Variatsioonirida ja mediaan Kordame varem pitud misteid: aritmeetiline keskmine ja mood. pime ra uute snade thenduse: variatsioonirida ja mediaan. Peale materjali lbimist oskad sa: moodustada variatsioonirida, leida aritmeetilist keskmist, moodi ja mediaani. VARIATSIOONIRIDA Mitmesuguste nhtuste ja seoste uurimiseks on sageli tarvis koguda suurel hulgal arvandmeid. Niisugused andmekogumid vivad sisaldada tuhandeid arve, mida korrastatakse ja tdeldakse arvutiga. Nide: Korvpallurite treeninglaagris on 9 meesmngijat, kes pikkuse jrgi (cm) reastuvad jrgmiselt: 182, 183, 187, 189, 195, 195, 199, 201, 210. Sellist kasvavalt (vi kahanevalt) jrjestatud tunnuse vrtuste rida nimetatakse variatsioonireaks.
Statistiline uurimus Küsimus: Mitu tassi (üks tass umbes 250 ml) kohvi sa nädala jooksul ära jood? Küsitlesin sadat (50 poissi ja 50 tüdrukut) oma tutvusringkonda kuuluvat noort inimest (vanusevahemikus 16-20). Uurimuse viisin läbi paberilehel oleva küsitluse ja internetiküsitluse abil. 1.Statistiline rida: Tüdrukud: 3,7,4,0,1,16,5,9,7,7,4,6,8,1,0,12,10,14,5,13,4,2,14,3,5,7,6,14,7,2,5,14,1,5,0,8,15, 11,0,7, 0,2,1,7,8,12,5,8,7,0 Poisid: 0,5,7,2,10,0,1,8,14,7,5,0,0,5,6,5,8,14,7,9,11,7,7,5,2,8,3,10,4,2,7,0,5,8,2,12,7,5,0,13,7, 14,0,5,2,10,7,5,4,1 2.Variatsioonrida: Tüdrukud: 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9,10, 11,12,12,13,14,14,14,14,15,16 / kogumimaht n=50 Poisid: 0,0,0,0,0,0,0,1,1,2,2,2,2,2,3,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9,10,10, 10,11,12,13,14,14,14 / kogumimaht n=50 Variatsiooni ulatus: Tüdrukutel: 16-0=16 Poistel: 14...
Mood võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine Keskmine on alati reaalne väärtus uuritud valimi väärtuste hulgast Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine Kui variatsioonireas on paarisarv elemente, siis mediaani arvutamiseks liidetakse kaks keskmist elementi kokku ning jagatakse kahega. Mediaaniks saab väärtus, mida reaalselt vastuste hulgas ei esine. Samuti võib aritmeetilise keskmise arvutamisel tekkida väärtus, mida reaalselt andmete hulgas ei esine. Mood on aga kõige enam esinenud väärtus, seega on mood alati reaalne väärtus
külje keskpunkte, nim. selle kolmnurga kesklõiguks. ¤Kolmnurga kesklõigu teoreem- Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. ¤Trapetsi kesklõik- Leitud haarade keskpunktid ja need omavahel ühendatud. ¤Trapetsi kesklõigu teoreem- Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. ¤Mediaan- Aluse keskpunktist vastastippu tõmmatud lõik. ¤Mediaani teoreem- Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. ¤Raskuskese- Kolmnurga mediaanide lõikepunkt nim. ka kolmnurga raskuskeskmeks.
32 65 78 33 65 83 34 65 62 5 Esimene punkt 1. Esimese punktis analüüsin kirjandi tulemuste andmeid. Andmed jagan tabelisse, joonestan sageduspolügoonid ning arvutan mediaani, moodi ja keskväärtuse. 1.1 Jagan kirjandi tulemuste andmed sagedustabelisse. Variatsioonirida: 4,45,49,50,50,50,55,55,55,56,60,60,65,65,65,65,65,65,70,70,75,75,75, 80,80,80,80,85,85,85,90,90,93,95 Sagedustabel: 12.klassi kirjandi tulemused(punktid) 0 kuni 20 21 kuni 40 41 kuni 60 61 kuni 80 81 kuni 100 Sagedus 1 0 11 15 7 Suhteline sagedus
Kahjusumma arvutamisel arvestati, et saamata jäi 3/5 keskmisest päevakäibest, kuna pood on lahti 10 tundi päevas. Kahjusumma arvutamisel lähtus kauplus viimase 30 päeva päevakäivete aritmeetilisest keskmisest ning selle alusel saadi kahjunõude suuruseks ligikaudu 150 tuh kr. Puurimistöid teostanud ettevõtte esindaja aga leidis, et kahjusumma peaks olema ligikaudu 105 tuh kr, mis on leitud viimase 30 päeva päevakäivete mediaani alusel. Viimase kuu päevakäibed on toodud juuresoleval joonisel. Kumba summat tuleks kahjutasu arvutamisel aluseks võtta? Põhjenda! Kahjutasu arvutamisel tuleks aluseks võtta 105 tuhat krooni, kuna keskväärtus on mõjutatud ühest ebatüüpilisest, teistest väga erinevast väärtusest (20. päev), mediaani sellised ekstreemsed väärtused ei mõjuta. Küsimus 2 Valmis Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst
17 Jalgrattur sõitis 48km kiirusega 16km/h, 60km keskmise kiirusega 15km/h ja 65km kiirusega 13km/h. Arvuta jalgratturi keskmine kiirus. 18 Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Tähis Me Kui variatsioonireas on elemente paarisarv, siis mediaaniks on kahe keskmise liikme poolsumma. 19 Mediaani eelised: 1) lihtsamini leitav 2) vähem mõjutatud eranditest 20 Mediaani puudused: 1) ei kasuta kogu infot 2) tunnuse muutudes allpool või ülalpool mediaani jääb mediaan samaks. 21 Kumba eelistada, kas keskväärtust või mediaani? I grupp 8000 kr. 10 000 kr. 14 000 kr. 17 000 kr. 19 000 kr. II grupp 7000 kr. 11 000 kr. 13 000 kr. 16 000 kr. 39 000 kr Mediaan: I grupis 14 000, II grupis 13 000
.................................................................................................. ............................................................................................................... ............................................................................................................... Lahenda vihikusse. Kolmnurga kolm tippu on A(2; 1), B(5; 3) ja C(3; -4). Kirjuta selle kolmnurga 1. Külgede võrrandid 2. Nurkade suurused 3. Küljele AB tõmmatud mediaani võrrand 4. Küljele BC tõmmatud kõrguse võrrand 5. Küljega AC paralleelse kesklõigu võrrand 6. Leia saadud kõrguse ja mediaani lõikepunkti koordinaadid ja leia selle punkti kaugus küljest AC.
küljest. 1Mis on trapetsi kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem trapetsi kesklõigust. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ning on paralleelne alustega ja võrdub nende aritmeetilise keskmisega. 1Mis on kolmnurga mediaan? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem mediaanide lõikepunkti kohta. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Igal kolmnurgal on kolm mediaani. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipu poolne osa on kaks korda pikem, kui küljepoolne osa. 1 Mis on kõõl? Tee selgitav joonis. Kõõluks nimetatakse ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. 1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis. Kesknurgaks nimetatakse ringjoone kahe raadiuse vahelist nurka. 1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis.
kvartiil(tunnuse väärtus, millest suuremaid liimeid on variatsioonreas ligikaudu 25 %) 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 8; 10; 10; 11; 12; 12; 13; 14 7 liiget 14 liiget 7 liiget 9 Alumine kvartiil Kv = 3(leian variatsioonrea alumise poole mediaani, mis ongi ühtlasi alumine kvartiil) Ülemine kvartiil Kv = 8(leian sarnaselt variatsioonrea ülemise poole mediaani). Kontrollin: alumisest kvartiilist väiksemaid liimeid on 7 ehk ligikaudu 23 protsenti ülemisest kvartiilist suuremaid liikmeid on samuti 7 23 protsenti alumise ja ülemise kvartiili vahele jääb 14 liiget 46 protsenti 8) Keskväärtus(tunnuse väärtuste aritmeetiline keskmine)
Tunnuse keskväärtuseks on tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Aritmeetiline keskmine-variatsioonireas . sagedustabel- pidev tunnus *fi). Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju(Me). Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus(Mo).Nominaaltunnuste korral(rahvus,elukutse) leidakse keskmisena mood. Mediaani kasutatakse juhul, kui andmete hulgas on ekstremaalseid väärtusi, mis oluliselt mõjutavad keskväärtust. Mediaani pole mõtet leida nominaaltunnuse korral. Keskväärtust kasutatakse sageli, sest ta on aluseks teiste statistiliste näitajate määramiseks. Puudus-Arvutamise tulemusena saadud väärtus ei pruugi ise olla üks tunnuse väärtustest. Hajuvusmõõdu vajalikkus- tunnuste iseloomustamiseks ainult keskimiste abil annab liiga vähe informatsiooni.
........................................ 3 2.3Millised on variatsiooninäitarvud........................................................................................ 4 2.4Mis on mood?..................................................................................................................... 4 2.5Mis on mediaan?................................................................................................................ 4 2.6Olukord (loengukiledelt). Millal kasutada moodi / mediaani / aritm. keskmist. mitu olukorda (nominaalskaalal, järjeskaalal, intevallskaalal).........................................................4 3Kahe tunnuse analüüs. Sageduste risttabel. Hii-ruut-test........................................................4 3.1Risttabelis üks lahter esile toodud (värviga). Kuidas interpreteerida (rea / veeru / üldprotsent) 3 küsimust.......................................................................................................... 4 3
x=4,4 5.2. Leian standardhälve. Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Valem: n ( xi - x) 2 = i =l n *Väikese valimi korral(alla 100 objekti), kasutatakse valemis n-1. =0,723974 5.3. Leian variatsioonikordaja. Variatsioonikordaja on standardhälve ja keskväärtuse suhe. Valem: V = x V=0,164539 5.4. Leian mediaani. Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Tähis: M e = M e =5 5.5. Leian moodi. Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Tähis: M = o Mo = 5 4 6. Matemaatika 6.1.Leian keskväärtuse. Tunnuse keskväärtuseks on tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Valem: x + x + ... + x n x= 1 2 n
1. Lahenda kolmnurk ja arvuta selle pindala, kui tipud on K(4; 2; 10), L(10; -2; 8) ja M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4
Küsimus 13 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Ettevõtte töötajate keskmine sissetulek on 8200 kr, mediaan 6000 kr ning standardhälve 2000 kr. Milline järgnevatest väidetest on õige? Vali üks: Arvutustes on viga, sest Eesti keskmine brutopalk on juba ammu üle 10000 krooni Üksikud väga suured sissetulekud suurendavad aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta oluliselt mediaani. Ettevõtte kõigi töötajjate sissetulekud jäävad vahemikku 8200 ± 2000 ehk 6200...10200 krooni Üksikud väga väikesed keskmised sissetulekud vähendavad aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta mediaani Küsimus 14 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Millised väited on korrektsed? Vali üks või enam: Keskväärtus võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine
c) Pideva tunnuse korral? 16. Mis on mediaan? Kuidas leitakse mediaan. a) Variatsioonreast? b) Sagedustabelist? c) Pideva tunnuse korral? Mediaan arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonreas ühepalju. 17. Mis on mood? Millal kasutatakse keskmisena moodi? Mood tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Nominaaltunnuste korral (Nt rahvus, elukutse) leitakse keskmisena mood. 18. Millal kasutatakse mediaani, millal keskväärtust? Milles on nende karakteristikute eelised ja puudused? Mediaani kasutatakse siis, kui on eesmärgiks leida täpne andmete jaotuse keskpunkt, või kui andmete hulgas on ekstremaalseid väärtusi, mis mõjutavad oluliselt keskväärtust. Keskväärtust kasutatakse küllalt sageli, sest ta on aluseks teiste statistiliste näitajate määramisele. 19. Miks läheb lisaks keskmistele vaja ka hajuvusmõõte? Milliseid hajuvusmõõte tead?
hälbimist/kõrvalekaldumist võrdlussuhtarv - kogumi M maht jagatud kogumi N mahuga Suhtarve väljendatakse kas kordades või protsentides. KESKMISED Aritmeetilist keskmist kasutatakse: 1. kui tulemused on koontunud sümmeetriliselt keskpunkti ümber 2. kui tulemus nõuab seostamist teiste meetoditega 3. interval kui suhte skaalal saadud andmete korral eeldusel et tulemus vastab normaaljaotusele Mediaani kasutatakse: 1. kui on vaja leida täpset keskpunkti 2. kui erandlikult tulemused moonutavad keskmist 3. et kui on palju hälbivaid tulemusi ja vähe madalaid tulemusi, siis tuleb kasutada mediaani valemit Moodi kasutatase: 1. kui on vaja kiiresti määrata keskmist 2. kui keskmine näitab tüüpilist juhtumit/nähtust INDEKS MEETOD Indeks (i, I) - on üldistav näitaja, iseloomustab statistika teooria kõige nooremaid harusid.
Planimeetria Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt).
Töö autorid alustavad esmalt efektiivsuse väldete analüüsiga. Esimene välde on varade käibevälde, mis näitab keskmist varade käibimist päevades ning seda leitakse järgnevalt: 360 DAH = (2.1) S , A kus S müügitulu (eurot), A varad (eurot). 2009. aastal tekitas üks varadesse investeeritud euro 84 senti müügikäivet. Ettevõte kuulus 2009. aastal varade kasutamise efektiivsuses I kvartiili ja mediaani vahele. Seega oli Estravel AS antud aastal keskmisest paremini varasid kasutavate ettevõtete seas. Järgnevatel aastatel ettevõtte efektiivsus paranes veelgi ning ettevõte parandas oma positsiooni. 10 2009. aastal kulus 431 päeva, et üks vara all olev euro annaks tagasi ühe käibeeuro. 2010. ja 2011. aastal läks varade kasutamine efektiivsemaks. Üks vara all olev euro teenis ühe käibel oleva euro tagasi 60 päeva kiiremini.
Kolmnurga mediaanid Lõik AM on kolmurga ABC üks mediaanidest. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Tõestus: Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et 1. AD on mediaan, st. BD = DC ja 2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF) Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et
kohustuslik.. Ühest arvutist on Võimalik. On võimalik. Kas on võimalik uurimust võimalik määrata, et täita ühe korra, küsitlusse saab vajadusel saab siseneda ainult rohkem. ühe korra? Keskkonna Statistikat saab Saab näiteks Statistikat küsitlusstatistika vaadata keskmist ja esitatakse ja tulemuste protsendiliselt, mediaani jm protsendiliselt, statistika keskmise vanusena, arvutada. sugu, keskmise näitajad. sugu jne. vanusena, diagrammidena jne Tulemuste - - - vaatamine vastaja lõikes ühe vastaja kõik vastused ühel lehel. Tasuta saab Tasuta saab Piiramatud
korral 2) Pideva intervallskaala korral tuleb andmed grupeerida intervallidesse. 3) Mõnedel andmekogumitel mood võib puududa (kõik variandid esinevad ühepalju kordi) 4) Mõnedel andmekogumitel võib olla mitu moodi (on mitu ühesuguse sagedusega liiget) Tabelarvutusprogrammis MS Excel on moodi leidmiseks funktsioon MODE. Mediaan on jaotuse keskmine liige, millest mõlemale poole jääb võrdne arv elemente. Mediaan jaotab järjestatud statistilise rea kaheks. Mediaani kasutatakse siis, kui tahetakse kindlaks määrata jaotuse täpset keskpunkti. Kui aritmeetilist keskmist võivad oluliselt mõjutadada ekstremaalsed väärtused, siis mediaani need oluliselt ei mõjuta. Mediaani omadusi 1) mediaani võib kasutada järjestikskaala ja intervallskaala korral; 2) mediaan ei ole tundlik ekstremaalsetele väärtustele. Tabelarvutusprogrammis MS Excel on mediaani leidmiseks funktsioon MEDIAN. 7
haldjate) tempel - Museion - millest sai suur riiklikult ülalpeetav kultuuri- ja teaduskeskus. Valitsejad kutsusid sinna tähtsamaid kirjanikke ja õpetlasi kogu kreeka maailmast. Sinna kõrvale rajati ka raamatukogu, mis sisaldas peagi enam-vähem kogu kreeka kirjasõna. 3. sajandil eKr pikka aega Aleksandria raamatukogu juhtinud Eratosthenes ühtviisi kodus nii astronoomias, geograafias kui ka ajaloos. Ta arvutas välja Maa ligikaudse ümbermõõdu (mediaani pikkuse) ja koostas kogu varasemat Kreeka ajalugu hõlmava kronoloogilise süsteemi (arvutas välja kõikide tähtsamate sündmuste ligikaudse toimumisaja). Matemaatik Eukleides pani kirja teose "Elemendid", milles sõnastas elementaargeomeetri põhialused. Sitsiiliasse pärit matemaatik, füüsik ja leiutaja Archimedes aga formuleeris muu hulgas hüdrostaatika seaduse. Hellenismiperioodi astronoomidele oli enesestmõistetavalt selge, et Maa on kerakujuline.
Kreeka põliselanikke. Hellenismi periood on kreeka tsivilisatsiooni levimine Lähis-Ida maades. Egiptuses, Mesopotaamias ja Väike-Aasias tekkisid kreeka pärased linnas. Hellenistliku kultuuri on tänapäeval suuresti imetletud, kuna kõik teaduses kasutavad väljendid on pärit sellest ajast. Üks eredamaid näiteid kultuuris on teaduse areng .Aleksandrias raamatukogu juhtinud Eratosthenes, kes tegeles astronoomiaga, geograafiaga ja ajalooga arvutas välja Maa ümbermõõdu, mediaani pikkuse ja Maa ümbermõõdu varjude võrdlemise abil, mis langesid keskpäeval erinevate laiuskraadidel. See ei olnud küll päris täpne kuid ta oli esimene kes seda üritas. Ta oli suureks eeskujuks teadlastele, kes uurisid Maa geograafiat. Tänu temale kujunes inimestel kujutlusvõime Maa suurusest. Tähtsal kohal Hellenistlikul perioodil oli filosoofia. Tähelepanu pöördus ühiskondlikele probleemidele . Epikuros ja tema järglased uskusid et kuna me kõik koosneme aatomitest, siis
Mood on alati reaalne väärtus uuritud valimi väärtuste hulgast. Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine. 6. Tudengite eksamihinded on 1 2 2 3 3 5 Õiged: Eksamihinnete mediaan 2,5 Eksamihinnete jaotusel on 2 moodi: 2 ja 3. 7. Ettevõtte kõigi töötajate sissetulekud jäävad vahemikku 8200+-2000 ehk 6200...10 200 krooni. Üksikuid väga suured sissetulekud suurendavad aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta oluliselt mediaani. 8. Millised on variatsioonirida? 1, 3, 4; 9,8,7 9. Erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste varieerumist saab võrrelda, võrreldes... Variatsioonikoefitsente 10. Tudengite testitulemused olid järgmised: 45 21 21 93 36 31 28 Mediaan 31 11. Kogutud andmete põhjal arvutati meeste vanuse standardhälbe väärtuseks 12, naiste vanuse standardhälbe 7. Naiste vanused on rohkem koondunud ümber oma grupi keskmise vanuse. 12. Uuritud grupi keskmine laste arv on 1, 56...
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin
OSA A 1. Hindame valimi parameetreid Hindamiseks kasutame järgmised valemid: Keskväärtus: 44,12 Dispersioon: 673,44 Standardhälve: 25,95 Mediaani ja haarde leidmiseks teeme valimi liikmete ümberjärjestuse: Mediaan: 51 Haare: 92-4= 88 2. Leiame keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (usaldusnivoo = 0,10), eeldades üldkogumi normaaljaotust Keskväärtuse jaoks kasutame t-statistikut f = N 1 = 24 t0,95(24) = 1,7109 = 8,88 (poollaius) P(35,24 < < 53) = 0,9 Dispersiooni jaoks kasutame 2-statistikut f = N 1 = 24 20.95(24) = 36,415 20.05(24) = 13,848 P (443,9 < 2 < 1167,15) = 0,9 3
koosneb aatomitest, kuid sellest õpetusest suurema populaarsuse saavutas Zenoni loodud Stoitistide koolkond (Stoitism), mis ütles, et kõik on jumalate poolt ette määratud, ja saatusele ei ole mõtet vastu hakata. Nende arust hirmust surma ees üle saades ja elu mõõdukalt nautides saavutaski hingrahu, ning filosoofia aitab inimestel hirmust üle saada. Kreeka teaduse suurmees Eratosthenes arvutas geograafias välja maa ümbermõõdu (mediaani) pikkuse, süstematiseeris ja kirjutas ajaloo kronoloogia. Matemaatik Eukleides kirjutas elementaargeomeetriast teoses "Elemendid", ning füüsik ja leiutaja Arhimedes formuleeris vee hüdrostaatika seaduse. Tema tähtsamad leiutised on nt. Tiguülekanne (vee tõstuk) ja kivi ja nooleheitjad. Astronoom Aristarchos esitas esimesena päikesekeskse (heliotsentrilise) maailmapildi. Tema teooria aga ei leidnud eriti pooldajaid, mistõttu vajus see unustusse
25.Kolmnurga kesklõigu omadus - Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest 26.Trapetsi kesklõigu omadus - Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alusega ja võrdub asluste aritmeetlise keskmisega (poolsummaga) 27.Kolmnurga mediaanide omadus - Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks koeda pikem küljepoolsest osast
maine ning asendati detsimaalsüsteemiga, mis põhines kilogrammil ja meetril. Pikkusühik meeter põhines maa mõõtmetel ning kilogramm ühe liitri vee massil. 19. sajandi esimese pooles kasutati meetermõõdustikku peamiselt teaduslikes valdkondades. Sajandi teises pooles tuli James Clerck Maxwell välja ideega esitada ühtne süsteem, kus väike hulk mõõtühikuid määratleti põhiühikuteks ning kõik teised ühikud tuleb neist tuletada. Pikkusühik meeter saadi mõõtes ära mediaani pikkus, mis ühendas läbi Pariisi Põhja Poolust ning ekvaatorit ning jagades selle 10 millioniga. Seitsmendal aprillil 1795 kuulutati 1 gramm võrdseks sellise hulga puhta vee absoluutse kaaluga, mis võrdus 1/100 meetri kuubiga jää sulamistemperatuuril. Meetermõõdustikku hakati ülemaailmselt kasutusele võtma 19. sajandil, eeskätt lisaks Prantsusmaale Hollandis, Saksamaal, Itaalias ning 1858 otsustas ka
harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, ruutkeskmine) - sõltuvad rea mahust. ASENDIKESKMISED Mediaan variatsioonrea keskmine liige. Tähis Me. Kui liikmeid on paaritu arv, siis keskmine liige. Kui liikmeid on paaris arv, siis kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine. Suure kogumi korral on mediaaniks statistiliste andmete 50% punkt. Mediaani kasutatakse juhul, kui andmete hulgas on ekstremaalseid väärtusi, mis oluliselt mõjutavad keskväärtust. Mood variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo Bimoodaalne - 2 moodi; multimoodaalne - rohkem moode (tegelikult mood puudub); antimodaalne - andmete reas esinevad ainult ühesuguse sagedusega tunnuse väärtused. Mood on tunnuse kõige tüüpilisem väärtus. Mood on ainus keskmine , mida
Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Trapetsi kesklõik Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
Osa A Andmed: 7 2 3 3 1 1 4 3 3 3 6 5 6 1 2 9 7 5 7 8 5 2 4 1 8 7 9 7 4 8 5 3 1 9 3 5 9 5 8 4 6 1 3 0 7 6 9 1. Valimi parameetrite hindamine. Kasutan järgmisi valemeid: Keskväärtus: 44,28 Dispersioon: 772,46 Standardhälve: 27,79 Mediaani ja haarde leidmiseks teeme valimi liikmete ümberjärjestust: 1; 2; 5; 14; 18; 19; 25; 27; 31; 33; 37; 39; 39; 45; 46; 50; 56; 63; 65; 71; 74; 77; 83; 89; 98 Mediaan: 39 Haare: 98 1 = 97 2. Leian keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (usaldusnivoo = 0.10), eeldades üldkogumi normaaljaotust Keskväärtuse jaoks kasutame t-statistikut f = N 1 = 24 t0.95(24) = 1.711 = 9.51 Keskväärtuse usaldusvahemik arvutatakse valemiga: P(34,77 < < 53,79) = 90%
Õige Hindepunkte Valige üks: 1.00/1.00 a. -1 kuni 0 b. -1 kuni 1 c. 0 kuni 1 Küsimus 15 Ühes väikses linnas on korterite hinna aritmeetiline keskmine 65 000 eurot, kuid hinna mediaan on 35 000 eurot. Kuidas on see Õige võimalik? Hindepunkte 1.00/1.00 Valige üks: a. Väike protsent väga kalleid kortereid teeb mediaani väiksemaks, kuid ei mõjuta eriti aritmeetilist keskmist. b. Väike protsent väga kalleid kortereid suurendab aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta eriti mediaani. c. Rohkem kui poolte korterite hinnad on väiksemad, kui 35 000 eurot. Sinu vastus on õige. Küsimus 16 Millised väited on õiged? Osaliselt õige Hindepunkte Valige üks või mitu: 0.33/1.00 a
Annab vastuseks kahe andmehulga korrelatsioonikordaja. Loendab argumentide loendis olevaid arve. Loendab argumentide loendis olevaid väärtusi. Loendab vahemiku tühjad lahtrid. Loendab antud kriteeriumidele vastava vahemiku lahtrite arvu. Loendab mitmetele kriteeriumidele vastava vahemiku lahtrite arvu. Annab vastuseks argumentide loendi suurima väärtuse. Annab vastuseks antud arvude mediaani. Annab vastuseks argumentide loendi väikseima väärtuse. Kirjeldus Ühendab mitu tekstiüksust üheks tekstiüksuseks. Leiab ühe tekstiväärtuse teise seest (tõstutundlik). Annab vastuseks tekstiväärtuse esimesed märgid. Annab vastuseks märkide arvu tekstistringis. Teisendab kõik teksti tähed väiketähtedeks. Annab vastuseks tekstistringist määratud arvu märke, alates teie määratud kohast.
Tihti on vaja hinnata, kui palju andmed erinevad "tüüpilisest" väärtusest (ehk teisiti: kui palju andmed hajuvad). Enamasti vaadeldakse erinevust keskväärtusest. Saab tõestada, et tunnuse väärtused paiknevad kõige tihedamini keskväärtuse ümber. Kuidas hajuvust arvuliselt kirjeldada? Seda uurimegi. Vaatleme kahte erinevat valimit. Üks neist on esitatud sagedustabeliga, teine jaotustabeliga. Leiame kummagi valimi jaoks keskväärtuse, mediaani ja moodi. 1. valim: xi 7 8 9 10 11 12 13 fi 1 3 5 10 5 3 1 17 38 59 10 10 511 312 113 x 10 28 Me = 10 Mo = 10 2. valim: xi 7 8 9 10 11 12 13
rahvastiku vahelist seost. Rahvastiku sookoostist ehk soojaotust kui tõenäoliselt esineb patsiendil uuritav haigus või seisund. Ei anna karpdiagramm. Üksikute äärmuslikke vaatsluste korral kasutame iseloomustatakse tavaliselt suhtarvuga, mis näitab ühe sugupoole tulemuseks kindlat diagnoosi, vaid ainult tõenäosuse, et testitav põeb mediaani. esindajate arvu vastassugupoole esindajate arvu kohta. Muude uuritavat haigust. Milleks diagnostilised testid? *Diagnoosimiseks rahvastikku iseloomustavate tunnuste hulka kuuluvad veel olukorras, kus täpsed meetodid puuduvad, on liiga kallid või kodakondsus, etniline ja rassiline kuuluvus, jaotamine haridustaseme, aeganõudvad. *Nn sõeluuringu e skriiningu eesmärkidel: leida Dispersioon s2
poolummaga. Kolmnurga kesklõigu arvutamise valem: 7.trapetsi kesklõik Lõikku, mis ühendab trapetsi harade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks.Trapetsi pindala võrdub trapetsi kesklõigu ja kõrguse korrutisega: s =hk. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga 8. kolmnurga mediaanid Kolmnurga mediaan on kolmnurga küljepoolitaja. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.
Keili Kajava Rakendusstatistika arvutusgraafiline töö 2010 Keili Kajava Osa A 1. Keskväärtus: Dispersioon: Standardhälve: Mediaani leidmiseks rivistan arvud tabelis kasvavasse järjekorda ja leian sealt valimi keskel oleva väärtuse ehk tabeli algusest või lõpust 13.-nda arvu (sest valimi maht on 25). Me=44 Haare: R=99-2=97 2. Keskväärtuse usaldusvahemiku leidmine (leitud t-jaotuse tabelist) Dispersiooni usaldusvahemiku leidmine (tuleb jaotuse tabelist) (tuleb jaotuse tabelist) Keili Kajava
andmed: Vanus aastates Inimeste arv 10-20 3 21-30 8 31-40 15 41-50 24 51-60 12 61-70 8 Iseloomustage selle seltskonna keskmist vanust aritmeetilise keskmise, moodi ja mediaani abil. 14. Kass püüdis hiiri mitmel erineval kuul järgmiselt: 5, 12, 11, 4, 10, 8, 6, 2, 3, 7, 9. Arvutage hiirte arvu varieeruvuse iseloomustamiseks keskmine lineaarhälve, dispersioon, standardhälve. Vastused: 1. Verivorst: 3.50, mandariinid 1.00 ja glögi 0.80 eurot. 2. 28 viinamarja 3. 1) 6237,32 eurot; 2) 7809,33 eurot; 3) 10953,34 eurot. 4. -6 -8 --6 -1 15 4 21 11 6 5. 6 6. C(q)=12000 + 6q 7. R(q)=15q 8. P(q)=-7q2 + 379q - 4000 9. 1600 10
tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik fikseeritud samm, süstemaatiline valik, punkthinnang nihketa, efektiivne, optimaalne keskväärtus, normaaljaotus, suur valim keskväärtuse standardviga standardhälve standardviga, keskväärtuse usalduspiirid valimvaatlus usaldatavus suur valim, usaldatavus suurem üldkogumi keskväärtuse usaldusvahemiku laius, vabadusastmete arv studenti jaotus mediaani usalduspiiride leidmisel kasutatakse binoomjaotust, loend on ülekaetud ankeetküsitluse läbiviimisel, mõõtmisvahendi viga Test nr 8 sisukas hüpotees, järeldus peale parameetri empiirilise väärtuse võrdlust kriitilisega z-testi parameetri kriitiline väärtus t-testi parameetri empiiriline väärtus sisukas hüpotees, sõltuv valim, sõltumatu valim empriiline väärtus, kriitiline, nullhüpotees, sisukas hüpotees t-testi parameetri empiiriline väärtus
Leia trapetsi Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Ülesann Kui pikkadeks lõikudeks jaotab mediaanide e: lõikepunkt mediaanid, mille pikkused on 1215cm,
näidatakse mitu väärtust valimis langeb ühte või teise intervalli. Intervallide arv ei tohi olla liiga suur! Saadakse histogramm pideva tunnuse jaotumise kirjeldamiseks (järjestikuste tulpade vahele vahesid ei jäeta). · Suhteline sagedus · Protsent · Keskmine vt valemit. Keskväärtuse puuduseks on tema suur tundlikkus üksikute äärmuslike vaatluste suhtes. Kui selliseid vaatlusi esineb, on mõttekam kasutada mediaani · Standardhälve leitakse kui ruutjuur dispersioonist vt valemit. · Standardviga · Mediaan ehk teine kvartiil- järjestatud valimi keskpunkt väärtus, millest nii suuremaid kui väiksemaid väärtusi on valimis 50%. Kui valimi suurus on paaritu, siis on mediaaniks keskmine vaatlus järjestatud valimis. Kui tegu on paarisarvulise suurusega valimis, siis on mediaaniks kahe keskmise väärtuse aritm kesk. · Kvartiilid saab hinnata valimi varieeruvust
Üldkogumi keskväärtuse hindamiseks võib hindamismeetodid ökonomeetrias: kasutada näiteks harilik vähimruutude meetod (Ordinal Least Squares, valimi keskmist; OLS); valimi mediaani; suurima tõepära meetod (Maximum Likelihood, ML); valimi minimaalse ja maksimaalse elemendi kaalutud vähimruutude meetod (Weighted Least aritmeetilist keskmist. Squares, WLS);
S = k * h Teoreem: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega ( poolsummaga ) . Eeldus: EF on trapetsi ABCD kesklõik: AE = ED ja BF = CF Väide: 1. 2. EF || AB || DC 10. KOLMNURGA MEDIAANID * Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Eeldus: AE ja CD on kolmnurga ABC mediaanid, mis lõikuvad punktis O Väide: AO = 2OE, CO = 2OD ja kolmas mediaan läbib punkti O .
Rakendusstatistika arvestusharjutus. Osa A. N=25 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus Dispersioon Standardhälve Mediaan Me=49 Haare 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,71 Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10) 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50
· Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kolmnurga küljepoolitajaks ehk mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga · Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. 7. Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega. S=kh
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga
45. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. 46. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 47. Trapetsi ümbermõõt P= a+b+c+d 48. Trapetsi pindala S= a+b : 2 x h või S= k x h 49. Trapetsi paralleelsed külgi nimetatakse trapetsi alusteks. 50. Trapetsi kõrguseks nimetatakse trapetsi aluste vahelist kaugust. 51. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastaskülje keskpunktiga. 52. Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1 . 53. Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. 54. Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. 55. Piirdenurgaks nimetatakse ringoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 56. Piirdenurk võrdub poolega temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 57. Kõik samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. 58. (Thalese teoreem)Poolringjoonele toetuv piirdenurk on täisnurk. 59
kesklõiguks. Kolmnurga mediaan Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem kolmnurga kesklõigust Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Teoreem trapetsi kesklõigust Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Teoreem kolmnurga mediaanist Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. 5-ga jaguvuse tunnus Kui arv lõpeb nulli või viiega, siis arv jagub viiega.
annaabi.ee 
