Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks...
Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks jagajat Algarvude tabel koostatatud selleks, sest suuremate arvude korral on raske otsustada, kas arv on alg või kordarv; Arvu tegurid ja kordsed Arvu tegur kõik arvud, millega antud arv jagub; Nt. Number 6 jaguneb arvudega 1, 2, 3 ja 6, st need on arvu 6 jagajad. Kuna 6=16 ja 6=23, siis on arvud 1, 2, 3 ja 6 ka arvu 6 tegurid
2 $ et # , $ ja I on täisarvud, kahe täisarvu korrutis on täisarv ja 2 täisarvuline aste on täisarv, siis ka 2 $ on täisarv. Et ka kolme täisarvu summa on täisarv, siis oleme jagamise tulemusena saanud täisarvu ja seega kehtib | + + . ÜLESANNE 5 Olgu n suvaline naturaalarv. Uurin, mis vastust on võimalik saada tehte J X 6 tulemusena. Tähistan J X 6 vastuste hulka ehk võimalikkide jääkide hulka A-ga. V = { , , , , , } Nüüd uurin, kas arv n võiks olla algarv või mitte, vastavalt sellele, mis tuli tehte J X 6 tulemuseks. Kui J X 6 = 0, siis J = {6, 12, 18, 24 ... } Kui J X 6 = 2, siis J = {8, 14, 20, 26 ... } Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21
Kombinatsioon – n-elemendist k-kaupa on k-elemendilised osahulgad n! k C n = k ! ( n−k ) ! SÜNDMUSTE KLASSIKALINE TÕENÄOSUS k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv 0 P(A) 1 P(A) + P(À) = 1 SÜNDMUSTE KORRUTIS JA SUMMA Toimub nii üks kui ka teine - nii sündmus A kui ka sündmus B A – algarv täringul B – kolmega jaguv arv täringul C – viiega jagub arv täringul AB → silmade arv on 3 BC → A + B → (2,3,5,6) B + C → (3,5,6) Sündmuste vahe A B = (A toimub, B ei toimu) = (2,5) B A = (B toimub, A ei toimu) = (6) ALGARV – 2,3,5 KORDARV – 6,4 Harjutus 99
Kool Uurimustöö matemaatikas Algarvud ja kordarvud 5.klass Õpilane: nimi Klass: Kuupäev: Tallinn 2011 2 Sisukord 1. Sissejuhatus.......................................................................................................3 2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid..................................................4 3. Algarvud ja kordarvud........................................................................................5 3.2. Algarvude tabel...............................................................................................6 4. Arvu tegurid ja kordsed......................................................................................7 5. Jaguvuse tunnused...................................................................
arvud on paarisarvud. F(3),F(6),F(9) jne, üldiselt F(3k). * Iga neljas Fibonacci arv jagub kolmega. Jällegi võib märgata, et F(4)=3. * Iga viies Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)=5, * Iga kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest F(6)=8... * Kehtib üldine reegel: iga k-s Fibonacci arv jagub k-da Fibonacci arvuga. * Sellest saame järelduse, et iga algarvulise Fibonacci arvu järjekorra number peab olema algarv. Sellel on vaid üks erand, järjekorranumber 4 ei ole algarv, aga neljas arv selles reas on 3, mis on algarv. Fibonacci arvude jada peetakse üheks suureks mõistatuseks, sest sellel jadal on palju erinevaid seoseid reaalse maailmaga. Mõned peavad seda isegi kogu maailmaruumi aluseks ning selle abil olevat võimalik välja selgitada aja, ruumi ja eksistentsi suurimaid saladusi. Need arvud on tihedalt seotud loodusega. Näiteks on lillede kroonlehtede arv või moodustuvate spiraalide arv (taimel või viljal) tihti just Fibonacci arv
Ülessanne Kas antud hulkade omadused on rekursiivselt invariantsed: 1. Sisaldab vähemalt 3 elementi 2. On tühi 3. On lõputu 4. On rekursiivselt loenduv (RL) Millised neljast omadusest: on rekursiivne on rekursiivselt loenduv omab rekursiivst täiendit omab rekursiivselt loenduvat täiendit on antud hulkade põhjal 1. A = {x | x on paarisarv} 2. B = {x | x on väiksem kui 100} 3. C = {x | x on algarv} 4. D = {x | Wx on tühi} 5. E = {x | Wx sisaldab vähemalt 3 elementi} Lahendus Alusteooria Hulk on rekursiivselt invariantne, kui iga bijektiivse ja rekursiivse junktsiooni f korral, kui hulgal A on omadus P, siis ka hulgal f (a) on omadus P. 1 , kui x A Hulk A on rekursiivne, kui tal leidub karakteristlik funktsioon Xa x . ...
Protsendi leidmine arvust Protsendiga p määratud osa leidmiseks tervikust a tehakse tehe: Näide: Leia 25% 360-st 360 – 100% X – 25% X = 360 * 25 / 100 = 90 Arvu leidmine % järgi Terviku leidmiseks protsendides p antud osa b järgi tehakse tehe: Näide: Leia algarv, kui 10% on 78 100% - x 10% - 78 x = 78 * 100 / 10 = 780 Kahe arvu suhte väljendamine protsentides Selleks, et leida, mitu protsenti moodustab suurus a suurusest b, tehakse tehe: Näide: Mitu % on 15 605-st? 100% - 605 x% - 15 x = 15 * 100 / 605 = 2,5%
Defineerimine ja algmõisted Heldena Taperson Tallinna inglise kolledž Matemaatilised mõisted • algarv • võrrand • ruut Mõiste defineerimine Definitsioon on lühike ja selge mõiste seletus. Definitsioon annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele: Mida nimetatakse...... Mis on......... Definitsioon peab olema korrektne. • Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille küljed on paralleelsed. • Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. • Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht sellist nurka, millel on üks ühine haar.
2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn. Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga. Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1. 6. Kordarvud. 1) 1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks.
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. ...
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12. Võrrand, võrre, võrratus. 13. Protsent. 14. Ristsumma. 15. Aritmeetiline keskmine. 16. Aksioom. Lõik Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punk...
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
a) väite kinnita mi s eks kas utataks e juba tões tatud teoreeme b ) kas utataks e vas tuväite lis t tões tus t, ehk põhj endataks e, et eeldus , et ei leidu s ellis t x-i mill e korral P(x) on tõene viib vas tuoluni. Teoree mi d es inevad s ageli kuj ul: x D . K ui on tõene P (x) s iis on tõene ka Q (x) P (x)-eeldus Q (x)-väide N äide : tões tada, et iga täis arvu n korral vahemikus 1 n 10 on n 2 - n + 11 algarv Tões tus s eks teis enda me ess pooltoodud kujule n N , P( x ) = { n 1 n 10 } Q( x ) = n - n + 11 on algarv 2 Tões tus : A rvutame välj a kõik vaj alikud väärtus ed: Q( 1 ) =1 Q( 2 ) = 13 Q( 3 ) =17 Q( 4 ) = 23 Q( 5 ) = 31 Q( 6 ) = 41 Q( 7 ) = 53 Q( 8 ) = 67 Q( 9 ) = 83 Q( 10 ) =101 V õims ai m tões tus e meetod on s elline, mis üldis tab ehk laiendab väite kehtivus piirkonda
a) väite kinnita mi s eks kas utataks e juba tões tatud teoreeme b ) kas utataks e vas tuväite lis t tões tus t, ehk põhj endataks e, et eeldus , et ei leidu s ellis t x-i mill e korral P(x) on tõene viib vas tuoluni. Teoree mid es inevad s ageli kujul: x D . K ui on tõene P (x) s iis on tõene ka Q (x) P (x)-eeldus Q (x)-väide N äide : tões tada, et iga täis arvu n korral vahemikus 1 n 10 on n 2 n 11 algarv Tões tus s eks teis enda me ess pooltoodud kuj ule n N , P( x ) { n 1 n 10 } Q( x ) n n 11 on algarv 2 Tões tus : A rvutame välj a kõik vaj alikud väärtus ed: Q( 1 ) 1 Q( 2 ) 13 Q( 3 ) 17 Q( 4 ) 23 Q( 5 ) 31 Q( 6 ) 41 Q( 7 ) 53 Q( 8 ) 67 Q( 9 ) 83 Q( 10 ) 101 V õims ai m tões tus e meetod on s elline, mis üldis tab ehk laiendab väite kehtivus piirkonda
Las Vegas: juhuslikult võta 1, kuni tuleb “1”. Quicksort, krüptograafia. Sobib, kui on vähe võimalusi, aga raske leida õiget: alati õige vastus, aga võib minna väga palju aega. Monte Carlo: k korda vali 1 element, kui k korda on läbi, siis ei leidnud. Võib anda vale vastuse (aga alati saab ju korrata), aga aeg (ressursid) on mõistlikud. Algarvulisuse testid, statistilised simulatsioonid. 32 Fermat väike teoreem ja algarvulisuse testid. ap - a jagub p-ga, kui p on algarv. • a erinevat värvi pärlitest saab teha ap kombinatsiooni. (nt 2 värvilistest 8 kombinatsiooni) • lahutame neist a ühevärvilist kombinatsiooni. (ap - a) • saadud kombinatsioonid kuuluvad gruppidesse. saame (ap - a)/p ühesuurust (pxp) gruppi, mis kõik moodustavad p-sammulised tsüklid. (p sammu on vaja teha, et jõuda algsesse asendisse tagasi.) • kui ühendame need tsüklid rõngaks, on seda vaja keerata p korda, et jõuda uuesti algasendisse.
102N + 1 + 1 on alati jagub 11 n (n2-1) on alati jagub 6 n2 + n alati isegi 23N-1 on alati jagub 7 152n-1 + l on alati jagub 16 n3 + 2n on alati jagub 3 34n - 4 3n on alati jagub 17 n! + 1 ei jagu ükski number 2 kuni n (Kus n! = n (n - l) (n - 2) (n - 3) ... ... .3.2.1) eest nt 5! = 5.4.3.2.1 = 120 ning sarnaselt 10! = 10.9.8 ... ... .2.1 = 3628800 19.Product n järjestikust arvu on alati jagub n!. 20.If n on positiivne täisarv ja p on algarv, siis np - n jagub arvuga p. 21. | X | = x kui x 0 ja | x | = - x, kui x 0. 22.Minimum väärtus a2.sec2 + b2.cosec2 on (a + b) 2; (0 ° < <90 °) jaoks nt. minimaalne väärtus 49 sec2 + 64.cosec2 on (7 + 8) 2 = 225. 23.among kõik kujundeid sama ümbermõõt ring on suurim piirkonnas. 24.if ühe diagonaaliga of nelinurk poolitab teine, siis ka poolitab nelinurga. 25.sum kõigi nurkade kumer nelinurk = (n - 2) 180 ° 26.number of diagonaalid on kumer nelinurk = 0.5n (n - 3)
*Lucas' arvujada leiab rakendust näiteks graafiteoorias, kuna tema abil on võimalik leida n- tipulise graafi kõikvõimalike aluspuude arvu. Täpsemalt kehtib seos T(Wn) = L2n 2, kus n on esialgse graafi tippude arv. *Rakendusi leidub aga ka hulgateoorias: on avastatud, et mingi hulga A alamhulka suvalisel heuristilisel valikul on täpselt Ln sellist võimalust, mille korral valitud alamhulgas ei sisaldu kaht järjestikust arvu. *Arvuteoorias: selgub, et kui n on algarv, siis kehtib alati kongruents Ln 1 (mod n). *Lucas' arvujada on oma nime saanud prantsuse matemaatiku F.E.A.Lucas' järgi, kes muuseas on väga tuntud selle poolest, et ta pani kirja valemi arvutamaks Fibonacci jada n'indat väärtust. Kirjanduses mainitakse veel, et ta oli ka ühe algarvulisuse testi autoriks. [18]. Catalani arvud. Catalani arvudeks on naturaalarvude jada, mis on oma nime saanud Belgia matemaatiku
alternatiivist. P Q t " P ja Q " t i Lausearvutuslauseteks võivad olla: u Järeldumine : v " 19 on algarv " " Kui P , siis Q " r " popcorn on hea " "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P Q A " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " Samaväärsus ( ekvivalents ) :
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
5. Valemi välised sulud võib ära jätta. Predikaatarvutuse põhimõisteid: Lausearvutuses võetakse arvesse üksnes lause tõeväärtus. Kui tahetakse arvestada ka lause sisuga, läheb vaja predikaatarvutust, milles üldistatakse lauseid arvestades, et lauses on kaks osa: indiviidid objektid, mille kohta midagi väidetakse ja predikaat mis väljendab indiviidide teatud omadust või nendevahelist seost. Nt Võtame sarnased laused: 2 on algarv, 3 on algarv, 4 on algarv jne. Kõigis neis lausetes on indiviidideks naturaalarv x naturaalarvude hulgast N ning predikaadiks on omadus olla algarv A. Seos ,,... on algarv" on käsitletav predikaadina, mille saab kirja panna nt kujul: A(x), kus xN. (Varem nõuti, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi, nüüd enam mitte.) Ühe- või mitmekohane predikaat pole lause (tal puudub tõeväärtus), kuid predikaat muutub lauseks (omandab tõeväärtuse), kui kõik tühikud täidetakse konkreetsete indiviididega.
nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1 Näide: Eitame lauset: ,,Iga reaalarvu x korral leidub reaalarv y nii, et x < y." 1. Antud juhul P(x, y) = ,,x < y" 2. ¬(x y , x < y) 3. x y , ¬(x < y) 4. x y , x y
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , ...
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10
katkestas jooksu. Mitu sentimeetrit jäi tal 10 kilomeetrist puudu? Vastus: 106 cm 128. raamat on 4 korda kallim kui pastakas, aga pastakas 30 krooni võrra odavam kui raamat. Kui palju maksab raamat ja kui palju pastakas? Vastus: raamat 40 krooni ja pastakas 10 krooni 129. Leia 5 esimese algarvu ja 5 esimese kordarvu summa. Vastus: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 algarvude summa (1 pole algarv ja 2 ainuke paarisarvuline algarv) 4 + 6 + 8 + 9 + 10 = 37 kordarvude summa 130. Ostja arve on 37 krooni. Kuidas saab ta oma ostu eest tasuda ainult 2- kroonistega, kui müüjal pole münte, Vastus: 21 x 2 = 42 krooni ( annab 21 2- kroonist) 42 5 = 37 krooni ( müüja annab 5- kroonise tagasi) 131. Üks kõrvunurk on teisest 480 võrra suurem. Kui suured on need nurgad? Vastus: 1140 ja 660
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus lii...
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus l...
Kordamisküsimused 1. Mis on kriitiline ratsionalism? Karl Popperi filosoofilineõpetus. Popperi kriitiline ratsionalism, tunnistab inimese ekslikuks olendiks ja nõuab püstitatud hüpoteeside ja väljatöötatud teooriate pidevat kriitilist analüüsi ning puuduste ilmnemisel nende korrigeerimist. 2. Mis on induktsioon ja deduktsioon, nende tugevad ja nõrgad küljed? Induktsioon on filosoofias arutlemise viis, mille puhul sellest, et ühtedel asjadel on teatav omadus, järeldatakse, et see omadus on ka mõnel teisel asjal või isegi kõikidel samalaadsetel asjadel, või sellest, et mingitel asjadel on mingi omadus, järeldatakse, et see omadus on neil ka tulevikus. Arutlus on induktiivselt tugev siis, kui tema järeldus on tõenäoliselt tõene eelduste tõesuse korral. Vastasel juhul on arutlus nõrk. NT: meil on teada, et Mari, Kadri ja Kertu on inimesed ning nad kõik kannavad patse, siis induktsiooni teel saame, et kõik inimesed kannavad patse....
Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a
Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik
ja tähistatakse tähega D. Näide 1 Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 reaalarvulist lahendit. Näide 2 Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 ühtivat (võrdset) reaalarvulist lahendit. Näide 3 Kui D < 0, siis ruutvõrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid. Eratosthenese sõel meetod algarvude leidmiseks. Selgitus : Kirjutame välja arvud 1-st n-ni: 1, 2, 3, 4, ..., n. Kriipsutame maha arvu 1, mis ei ole algarv. Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik kordsed eemaldanud, jäävad järele parajasti kõik algarvud. Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. Harilikku murdu võib vaadata kui jagatist
1 — tõene Lause peab omandama ühe tõeväärtuse nendest kahest alternatiivist. Lausearvutuslauseteks võivad olla: " 19 on algarv " " popcorn on hea " verbaalne esitus formaalne tähistus " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " P eitus: __ Lausearvutuslauseteks ei ole (ei kõlba): " mitte P "; " pole õige, et P " P " kõigi maade proletaarlased, ühinege "
Mis ajaküsimused Augustinust siis veel vaevasid, kui ta oli ometi kõigist neist kronoloogilistest ja kronomeetrilistest asjadest igapäevases maailmas mis vaja ennelõunal juba rääkinud ja aru saanud? Võtkem uus näide. Me kõik peame igapäevases elus pidevalt tegelema eksistentsi ja mitte-eksis- tentsi konkreetsete küsimustega. Kui kaua aega tagasi mammutid eksisteerisid ja mis ajast peale on nad välja surnud ehk ei eksisteeri enam? Kas eksisteerib algarv 23 ja 29 vahel? Kas see saar on asustatud ehk kas eksisteerib sellel mõni inimolend? Isegi kui me räägime, et inimesed ehitavad sildu või maju, siis me räägime sellest, et nad annavad majale või sillale eksistentsi, lõhkudes aga võtavad neilt eksistentsi. Kui teist ja ateist vaidlevad Jumala eksistentsi üle, ei tarvitse nad jõuda ühele meelele; kuid eksistentsi ja mitte-eksistentsi mõistet kasutavad nad ühtmoodi. [1836]
vaesemaks, nii näiteks ei saa lausearvutuse abil uurida lihtsat kategoorilist süllogismi. Lausete uurimise vajadus viis lausearvutuse üldistamiseni. Lause struktuuri täpsemaks käsitlemiseks on vaja võimsamat formaalset käsitlusviisi ja sellele pani aluse G. Frege (1848-1925). Sellist üldistatud lausearvutust nimetatakse tänapäeval predikaatloogikaks või predikaatarvutuseks (predicate calculus). Vaatleme nt sarnaste lausete hulka: 2 on algarv, 3 on algarv, 4 on algarv jne. Traditsioonilise loogika põhjal saab öelda, et kõigis neis lausetes on subjektideks mingi konkreetne naturaalarv n naturaalarvude hulgast N (n N), ning subjektile preditseeritakse kuuluvus algarvude hulka P, või teisiti öeldes, subjektile preditseeritakse algarvuks olemise omadus. Predikaatloogikas saab kõik äsjases näites toodud laused kirja panna ühel üldistatud kujul: n on algarv, kus n N. See üldistatud kujul esitatud objekt ei ole lause, sest sellele ei
vaesemaks, nii näiteks ei saa lausearvutuse abil uurida lihtsat kategoorilist süllogismi. Lausete uurimise vajadus viis lausearvutuse üldistamiseni. Lause struktuuri täpsemaks käsitlemiseks on vaja võimsamat formaalset käsitlusviisi ja sellele pani aluse G. Frege (1848-1925). Sellist üldistatud lausearvutust nimetatakse tänapäeval predikaatloogikaks või predikaatarvutuseks (predicate calculus). Vaatleme nt sarnaste lausete hulka: 2 on algarv, 3 on algarv, 4 on algarv jne. Traditsioonilise loogika põhjal saab öelda, et kõigis neis lausetes on subjektideks mingi konkreetne naturaalarv n naturaalarvude hulgast N (n∈ N), ning subjektile preditseeritakse kuuluvus algarvude hulka P, või teisiti öeldes, subjektile preditseeritakse algarvuks olemise omadus. Predikaatloogikas saab kõik äsjases näites toodud laused kirja panna ühel üldistatud kujul: n on algarv, kus n∈ N. See üldistatud kujul esitatud objekt ei ole lause, sest sellele ei
Vitaminid - ei anna energiat, kuid on eluliselt tähtsad organismi normaalseks tööks, Inimene suudab sünteesida ainult üksikuid vitamiine. Vitamiinide täielik puudumine toidus võib tekitada avitaminoosi. Liigne vitamiinide tarvitamine võib tekitada hüpervitaminoosi. Vitamiinid jagatakse lahustuvuse jargi: · vesilahustuvad: B -grupp, H, C, P, PP; · rasvlahustuvad: A, E, D, K. 2. Mikroorganismide tegevust mõjutavad tegurid. · mikroorganismide algarv ja paljunemise aeg - mida suurem on algarv ja mida kauem nad paljunevad, seda rohkem on neid lõpptootes · toidu keemiline koostis - toitainete olemasolu · temperatuur - optimaalsest temperatuurist madalamad temperatuurid pidurdavad mikroorganismide paljunemist, kõrgemad temperatuurid hävitavad mikroorganisme · niiskus mikroobid kasutavad vaba vett · lahustunud ainete kontsentratsioon soola ja suhkru kasutamine töötlemisel ja säilitamisel
PLATON JA TEMA IDEAALNE RIIK Platon arvas, et kõigil silmaga nähtavatel ja käega katsutavatel asjadel on oma täiuslikud algkujud e. ideed. Idee on midagi sellist, mis on ühine paljudele sarnastele asjadele. Maailmas on palju inimesi, kuid on üks ühine inimese idee. Kõik inimesed meenutavad seda ideed, kuid ükski pole nii täisulik nagu idee ise. Nii on iga asjaga. Kui asjad tekivad ja hävivad, siis ideed on igavesed ja muutumatud. Ideed on palju tõelisemad kui asjad ise. Asjad meenutavad ideesid umbes nii, nagu varjud meenutavad tõelisi esemeid. Nad on täiuslike ideede ebatäiuslikud koopiad. Kuid erinevalt asjadest ei saa ideesid silmaga näha ega käega katsuda. Neid võib tabada üksnes mõistusega. Kõige tähtsamaks ideeks pidas Platon headuse ideed. Kes seda mõistab, võib mõista ka kõike muud. Platon püüdis täiusliku ideede maailma ja ebatäiusliku materiaalse tegelikkuse suhteid käsitleda dialektiliselt. Ta väitis, et igas materiaalses asj...
Diskreetne matemaatika Sisukord Arvusüsteemid ................................................................................................................................................... 2 Kahendkoodid.................................................................................................................................................... 4 Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised ........................................................................................................... 5 Avaldiste teisendused........................................................................................................................................ 8 Karnaugh’ kaart ................................................................................................................................................. 9 McCluskey’ minimeerimismeetod ..........................................................................................
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
Tsükkel koodid kuuluvad nn algebraliste koodide klassi. Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõpplikku korpusesse. Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõpliku korpusesse. Neid lõplike korpusi nim. Galois korpusteks ja tähistatakse GF (pm ). Siin p on algarv ja m on täisarv. Tehted lõpliku korpuse elementidega: liitmine ja korrutamine. Hulkliikmete liitmine: Korpuses GF(2) on elemente kaks 0 ja 1 ja nende liitmine toimub modulo 2: 0+modulo20=0, 0+modulo21=1, 1+modulo20=1, 1+modulo21=0 Hulkliikmete korrutamine: On siis kaks varianti -> 1. Otsene ehk tavaline ja 2. Faktorringis 1. Lõplik korpus on kinnine liitmistehete ja korrutustehete suhtes. See tähendab,et
return 0; } /* P r o g r a m m i l õ p p */ Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Ja lisaks tundub mulle, et sellel programmil võib olla kursusest osavõtjatele praktiline rakendusala ;) Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba
*/ fprintf(vf, "%c", toupper(c)); } fclose(sf); /* sulgeme failid */ fclose(vf); return 0; } /* P r o g r a m m i l õ p p */ Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. 69 / 115 Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama
Noam Chomsky (1928) püüdis luua puhtgrammatilist keeleteooriat, ignoreerides kõnelejate keelekompetentsi muid aspekte. Peagi selgus, et grammatilisus pole kaugeltki piisav tingimus keeleteooria õigsusele. Nii hakati keeleteooriasse sisse tooma alul semantilisi, hiljem ka pragmaatilisi elemente (kõneaktide teooria). Noam Chomsky näited lausetest, kus grammatilisel tasandil on kõik õige, aga semantilisel mitte: Värvusetud rohelised ideed magavad raevukalt Caesar on algarv Poiss võib ehmatada siirust Siirus võib ehmatada poissi [Viimane lause on seejuures praktiliselt normaalne: keel kasutab igal sammul taolisi võtteid, kus mingi mentaalne karakteristik metonüümiliselt n-ö inimese seest välja substantiveeritakse.] Sarnaseid näiteid toob ka George Lakoff: Minu onu arvab, et ma olen loll Minu kass arvab, et ma olen loll Minu lemmikamööb arvab, et ma olen loll Minu praepann arvab, et ma olen loll
N¨aidata, et meetrikad d, d1 ja d2 tekitavad u ¨he ja sama topoloogia n hulgal R . 24 ¨ 2 UMBRUSED 2.3 Veenduda, et iga teist loenduvuse aksioomi rahuldav topoloogiline ruum rahuldab ka esimest loenduvuse aksioomi. 2.4 Olgu X topoloogiline ruum diskreetse topoloogiaga. Mil- lised jadad ruumis X koonduvad punktiks x ∈ X? 2.5 Olgu p algarv ja Qp k˜oigi selliste ratsionaalarvude m n hulk, mille nimetaja n ei jagu arvuga p (m, n ∈ Z, n > 0). Iga k ∈ N ja x ∈ Qp jaoks saab defineerida hulga Qp alamhulga Uk (x) = { x + pk z | z ∈ Qp }. N¨aidata, et hulgad B(x) = { Uk (x) | k ∈ N } on hulga Qp punktide u ¨mbruste baasideks mingi topoloogia suhtes. 2.6 Olgu hulgal X antud meetrika d : X × X −→ R. Defi- neerime kujutuse d1 : X × X −→ R reegliga
Kui teine kasutaja küsib esimese käest avalikku võtit, siis hoopis kolmas osapool saadab oma avaliku võtme. Kolmas osapool saadab selle ja esimene krüpteerib selle ära oma salajase võtmega. Kolmas osapool küsib esimese käest tema avalikku võtit ja saab selle avaliku võtme kätte ning saab teada, et teises otsas on tõesti esimene kasutaja. Diffie-Hellmani protokoll Sellisel juhul ei pea me salajast infot üle võrgu transportima. Meil on kaks algarvu N ja G ning (N-1/2) on ka algarv. N ja G ei ole salajased ja neid kasutatakse. Mõlemad kasutajad mõtlevad välja ühe juhusliku arvu. Esimene kasutaja mõtleb välja arvu X ja teine kasutaja mõtleb välja juhusliku arvu Y. Krüpeerimine ja võtmete saamine käib selliselt, et esimene kasutaja arvutab välja jäägi R1=GXmodN ja saadab selle teisele kasutajale. Teine kasutaja arvutab jagamise jäägi R2=GYmodN. Nüüd esimene kasutaja arvutab jagamise jäägi võtme K=R2XmodN ning teine kasutaja arvutab jagamise jäägi
Nimelt öeldakse, et a ∈ A on hulga X ⊆ A maksimaalne element, kui a ∈ X ning iga x ∈ X korral kehtib implikatsioon a 4 x ⇒ a = x. Seega iga suurim element on ühtlasi maksimaalne, aga mitte tingimata vastupidi. Samasugune märkus kehtib vähima ja minimaalse elemendi kohta. Näiteks, jaguvusseos naturaalarvudel on järjestusseos, defineerides a 4 b kui a | b. Saab näidata, et 1 on hulga N vähim element seose 4 mõttes. Hulgal N {1} vähim element puudub, aga iga algarv on selle hulga minimaalne element seose 4 mõttes. Paneme tähele, et a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −b < −a, (1.2) a 6 b ⇔ b − a > 0 ⇔ −b 6 −a ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 9 (kontrollida!)z ning kui a < b ja c < 0, siis ac > bc (1.3) (veenduda!)z
korrutisena kirjutada ja Üritame lugejat selles teoreemis järgnevalt ka veenda. Meenutame, et arutlust, mis veenaks ka kõige skeptilisemat matemaatikut, nimetatakse tõestuseks ning sisuliselt annamegi siin tõestuse. Tõestus: Alustuseks märgime, et algarve kindlasti leidub – näiteks 2, 3 ja 5 on algarvud ja nii mõnigi veel. Oletame, et oleme leidnud juba erinevat algarvu . Kas leidub mõni veel? Kuidas teda leida? Uus algarv ei tohiks kindlasti jaguda ühegagi juba teadaolevatest arvudest. Kõige lihtsam oleks siis vaadata arvu , mis on ühe võrra suurem kui kõikide seni leitud algarvude korrutis: Nii ei saa see arv kindlasti jaguda ühegagi juba leitud algarvudest, sest nendega jagamisel jätab ta jäägi 1. Kui see arv ei jagu enam ühegi teise arvuga peale ühe ja iseenda, ongi tegemist ühe uue algarvuga. Nüüd, kui tegemist ei ole algarvuga, siis nagu meenutasime,
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
