Raudvara ptk.3 Defineerimine ja tõestamine Hulkade ühisosa ja ühend Kui kahes hulgas on ühiseid elemente, siis öeldakse, et need elemendid moodustavad hulkade ühisosa. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühisosa on c, d ja e. Ühend on kahe hulga kõik elemendid kokkupandult. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja ...
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. ...
21..7. Kolmnurga kesklõik on lõik, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte ja on alusega paralleelne. 21..8. Ruuduks nimetatakse ristkülikut, mille küljed ja nurgad on võrdsed. 22. Millal kasutatakse sõnaühendit "siis ja ainult siis"? Näide- · Kui osutuvad tõesteks nii lause, kui ka pöördlause, st tegemist on pöördteoreemidega, siis sõnastatakse teoreem ja pöördteoreem üheskoos kasutades sõnaühendeid siis ja ainult siis või parajasti siis. 22..1. Nurgaga samal tasandil asuv punkt asub nurgapoolitajal, siis ja ainult siis, kui ta on võrdsetel kaugustel nurga haaradest. 22..2. Täisarv jagub kümnega parajasti siis, kui ta lõpeb nulliga. 22..3. Piirdenurk on täisnurk siis ja ainult siis, kui ta toetub diameetrile.
võrdsetel kaugustel. Eeldus: Lõik AB, keskristsirge KO ja sellel punkt O Väide: AO = OB 4. PÖÖRDTEOREEM * Lauset, mis saadakse eelduse ja väite vahetamisel antud lauses nimetatakse selle lause pöördteoreemiks. Teoreem: Kui nelinuga küljed on võrdsed, siis selle nelinurga diagonaalid ristuvad. Eeldus: Nelinurga küljed on võrdsed. Väide: Nelinurga diagonaalid ristuvad. Pöördteoreem: Kui nelinurga diagonaalid ristuvad, siis selle nelinurga kõik küljed on võrdsed. - See lause pole tõene, sest leidub selliseid nelinurki, mille diagonaalid ristuvad, kuid küljed ei ole võrdsed. Seega see lause ei ole teoreem. 6. VASTUVÄITELINE TÕESTUSVIIS 1. Iga väide on kas õige või on selle eitus õige. 2. Väite eitamine on vastuväiteline tõestusviis.
Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23
Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23
2. Defineerimine. Mõistete seletamist lihtsamate ja tuntumate mõistete abil nimetatakse mõiste defineerimiseks ja mõiste seletust nimetatakse definitsiooniks. Mõisteid mida ei ole vaja defineerida ning nende tõesuse üle ei saa vaielda nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja
Defineerimine ja tõestamine Raudvara 1. Hulgad Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites: A B Näide: Olgu meil hulgad A = {1;5;7;4} ja B = {5;7;6}, siis A B = {5;7} Kui x A B, siis see tähendab x A ja x B. Sümbolites: x A x B Moodustades kahest hulgast A ja B uue hulga, millesse kuuluvad kõik hulga A ja B elemendid kordusteta saame hulkade A ja B ühendi. Sümbolites: A B (hulkade A ja B ühend) Näide: Olgu meil samad hulgad A ja B, siis A B ={1;4;5;6;7} Kui x A B, siis see tähendab, et x A või x B. Sümbolites: x A x B - kuuluvuse märk - ühisosa märk - sidesõna ,,ja" - ühendi märk - sidesõna ,,või" - 2. Defineerimine Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist. Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näitek...
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
634,635 eelduse ja väite vahetamisel saadud tõene Antud teoreem. Kui arv lõpeb nulliga, siis lause; iga teoreemi pöördlause pole tõene, arv jagub 5-ga. s.t. teoreemist endast ei järeldu Pöördlause. Kui arv jagub 5-ga, siis ta pöördlause tõesus lõpeb nulliga. See pole tõene, sest ta võib lõppeda ka 5-ga see lause pole antud NB teoreemi pöördlause vajab eraldi teoreemi pöördteoreem tõestamist Antud lause. a=0 ab=0 tõene, sest kui üks tegur on 0, siis ka korrutis on 0 Pöördlause. ab=0 a=0 pole tõene, sest nii võib olla, kuid ei pea olema, sest võib b=0 14.Tunnus - teoreemi väide järeldub Ül.636
Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66. Pöördvõrdeline seos niisugune seos kahe suuruse x ja y vahel, mille korral nende suuruste korrutis on konstant a : xy = a. 67. Püramiid hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad. 68. Püstprisma prisma, mille kõik tahud on ristkülikud. 69. Pythagorase arvud naturaalarvude kolmik, mis rahuldab võrrandit a2+b2=c2. 70
11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
lahendivalemiga Vastus. Lahendid on s1=-5 või s2=-1. 29.Ruutvõrrandi koostamine etteantud Ül.1433 lahendite järgi - kehtib Viete´i teoreemi Koostada ruutvõrrand, mille lahendid on pöördteoreem: kui kahe arvu summa on -p ja korrutis q, siis need arvud on taandatud 3 ja 10. 2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunkt...
x 0 x y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 11.1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv. Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis. Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0 Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga
x 0 x y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 11.1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv. Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis. Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0 Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga
võrduvad, siis x^ ja y^ on nende ülesannete optimaalsed lahendid. Tõestus: Oletame vastuväiteliselt, et x^ ei ole optimaalne lahend, eksisteerib vektor x*, et (c,x*)>(c,x^)=(y^,b). See võrratus on aga vastuolus võrratusega (1), mis on täidetud mis tahes lubatavate lahendite jaoks. Teoreem 3: Kui duaalülesannete paaril on optimaalsed lahendid x* ja y*, siis z*=(c,x*)=(y*,b)=W*. See on eelmise teoreemi pöördteoreem, pole vaja tõestada. Teoreem 4: Kui lähteülesande sihifunktsioon pole tõkestatud, z*=+lõpmatus, siis duaalülesanne on vastuoluline. Kui duaalülesandes on sihifunktsioon tõkestamata, w*=-lõpmatus, siis lähteülesanne on vastuoluline. Tõestus: z*=+lõpmatus. Kui duaalülesandel oleks mingi lubatav lahend y, siis votes sellise lubatava lahendi x, et (c,x)>(y,b), same vastuolud võrratusega (1). Samamoodi tõestatakse teoreemi teine pool.
Olgu antud kaks vektorit koordinaatidega a (a1;a2) ja b (b1;b2). Kollineaarsuse tunnus: Kaks vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, st. ur r a1 a2 a Pb = b1 b2 ,,Siis ja ainult siis" kehtib nii teoreem kui ka tema pöördteoreem. r r r r 2 -1 r r Näiteks: a (2;-1) ja b (4;-2). Kas a Pb ? = , seega a Pb . 4 -2 r r Ühikvektorid i ja j r r r r i (1;0) , j (0;1) . i = j =1 r
ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse tavaliselt need teoreemid kokku üheks lauseks, kasutades ühte väljenditest ,,on tarvilik ja piisav," ,,siis ja ainult siis," ,,parajasti siis, kui.". Näide: Teoreem: Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad teineteist. Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
