Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks (0)

MLT 6004 Kvantmehhaanika 
1 
Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks 
 
Aine nimetus: Kvantmehhaanika 
 
Aine kood: MLT 6004 
 
Õppejõud: dots Ain Ainsaar 
 
Eksami aeg: 06.01.2005 
 
Kell: 11.00 
 
Auditoorium : K-123 
 
Konsultatsioon : 04.01.2005 
 
Kell: 10.00 
 
Auditoorium: P-512 
 
I OSA 
KVANTMEHHAANIKA PÕHIMÕISTED 
 
 
1.  Milline on kvantmehhaanika rakenduspiirkond? 
 
Kvantmehhaanika uurimisobjektiks on  mikroosakesed ja nende süsteemid. 
Makroskoopiliste kehade mõõtmed ja impulsid on nii suured, et nendega võrreldes on 
konstant  h kaduvväike. Seepärast võime makroskoopiliste kehade dünaamikas võtta 
lihtsalt h=0. 
Tingimus, et piirjuhul  h → 0  peavad kvanmehhaanika seaduspärasused taanduma 
klassikalise mehhaanika seaduspärasusteks ( Bohri korrespondentsprintsiip). 
Klassikaline teooria baseerub järgmisel kahel seisukohal: 
 
1)  Kõik füüsikalist süsteemi iseloomustavad suurused (koordinaadid, impulsid, 
impulssmomendid, energia jne) võivad muutuda ainult pidevalt. 
2)  Kõiki nimetatud suurusi on põhimõtteliselt võimalik määrata süsteemi igas olekus 
kuitahes täpselt. 
 
Klassikalise süsteemi kohta on olemas maksimaalne informatsioon, kui on antud tema 
liikumisvõrrandid koos vastavate algtingimustega. Nendest andmetest saame arvutada 
kõik dünaamilised suurused mistahes ajahetkel. Klassikaliste algtingimuste valik 
tähendab süsteemi kõikide koordinaatide ja impulsside (ka üldistatud mõttes) väärtuste 
etteandmist mingil fikseeritud ajamomendil, s o süsteemi teatud olekus. 
Liikumisvõrrandite ühese lahendamise võimalus on seega seotud hüpoteesiga (2). 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
2 
Klassikaline kausaalsuse printsiip:  süsteemi olek, mis mistahes ajahetkel on 
määratud kõikide koordinaatide ja impulsside väärtustega, on põhjuslikult seotud 
olekutega eelnevatel ajahetkedel. 
Kuna impulsside ja koordinaatide kaudu on arvutatavad kõikide teiste dünaamiliste 
suuruste väärtused, siis on ka kõik teised suurused põhimõtteliselt täpselt mõõdetavad 
mistahes ajahetkel. Mikromaailmas hüpoteesid (1) ja (2) ei kehti. 
Hüpoteesi (1) lükkavad ümber katsed, mis näitavad diskreetsete energiatasemete 
olemasolu mikrosüsteemides (aatomikimpude ergutamine, joonspektrid). 
Hüpotees (2) on vastuolus mikropartiklite dualistliku loomusega. 
Näiteks difraktsioonikatses ei ole põhimõtteliselt võimalik määrata difraktsioonivõre 
läbiva elektroni asukohta . 
Vastuoludeni jõuame samuti, kui tahame omistada trajektoori, st kindlaid 
koordinaatide väärtusi elektronile aatomi statsionaarses olekus (klassikalise aatomimudeli 
raskused). 
Katsed aatomitega jt mikrosüsteemidega näitasid,et peale energia esineb veel teisigi 
suurusi (nt inpulsimoment), mille väärtused võivad muutuda ainult hüppeliselt. 
Sellepärast nimetataksegi mikromaailma füüsikalistele nähtustele kohandatud teooriat 
kvantteooriaks. 
 
 
2.  Milles seisneb musta kiirguse mõistatus? 
 
 
Max Planck lõi 1900.a hüpoteesi energiakvantide olemasolu kohta. Selle hüpoteesi 
abil tuletas Planck katsega kooskõlas valemi absoluutselt musta keha (õõnesruumi) 
kiirgusenergia spektraalse jaotuse jaoks. 
(Aine aatomid kiirgavad elektromagnetilisi laineid . Samamoodi on võimalik, et keha 
neelab peale langevat valguskiirgust muundades seda soojuskiirguseks. Max Plancki 
arvutuste kohaselt peaks  Maxwelli laine teooria kohaselt keha jahtuma 0 K-ni. Aga tekib 
hoopis soojuslik tasakaal. Selles seisnebki musta kiirguse mõistatus.) 
Maxwelli elektromagnetlainete teooria osutus lühilainelises piirkonnas mõttetuks → 
keha oleks pidanud soojuskiirguse kiirgamisel pidama jahtuma 0 K-ni. 
Sellisest olukorrast leidis väljapääsu Max Planck. 
 
Aatomid kiirgavad elektromagnetenergiat üksikute portsjonitena – kvantidena. 
 
Iga portsjoni energia E on võrdeline kiirguse sagedusega: 
 
E = ν
h  (1) 
 
h – Plancki konstant 
Plancki loodud soojuskiirguse teooria oli eksperimendiga kooskõlas. Elektromagnet-
kiirgus tekib laengute võnkumise tulemusena. 
 
Soojuskiirgus – tekib suvalise aine/ioonide aatomite võnkumisel. Aatomite suure 
massi tõttu satuvad nn infrapunasesse diapasooni (10-5 m). 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
3 
Keha kuumutamisel kasvab ioonide võnkumise tulemusena tekkinud EM kiirguse 
sagedus. Iga keha kiirgab lakkamatult ning samal ajal ka neelab soojuskiirgust. 
 
Absoluutselt must keha – neelavad absoluutselt kogu neile langeva kiirguse. 
Planck kasutas oma hüpoteesis ning tuletas musta keha kiirgusvõime valemi, mis oli 
täielikus kooskõlas katsetulemustega. Teooria võrdlusest katsetulemusega leidis ta, et 
võrdetegur h peab valemis (1) olema võrdne 6,6·10-34 J·s. 
Aatomite energeetiline seisund saab olla vaid diskreetne  – aatomitel võib olla ainult 
selline energiahulk, mis sisaldab täisarvu elementaarseid energiaportsione hν. 
 
 
3.  Milles seisneb fotoefekti mõistatus? 
 
 
Fotoefekti põhiline seaduspärasus – fotoelektronide energia ei sõltu kiirgusvoo 
intensiivsusest, vaid kiirguse sagedusest – näitab, et antud juhul ei allu ka 
elektromagnetiline kiirgus (röntgenkiirgus, UV kiirgus) Maxwelli klassikalisele  teooriale. 
Viimase koha pealt peaks elektronidele üleantav energia olema just võrdeline voo 
intensiivsusega (laine amplituudi ruuduga ). Küsimuse lahendas A Einstein  
valguskvantide hüpoteesi abil. Sellele hüpoteesile vastavalt ei või elektromagnetiline 
laine oma energiat teistele kehadele üle anda mistahes hulgal, vaid ainult kogustes , mis 
on võrdeline laine sagedusega υ . Seejuures oletas einstein, et võrdetegur on  h  (Plancki 
konstant). 
Iga kvant on võimeline välja lööma ühe elektroni. Kui kvandi energia jääb alla 
punapiiri, siis pole kvandil niipalju energiat, et elektroni välja lüüa. Valgusel on 
dualistilik iseloom. 
Arvestades kvandi energia valemit: 
 
E = υ
h , 
On selge, miks kvantefektid ilmnevad ainult lühilainelise kiirguse korral. Väikeste 
sageduste väärtuste puhul on ülekantav energia praktiliselt lõpmata väike, ja energia 
muutusi võib lugeda pidevateks. 
 
Fotoefektiks nimetatakse elektronide välja löömist ainest valguse mõjul. 
 
Spektri UV osa tekitab fotoefekti. Kui panna klaas ette, siis ei tekita ka 
suureamplituudiga UV kiirgus fotoefekti – klaas neelab UV kiirgust. 
Valgus lööb plaadi pinnast välja elektrone ja kui plaat on laetud negatiivselt, 
tõukuvad elektronid plaadist eemale ning elektroskoop tühjeneb. Plaadi positiivse laengu 
korral tõmmatakse valguse poolt välja löödud elektrone plaadi poole ja nad langevad 
plaadile tagasi. 
Laadimata kehas ehk elektriliselt neutraalses kehas on positiivse ja negatiivse laengu 
suurused võrdsed (vt joon 1a). Kui kehast lahkuv kasvõi üks elektron , laadub keha 
positiivselt, sest ühe positiivse iooni laeng jääb kompenseerimata. Erinimeliste laengute 
vahel mõjuv tõmbejõud tõmbab elektroni kehasse tagasi ja keha jääb ikka neutraalseks. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
4 
Veelgi raskem on elektronil lahkuda positiivselt laetud kehast, sest siis tõmmatakse ta 
veelgi tugevamalt tagasi kui enne ja laeng ei muutu (joon 1c). 
Kui keha on laetud negatiivselt, siis lööb valgus elektroni kehast jäädavalt välja (joon 
1d). Laengu vähenemine kestab seni, kuni „üleliigne“ laeng on kehast lahkunud ja keha 
muutub neutraalseks. 
Väiksema sagedusega kiirgus ei tekita fotoefekti. Enamikel ainetel tekitab fotoefekti 
UV kiirgus või ultravioletne-sinine valgus, aga punane valgus ei tekita. Seepärast 
räägitakse fotoefekti punapiirist, so sellisest lainepikkusest (või sellele vastavast 
sagedusest), millest pikemad lained ei ole suutelised ainest elektrone vabastama: 
 
hc
. 
max
A
 
 
4.  Planetaarse aatomimudeli raskused 
 
Planetaarse aatomimudeli suurim viga on see, et ta on õige üksnes mittekiirgava 
aatomi korral. 
Kuna elektron liigub aatomis ringorbiidil, siis peaks ta seetõttu pidevalt kiirgama st 
kaotama energiat ja lõpuks tuumale langema . Pöördruutsõltuvus 
2
E ~ −
r  nõuab suurema 
tõmbejõu tasakaalustamiseks suuremat orbitaalkiirust, seetõttu väheneb tiirlemisperiood 
ja koos sellega kasvab kiiratava valguse sagedus. 
Tulemuseks on kahekordne vastuolu eksperimendiga: kõige pealt pole „ planetaarne ” 
aatom  stabiilne, teiseks, ta ei kiirga konstantsel sagedusel. 
 
5. Bohri postulaadid 
 
I Statsionaarsete orbiitide tingimus – elektron võib elektromagnetilist energiat 
kiirgamata tiirelda ainult mööda teatud kindlat orbiiti. 
 
II Kvantimise tingimus – lubatud orbiitide raadiused rn on määratud Bohri 
kvanttingimusega: 
 
m v r =
h
n
    
, n = ,
1 ,...
2 , 
e n n
2π
 
me – elektroni mass, 
vn – elektroni kiirus, 
rn – lubatud ringorbiitide raadius, 
h = 6,63·10-34 J·s, 
n – peakvantarv . 
 
III Kiirguse postulaat – üleminekul ühest statsionaarsest olekust teise aatom 
kiirgab (või neelab) elektromagnetilise energiakvandi. 
 
hν = E − E , 
n
n'
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
5 
kus ν on kiirguse sagedus, 
En – aatomi algoleku energia 
En’ – aatomi lõppoleku energia. 
 
Kui En > En’, siis aatom kiirgab, vastupidisel juhul neelab. 
 
 
6.  Elektroni difraktsioonikatse järeldused 
 
Mikroosakeste lainelised omadused ilmnevad interferentsis ja difraktsioonis. 
Elektronlained on olemas. 
Kui elektronlained muunduvad seisulaineiks aatomis, siis peavad nad olema väga 
lühikesed, aatomi mõõtmetele (10-10 m) lähedase pikkusega. 
Elektronide kaksikpilukatse sai võimalikuks hiljuti, kaasaegseelektronmikroskoopia 
võtteid kaasates. 
Kui ilmneb interferents , peab olema ka difraktsioon – tõkete taha paindunud lainete 
interferents. Elektronlained avastatigi esmalt difraktsioonkatsetes. Sobivaiks, vajalikuks 
väikese võre konstandiga difraktsioonivõredeks osutusid kristallid , mida eelnevalt uuriti 
röntgnkiirtega. 
Elektronide difraktsioon avastati juhuslikult, tänu katse käigus juhtunud äpardusele 
(vaakumseadme leke). 
Katse, mis kinnitas ektronkiire laineiseloomu, tehti 1924.a C J Davissoni ja L H 
Germeri poolt nende röntgenstruktuurlaboris. Elektronkiir suunati kristallpreparaadile, 
mida eelnevalt oli vaadeldud röntgenkiirtes; elektrone kiirendav pinge valiti aga selline, 
et nende lainepikkus oleks võrdne varem kasutaturöntgenkiirte omaga . Piltide identsus 
pluss selle muutumine pinge muutmisel kinnitas lainehüpoteesi ja de Broglie valemi 
õigsust. 
Kaksikpilu katses vähendati elektronkimbu  tihedust niivõrd, et elektronid läbisid 
pilusid ühekaupa (vahendades sedavõrd elektrone kiirgava hõõgkatoodi temperatuuri). 
Iga tabamus fotoplaadile annab väikese täpikese – elektron ei moondu laineks. Kuna 
esialgse väikese registreeritud elektronide arvu juures paiknevad täpikesed korrapäratult, 
järeldame, et elektronlaine ei määra üksikelektroni liikumist rangelt. Mida rohkem 
tabamusi , seda selgemalt rühmituvad täpikesed interferentstriipudesse – et elektronid 
väljastati ühekaupa, pidi iga üksikelektroniga kaasnev laine pilusid läbinult 
interfereeruma iseendaga . Kõrvale jääb kahtlus , et elektronid rühmitusid mingi 
omavahelise vastastikmõju ajel . 
 
 
7.  Kvantmehhaanilise oleku kirjeldamine 
 
Makroobjekti oleku antud hetkel võime defineerida välistingimuste ja kõikide sellele 
objektile iseloomulike füüsikaliste suuruste väärtuste kompleksi abil. Mikroobjekti korral 
aga niisugused kõikidele suurustele vastavad väärtuste kompleksid ei eksisteerigi. 
Näide: Isoleeritud vesinikuaatomis viibival elektronil on küll kindel energia ja kindel 
impulsimoment , elektroni kohakoordinaadil ja impulsil aga ei ole kindlat väärtust s t 
teostades seeria katseid koordinaadi määramiseks, saaksime iga kord isesuguse tulemuse, 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
6 
kusjuures need tulemused kuhjuvad teatud statistilise korrapärasusega. Seda statistilist 
korrapärasust nimetatakse koordinaadi tõenäosusjaotuseks. 
Mikroobjekti olek on defineeritud välistingimustega ja objekti iseloomustavate  
kõikide füüsikaliste suuruste tõenäosusjaotusega. 
Erijuhul, kui mõne suuruse teatud väärtus esineb tõenäosusega 1, ütleme, et sel 
suurusel on antud olekus see kindel väärtus. 
Kõik füüsikalised suurused, millel antud tingimustes on kindlad väärtused, 
moodustavad nende tingimuste korral samaaegselt mõõdetavate füüsikaliste suuruste 
täieliku kompleksi (aatomi statsionaarses olekus kuuluvad siia näiteks energia ja 
impulsimoment).  Kõikide teiste suuruste kohta ütleme, et nad ei ole eelmistega 
samaaegselt mõõdetavad (nt elektroni koordinaat ja energia statsionaarses olekus ei ole 
samaaegselt mõõdetavad suurused). 
Kvantmehhaanikas ei ole printsipiaalselt võimalik kõiki füüsikalisi suurusi 
samaaegselt mõõta ja seega neid ka üksteise kaudu arvutada. 
Kvantmehhaanika põhiülesandid: 
1.  Määrata süsteemi (mikroobjekti) oleku antud füüsikalistes tingimustes: 
a)  leida seda olekut iseloomustavate samaaegselt mõõdetavate suuruste arvulised 
väärtused; 
b)  leida kõikide teiste suuruste arvuliste väärtuste tõenäosusjaotus. 
2.  Leida oleku muutumise seadus antud tingimustes ja määrata ühest olekust teise 
ülemineku tõenäosus. 
 
Erinevus klassikalise mehhaanika kausaalsusprintsiibist johtub sellest, et 
kvantmehhaanilne olek ei määra üheselt kõikide suuruste arvulisi väärtusi 
(mõõtmistulemusi).  Seega võime mikromaailmas kausaalsete seoste olemasolu 
sedastada ainult füüsikaliste suuruste tõenäosuste vahel. 
Kvantmehhaanikas peame nõudma, et vastavates tingumustes annaksid 
kvantmehhaanika valemid piirjuhuna klassikalise mehhaanika valemid. 
 
 
 
8.  Milleks on vaja olekufunktsiooni normeerida? 
 
Sellepärast, et normeeritud olekufunktsiooni absoluutväärtuse ruut annab tõenäosuse 
tiheduse arvulise väärtuse. 
 
9. Kuidas normeeritakse olekufunktsiooni 
 
Olekufunktsiooni normeeritakse nii, et lainefunktsiooni ruut pannakse võrduma ühega 
 
∫ Ψ 2dV = .1 
Olekufunktsioon peab rahuldama nõuet: 
1)  tõenäosus peab olema ühene, 
2)  peab olema pidev (ei saa järsult muutuda), 
3)  peab olema lõplik. 
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
7 
 
 
10. Olekufunktsiooni nõutavad omadused 
 
1)  tähtis on olekufunktsiooni kuju, käitumine, aga mitte tema väärtus. 
2)  Olek ei muutu, kui korrutame olekut kompleksarvuga. 
 
Ψ 2 = Ψ * Ψ
⋅  
Olekufunktsioon 
 
Vastavalt Heisenbergi ideele võime igale mikroobjekti iseloomustavale suurusele 
vastavusse seada mõnesuguse (üldiselt ka välistingimustest sõltuva) maatriksi. Kui 
sobivalt interpreteerime maatriksite elemente ja karakteristlikke arve, võime niisuguste 
maatriksite hulgaga täielikult kirjeldada objekti olekuid . 
Kui meid ei huvita niivõrd üksiku füüsikalise suuruse omadused kui just objekti 
olekud  tervikuna, on maatriksite hulga asemel otstarbekam igale olekule vastavusse 
seada mõnesugune funktsioon, mis kannab olekufunktsiooni  nimetust (nimetatakse ka 
lainefunktsiooniks, kuna sellist funktsiooni kasutas esmakordselt Schrödinger 
mikroosakeste jaoks kohandatud lainevõrrandis). 
Kui nõuame, et olekufunktsioon kätkeks maksimaalset informatsiooni vastava oleku 
kohta, peame eeskätt nõudma, et saaksime selle funktsiooni abil arvutada füüsikaliste 
suuruste tõenäosusi. Kui tahaksime funktsiooni enda väärtust interpreteerida vahetult 
tõenäosustena, saaksime olekufunktsioonide jaoks liiga kitsa klassi, s o funktsioonide 
klassi, millesse kuuluvatel funktsioonidel on väärtused ainult vahemikus 0 ... 1. 
Funktsioonide klassi on võimalik laiendada sel teel, et tõenäosusliku tähenduse seome 
mitte funktsiooni endaga, vaid tema mooduli ruudu väärtustega (lubades funktsioonile 
seega ka kompleksseid väärtusi). 
Niisiis teeme olekufunktsiooni ψ kohta järgmised oletused: 
1. 
ψ  võib olla funktsiooni mistahes samaaegselt mõõdetavate suuruste täieliku 
kompleksi väärtustest. 
ψ  argumentide valikut nimetatakse esituse valikuks . Kui ψ argumentideks valime 
osakese (osakeste) koordinaadid, nimetame  esitust koordinaatesituseks (q-esitus). 
Kui ψ argumentideks on osakese impulsi komponendid, on tegemist impulss - ehk p-
esitusega. 
Kui  ψ sõltub energiast kui argumendist, saame energiaesituse (E-esitus) jne. ψ 
arvulised väärtused võivad olla üldiselt komplekssed . 
Oleku määrab ψ kuju, mitte arvuline väärtus. 
 
2. 
Vahetu füüsikaline mõte on olekufunktsiooni absoluutväärtuse ruudul 
ψ (q) 2
dq on võrdeline tõenäosusega leida suuruse q väärtust q
q=q
0 
0
infinitesimaalses vahemikus dq mikroobjekti olekus, mida kirjeldab ψ (q). 
ψ ( ) 2
q  on võrdeline tõenäosusega ühikintervalli kohta (dq=1) ehk 
tõenäosustihedusega. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
8 
Kui argument muutub diskreetselt (nt energia E), siis  ψ (E) 2
annab tõenäosuse 
E=E0
(on üldiselt rääkides võrdeline, erijuhul võrdne tõenäosusega), et olekus, mida 
kirjeldab  ψ (E), on mikroobjekti energia väärtuseks E0. Nagu näeme, ei ole 
tõenäosuse arvutamisel tähtusut teguril  iα
e   (α on reaalarv ), mida nimetatakse 
fasikordajaks. Kui meid huvitavad ainult tõenäosuste suhted q eri väärtustel, võime 
olekufunktisooni korrutada veel mõnesuguse teguriga  k (normeerimistegur), ilma et 
need suhted sellest muutuksid. Järelikult kirjeldavad olekufunktsioonid ψ ja 
iα
ψ '= ψ
k e  ühte ja sama olekut., st olekufunktsioon on määratud normeerimisteguri 
ja faasikordaja täpsuseni. 
 
3. 
Vastavalt eelmises punktis kasutatud interpretatsioonile on integraal üle q 
määramispiirkonna  Ω. Kuivõrd osake eksisteerib, on alati võimalik leida 
mingisugust  q väärtust (mis igas üksikkatses võib olla erinev). Seega peab 
olema  2
N ≠ 0 . Niisiis: olekufunktsiooni norm peab nullist erinema. 
Kui N on lõplik, võime k alati nii valida, et funktsioon oleks normeeritud: 
 
Ψ(q)
∫
dq = ;
1
Ω
 
∑ Ψ(q)2 = .1
q
Füüsikalise mõtte kohaselt peab tõenäosus leida q mistahes väärtus võrduma ühega. 
Järelikult:  normeeritud oleku funktsiooni absoluutväärtuse ruut annab tõenäosuse 
tiheduse (diskreetse q korral tõenäosuse) arvulise väärtuse. 
Kui  Ψ ei ole normeetav ( N → ∞ ), saame väita ainult seda, et  ψ ( ) 2
q  on võrdeline 
tõenäosuse tihedusega q – ruumi antud punktis, kusjuures võrdetegur ei sõltu q – ruumi 
punktist. Sel korral on mõte ainult tõenäosuste suhtel erinevates punktides. 
 
 
11. Superpositsiooni printsiip  
 
Kui meil on olek ψ, mõõdame mingit füüsikalist suurust, olgu tulemuseks väärtus C 2
1 , 
mis vastab tõenäosuse olekule ψ
2
1 või olgu tulemuseks väärtus C2 , mis vastab olekule ψ2, 
siis võime teha järelduse, et liituvad olekufunktsioonid, mitte tõenäosused: 
 
ψ = C ψ + C ψ + ... 
1
1
2
2
 
Me saame teha ainult ühe mõõtmise neist (nt C1ψ1), mõõrmine rikub ära oleku, 
edaspidi saame ka ainult seda tulemust.  Senikaua aga kuni me mõõtnud pole, on 
mõõtmine superpositsioonis – st nendes kahes oleksu korraga (Schrödingeri kass – 
korraga elus ja surnud). 
 
Kvantmehhaanika üheks põhihüpoteesiks on hüpotees superpositsioonilisest seoses  
olekute vahel. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
9 
Selle hüpoteesi kohaselt peituvad igas olekus potentsiaalsed võimalused lõpmata 
paljude teiste olekute realiseerumiseks teatava, mõnel juhul nulliga võrduva 
tõenäosusega. 
Näiteks: turmaliini kristalli läbib footon , siis ta võib sealt läbi minna, kui võib ka 
mitte läbi minna. Ühe tõeäosusega langeb footoni polarisatsioonivektor ühte 
turmaliinkristalli optilise teljega  (footon läbib kristalli), teise tõenäosusega on footoni 
polarisatsioonivektor risti turmaliinkristalli optilise teljega (footon ei läbi kristalli). Kumb 
neist olekutest antud footoni korral realiseerub, seda teooria ei ennusta. Ette arvutada 
võib ainult tõenäosusi. Selles avaldubki kvantmehhaanika satistilisus. 
Olekute superpositsiooniline seos peab matemaatiliselt väljenduma 
olekufunktsioonide vastava seosena, mis võimaldaks olekute realiseerumise tõenäosusi 
arvutada. Katsega hea kooskõla annab lineaarse seose postuleerimine olekufunktsioonide 
vahel, s t mistahes olekufunktsioon ψ (q) on esitatav mõnesuguste teiste 
olekufunktsioonide ψ (q , ψ (q , ψ (q , ... lineaarkombinatsioonina: 
3
2
1
 
ψ (q) = C ψ + C ψ + C ψ + ...,  (11.1) 
1
1
2
2
3
3
Kusjuures kordajad  C1, C2, C3, ... on seotud vastavate olekute realiseerumise 
tõenäosusega. 
Valem (11.1) näitab, et olekufunktsioone võime käsitleda mõnesuguse lineaarse 
ruumi elementide – vektorite – komponentidena. Seda ruumi nimetatakse Hilberti 
ruumiks. 
 
 
12. Sõltumatute osakeste süsteemi olekufunktsioon 
 
Olekufunktsiooniga saab kirjeldada terveid süsteeme. 
 
ψ q , q
1 ( 1 )
1 – võib olla nt 3 koordinaati , 
q1, q2 – üldistatud koordinaat, mingil moel on ära defineeritud. 
ψ q  
2 ( 2 )
 
Ψ(q ,q  
1
2 )
Nendele funktsioonidele vastavad konstandid C1 ja C2 – tõeäosus, et toimuvad 
mõlemad nähtused korraga, on  C ⋅ C . 
1
2
Nende funktsioonide absolutväärtuste ruudud on siis järgmised: 
 
ψ q ,ψ q
1 (
)2
1
2 (
)2
2
 
Ψ(q ,q
1
)2
2
 
Sõltumatute osakeste tõenäosuse korrutub. Kuid kui osakesed on omavahel 
interaktsioonis, siis korrutada ei tohi. 
 
Ψ(q ,q ,q =ψ q ψ
⋅
q ⋅
⋅
q
 
1
2
n )
1 ( 1 )
2 ( 2 ) ...
n ( n ).
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
10 
 
 
13. Mis on operaator ? 
 
Operaator  on teisenduseeskiri, millega saame ühest funktsioonist teise. 
Igale füüsikalisele suurusele seatakse vastavusse teatud lineaarne operaator, mida 
rakendatakse olekufunktsioonile. Selle operaatori omaväärtused annavad vastava 
füüsikalise suuruse arvulised väärtused, s o mõõtmistulemused teatud olekutes. 
Operaatori omaväärtuste järjestatud hulka nimetatakse omaväärtuste spektriks. 
Operaatori omaväärtuste spekter võib olla kas pidev või diskreetne või osaliselt pidev, 
osaliselt diskreetne. 
Operaatorite märkimiseks kasutame suuri tähti märgiga tähe kohal, nt  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A B,C, L, M ,... 
Operaatori sümbol kirjutatakse tavaliselt vasakule funktsioonist, millele ta mõjub. Kui 
operaator  Lˆ  seab funktsioonile ψ (q) vastavusse funktsiooni ϕ(q) , siis kirjutame selle 
seose: 
 
ˆLψ (q) = ϕ(q). (13.0) 
 
Funktsioone ψ (q), mis rahuldavad tingimust 
 
ˆLψ (q) = λψ (q),  (13.1) 
 
kus  λ on arvuline parameeter, nimetatakse operaatori  Lˆ  omafunktsioonideks. Neid 
parameetri  λ väärtusi, millel võrrandil (13.1) on lahendeid , nimetatakse operaatori  Lˆ  
omaväärtusteks (ka karakteristlikeks arvudeks). 
Operaatoriks võib olla nt arv, kuupjuur , tuletis jne: 
 
χ Aˆ
= ϕ  (13.2) 
 
Võrrand (13.0) on samaväärne võrrandiga (13.2). 
On olemas impulsioperaator, energiaoperaator jne. 
Võib juhtuda nii, et operaatori  Aˆ  jaoks on teatud funktsioonid ϕ   (n = ,
1
3
2
, mille 
n
puul kehtib definitsiooni kohaselt  Aˆϕ = a ϕ , kus a
n
n
n
n on arvud, konstandid. 
an – operaatori  Aˆ  omaväärtus, 
ϕ  - operaatori  Aˆ   omafunktsioon . 
n
 
Näiteks: 
∂  - operaator 
x
∂ 1
∂
f
∂
f =
 
x
∂
x
∂
1
1
Võrrandi vasakus pooles nagu f-i korrutaksime. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
11 
 
14. Mis on omaväärtus? 
 
Funktsioone ψ (q), mis rahuldavad tingimust 
 
ˆLψ (q) = λψ (q),  (13.1) 
 
kus  λ on arvuline parameeter, nimetatakse operaatori  Lˆ  omafunktsioonideks. Neid 
parameetri  λ väärtusi, millel võrrandil (13.1) on lahendeid, nimetatakse operaatori  Lˆ  
omaväärtusteks (ka karakteristlikeks arvudeks). 
 
 
15. Millises olekus on füüsikalisel suurusel täpne väärtus? 
 
Omaolekus. 
 
 
16. Kuidas leida olekufunktsiooni järgi füüsikalist suuruste väärtuste tõenäosusi? 
 
Tuleb lahendada omaväärtusülesanne ja leida kordajate  Cn väärtused, arendada need 
ritta ning need seejärel ruutu võtta. 
 
 
17. Kvantmehhaaniliste operaatorite üldised omadused 
 
Operaatoritega ei saa kirjeldada füüsikalisi suurusi. 
Omadused: 
1)  Kvantmehhaanilised operaatorid on  lineaarsed : 
 
ˆL(ϕ + λ) ˆ
= Lϕ + Lλ,  
ˆL(Cϕ)
= CLϕ.
 
Ruutu tõstmisega on asjalood natuke teised, seal tuleb nt maatrikseid korrutada. 
 
d (ϕ + λ) ϕ
d
+ d ,
dx
d
dx
 
sin(α + β ) ≠ sinα + sin β.
 
Operaator  Lˆ  on lineaarne, kui kehtib tingimus: 
 
ˆ[
L C ψ q + C ψ q = C Lψ q + C Lψ q  
1
1 ( )
2
2 ( )]
1
1 ( )
2
2 ( ).
Siin on C1 ja C2 arvulised konstandid, ψ
,ψ
 - suvalised funktsioonid. 
1 (q)
2 (q)
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
12 
2)  Kvantmehhaanilised operaatorid on hermiitilised. 
 
Igale operaatorile on võimalik vastavusse seada nn kaasoperaator. 
Olgu operaatorid  Aˆ  ja  Bˆ  defineeritud mõnesugusel funktsioonide ψ q ψ q
 
1 ( )  
, 2 ( ) ...
 ,
hulgal. Kui mistahes ψ  ja ψ  korral 
i
k
 
∫
ψ * Aψ dq =
 (17.1) 
i
k
∫(ˆB i )* dq,
k
 
Siis nimetatakse operaatorit   Bˆ  operaatori  Aˆ  kaasoperaatoriks ja tähistatakse 
Bˆ = Aˆ . 
Valemis (17.1) on tähekesega märgitud kaaskompleksne funktsioon. Kasutades 
kaasoperaatori definitsiooni ja tähistust võime valemi (17.1) parema poole kirjutada 
 
∫(ˆBψ ψ
 
i )*
dq
k
∫
* B
dq
i
k
 
Ilmselt  ( ˆA+ )
= .
A  
Kui kehtib seos  Aˆ+ = Aˆ , nimatatakse operaatorit enesekaasseks ehk hermiitiliseks 
(prantsuse matemaatiku Hermite’i järgi), kui  Aˆ+ = − Aˆ  - antihermiitiliseks. 
Seega rahuldab hermiitiline operaator tingimust 
 
∫ψ Aˆ
* ψ dq =
ˆ ψ ψ
 (17.2) 
i
k
∫(A ) dq
k
mistahes ψ  ja ψ  korral antud funktsioonide hulgast. 
i
k
Korrutame võrrandi  Lˆψ (q) = λψ (q) mõlemaid pooli funktsiooniga ψ * ja 
integreerime üle kogu määramispiirkonna. Arvestades, et  ∫ 2
ψ dq ≠ 0 , võime avaldada λ: 
 
ˆLψ (q ) = λψ (q )     ⋅ψ *
ψ (q ) ˆ
L ψ (q ) = λψ (q )⋅ψ * (q )
ψ (q )⋅ψ * (q ) = ψ (q ) 2
ψ (q ) ˆ
L ψ (q ) = λ ψ (q ) 2        ∫
 
ψ *
2
L ψ dq = λ ψ dq         :
2
ψ dq
∫
∫
∫
ψ * Lψ dq
∫
λ =
2
ψ dq
∫
Nüüd tuletame λ*: 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
13 
ˆLψ (q) = λ *ψ (q)    ⋅ψ *
ψ (q) ˆ
Lψ (q) = λ *ψ (q)⋅ψ *(q)
ψ (q) ˆ
Lψ (q) = λ *ψ (q)⋅ψ *(q)
ψ (q) ˆ
Lψ (q) = λ *ψ (q)2       ∫
 
ψ * Lψdq = λ *
2
ψ dq       :
2
ψ dq
∫
∫
∫
ψ * Lψdq
∫
λ* =
2
ψ dq
∫
 
Kui  Lˆ  on hermiitiline operaator, siis valemi (17.2) põhjal  λ = λ *, st hermiitilise 
operaatori kõik omaväärtused on reaalsed. 
Tõestus: 
 
 
ˆLψ = λψ
λ = λ      
⋅ ψ 2
λψ 2 = λ *ψ 2
 
ψ 2 =ψ * ψ
⋅
ψ *λψ = λ ψ
* * ψ
⋅
ψ ˆ
* Lψ = ( ˆLψ )* ψ
⋅
 
 
Hermiitilisust rahuldab tingimus ( analoogne (17.2)-le: 
 
∫ χ (Lˆ
* ϕ )dq = ∫(Lˆχ)* dq
ϕ  
 
Seega: 
 
∫ψ (Lˆ
* ψ )dq = ∫(Lˆψ ) ψ
* dq  
Funktsioon on hermiitiline. 
 
Järelikult, kui operaatori omaväärtusi tahame tõlgendada füüsikaliste suuruste 
mõõtmistulemustena, peavad kõikidele reaalsete füüsikalistele suurustele vastavusse 
seatavad operaatorid olema hermiitilised. 
 
 
 
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
14 
18. Mis on lineaarne operaator? 
 
Operaator  Lˆ  on lineaarne, kui kehtib tingimus: 
 
ˆ[
L C ψ q + C ψ q = C Lψ q + C Lψ q  
1
1 ( )
2
2 ( )]
1
1 ( )
2
2 ( ).
Siin on C1 ja C2 arvulised konstandid, ψ
,ψ
 - suvalised funktsioonid. 
1 (q)
2 (q)
 
 
19. Mis on hermiit1iline operaator? 
 
Kui kehtib seos  Aˆ+ = Aˆ , nimatatakse operaatorit enesekaasseks ehk hermiitiliseks 
(prantsuse matemaatiku Hermite’i järgi), kui  Aˆ+ = − Aˆ  - antihermiitiliseks. 
Seega rahuldab hermiitiline operaator tingimust 
 
∫ψ Aˆ
* ψ dq =
ˆ ψ ψ
 
i
k
∫(A ) dq
k
mistahes ψ  ja ψ  korral antud funktsioonide hulgast. 
i
k
 
 
20. Omafunktsioonide omadused 
 
Teoreem 1:  Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori 
omafunktsioonid on ortogonaalsed. 
 
Olgu  ψ  omafunktsioon, mis vastab operaatori  Lˆ  omaväärtusele  λ ,  ψ  - 
1
1
2
omaväärtusele  λ , s o 
2
 
ˆLψ = λψ ,
1
1
1
ˆLψ = λ ψ ,  (20.1) 
2
2
2
λ ≠ λ .
1
2
Siis väidab teoreem, et  
 
∫ψ *ψ dq = 0 = ψ ψ dq  
1
2
∫ *
2
1
 
Tõestus:  Korrutame valemi (20.1) esimest võrrandit ψ *-ga ja esimest võrrandit 
2
ψ *-ga ning integreerime üle kogu määramispiirkonna. Saame 
1
 
∫
ψ * Lψ dq = λ ψ ψ dq
2
1
1 ∫
2
1
 (20.2) 
ja 
(20.3) 
∫
ψ * Lψ dq = λ ψ ψ dq
1
2
2 ∫
1
2
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
15 
Moodustame (20.3) mõlemast poolest kaaskompleksse avaldise , pidades silmas  λ  
2
reaalsust. Saame 
 
∫(ˆLψ ψ dq λ ψ ψ dq  (20.4) 
2 )*
1
2 ∫
2
1
 
Lahutame võrrandist (20.2) võrrandi (20.4), 
 
∫
ψ * Lψ dq − Lψ ψ dq
λ λ ψ ψ dq  (20.5) 
2
1
∫(ˆ 2)*
1
( −
1
2 )∫
2
1
 
Avaldise (20.5) vasak pool on null operaatori hermiitilisuse tõttu (vt valem (17.2)). 
Kuna eelduse põhjal  λ − λ ≠ 0 , siis peab 
1
2
 
∫ψ *ψ dq = 0. 
2
1
 
m o t t 
 
Teoreem 2: Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad 
omafunktsioonid on lineaarselt sõltumatud. 
 
Tõestame vastuväiteliselt. 
Oletame, et kehtib seos 
 
a ψ + a ψ + a ψ + ... = ,
0  (20.6) 
1
1
2
2
3
3
 
kus kõik a-d ei ole identselt nullid . ψ ,ψ ,... on erinevatele omaväärtustele vastavad 
1
2
omafunktsioonid. 
Korrutame (20.6) vasakut poolt funktsiooniga ψ * ja integreerime üle 
1
määramispiirkonna, saame 
 
a ψ
ψ dq a ψ ψ dq a ψ ψ dq
 (20.7) 
1 ∫
1
1
2 ∫
1
2
3 ∫
+ ... = 0.
1
3
 
Kõik teised liidetavad peale esimese on nullid eelmise teoreemi põhjal. Kuna ψ  
1
norm ei tohi olla null, siis (20.7) kehtivuseks peab olema  a = .
0  
1
Seost (20.6) korrutades funktsioonidega ψ *,ψ * jne ning inegreerides saab 
2
3
analoogiliselt näidata, et ka kõik teised kordajad  a , a ,... peavad olema nullid, mis viibki 
2
3
vastuollu eeldusega. 
 
m o t t 
 
 
 
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
16 
21. Funktsioonide ortogonaalsus 
 
Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori omafunktsioonid on 
ortogonaalsed (st asetsevad risti). 
Tõestust vaata p 20. 
Üldiselt võib operaatori ühele omaväärtusele vastata mitu omafunktsiooni, mis ei 
tarvitse olla ortogonaalsed. Ent lineaarsete kombinatsioonide abil saab alati kõiki 
sõltumatuid omafunktsioone ortogonaliseerida. Seega võime alati oletada, et operaatori 
kõik funktsioonid moodustavad ortogonaalsete funktsioonide süsteemi. Funktsioonide 
süsteemi, mille iga element on normeeritud ja kõikide teiste elementidega ortogonaalne, 
nimetatakse ortonormeeritud süsteemiks (ON- süsteem). 
 
 
22. Funktsioonide lineaarne sõltumatus 
 
Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on 
lineaarselt sõltumatud. 
Tõestust vt p 20. 
 
 
23. Ortonormeerituse tingimus diskreetse ja pideva spektri korral 
 
Olgu ψ  ja ψ  meelevaldsed ON-süsteemi elemendid, siis peab kehtima 
i
k
 
ψ *ψ dq δ .
∫
 (23.1) 
i
k
ik
 
Selgitus : Kui omafunktsioonid on normeeritud, siis kehtib tingimus 
 
∫ψ *ψ dq =1. 
n
n
 
Kui indeksid n on erinevad, siis kehtib ortogonaalsuse tingimus 
 
∫ψ *ψ dq = 0. 
1
2
 
Võtame nüüd kokku: 
 
ψ *ψ dq =
∫
δ ,
j
k
jk
⎧
 
kui
 ,
1
j = k  
δ =
jk
⎨
 
kui
 ,
0
j ≠ k
 
Selline kokkuvõte kehtib omaväärtuste diskreetse spektri puhul. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
17 
Kui funktsiooni indeksid i, k muutuvad pidevalt, siis valemi (23.1) üldistus seisneb 
Kroneckeri sümboli δ  asendamises δ -funktsiooniga  δ (ι − γ ), kusjuures ι γ
 ,  on 
ik
mingisugused pidevaid väärtusi omandavad suurused: 
 
ψ *(a,q),ψ (a′,q)dq = δ (a − a′)
∫
 
δ (x) ⎧
 
kui
 ,
0
x ≠ 0
= ⎨⎩∞  
kui
 ,
x = 0
 δ(x) - Diraci deltafunktsioon 
 
ehk 
 
ψ *ψ dq = δ
(ι γ ).
∫
−
 (23.2) 
Valem (23.2) näitab, mida mõista funktsioonide ON-süsteemi all juhul, kui 
funktsiooni norm ei ole lõplik. Ühtlasi näitab valem (23.2), et δ-funktsiooni abil saame 
„normeerida” niisuguse operaatori omafunktsioone, mille omaväärtuste spekter on 
pidev  (ι γ
 ,  - indeksid, mis vastavad teatud omaväärtustele, muutuvad pidevalt). 
Funktsiooni normi ruut võrdub sel korral δ-funktsiooniga argumendi väärtusel null. 
Funktsiooni normi  definitsioonist  
 
Ψ(q)
∫
dq = ,
1
Ω
 
∑ Ψ(q)2 = ,1
q
Järeldub, et lõpliku normiga funktsioonidega kirjeldatavates olekutes võib osake 
viibida ainult lõplikus q piirkonnas (kui  ψ (q) 2 > 0  lõpmata suures piirkonnas, siis 
integraal hajub). Kui pidevale spektrile vastavas olekus funktsiooni norm on lõpmatu, siis 
osakese viibimise tõenäosus lõpmatus piirkonnas on erinev nullist. 
 
 
24. Delta funktsioon 
 
Diraci  δ -funktsioon ei ole tegelikult üldse funktsioon. δ – funktsiooni kasutatakse 
füüsikas ja on tegelikult lühendatud märkimisviis, mis lihtsustab tunduvalt arvutusi  
keerulistes piirprotsessides. Deltafunktsioonil on ainult siis mõte sees, kui ta on integraali 
märgi all, millel on järgnev efekt: 
 
∞
f (x)δ (x)dx = f (0)
∫
 (24.1) 
−∞
 
Erijuhul, kui  f (x) = 1, siis 
 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
18 
∞ δ(x)
∫
dx = 1.  (24.2) 
−∞
 
Kui singulaarne punkt on lokaliseeritud suvalises punktis x, siis 
 
∞
f (x')δ (x'−x)dx' = f (x).
∫
 (24.3) 
−∞
 
Välja arvatud selles singulaarses punktis  x = 0, 
 
δ (x) = .
0  (24.4) 
 
Seega,  δ (x) käitub täiesti tavalise funktsioonina  peaaegu igal pool. See funktsioon 
kaob kõikides nendes punktides, kus funktsiooni argumendid pole nullid, kuid selles ühes 
punktis (singulaarses punktis) on deltafunktsioon määramata. Hoolimata selle funktsiooni 
käitumisest selle punkti lähedal, on see kõik mis on selle funktsiooni juures tähtis. 
Integraal igast reaalsest funktsioonist, mis läheneb piiramatult nullile väljaspool 
singulaarset punkti peab olema null, hoolimata funktsiooni enda väärtustest selles 
singulaarses punktis. Seega, mitte ükski funktsioon, mis rahuldab võrrandit (24.4) ei saa 
rahuldada võrrandeid (24.1) ja (24.2). Neid võrrandeid peab interpreteerima sümboolse 
märkimisviisiga, mida me järgnevalt ka käsitleme. 
Olgu  δ (x
) meil võrrandisüsteem, mille parameetriks on indeks α , millel on 
omadused: 
 
limδα (x) =
 
kui
 ,
0
x ≠ 0
α →0
∞
 (24.5) 
lim f (x)δα (x)dx = f (0)
α → ∫
0 −∞
 
Me võiksime ju tulemuse saada, kui tähistaksime „ limδ (x
)” Diraci funktsiooni 
α →0
δ (x)-ga ja vahetaksime piirväärtuse ja integraali, kuid üldjuhul kahjuks sellist vahetust 
teha ei saa. Algupärased võrrandid, mis defineerivad δ -funktsiooni peavad jääma 
piirprotsessis võrrandis (24.5) samaks. 
Vaatleme  mõningaid võrrandite süsteeme, millel on võrrandi (24.5) omadused. 
 
1) Lihtsaim võimalik võrranditesüsteem, millel on sobiv piirväärtusele lähenev 
käitumine, on näidatud joonisel 1. Funktsioon δ (x  on defineeritud (c>0) järgmiselt. 
c
 
⎧1
c
 
kui
 ,
x ≤ ,
δ (x
 
c
) ⎪⎪
≡ c
2
⎨
c
⎪
 
kui
 ,
0
x > .
⎩
2
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
19 
 
 
Joonis 1 Deltafunktsiooni kõige lihtsam esitus. 
 
+∞
Siit näeme selgelt, et  limδ (x
, kõigi  x ≠ 0  korral. Ka  δ (x
c
) =1, sõltumatult c-
c
) = 0
∫
c→0
−∞
st. Funktsioon δ (x  (siin on see funktsioonina) on defineeritud kõigi  c ≠ 0  korral ja 
c
piirväärtus 
 
∞
lim δ (x
 
c
)dx
c→0 ∫
−∞
 
on defineeritud ja võrdub 1-ga. Ka 
 
∞
lim f (x)δ
 
→
∫
c (x)dx
f (0),
c 0 −∞
 
Mida võib ka näidata formaalselt pideva funktsiooni  f (x)  korral järgmiselt: 
 
∞
c
c
lim f (x)δ x dx
f x δ x dx
f x dx ; 
c ( )
2
2
= lim
( ) c( ) =
1
lim
( )
c→0 ∫
c→0 ∫
c→0
∫
c
−∞
−c
−c
2
2
nüüd kasutame integraali keskväärtuse teoreemi arvutamises, 
 
c
c
2
f (x)dx = f ( c
ξ ) 2dx = cf ( c
ξ ),
∫
∫
 
−c
−c
2
2
1
1
kus  −