Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei võrdu 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1 x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev . Funktsioon y = a x on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sinx, y = cosx, y = tanx ja y = cotx radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sinx : X = R, Y = [-1,1], y = cosx : X = R, Y = [-1,1], y = tanx : X = R {(2k + 1)/ 2 * ||k Z }, Y = R, y = cotx : X = R {k||k Z}, Y = R.
N¨aiteks funktisoonil y = tan x on katkevus- punktid x = 2 +k, k Z, kuid ( need) punktid asuvad v¨aljaspool selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda, so tan 2 + k , k Z, ei ole m¨a¨aratud. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus s¨ailib, siis on ka k~ oik elementaarfunktsioonid oma m¨ aa ¨ramispiirkonnas pidevad. Seega, kui punkt x = a kuulub elementaar- funktsiooni f (x) m¨a¨aramispiirkonda (st on t¨aidetud pidevuse 1. tingimus), siis on automaatselt t¨aidetud ka pidevuse 2. ja 3. tingimus ning me saame piir- v¨a¨artuse arvutamisel punktis a kasutada valemit lim f (x) = f (a). xa aited. 1. Arvutame lim sin x. Kuna punkt x =
sioonidel ei oleks katkevuspunkte. N¨aiteks funktisoonil y = tan x on katkevus- punktid x = 2 +k, k Z, kuid need punktid asuvad v¨aljaspool selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda, so tan 2 + k , k Z, ei ole m¨a¨aratud. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus s¨ailib, siis on ka k~ oik elementaarfunktsioonid oma m¨ aa ¨ramispiirkonnas pidevad. Seega, kui punkt x = a kuulub elementaar- funktsiooni f (x) m¨a¨aramispiirkonda (st on t¨aidetud pidevuse 1. tingimus), siis on automaatselt t¨aidetud ka pidevuse 2. ja 3. tingimus ning me saame piir- v¨a¨artuse arvutamisel punktis a kasutada valemit lim f (x) = f (a). xa aited. 1. Arvutame lim sin x. Kuna punkt x =
8). Seega on funktsiooni f väärtuste jada (f (xnk )) koonduv, järelikult ka tõkestatud. See fakt on vastuolus punktide xn valikuga, mille kohaselt |f (xnk )| > nk > k iga k ∈ N korral. Saadud vastuolu põhjal on meie vastuväiteline oletus on väär. Teoreem on tõestatud. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 65 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest Sellest, et funktsioon f on oma määramispiirkonnas D tõkestatud, tuleneb pidevuse ak- sioomi kohaselt tema väärtuste hulga ülemise ja alumise raja olemasolu, s.t. eksisteerivad sup {f (x) | x ∈ D} ja inf {f (x) | x ∈ D}. Kuid üldjuhul ei tähenda see veel suurima ja vä- hima väärtuse olemasolu. Näiteks funktsiooni x f : [0, 1) → R, x 7→ 1+x
6 z 2 1 1 2 y x -1 -2 Joonis 6.7. Koonus 6.3 Funktsiooni osamuut ja t¨ aismuut Fikseerime kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) m¨aa¨ramispiirkonnas D u ¨he punkti M (x, y). J¨attes muutuja y konstantseks, muudame s~oltumatut muutujat x suuruse x v~orra. Funktsiooni osamuuduks x j¨argi nimetatakse vahet x z = f (x + x, y) - f (x, y) (6.1) J¨attes muutuja x konstantseks, muudame s~oltumatut muutujat y suuruse y v~orra. Funktsiooni osamuuduks y j¨argi nimetatakse vahet
annaabi.ee 
