid Katakombid Katakombid Katakombi sisevaade Katakombimaal. Laatsaruse surnuist üles äratamine Katakombimaal. Püha õhtusöömaaeg Seinamaalid katakombides Katakombimaalid Katakombimaal. Hea karjane Varakristlik arhitektuur. Tsentraalehitised Põhiplaanilt ring, ruut, võrdkülgne hulknurk, võrdhaarne kreeka rist Põhiplaani äärmised punktid keskmest ühekaugusel Mausoleumid e. haudehitised Baptisteeriumid e. ristimiskabelid Sta Constanza Sta Constanza Sta Constanza Galla Placidia mausoleum. Plaan ja interjöör Galla Placidia mausoleum Ravennas Galla Placidia mausoleum Ravennas Galla Placidia Galla Placidia Ortodokside baptisteerium Ravennas Püha Peetri katedraal Roomas
Osakujund nr 1 - poolring pinnakeskmega 2 C1 C2 z2 Osakujund nr 2 - ristkülik pinnakeskmega C2 3 Osakujund nr 3 - C3 z3 võrdhaarne kolmnurk pinnakeskmega C3 Teljestikud y1 y1 z1 - osakujundi y2 nr 1 kesk- y3 peateljestik y2 z2 - osakujundi
Rooma võimud kõrvaldasid terve rea evangeeliume ja koostasid Uue Testamendi oma suva järgi. Dan Brown usub, et Leonardo loomingusse on peidetud palju sõnumeid, mis kinnitavad tema teooriaid. Tizian, Raffael, Michelangelo. Ülevaade loomingust Tizian esindab Veneetsia koolkonda. Veneetsia jaoks polnud kompositsioon nii oluline. Veneetslaste kaks lemmikvärvi sügavsinine ja punane. Tiziani kuulsus algas 19 sajandil. ,,Maarja taevaminek" võrdhaarne kolmnurk, spiraal. Punased toonid, sinakad sambad. ,,Kristuse kroonimine" kibuvitsakroon. Sünge. Sinised-mustad toonid. Tsentrisse suunatud valgus. ,,Urbino Venus" pani aluse renessansi aktimaalile. Mitmeplaaniline. Jõukas daam, taustal teenijatüdrukud. Sülekoer. Taustal tükk loodust. Teemad kristlus, aktimaalid, portreemaal. ,,Karl V portree" mitmeplaaniline. Aitab mõista rõivaajalugu. Raffael Itaalia kõrgrenessansi maalikunstnik ja arhitekt
Osakujund nr 1 - poolring pinnakeskmega 2 C1 C2 z2 Osakujund nr 2 - ristkülik pinnakeskmega C2 3 Osakujund nr 3 - C3 z3 võrdhaarne kolmnurk pinnakeskmega C3 Teljestikud y1 y1 z1 - osakujundi y2 nr 1 kesk- y3 peateljestik y2 z2 - osakujundi
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
d1 d 2 S= 2 Trapets Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed nimetatakse trapetsiks. Trapetsi aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180 kraadi. Võrdhaarne ja täisnurkne trapets Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks. Võrdhaarse trapetsi alusnurgad on võrdsed. Kui trapetsi üks alusnurk on täisnurk, siis nimetatakse seda trapetsit täisnurkseks trapetsiks. Trapetsi pindala Trapetsi pindala võrdub
NB saab kasutada piirdenurga leidmiseks r=(180 -140 ):2=20 võrdhaarse kolmnurga kesknurga abil või kesknurga leidmiseks alusnurk piirdenurga abil 5.Piirdenurga omaduse tõestamine - esitada kolmes osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on 1)piirdenurgaga ühel haaral, 2)piirdenurga sees või 3)väljaspool piirdenurka; 1)piirdenurga üks haar on diameeter ja teine haar kõõl; joonestada raadius nii, et tekib võrdhaarne kolmnurk; kasutada kolmnurga välisnurga omadust (kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga), välisnurk on kesknurk ja vastavad sisenurgad on piirdenurgad kui võrdhaarse kolmnurga alusnurgad; järelikult kesknurk on võrdne kahe piirdenurgaga ja vastupidi, piirdenurk on võrdne poolega kesknurgast NB kõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed 6.Kesknurga ja piirdenurga võrdlemine (sarnasused ja erinevused) - sarnasused:
2) Seinajooks. 3) Kõhulihased - selili asend, pall jalgade peal/hantel jalgade vahel, põlved painutatud. 4) Topispalli viskamine üle pea vastu seina. Tugevdab käte, õlavöötme, rinnalihaste jõudu. 5) Hüppamine üle pingi edasi-tagasi. Tugevdab hüppevõimet. 6) Põlvetõstejooks 12. Peapeal seis – juurdeviivad ja ettevalmistavad harjutused ja tehnika. Tee kael soojaks. Ei pea jääma pea peale seisma, proovivad küünarnukkidel. Jälgi, et oleks võrdhaarne kolmnurk. 13. Takistussrada ühe kehalise võime ..... arendamiseks. - osavus JÄLGI, ET SEISAD SEAL, KUS ON KÕIGE OHTLIKUM!!!! 1) Roomamine 2) Ronimine 3) Hüppamine 4) Tasakaal 5) Jooksmine 6) Pingilt hüpped edasi-tagasi.
105. Viéte' i teoreem taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. 106. Võrdeline jagamine mingi suuruse jagamine antud arvudega võrdelisteks osadeks. 107. Võrdeline seos kahe muutuja x ja y vaheline seos, milles muutujate vastavate väärtuste jagatis on konstant a. Graafikuks on koordinaatide alguspunkti läbiv sirge. 108. Võrdhaarne kolmnurk kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, kolmandat külge nimetatakse aluseks. 109. Võrdkülgne kolmnurk kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 110. Võrrand võrdus, mis sisaldab tundmatuid ja kehtib vaid tundmatute mõnede väärtuste korral. 111. Võrrandi lahendamine võrrandi kõigi lahendite leidmine või lahendite puudumise tõestamine. 112. Võrratus avaldis, mille poolte vahel on üks märkidest >, <, , . 113
2. Bütsants: · Hellenistlikud tendentsid tõrjuvad välja ladina keele, tihe läbikäimine idamaadega, kultuuri suur sõltuvus keisrikojas a) Justinianuse ajajärk; · Bütsantsi esimene õitseaeg o Hagia Sophia katedraal Konstantinoopolis Püüd uhendada basiilika ja tsentraalehitis(Tsentraalehitis põhiplaani äärmised punktid on keskmest ühekaugusel; põhikujundid nt ring, ruut, võrdhaarne hulktahukas, võrdhaarne kreeka rist) Kuppel ristkülikukujulise ruumi kohal viklite abil Kuplite all aknad, jääb mulje, nagu kuppel hõljuks õhus. Muhamedlased on hiljem lisanud minaretid ning kinni katnud seinu ja kupleid katnud mosaiigid ja maalingud o Ravenna Bütsantsi võimu keskus Põhja-Itaalias Kirikud
annaabi.ee 
