Põhikooli lõpueksam matemaatikast (0)

Matemaatika eksam
1. Tehted astmetega
Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita.
Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada.
Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada.
Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada.
Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada.
2. Arvu standardkuju
Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest .
Näited.
7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10.
4000 = 4 ∙ 10³
3. Korrutise ja jagatise astendamine , astme astendamine
Mis tahes aluse nullis aste on 1.
Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega .
Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada.
Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita.
Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada.
Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada.
Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada.
4. Üksliikmed, sarnaste liikmete koondamine.
Üksliige on korrutis, milles esinevad arvulised ja tähelised tegurid.
2ab ; ab ; 7ab
Sarnased üksliikmed erinevad ainult eesoleva arvulise teguri poolest.
NÄIDE 1: Avaldises 3x - 8 - 6x + 4
NÄIDE 2: 3x - 8 - 6x + 4 = (3 - 6)x + (-8 + 4) = -3x – 4
NÄIDE 3: x + 5y - y + 7x = (1 + 7)x + (5 - 1)y = 8x + 4y
NÄIDE 4: 5m + 2n - 6 - 5m + 4 = (5 - 5)m + 2n + (-6 + 4) = 2n – 2
NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0
NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w²
5. Hulkliige , hulkliikmete liitmine ja lahutamine.
Hulkliige on üksliikmete summa.
2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx
NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v
NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w
NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!!
6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega.
Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame.
a (b + c + d) = ab + ac + ad
Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame.
(a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k
7. Hulkliikmete tegurdamine.
Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena.
NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5)
NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5)
8. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis, kaksliikme ruut, kaksliikme kuup , kuupide summa ja vahe valemid.
Ruutude vahe
(a+b)(a-b)= a²- b²
Vahe ruut
(a-b)²= a²-2ab+b²
Summa ruut
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Summa kuup
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Kuupide summa
a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)
Kuupide vahe
(a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³
Vahe kuup
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
9. Algebraliste valemite lihtsustamine .
NÄIDE 1. Leiame avaldise (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² väärtuse, kui x = -0,5.
Kõigepealt lihtsustame avaldise:
(x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35.
Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47.
10. Lineaarvõrrandite lahendamine
1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest , korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga
2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli ( sulgude avamine , sarnaste liidetavate koondamine)
3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks
4. koondame sarnased liidetavad
5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida.
Näide 1. Lahendame võrrandi
2(2x - 5) = 20 - x
Avame sulud 4x - 10 = 20 - x
4x + x = 20 + 10
5x = 30|: 5
x = 6.
Selle võrrandi lahend on x = 6.
11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine ( Graafiline , liitmisvõte , asendusvõte)
12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil.
13. Defineerimine ja algmõisted .
Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus.
Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks.
Algmõisteid ei defineerita , vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid
14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem .
Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks.
Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil.
Teoreem koosned eeldusest ja väitest.
Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause : v => e
Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär.
Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks.
15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad ühel pool lõikajat, nimetatakse lähisnurkadeks.
Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad teine teisel pool lõikajat, nimetatakse põiknurkadeks,
16. Kahe sirge paralleelsuse tunnused.
Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekivad võrdsed põiknurgad , siis on need sirged paralleelsed.
Kaks sirget on paralleelsed, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud lähisnurkade summa on 180º.
Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku.
17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa.
Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk .
Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi.
18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus.
Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab tema kahe külje keskpunkte.
Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga alusega ja tema pikkus võrdub poolega sellest.
19. Rööpkülik, ristkülik , romb , ruut ja nende omadused.
Rööpkülik on  nelinurk , mille vastasküljed on paralleelsed.
Vastasküljed on võrdse pikkusega.
Vastasnurgad on võrdsed.
Lähisnurkade summa on 180 kraadi.
Diagonaalid poolitavad teineteist
Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad.
Ristküliku vastasküljed on omavahel paralleelsed.
Romb on  nelinurkne kujund, mille kõik küljed on võrdsed.
Rombiks nimetatakse rööpkülikut, milled küljed on võrdsed.
Vastasküljed on võrdse pikkusega.
Vastasnurgad on võrdsed.
Lähisnurkade summa on 180 kraadi.
Diagonaalid poolitavad teineteist
Ruut on võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk.
Ruudu nurgad on täisnurgad.
Ruudul on kõik  rombi  ja ristküliku omadused.
20. Trapetsi kesklõik, selle omadused.
Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks.
Trapetsi kesklõik on paralleelne alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega.
Trapetsi pindala on võrdne kesklõigu ja kõrguse korrutisega.
21. Kolmnurga mediaan. Mediaanide lõikepunkti omadus. Kolmnurga kõrgus.
Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.
Kolmnurgal on kolm mediaani .
Kõik mediaanid lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks.
Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust.
22. Ringjoon, ring.
Ringjoon on punktide hulk, mille kaugused ringjoone keskpunktist on võrdsed.
Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa.
23. Kesknurk , ringjoone kaar, kõõl.
Kesknurk on nurk, mille tipp asetseb ringjoone keskpunktis ja haaradeks on raadiused .
Lõiku, mis ühendab ringjoone kahte punkti nimetatakse kõõluks.
Ringjoone kaar… ---------------------------
24. Piirdenurk , selle omadus. Thalese teoreem, Pythagorase teoreem.
Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks.
Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne!
Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga.
Valem -
a² + b² = c²
a² = c² - b²
b² = c² - a²
25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine .
Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks.
Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti.
26. Hulknurk , korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine.
Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa.
Hulknurka, mille küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks.
Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist.
Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist.
r – siseringi raadius
R – ümberringi raadius
27. Korrapärase hulknurga sisenurkade summa, ümbermõõdu ja pindala leidmine.
n=6
α =(6-2)180° : 6
4×180° 720°
720° : 6 = 120°
Vastus: α =120°
n = 6
a = 8 cm
P = na = 6 × 8 = 48 (cm)
Vastus : P = 48 cm.
Jaotame n-nurga n võrdseks kolmnurgaks, mille alus on a ja kõrgus r. Iga sellise kolmnurga pindala on ar:2 ja n korda suurema hulknurga pindala :
S = nar : 2
S = Pr : 2
S = pr, kus P = na on n-nurga ümbermõõt ja p = P : 2 on pool ümbermõõtu
r - hulknurga apoteem (siseringjoone raadius)
28. Kolmnurga ümber- ja siseringjoone leidmine.

• Hulknurga küljed on ümberringjoone kõõlud. - Kõõlhulknurk
  
• Siseringjoon puudutab hulknurga külgi. - Puutujahulknurk
  
• O-keskpunkt,
  
• R-ümberringjoone raadius,
  
• r-siseringjoone raadius.
  

29. Kõõl- ja puutuja hulknurk, apoteem.
Hulknurga küljed on ümberringjoone kõõlud (Kõõlhulknurk).
Siseringjoon puudutab hulknurga külgi (Puutujahulknurk).
Apoteem ehk r on siseringjoone raadius.
30. Korrapärane prisma , selle pindala ja ruumala leidmine.
Prisma on korrapärane kui tema põhjaks on korrapärane hulknurk.
St = 2Sp + Sk
Sp = n·a·r : 2
Sk = P·H / n·a·H
P = n·a
V = Sp · H
31. Püramiid . Korrapärase püramiidi pindala ja ruumala leidmine.
Püramiid on ruumiline keha, mille põhjaks on korrapärane hulknurk ja külgedeks ühise tipuga kolmnurgad.
St = Sp + Sk
Sp = n·a·r : 2
Sk = n·a·m : 2
V = 1⁄3Sp·H
32. Võrdeline seos ja selle graafik .
Kahte suurust, mille vastavate väärtuste suhe on jääv, nimetatakse võrdelisteks suurusteks. Seda jäävat suhet (jagatist) nimetatakse nende suuruste võrdeteguriks.
Võrdeliste suuruste vahelist sõltuvust nimetatakse võrdeliseks seoseks.
Võrdelise seose valem on y = ax, kus a on antud arv.
Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti
Kui a on positiivne, siis on sirge esimeses ja kolmandas veerandis, kui a on negatiivne, siis teises ja neljandas.
33. Lineaarfunktsioon ja selle graafik.
Lineaarfunktsiooni üldkuju y = ax + b
(0,b)(1,a)
Graafikuks on sirge.
34. Pöördvõrdeline seos ja selle graafik.
Pöördvõrdeline seos, ülkduju

• Hüperbool
  

35. Võrre , võrde põhiomadus, võrdekujuline võrrand.
Võrre on tõene võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised (võrdsed).
Võrdus on avaldis, mis võib olla tõene või väär.
Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut.
Põhiomadus: Siseliikmete korrutis on võrdne välisliikmete korrutisega.
Sisearvude korrutis on võrdne välisarvude korrutisega.
2 : 2 = 3 : 3