Matemaatiline analüüs 1, teooria, spikker, kontrolltöö 1, matan (1)

1
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine  juhtudele  a = ±∞ ja b = 
.Arvtelje mõiste.  Reaalarvu  absoluutväärtus. Loetleda 
4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni  definitsioonid . 
Parameetrilisel kujul antud funktsioon 
Vaatleme  funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x 
±∞ 
absoluutväärtuse 
Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni 
ja y sisse ka kolmanda  muutuja  t. x= φ(t). Siis saab ka 
Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x→a, mis 
omadused.  Reaalarvude  ja lõpmatuste ümbrused. 
määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune 
rahuldab  tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele 
Tõkestatud hulga
muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = μ(t). 
 
kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute 
Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui 
lim 𝑓(𝑥) = ∞ 
definitsioon.     
omavaheline seos.  Logaritmfunktsioon  ja tema 
parameetri t  muutumispiirkond  on lõik 
𝑥→𝑎
Arvtelje mõiste
[T₁, T₂], siis 
 
määramispiirkond, väärtuste hulk ning  graafik . 
Funktsioonil f on piirväärtus -∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x→a, 
 x = φ(t)
Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik 
Arkusfunktsioonid  ja nende seosed trigonomeetriliste 
. 
mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb  miinus  
y = μ(t), 𝑡 ∈ [T₁, T₂]
ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab 
funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide 
lõpmatusele lim 𝑓(𝑥) = −∞ 
Võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) 
𝑥→𝑎
arvtelje punktidele seada vastavusse  reaalarvud . Igale arvtelje 
määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja  graafikud . 
Funktsioonil f on piirväärtus b kohal ∞, kui suvalises piirprotsessis x→∞, 
punktile vastab ainult üks  reaalarv  ja vastupidi.
parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon 
 
Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid 
mis rahuldab tingimust x≠∞, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b 
Reaalarvu absoluutväärtus
on ühtlasi funktsiooni y=f(x) graafikuks. 
 
Funktsioon f on üksühene, kui igale argumendi x väärtusele vastab 
lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 
Reaalarvu absoluutväärtuseks  
 nimetatakse järgmist 
määramispiirkonnas üks kindel y ninh iga y korral hulgast Y leidub 
Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja 
𝑥→∞
areafunktsioonide definitsioonid 
Funktsioonil f on piirväärtus b kohal -∞, kui suvalises piirprotsessis x→-∞, 
mittenegatiivset arvu |a|= a,   
kui a ≥ 0, -a, kui a 0 on ümbruse raadius . 
vastavusse x-i. 
𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 =
− ℎü𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑜𝑙𝑛𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠 
Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises 
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
-Reaalarvu a vasakpoolseks 
Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade 
piirprotsessis x→𝑎−, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtust f(x) 
 
ümbruseks nim  suvalist  poollõiku 
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
(a- 𝜀;a], kus 𝜀 > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse 
ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, 
𝑐𝑜𝑡ℎ𝑥 =
− ℎü𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑜𝑙𝑛𝑒 𝑘𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠 
läheneb arvule b.  lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 
𝑥→𝑎−
lõpmatusse ainult siis, kui sell e arvu kaugus arvteljel on 
funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. 
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises 
arvust a väiksem kui 𝜀, st |x-a| 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse 
muutujaks x. Pöördfunktsioonis vahetavad kohad  esialgse  
x=arsinhy – areasiinus (funktsiooni y=sinhx 
lõpmatusse ainult siis, kui sell e arvu kaugus arvteljel on 
funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond.Funktsioon 
b₂ punktis a, siis suvalises piirprotsessis x→𝑎−, kus x≠a läheneb funktsiooni 
pöörfunktsioon)
arvust a väiksem kui 
 
𝜀, st |x-a|
y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy
 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M;∞
Erinevus seisneb selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-
x=arcothy – areakotangens 
 
), 
puudub punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises 
kui x>M 
le vastavusse x-i. Y=f(x) ja g=g(y) graafikud on sümmeetrilised 
piirprotsessis x→𝑎−, kus x≠a.(JOONIS) 
-Suuruse miinus lõpmatuks 
 
ümbruseks nim suvalist 
y=x suhtes. 
Sõnastada  teoreem  funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete 
vahemikku (-M;- ∞), kus M>0. Arv x kuulub minus 
Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning 
7.Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva 
lõpmatuse ümbrusesse kui x0, siis on graafiku kõrgus positiivne, st graafik on 
vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). 
∞,M), rahuldavad võrratust x>M. x→-∞. 
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 
ülalpool x-telge. 
 
Kehtib seos y=(f+g)(x)=f(x)+g(x). 
Jada piirväärtuse definitsioon 
Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine 
Kui f(x)0 nii, et iga x∈X korral ke  
htib võrdus f(x+c)=f(x). 
Suurus α on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus 1 
Kui lim
= 1, siis nimetatakse suurusi α ja β eksvivalentseteks. lõpmatult 
Väikseimat sellist konstanti C
Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on 
𝛼
𝑥→𝑎 𝛽(𝑥)
  nimetatakse funktsiooni f 
defineeritud avalisega 𝑃 = 𝑎
on lõpmatult kasvav. 
kasvavateks suurusteks, märkides seda kujul α~β. 
perioodiks. 
0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +
𝑎
Tõkestatud suuruse definitsioon 
𝛼(𝑥)
| = ∞, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult 
Kasvavad ja  kahanevad  funkt  
sioonid 
𝑛 𝑥𝑛 𝑎0 … 𝑜𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑, 𝑎𝑛 ≠ 0 
Kui lim
Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle 
𝑥→𝑎 𝛽(𝑥)
Olgu D funktsiooni f määram
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi  jagatis  
 ispiirkonna alamhulk. Valime 
suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Suurus α on 
kasvavaks suuruseks β suhtes. 
hulgast D kaks suvalist arvu x₁ ja x₂ nii, et x₁1. y=𝑎𝑥 on kahanev 
∆x=x-a argumendi muut kohal a 
Olgu lõigul [T
Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis 
₁, T₂] antud kaks funktsiooni x=φ(t) ja y=μ(t). 
kui 0 lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑎) = 0
y = μ(t)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Süsteem määrab ig
b.  
 
a t∈[T₁, T₂] korral ühe kindla arvupaari ehk 
y= sinx , y= cosx , y=tanx, y=cotx Radiaanides antud 
1 Suvalises piirprotsessis x→a, kus x≠a läheneb 
tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y)=( φ(t), μ(t)). Muutuja t 
 [lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑎)] = 0  lim ∆𝑦 = 0  lim ∆𝑦 = 0 
argumendiga x. y=sinx X=R 
funktsiooni graafiku  jooksev  punkt P=(x,f(x)) ühele ja 
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
∆𝑥→0
 Y=[-1;1] Periood on 2𝜋 
erinevatele väärustele vastavad erinevad tasandi punktid. Kui t 
Pideva funktsiooni muut läheneb  nullile , kui selle funktsio
y=cosx X=R Y=[-1;1] Periood on 2𝜋. Sinx ja cosx on 
oni argumendi 
jookseb  läbi koju lõigu [T
samale punktile A=(a,b)(JOONIS) 
₁, T₂], siis t-le vastav punkt kujutab 
muut läheneb nullile.
perioodilised funktsioonid. 
Funktsiooni piirväärtus on alati üheselt määratud 
 
 x = φ(t)
Pidevuse  säilimine  aritmeetiliste   tehete  ja liitfunktsiooni moodustamise 
y=tanx X=R\{2𝑘+1 ∗ 𝜋 ||𝑘 ∈ 𝑍}, Y=R 
tasandil teatud joone. {
 võrrandeid nimetatakse selle 
Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub 
2
y = μ(t)
väljaspool tema määramispiirkonda 
korral 
y=cotx X=R\{𝑘𝜋||𝑘 ∈ 𝑍}, Y=R. tanx ja cotx periood on π. 
joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone 
Kui funktsioon f ja g on  pidevad  punktis a, siis selles punktis on pidevad ka 
Cox on  paarisfunktsioon , ülejäänud on paritud funktsioonid. 
parameetriks. 
summa f+g, vahe f-g, korrutis fg,  eeldusel  g(a)≠0 ka jagatis 𝑓 
 
 
𝑔
 
Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev 
punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 
14.Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide 
liigitus 
Funktsiooni katkevuspunkti mõiste 
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle 
funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni 
graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool 
määramispiirkonda. 
Katkevuspunktide liigitus 
Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused 
 
lim 𝑓(𝑥) ja  lim 𝑓(𝑥), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni 
𝑥→𝑎−
𝑥→𝑎+
 
esimest liiki katkevuspunktiks.  
 
Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus  lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎−
 
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥), siis nimetatakse punkti funktsiooni f 
 
𝑥→𝑎+
𝑥→𝑎
 
kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. 
 
Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus  lim 𝑓(𝑥) ≠
𝑥→𝑎+
 
lim 𝑓(𝑥), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni 
 
𝑥→𝑎+
hüppepunktiks.  
 
Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest  lim 𝑓(𝑥) või 
 
𝑥→𝑎+
 
lim 𝑓(𝑥) puudub või pole lõplik, siis nimetatakse punkti a 
 
𝑥→𝑎−
funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. 
 
 
15.Ühepoolselt  pidevate  funktsioonide definitsioonid. 
 
Vahemikus ja lõigu pidevad funktsioonid. 
 
Elementaarfunktsioonide pidevus. 
 
Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid 
 
Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui  
 
F on määratus argumendi väärtusel a, st aϵX 
 
Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus  lim 𝑓(𝑥) 
 
𝑥→𝑎−
 
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
𝑥→𝑎−
 
Funktsiooni nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui 
 
F on määratud argumendi väärtusel a, st a∈X 
 
Eksisteerib lõplik parempoolne piirväärtus  lim 𝑓(𝑥) 
 
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
𝑥→𝑎+
 
Vahemikus ja lõigu pidevad funktsioonid 
 
Kui funktsioonf on pidev vahemikus (a,b) kõigis punktides, siis 
 
öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). 
 
Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku 
 
kohal pidev joon. 
 
Kui funktsioon on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) 
 
ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult 
 
pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] 
 
Elementaarfunktsioonide pidevus 
 
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma 
 
määramispiirkonna punktides pidevad.  
 
Määramispiirkonna kohal on graafikud pidevad jooned. Samas 
 
on põhilistel elementaarfunktsioonidel katkevuspunktid. 
 
Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest 
 
elementarrfunktsioonide lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja 
 
liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete 
 
puhul pidevus säilib, siis ka kõik elementaarfunktsioonid on 
 
oma määramispiirkonnas pidevad. 
 
16.Funktsiooni absoluutsete  ekstreemumite  definitsioonid 
 
lõigul 
 
Kui leidub punkt x₁ lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x 
 
korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x₁)>f(x), siis 
 
nimetatakse arvu f(x₁) funktsiooni suurimaks väärtuseks 
 
lõigul [a,b] 
 
Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim 
 
punkt. 
 
Kui leidub punkt x₂ lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x 
 
korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x₂)≤f(x), siis 
 
nimetatakse arvu f(x₁) funktsiooni vähimaks väärtuseks 
 
lõigul [a,b] 
 
Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim 
 
 
punkt. 
 
Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume 
 
nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks 
 
ekstreemumiteks. 
 
17.Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis 
 
 
on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja 
 
tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud 
 
tema nullkohaga. 
 
Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on 
 
seotud tema suurima ja vähima väärtusega 
 
Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma 
 
suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. 
 
Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul 
 
iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 
 
Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis 
 
on seotud tema nullkohaga 
 
Kui funktsioon on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu 
 
otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel 
 
lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2