Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus
Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1)
1.1 VÕRRAND. VÕRDUS. SAMASUS Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks on võrdused 5 + 3x = 33,5; 2 3 = 6 ; (a + b)(a b) = a2 b2; 3- 1= 2. Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub
Võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0. Sellel võrrandil võib olla · täpselt üks lahend · lahendid võivad puududa · lõpmata palju lahendeid Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi
Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Et mõlemas võrrandis on x kordajad võrdsed, siis võime kohe lahutada esimese võrrandi
2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0. Kui jagame võrduse 3x2 = 0 mõlemad pooled arvuga (3), siis saame võrrandi x2 = 0, millest
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada;
.., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt x0, y0, y0(n-1) ϵ D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y (n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend – võrrandi (1) lahendite pere y = y(x, C 1, C2, ..., Cn), mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1, ..., Cn ja mille puhul iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) = є D jaoks leiduvad konstantide väärtused C10, C20, ..., Cn0, nii et lahend y = y(x,C10,...,Cn0) rahuldab algtingimusi (2). Erilahend – võrrandi (1) lahend, mis on saadud konstantide fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine – üldkuju F(x, y, y', ..
a Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide x Lahendame võrrandi 1,5 . 5 Lahendus Läheme üle samaväärsele võrrandile, tuues paremal pool oleva lineaarliikme vastandmärgiga vasakule poole võrdusmärki: x 1,5 0. 5 Saadud lineaarvõrrandi lahendiks on 1,5 3/ 2 35 15 1 x 7 . 1/ 5 1/ 5 2 1 2 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
koondada. ÜLESANNE 1 KOONDA SARNASED LIIDETAVAD 1) 5a-6a+7b+b= 2) 4a-24a+15b= 3) 4(25+15a)= 4) 4(-1-5a)+30a-15b= ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) VASTUS: 5a-6a+7b+b=-1a+8b 2) VASTUS: 4a-24a+15b=-20a+15b 3) VASTUS: 4(25+15a)=100+60a 4) VASTUS: 4(-1-5a)+30a-15b=-4+10a-15b 3.4 VÕRRANDITE SAMAVÄÄRSUS Võrrand – tundmatut sisaldav võrdus 2x – 5 = 3 ühe tundmatuga lineaarvõrrand Võrrandi lahend – arv, millega tundmatut asendades saadakse võrrandist tõene võrdus Võrrandi lahendamine – võrrandi lahendi leidmine Võrrandi lahendamisel tuleb tihti võrrandit mitmel moel teisendada (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine jm). Seejuures ei tohi võrrandi lahend muutuda. Iga uus võrrand, mis teisendamisel saadakse, peab olema antud võrrandiga samaväärne. Kahte sama tundmatuga võrrandit, millel kõik lahendid on samad, nimetatakse
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a).
Hariliku Dv Def. Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks, selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb
4 4 2( 3 y + 2a ) z - 2a 2 z 2 - 13a 2 44) - = 45) = 3- 2 y+a a- y y2 - a2 z + 3a z - 9a 2 46)Millise parameetri korral on võrrandil positiivne lahend 4 5 = 3 x - a ax - 2 47) Võrrandit lahendamata leia võrrandi x 2 - 5 x + 3 = 0 lahendite ruutude summa. (19 ) 48)Millise k korral on võrrandi x 2 - 4 x - k = 0 üheks lahendiks -3 ? ( k = 21) 49) Millise k väärtuse korral on võrrandi x 2 - kx + 4 = 0 üheks lahendiks 0,5 ? (k = 8,5) 50) Võrrandi lahendid on x1 jax 2 . Võrrandit lahendamata leia ( x1 - x 2 ) .Võrrand on 2
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10
tähestikulises järjekorras. Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. Kui pärast sulgude avamist tekib sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võrrand: Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab muutajat ehk tundmatut. Muutuja väärtuse leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks ning saadud muutuja väärtust võrrandi lahendiks. Muutuja väärtuseks peab olema arv, mis asendades võrrandisse muutja asemele saan tõese võrduse. Võrrandeid nimetatakse samaväärseteks, kui nende lahendid on võrdsed ja nad sisaldavad samu muutujaid. Võrrandi põhiomadused: 1) Võrrandi pooli võib vahetada ilma märke muutmata. 2) Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.
mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... . Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*. Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod. Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit. 3 Harilik iteratsioonimeetod Uurime võrrandi f (x) = 0 (1.24.1) ligikaudset lahendamist. Esitame võrrandi (1.24.1) kujul x = g (x) . (1.24.2) Selleks on palju võimalusi, kusjuures üks lihtsamaid on valik g (x) = x + cf (x), kus c 0 on mingi reaalne konstant. Olgu arv x0 võrrandi (1.24.1), seega ka võrrandi (1.24.2),
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist
Murdvõrrandi lahendamine 9. klass Mis on murdvõrrand · Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 3 8 on murdvõrrand x4 x3 6 ei ole murdvõrrand 5 Murdvõrrandi lahendamine 1 · Viime kõik võrrandi liikmed võrrandi vasakule poolele ning anname siis sellele algebralise murru kuju: A( x) 0 B( x) · Kasutame murru nulliga võrdumise tunnust: murru väärtus võrdub 0-ga, kui tema lugeja võrdub 0-ga A( x) A( x) 0 0 B( x) B( x) 0 A( x) Võrrandi viimine kujule 0 B( x) Kõik liikmed tuleb kirjutada
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1
.., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y(n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend võrrandi (2) üldlahendiks piirkonnas D nim suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y=y(x;C), mis rahul tingimust : iga pnkti (xo;yo) D korral leidub konstdi C selline väärtus Co; et lahend y=y(x;C) rahuld algtingimust y( x0)= Erilahend võrrandi (2) erilahend on lahend, mis on saadakse konstandi C fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine üldkuju F(x, y, y', ..
Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite koostamine ja lahendamine 1. Arvu ja tema vastandarvu korrutis on 9. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame otsitava arvu tähega x. Vastandarv on siis x ja nende arvude korrutis x . (x) = x2. Saame võrrandi x2 = 9. Selle teisendamisel saame x2 9 = 0; (x + 3) (x 3) = 0; x + 3 = 0 või x 3 = 0 x = 3 või x = 3. Otsitav arv võib olla 3 või 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2
Juuly 96 x–4 96 x−4 96 Kuna Maaly töötas 2 päeva vähem, siis murd on 2 võrra väiksem murrust x 96 , seega x−4 96 96 lahendame võrrandi +2= . x x−4 Selleks teisendame võrrandi vasakut poolt ja seejärel kasutame võrde põhiomadust: 96 + 2 x 96 = , x x−4 (96 + 2 x )( x − 4) = 96 x, 96 x − 384 + 2 x 2 − 8 x = 96 x, 2 x 2 − 8 x − 384 = 0, x 2 − 4 x − 192 = 0. Selle võrrandi lahenditeks on 16 ja (–12). Teine lahend ei sobi ülesande tingimuste tõttu, sest pole võimalik krohvida –12 m2 pinda.
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6
Negatiivsete ja positiivsete arvudega arvutamine 1) Liidan samamärgilised arvud ja vastuses sama märk Lahutan erimärgilised arvud ja vastuses absoluutväärtuselt suurema arvu ees olev märk (see, mis on nullist kaugemal) 2) Märgid korrutamisel ja jagamisel Kaks samamärgilist annavad alati positiivse vastuse ja kaks erimärgilist annavad alati negatiivse vastuse Võrrandi omadused Kõiki liidetavaid võib jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga Liidetavaid võib viia vasakult paremale ja vastupidi kui muudad liidetava ees oleva märgi vastupidiseks Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8 Korruta võrrandi mõlemat poolt sobiva arvuga, nii et vabaned murdudest x y 1 3 5 3
kulunud aeg Mati puhul x +2 . Kati distantsi läbimiseks kulunud aja leidsin sama valemit kasutades, 20 selleks on x . Mati Kati V (kiirus) x+2 x s (distants) 20 km 20 km t (distantsi 20 20 läbimiseks x +2 x kulunud aeg) Nende andmete põhjal koostasin võrrandi. Teada on, et kiirem suusataja Mati läbis distantsi 20 minutit kiiremini kui aeglasem suusataja Kati. Koostasin võrrandi – kiiremal suusatajal distantsi läbimiseks kulunud ajast lahutasin aeglasemal suusatajal Katil distantsi läbimiseks kulunud aja. Vastus oli ülesandes ette antud, 1 see oli 20 minutit. 20 minutit teisendasin 3 tunniks, sest valemis kasutatakse tunnimääratlust. 20 20 1 x - x +2 = 3
0,125x=z% x=100% 0,125x*100/x=12,5% Vastus: teravilja mass vähenes 12,5%. 2. Kaupluse kaks filiaali müüsid ühe kuuga kokku 360 jalgratast. Järgmisel kuul müüs esimene filiaal 12% ja teine filiaal 10 % rohkem jalgrattaid kui esimesel kuul, müües kokku 400 jalgratast. Mitu jalgratast müüs kumbki filiaal järgmisel kuul? Lahendus: Oletame, et esimene filiaal müüs x ja teine y jalgratast. Ühe kuuga müüdi kokku 360 jalgratast, saame võrrandi x+y=360. Teisel kuul müüdi jalgrattaid vastavalt esimeses filiaalis 12% rohkem ehk 0,12x tükki rohkem, seega x+0,12x=1,12x tükki, ja teises filiaalis 10% rohkem ehk 0,1y tükki rohkem, seega y+0,1y=1,1y tükki. Kokku müüdi teisel kuul 400 jalgratast, siit saame võrrandi 1,12x+1,1y=400 { x+y=360 Lahendada tuleb võrrandisüsteem 1,12x+1,1y=400 Saame, et x=200 ja y=160
1. Ligikaudse arvu absoluutne viga on
...
Võrrandil on mõned omadused: 1) Võrrand vastab tõele, kui mõlemad pooled on samaväärsed NÄIDE: 4x=8 , kui sa saad leiad x väärtuse , siis pead seda ka kontrollima asendades x'i (või mõne muu tähe) sinu saadud väärtusega.Kui mõlemad pooled on samaväärsed, siis on võrrand õige. 2)Võrrandis saab liikmete pooli vahetada NÄIDE: 4x-34+9 = 6x- 65+ 2x Võrrandi liikmete poolte vahetamine käib nii, et sa võtad arvud, kus on sees tundmatu (seekord x) ja viid kõik need arvud ühele poole , kuid sa pead vahetama selle ees oleva märgi , kui sa viid selle teisele poole näiteks viime tundmatut sisaldavad arvud vasakule poole (4x-34+9 = 6x- 65+ 2x) , kuna 4x on juba vasakul pool, siis teda liigutama ega ta märki muutma ei pea, kuna 6x on paremal pool ,siis viime selle vasakule, muutes selle märki seega 4x-6x... sama lugu on ka 2x'iga ,kuna see
Eksponentvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas. Näiteks võrrand 4 3 + 8 0,1 - 4 = 0 on eksponentvõrrand. x x Võrrand 2 x 2 - 4 = 0 ei ole eksponentvõrrand (on ruutvõrrand). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine Eksponentvõrrandi lahendamiseks puuduvad üldised võtted, seetõttu vaatleme mõningaid erivõtteid. 1. Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide Lahendame võrrandi 0,125 x -1 = 2 4 x. 0,125 x -1 =2 4x (1 / 8) x -1 =2 4x (2 -3 ) x-1 = 2 4 x 2 -3 x + 3 = 2 4 x
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ..
Parabooli ekstsentrilisus on suurus , kus r on parabooli mistahes punkti kaugus fookusest ning d sellesama punkti kaugus juhtsirgest. Kuna need kaugused on parabooli definitsiooni põhjal võrdsed, võrdub parabooli ekstsentrilisus ühega. 3 PARABOOL Tähistame sümboliga p fookuse kaugust juhtsirgest. Osutub, et parbooli kanoonilise võrrandi koostamiseks on vaja teada ainult suurust p ning parabooli haripunkti. Parabooli kanoonilise võrrandi kuju sõltub sellest, kuhu poole parabool avaneb: üles, alla, vasakule või paremale. Järgnevalt on kõiki nelja juhtu kirjeldatud, seejuures parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0; 0). 4 PARABOOL
järku arvtuletised argumentide y,y’,.., y järgi,mis on ka pidevad prks D.Siis iga punkt (x0,y0,.., y 0n−1 )€D korral on Cauchy ül. parajasti 1 lahend. Ühesuse tingimused-olgu fn f pidev piirkonnas D,olgu tal olemas I järku osatuletised argumentide y,y',...,y n-1 järgi,mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkt (x0,y0,...,y0n-1)ϵD korral on Cauchy ülesandel parajasti 1 lahend. Üldlahendiks nim. võrrandi (1) lahendite n−1 y=y(x,C1,...,Cn),mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1,...,Cn ja mille puhul iga punkti (x0,y0,.., y0 0 0 0 0
...............................................3 2.Harilik iteratsioonimeetod........................................................................................................4 3.Kasutatud kirjandus..................................................................................................................7 1. Mis on iteratsioonimeetod? Iteratsioonimeetodiks nimetatakse teatud võtet võrrandite, võrrandisüsteemide, ekstreemumülesannete jms. Ligikaudseks lahendamiseks. Enamus võrrandi f(x) = 0 ligikaudsetest lahendamismeetoditest on nn iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) Täpsustatakse alglähendit nõutava täpsusteni. Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend
Uued mõisted ja valemid Kahe tundmatuga lineaarvõrrand: 1) pooled vahetada- ei muutu ükski märk 2) „Iga roju oma koju“- üksikuid liikmeid võib viia ühelt võrdusmärgi poolt teisele, selle liikme ees olev märk muutub. 3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks
1) 17 2)31 3) 39 4) 42 10. Punkt liigub mööda sirgjoont, keha poolt läbitud teepikkuse võib arvutada valemi 2 s( t ) = 2 sin 4t + , leia vähim ajahetk, millal on keha kiirus on 4 . 3 1) 0,125 2) 0,25 3) 0,333 4) 0,375 5 -4 B-1 Arvuta +6 5 . 5 +2 B-2 Leia võrrandi 13 3 2 -2 x + 3 5 -2 x = 1080 lahend või lahendite summa. ( ) B-3 Leia võrrandi log 4 x 2 - 7 x + 49 = log 2 ( 2 x - 7 ) lahend või lahendite summa. log 0, 5 tan 3 3 3 - 2 7 9 arcus cos( - 0,5) - 3 2
( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5 2) kaks lahendit Nt: x2 = 9 x = 9 x1 = 3 x2 = -3
bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2.
nende üksliikmete kuupide vahega · Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis pluss teine liige kuubis · Kahe üksliikme vahe kuup võrdub esimene liige kuubis miinus kolmekordne esimese korrutis miinus teine liige kuubis · Liitmisvõte 1. Teisendan võrrandid normaalkujule 2. Korrutan võrrandi(d) sobivalt valitud arvu(de)ga nii, et ühe paari tundmatute kordajad oleksid teineteise vastandarvud 3. Liidan võrrandite vastavad liikmed 4. Lahendan saadud võrrandi 5. Asendan saadus tundmatu väärtuse ühte võrrandisse, lahendan võrrandi 6. Teen Kontrolli esialgse süsteemi põhjal 7. Kirjutan vastuse
Lahendid puuduvad: L = Ø. C) Kui diskriminant D < 0, siis ruutvõrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid. Parabool ei lõika ega puuduta x telge. 2 ax2 + bx + c > 0 Lahendiks sobib iga reaalarv: L = R. ax2 + bx + c > 0 Lahendid puuduvad: L = Ø. Näide 7. Lahendame võrratuse x2 3x + 2 > 0 (< 0; 0; 0). Lahendus. Lahendame võrrandi x2 3x + 2 = 0 ja saame x1 = 1 ja x2 = 2. Parabool y = x2 3x + 2 avaneb ülespoole ja lõikab x telge punktides, kus x = 1 ja x = 2. Jooniselt loeme kõikide võrratuste lahendihulgad. 1. Kui x2 3x + 2 > 0, siis L = ( ; 1) (2; ). 3 2. Kui x2 3x + 2 < 0; siis L = (1; 2). 3. Kui
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut trollolloo Kodutöö S-2 Variant nr 11 Jäiga keha toereaktsioonide leidmine tasapinnalise jõusüsteemi korral Tallinn 2011 Variant 11. 1) Lisan x,y teljestiku, avaldan Q . Q= l*lq Q= 0,5*4=2kN Y X I 1) Leian X'i projektsioonide võrrandi. Et on 45 kraadi ning on täisnurk, eeldan, et kui jõule P joonistada täisnurkne kolmnurk nii, et P on hüpotenuusiks tekib nurk : 2, mis on 45 kraadi, sest ka nurk on 45 kraadi. Xa+ P*sin /2=0 2) Leian Y'i projektsioonide võrrandi. Ya-Q-P*cos /2=0 3) Leian momentide võrrandi punkti A suhtes. Sealjuures eeldan, et kuna kolmnurk CBD on täisnurkne ning ülejäänud kaks nurka on omavahel võrdsed on kolmnurk ka võrdhaarne, st CD=BD.
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine LIITMISVÕTTEGA Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja kõrvaldamises ehk elimineerimises võrrandite liitmise või lahutamise kaudu ning tulemuseks saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus leida. Teise muutuja väärtuse saame, kui asendame leitud muutuja väärtuse ühte esialgsetest võrranditest. x+2y=11 *(5) 5x3y=3 1.) Viin võrrandi normaalkujule. 5x10y=55 2.) Liidan võrrandid. 5x3y=3 3.) Lahendan saadud võrrandid
järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks avaldiseks on kahe korrutise vahe. ¢ a1 ² a c a1c2 a2 c1 Näide 1: Kui neli arvu a, b, c ja d on võrdelised, s.t. , siis a·d = b·c a2c1 a2b1y + a1b2y = c2a1 y . (*)
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1 = 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1 Kirjutan välja karakteristliku võrrandi: $ - 2 - 8 = 0 Leian karakteristliku võrrandi lahendid. = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2 Seega on rekurrentse võrrandi lahend: = I# 4 + I$ (-2) Leian I# ja c$ . I# 4# + I$ (-2)# = 1 4I# - 2I$ = 1 4I# = 1 + 2I$ I# = 0,25 + 0,5I$ I# 4 + I$ (-2) = 1 $ $ 16I# + 4I$ = 1 16(0,25 + 0,5I$ ) + 4I$ = 1 4 + 8I$ + 4I$ = 1 12I$ = -3 I$ = -0,25 I I# = 0,125 Vastus: = 0,125 4 - 0,25 (-2) ÜLESANNE 2 Koostan rekurrentse seose
Matemaatiliste valemite loomine 1. Käivita programm Word: StartKõik programmidMicrosoft OfficeMicrosoft Word 2010. 2. Matemaatilised valemid leiad menüüst Lisa. Menüüst vali Võrrand (vajuta nupul). 3. Avaneb mitmeid valikuid erinevatest võrrandi koostamise variantidest. Vali endale sobiv. Omaenese soovide kohaselt võrrandi koostamiseks vajuta tekstile Lisa uus võrrand. 4. Lehele tekib kast kuhu saad sisestada oma valemi.
Tööleht 1 Täida tööleht programmi GeoGebra abil. 1. Missugused järgmistest lahendipaaridest on võrrandi x + 2y = 3 lahendiks? (On lahend / ei ole lahend) (3; 0) On lahend (0,5; 2) Ei ole lahend (-1; 5) Ei ole lahend (2; 1) Ei ole lahend (-5; 4) On lahend (4; -0,5) On lahend (1; 1) On lahend
Neutralisatsioonireaktsioon Neeme Katt Neutralisatsioonireaktsioon Happe ja aluse vahel H+ + OH H2O HCl + NaOH H2O + NaCl Na OH + H Cl H OH + Na Cl Punase kapsa mahl Neutralisatsioonireaktsiooni võrrandi koostamine · Koostame lähteainete valemid, kasutades ioonilaenguid · Kirjutame välja saadused soola ja vee · Koostame soola valemi, kasutades ioonilaenguid · Tasakaalustame võrrandi Neutralisatsioonireaktsiooni tähtsus · Soolade valmistamine · Happeliste muldade ja veekogude neutraliseerimine lubjaga · Happelise või aluselise keemiareostuse likvideerimine · Esmaabi hapete või leeliste sattumisel nahale, riietele · Maomahla ülehappesuse neutraliseerimine
Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil.
Funktsiooni väärtuse Funktsiooni väärtus Andmete arvutamise koht kohal x ARVUTA sisestamine x1= y1= a= x2= y2= Nupu "ARVUTA" vajutamisel b= x3= y3= lahendatud võrrandi vastus: n= x4= y4= h= x5= y5= 2,6242658837 x6= y6= x7= y7= x8= y8= Gr x9= y9= x10= y10= x11= y11= 12
annaabi.ee 
