Geomeetria/Planimeetria. (0)

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema 
Geomeetria 
PLANIMEETRIA  
Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. 
 
 
 
Ristkülik  

 
S
ab
d 
b 
 
P  
2 a  b  
 
2
2
d 
a  b
 
a 
 
 
a 
 
Ruut 
 
2

 
S
a
d 
a 
 
P  4a  
 
d  a 2
 
 
 
 
Rööpkülik  
  
d  



 
S
ah
ab sin
1
 
b 
h 
P  
2 a  b
d
 
 
2

 
0
    180
 
a 
 
2
2
d
 d  2 a  b
1
2
 2 2
 
 
 
 
 
d  
Romb  
 
2
d  d
1
2
2
 
a 
h 
S  ah 
 a sin
2
 
 
d  
1
  

 
P
4a
 
a 
 
 
 
 
b 
 
 
Trapets  

 
k 
Kesklõik 
a
b
k 
 
 
h 
2
 
a  b
S 
 h  kh 
 
2
 
a 
 
 
 
 
1 
 
Ringjoon , ring, sektor  
 
d  2r
 
d 
C  2 r

 
x rad 
 
2
S  r

 
 
r 
l  

 
2 r
sektori kaare pikkus l 
 x  xr
 
2
 
2
xr
lr
 
sektori pindala S 

 
2
2
 
 
 
 
Kolmnurk  
 
P  a  b  c
 
  
 
c 
ah
ab sin 


 
b 
S
 
h  
 
2
2
  
 
 

Heroni  valem S 
p p  a p  b p  c
a b c
 
 
, p 
 
2
 
a 
      1800
 
 
S  pr, r  siseringjoone raadius
 
 
Siinusteoreem
 
a
b
c
 


 2R, R on ümberri oone
ngj
raadius
 
sin 
sin 
sin 
 
Koo sin usteoreem
 
 
2
2
2
a  b  c  2bc cos
 
 
2
2
2
b  a  c  2ac cos 
 
 
2
2
2
c  a  b  2ab cos 
 
 
 
 
Täisnurkne  kolmnurk
 
 
 
Pythagorase   teoreem   2
2
2
a  b  c  
 
Eukleidese  teoreem  a2  fc,b2  gc  
 
 
Teoreem kõrgusest  h2  fc  
 
  
ab
ch
 
S 

 
2
2
 
f  
    900
sin900   
 
c 
 cos
a 
a
sin  
 cos 
cos900     sin
 
        
 
c
 
h  
g  
tan900   
1
 
b

 cot

cos 
 sin
tan
 
 
c
 
b 
a
 
tan 
 cot 
 
b
 
 
2 
 
Korrapärane kuusnurk 
 
 
  1200
 
R  a
 
 
 
  
6a  r
S  pr 
 ar
3
 
2
 
R
 
a 
r 
R 
 
 
 
a = R 
 
 
NÄITEÜLESANDED. 
 
1)  Leidke  täisnurkse  kolmnurga pindala, kui ta siseringjoon  jaotab ühe kaateti 
oma puutepunktiga lõikudeks 6 cm ja 10 cm alates täisnurga tipust.  
 
Lahendus.  
Teame, et kolmnurga küljed on siseringjoonele puutujateks ning  puutuja  on risti 
puutepunkti tõmmatud raadiusega . Samuti on teada, et puutujate lõikepunkt on 
puutepunktidest võrdsetel kaugustel.  Leiame nüüd jooniselt võrdsed lõigud  
CE = CF = x 
AF =AD = 6 
BE = BD =10. 
B 
Kasutame Pythagorase teoreemi.  
162  x  62  10  x2
162
2
 x 12x  36
2
 x  20x 100
10 
12x  20x  100  256  36
 
10 
 8x  192

:  8
E 
x  24
Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja  
D 
x 
AC = 6 + 24 = 30 (cm). 
Leiame pindala  
6 
 
A 
6 
F 
x 
C 
ab
16  30
S 


 2
240 cm . 
2
2
Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm². 
 
2)   Võrdhaarse  trapetsi diagonaal on risti haaraga. Arvutage trapetsi pindala, 
kui trapetsi haar  on 15 cm ja diagonaal 20 cm.   
Lahendus.  
 
b 
D 
 
C 
 
15 
 
20 
15 
 
h 
x 
x 
A 
E 
a 
B 
 
3 
Leiame külje a = AB ( hüpotenuus ) täisnurksest kolmnurgast ABD  Pythagorase 
teoreemi abil  a 
202 152 

25 cm . 
Järgmisena leiame trapetsi kõrguse h, mis on ka kolmnurga ABD kõrguseks. 
Kolmnurga ABD pindala saame leida nii kaatetite kui ka aluse ja kõrguse kaudu 
20 15


2
25
S 


150 cm 
a h
h

 150 
 150  h  
12 cm . 
2
2
2
Kuna tegemist on võrdhaarse trapetsiga, siis trapetsi alus b = a – 2x. 
Leiame lõigu x kasutades Pythagorase teoreemi kolmnurgas AED 
x  152 122  
9 cm. Saame aluse  b  25  2  9  
7 cm. 
a  b
25  7
Leiame pindala  S 
 h 
12 
 2
192 cm . 
2
2
Vastus. Trapetsi pindala on 192 cm². 
 
3)  Ringi sisse on kujundatud võrdkülgne kolmnurk nii, et kolmnurga tipud 
asuvad ringjoonel. Mitu protsenti moodustab kolmnurga pindala ringi 
pindalast? 
Lahendus. Tähistame võrdkülgse kolmnurga külje a ja ringi raadiuse (kolmnurga 
ümberringjoon) R. Ringi pindala 
2
S  R
  2
üh . 
Võrdkülgsel kolmnurgal kõrgus h langeb kokku mediaaniga ja seega kõrguste 
lõikepunkt (ringjoone keskpunkt) jaotab kõrguse suhtes 2: 1 tipust alates. 
2
1
3
Seega saame, et  R 
h  h  R 
R 
R   (1) 
a 
3
2
2
Võrdkülgse kolmnurga kõrgus avaldub külje kaudu 
R 
Pythagorase teoreemi põhjal 
h 
a 
2
 
a 
R 
2
a
3 2
3
h 
a    
a 
a   (2) 
 2 
4
2
3R
a 3
6R
Seostest (1) ja (2) saame, et  

 6R  2a 3: 2 3  a 
. 
2
2
2 3
a  h
6R
3R
3 3
Kolmnurga pindala 
2
S 


: 2 
R  2
üh . 
2
2 3
2
4
Leiame, mitu protsenti moodustab kolmnurga pindala ringi pindalast. 
3 3 2
R 
100
75 3

 ,
41 %
4
. 
4
2
R

Vastus. Kolmnurga pindala moodustab ringist  ligikaudu 41,4%. 
4)   Rööpküliku   ümbermõõt on 90 cm ja teravnurk  on 60o. Rööpküliku diagonaal 
jaotab nürinurga suhtes 1:3. Leidke rööpküliku küljed. 
Lahendus.  
Ülesande andmete kohaselt rööpküliku ABCD ümbermõõt on 

2 a  b 

90 cm  a  b 

45 cm. 
Kuna diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1: 3, siis tähistades ühes osa tähega   , on 
teine pool  
3  ning terve nürinurk  
4 . 
Teame, et rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180º. 
 
4 
C 
D 
0
0
60º
60  4  180
 
0
0
b 
4  180  60
3  
. 
60º 
  
0
4  120 : 4
a 
A 
B 
0
  30
Näeme, et diagonaal jaotab rööpküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks 
0
0
3  3 30  90 ) ja siit saame leida lähiskülgede vahelise seose, kuna täisnurksest 
0
b
1
b
kolmnurgast  cos 60 
   a  b
2 . 
a
2
a
Saame moodustada võrrandisüsteemi 
a  b  45

 2b  b  45  3b  45: 3  b  15
a  2b
 
a  2 15  30
Seega on rööpküliku küljed 15 cm ja 30 cm. 
Vastus. Rööpküliku küljed on 15 cm ja 30 cm. 
 
5)  Leidke kolmnurga ABC mitteteadaolevad nurgad, küljele AB tõmmatud 
kõrgus ja arvutage kolmnurga pindala, kui AB = 10 m,  = 25o ja nurk  on 
määratud seosega   sin 2  sin  0  . Kõrgus ja pindala andke ühe kohaga 
pärast koma (kümnendiku täpsusega). 
 
Lahendus.  
Leiame nurga  . 
C 
sin 2  sin   0
2 sin  cos  sin   0
  
sin  (2 cos  )
1  0
sin   0    0 ei sobi kuna ei moodusta  
 
kolmnurka
h  
2 cos 1  0
  
  
2 cos  :
1 2
B 
A 
10- x 
D 
x 
0
cos 
5
0
   60
Järmiseks saame, et 
0
 
10 cm 
180   0
0
60  25 
0
 95 . 
Nüüd vaatleme täisnurkset kolmnurka ADC, millest 
0
h
tan 60 
 ja täisnurkses 
x
0
h
kolmnurgas BCD  tan 25 
. Saame võrrandisüsteemi 
10  x
 
5 
6
h
tan 60 

h  tan 600  x
x

 
 tan 600  x  tan 250  10  x 





0
h
h tan 250 10 x
tan 25



10  x
3  x  10  tan 250  x  tan 250
3  x  x  tan 250  10  tan 250
 
x( 3  tan 250 )  10  tan 250
10 tan 250
x 
3  tan 250

10 tan 250

0
3 10 tan 250
 h  tan 60  x  tan 60 

 67
3
m
3  tan 250
3  tan 250
Leiame nüüd kolmnurga pindala 
ah
10  67
3
S 

 ,
18  2
4 m . 
2
2
Vastus. Kolmnurga ülejäänud nurgad on 60º ja 95º, kõrgus on ligikaudu 3,7 m ja 
pindala ligikaudu 18,4 m². 
 
 
 
6)  Kolmnurga kaks külge on 25 cm ja 6 cm, pindala on 60 cm². Leidke kolmas 
külg, kui on teada, et see asub nürinurga vastas. 
 
Lahendus.  
 
a 
Kasutame kolmnurga pindala valemit kahe külje ja  
b 
nendevahelise nurga kaudu 
bc sin
25  6  sin
4
  
S 
 60 
 sin  . 
2
2
5
c 
Nüüd kasutame puuduva külje leidmiseks koosinusteoreemi. 
Leiame esmalt  nurga koosinuse. Kuna tegemist on nürinurgaga, siis on koosinus  
negatiivne. 
2
 
2
4
3
cos   1  sin   1      . 
 5 
5
Koosinusteoreemist 


2
2
2
2
2
2
3
a  b  c  bc
2
cos  a  25  6  2  25  6    841  a 

29 cm. 
 5 
Vastus. Kolmnurga kolmas külg on 29 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
7)  Täisnurga sees paiknevad kaks ringjoont  puutuvad teineteist ja täisnurga 
haarasid joonisel  näidatud  viisil. Arvutage suurema ringjoone raadius, kui  
väiksema raadius on r. 
 
 
 
 
 
 
R 
O 
E 
 
 
 
 
R 
C
 
C 
B 
G 
 
r 
 
 
A 
F
D 
 
r F 
Lahendus.  
 
Olgu suurema ringjoone raadius R = OC ja väiksema ringjoone raadius  
r = AB = BC.  
Joonestame mõlemale  ringile  kaks raadiust, et need oleksid teineteisega risti. 
Nüüd on tekkinud suure ruudu ADOE diagonaal AO ja väikse ruudu AFBG 
diagonaal AB. 
Avaldame suure ruudu diagonaali külje R kaudu kasutades Pythagorase teoreemi. 
AO2  R2  R2  2R2  AO 
2R . 
Avaldame väikse ruudu diagonaali AB külje r kaudu kasutades Pythagorase 
teoreemi. 
AB 2  r 2  r 2  r
2 2  AB 
r
2 . 
Samas avaldub 
AO  AB  BC  CO 
2r  r  R 
2R 
2r  r  R
2R  R 
2r  r
 
R( 2  )
1  r( 2  )
1
r
2
2  
1
2  1
r 2  
1
R 


 r
2
2  
1
 r2  2 2  
1  r3  2 2 
2 1
2  1
2 1
 
Vastus. Suurema ringjoone raadius avaldub väiksema kaudu avaldisega 
r3  2 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
8)  Ringi sisse on kujundatud trapets, mille pikem alus ühtib  ringi diameetriga, 
lühem alus aga on võrdne haaradega. Leidke trapetsi pindala, kui ringi 
raadius on 1 dm.  
 
Lahendus.  
 
D 
C 
 
r 
 
 
r 
r 
r 
 
r 
h 
 
A 
B 
 
r 
r 
E 
 
 
 
 
Kuna ülesande andmete põhjal AD = DC = BC ja DC| AB, siis moodustab trapets 
ABCD poole korrapärasest kuusnurgast ning samas kolmnurgad AED, CDE ja EBC 
on võrdsed ja võrdkülgsed. Leiame võrdkülgse kolmnurga kõrguse (mis on ka trapetsi 
kõrguseks) Pythagorase teoreemi abil. 
2
 r 
r
 r

2
3 2
3
3 1
3
h 
r    



. 
 2 
4
2
2
2
2r  r
3r
3 1
3
3 3
Trapetsi pindala  S 
 h 
 h 


 2
cm . 
2
2
2
2
4
3 3
Vastus. Trapetsi pindala on 
cm². 
4
 
       
9)  Arvutage trapetsi pindala, kui alused on 16 cm ja 44 cm ning haarad  17 cm 
ja 25 cm.  
Lahendus.  
 
D 
16 
C 
 
 
17 
25 
17 
 
h 
 
16 
 
 
A 
E 
B 
 
44 
 
Joonestame trapetsil ABCD küljega AD paralleelse lõigu CE. Tekkinud nelinurk  
AECD on rööpkülik ja AE = DC = 16 cm, BE = AB – AE = 44 – 16 = 28 (cm). 
Trapetsi ABCD kõrguseks on kolmnurga EBC kõrgus h.  Kõrguse leidmiseks leiame 
esmalt kolmnurga EBC pindala Heroni valemi abil 
S 
pp  ap  bp  c . 
28  25  17
Leiame  p 

35  
2
 
8 
S 

35 35 

28 35 

25 35 17 
 2
210 cm . 
Samas saame kolmnurga EBC pindala leida aluse ja kõrguse abil 
EB  h
28  h
2  210
S 
 210 
 h 
 
15 cm. 
2
2
28
44  16
Trapetsi ABCD pindala  S 
15 
 2
450 cm . 
2
Vastus. Trapetsi pindala on 450 cm². 
 
10) Riigieksam1998 (15p.) Võrdhaarses trapetsis on suurem alus kaks korda 
pikem väiksemast ja diagonaal poolitab teravnurga . Avaldage trapetsi 
küljed, kui trapetsi pindala on S. Arvutage trapetsi küljed, kui S= 3 3 . 
 
Lahendus.  
 
 
D 
C 
 
a 
 
 
 
h 
 
a 
a 
 
  
 

 
 
A 
B 
 
a 
E 
a 
 
Täiendame joonist lõiguga DE (CE). Vastavalt konstruktsioonile on tekkinud 
nelinurgad DEBC ja ADCE on rombid, kuna diagonaal poolitab nurga. Kui nelinurk 
DEBC (ADCE) on romb, siis peavad olema võrdsed kõik nelinurga küljed 
DE = DC = BC = EB = AD = EC = AE. 
Seega tekkinud kolmnurk DCE ( AED või EBC) on võrdkülgne ja selle kõrgus h (mis 
on ka trapetsi kõrguseks) avaldub Pythagorase teoreemi abil 
2
 a 
a
 a
a  h
a  3a
3 2
a
2
3 2
3
h 
a    

 ja kolmnurga pindala 


. 
 2 
4
2
2
2  2
4
Trapetsi pindala avaldub ka kolme võrdse kolmnurga  pindalade  summana ehk 
3 2
a
3 3 2
a
3 

. 
4
4
Ülesande andmete kohaselt on trapetsi pindala S, mille kaudu avaldame lühema aluse 
a. 
3 3 2
a
4S
3
4 3S
2 4

S
2
3
S 
 a 


 a 
. 
4
3 3
3
9
3
Asendame nüüd avaldisse  S  3 3 . 
2 4
 3 S
2 4
 3 3 3
2 4
 3 3 4
 3
2 3  3
a 



 
2 üh. 
3
3
3
3
Pikem alus  a
2  
4 üh 
Vastus . Trapetsi haarad ja lühem alus on 2 üh ja pikem alus 4 üh. 
 
 
 
 
9 
ÜLESANDED 
1)  Arvuta võrdhaarse trapetsi pindala, kui pikem alus on 44 cm ja haar 17 cm ning 
diagonaal 39 cm. V: 540 cm² 
2)  Rõnga pindala on S. Väiksema ringi raadius moodustab kümnendiku suurema 
ringi ümbermõõdust. Leia suurema ringi raadius. V:  
S
R
5
 
3
25  
3)   Riigieksam 1998. Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud 
ring. Avalda ringi raadius ning ringi ja sektori pindalade suhe. Arvuta see suhe, 

2 sin 2
kui  =60o. 
2
2
V :

 
2

3


1 sin 

2 
4)  Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja 
ümberringjoone raadius R = 15 cm. V: 30 cm,18 cm, 24 cm. 
5)  Kahe ringjoone  raadiused on vastavalt 3 cm ja 1 cm. Need ringjooned puutuvad 
väliselt punktis A. Ringjoontele on tõmmatud ühine puutuja BC ( esimese 
ringjoone puutepunkt on B ja teise puutepunkt C). Leia puutuja ja ringjoonte 
 
vahele jääva  kujundi pindala. 
24 3 11
V: 
 17
1
cm² 
6
6)  Riigieksam 2000 Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 36 cm ja alus 16 cm. 
Aluse otspunktidest tõmmatakse vastasküljeni lõik, mis jaotab kolmnurga kaheks 
võrdse pindalaga kolmnurgaks. Kui pikk on see lõik? Kui suure nurga moodustab 
see alusega? V: 

3 17 
12 4
cm 14  
7)  Riigieksam 2003 Sirgjooneline  maantee  tõuseb iga 100 meetri kohta 2 m. Maantee 
ääres astsevate peatuste vaheline kaugus (AB) mööda maanteed on 5 km. Kui pikk 
oleks tee (AC) ühest peatusest teise, kui maantee ei tõuseks? Mitme meetri võrra 
oleks sel korral tee ühest peatusest teise lühem? V: 4,999 km; 1m 
B 
 
maantee 
 
 
 
A 
C 
 
8)  Riigieksam 2006 Tüdruk tahab ujuda üle jõe, mille voolu kiirus on 0,3 m/s . 
Seisvas vees suudab ta ujuda kiirusega 1,5 m/s. Millise nurga all kalda suhtes peab 
ta tegelikult  ujuma , et jõuda vastaskaldale otse selle koha vastas, kus ta vette läks? 
V: 7828  
 
 
 
 
 
 
 
 
9)  Riigieksam 2007  Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate 
kallaste pikkused on a ja b (a > b) ning nendega ristuva kalda pikkus on c, vt joonist 
ülal. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis paikneb purskkaev . 
      1) Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a. 
2) Arvutage see kaugus, kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m. 
ac
V: 
; 18 m. 
a  b
 
10