Kvantmehaanika 2 (0)

MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  35
II OSA 
Lainevõrrand. Statsionaarsed olekud . 
 
27. Schrödingeri võrrand 
 
Schrödingeri võrrand on mikromaailma mehaanika ehk kvantmehhaanika 
lainepõhivõrrand. 
Schrödinger lähtus oma võrrandi koostamisel üldisest lainevõrrandist, mis kirjeldab 
igasuguseid (hääle-, veepinna -,elektromagnet- jne) laineid ja sulandas selle de Broglie  
h
seosega  λ =
. Saadud võrrand on diferentsiaalvõrand, s o võrrand, mis sisaldab 
p
muuhulgas ka tuletisi. Diferentsiaalvõrrandi lahendid pole arvud, nagu algebralisel 
võrrandis, vaid funktsioonid, antud juhul siis leiulainet esitavad lainefunktsioonid. 
Kvantmehhaanika kirjeldab laineid. Nende lainete kuju ja ajalist käitumist 
iseloomustab nn  lainefunktsioon  ψ . Teades osakesele mõjuvaid jõude, on võimalik leida 
vastav lainefunktsioon nn Schrödingeri võrrandi lahendamisel. Suvalise laine 
põhiparameetriteks on tema  lainepikkus , sagedus ja hälve. 
2
Lainefunktsiooni absoluutväärtuse ruut  ψ  on võrdeline tõenäosusega leida 
osakest vastavas ruumipunktsi ja vastaval ajahetkel. 
 
2
2
2
∂ ψ
∂ ψ
∂ ψ
8π
+ me (E − E
 
p )ψ = 0
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
h
 
Elektroni liikumishulga moment on kvanditud ning see võib saada ainult ülaltoodud 
väärtusi. 
Schrödingeri võrrandi lahendid sisaldavad mitte ainult ringikujulisi, vaid ka elliptilisi 
orbiite . Sellega seoses võrrandi võimalikud lahendid sisaldavad peale kvantarvu n ka 
orbitaalkvantarvu l, mis määrab orbiidi geomeetria. 
Erinevalt klassikalisest füüsikast lubab kvantmehhaanika üldjuhul ennustada vaid 
teatud sündmuste toimumise tõenäosusi. See ei ole tingitud mitte kvantmehhaanika 
piiratud võimalustest, vaid peegeldab mikromaailma toimuvate protsesside olemust. 
Ei ole põhimõtteliselt võimalik vältida uurija mõju uuritavale nähtusele või objektile . 
 
Oletame, et superpositsiooniprintsiip kehtib mistahes ajahetkel. Siis kirjeldab 
olekufunktsiooni muutumist ajas mõnesugune lineaarne operaator   Lˆ , s o 
 
∂
d ψ = Lψdt  
= Lψ . (27.1) 
t
t
∂
 
Eeldusel , et olekufunktsioon ψ  annab maksimaalse informatsiooni mikroobjektide 
kohta ning et kehtib põhjuslik seos olekute vahel, peab funktsioon ψ  mistahes ajahetkel 
olema määratud tema mõnesuguse algväärtusega. Seepärast võime nõuda, et operaator  Lˆ  
ei sisaldaks diferentseerimis- ega integreerimisopeperatsioone aja suhtes. Aeg t võib 
sisalduda operaatoris  Lˆ  ainult parameetrina. 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  36
Vaatame, missugune klassikalisest mehhaanikast tuntud füüsikaline suurus vastab 
operaatorile  Lˆ . Selleks leiame seose (27.1) klassikalise vaste. 
i S
Valides lainefunktsiooni kujul ψ
e h
, saame 
 
∂
i
S
∂
ψ , 
t
∂
h t
∂
 
i
S
∂
s t  piirjuhul vastab operaatorile  Lˆ  avaldisega 
  korrutamine . Teiselt poolt, 
h t
∂
S
∂
klassikalises   mehhaanikas   −
= H , kus H on Hamiltoni funktsioon. Seega võime 
t
∂
h
operaatorit  
− Lˆ  analoogia põhjal nimetada Hamiltoni operaatoriks ehk 
i
hamiltoniaaniks ja tähistatakse sümboliga  Hˆ . Võrrandi (27.1) kirjutame 
 
∂
− h
= ψ
H
. (27.2) 
i
t
∂
 
Võrrand (27.2) kanab lainevõrrandi  ehk Schrödingeri võrrandi nime ja on 
kvantmehhaanika nn Schrödingeri esituse põhivõrranidks. 
Operaatori  Hˆ  kuju sõltub konkreetsest füüsikalistest tingimustest. Lihtsamatel 
juhtudel on ta hõlpsasti leitav, lähtudes vastavast klassikalise Hamiltoni funktisooni 
avaldisest. Näitame, et operaator  Hˆ  on hermiitiline. Lähtume olekufunktsiooni normi 
jäävusest, milles väljendub mikroobjektide enda jäävus. Siis võime kirjutada 
 
d ∫
2
ψ dq ∫ ∂
*ψdq ∫ ∂
+ ψ *
dq = 0.  (27.3) 
dt
∂t
∂t
 
Seosest 
 
∂
i ˆ
= − Hψ ;
t
∂
h
 
∂ *
i
= ( ˆψ
H
)*.
t
∂
h
 
näeme, et  
 
∫( ˆHψ )*ψdq = ∫
ψ * Hψdq,  
 
m o t t. 
Olgu  ψ  väärtus mingil ajahetkel  t = 0   ψ , siis võime võrrandi  ˆ
S (t) ˆ ˆ
S
L (t)ψ = ϕ  
0
0
0
lahendi kirjutada 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  37
 
ψ (t) ˆ
= S(t)ψ ,  
0
 
kus  Sˆ(t) on mõnesugune lineaarne operaator, mis rahuldab tingimust 
 
S (0) = 1.  
 
Kaaskomplektsne olekufunktsioon avaldub järgmiselt 
 
ψ (t) = (ˆ
S(t)ψ
 
0 )* .
 
Olekufunktsiooni normi jäävuse tingimusest 
 
ψ (t)ψ (t)dq = ∫(Sˆ
(t)
ψ * ψ
ψ *
ψ *ψ
 
0 ) S (t )
dq =
S
0
0
(t)S(t)
∫
∫
dq =
0
∫
dq
0
0
 
järeldame, et  
 
ˆ +
S (t ) ˆ
S (t ) = 1  ehk  ˆ +
ˆ −1
S
= S ,  (27.4) 
 
−
kus 
1
ˆ −
S  on operaatori  Sˆ  pöördoperaator, s o  ˆ 1 ˆ
ˆ ˆ 1
S S =
−
S
S
= .
1  Operaatorit, mis 
rahuldab tingimust (27.4) nimetatakse unitaarseks. 
 
 
28. Statsionaarne olek 
 
Kui Schrödingeri võrrandis  
 
∂
− h
Hˆ
= ψ  (28.1) 
i
t
∂
 
operaator  Hˆ ei sisalda aega t, võime funktsioonis ψ (q,t) muutujad eraldada: 
 
ψ (q,t) = ϕ(q)f (t). 
 
Kui tähistame muutujate eraldamise konstanti tähega E, saame  
 
df
− h
= Ef ,  (28.2) 
i dt
Hˆϕ(q) = Eϕ(q) . (28.3) 
 
Hˆ  hermiitilisuse tõttu peab konstant E võrrandis (28.3) olema reaalne. Kuna ajast 
sõltumatu  Hˆ  on koguenergia operaator, on (28.3) energia omaväärtusprobleemi võrrand 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  38
ja parameetri E võimalikud väärtused annavad süsteemi (osakese) energiaspektri. Olgu 
võrrandil (28.3) lahend ϕ (q  parameetri E mõnesuguse väärtuse  E = E  korral, s t 
k
k
 
Hϕ = E ϕ .  
k
k
k
 
Võrrandist (28.2) saame vastavalt  
 
−
k
f t = e h
. (28.4) 
k ( )
i E t
 
Järelikult on ajast sõltumatu  Hˆ  korral Schrödingeri võrrandi (28.1) erilahendid 
avaldatavad kujul: 
 
−
k
k
ψ q t = ϕ q e h
 
st (
i E t
, )
k (
 
Olekuid , millele vastavad funktsioonid on esitatavad valemiga (28.4) (ajaline sõltuvus 
puhtperioodilise kompleksse funktsiooni kujul), nimetatakse statsionaarseteks olekuteks. 
Statsionaarsetes olekutes ei sõltu tõenäosusjaotus ajast, kuna 
 
(k )
= ϕ
 
st
2
2
q, t )
(q) .
 
Statsionaarsed olekud on energia omaolekud, kuna 
 
(k)
( )
k
Hψ
= E ψ .  
st
k
st
 
p 2
H =
+U (r,t)
Schröningeri võrrandi 
 mistahes lahendi (ajast sõltumatu  Hˆ  korral) 
2m
võime esitada statsionaarsete olekufunktsioonide superpositsioonina 
 
ψ (
i
− E t
k
q, t ) = ∑ a ϕ q e h
 
k
k (
k
 
Konstantsed arenduse kordajad  ak arvutatakse algtingimustest. Olgu algtingimuseks 
ψ (q,t = 0) =ψ q)  
0 (
Siis 
 
ψ (q) = ∑a ϕ q . (28.5) 
0
k
k (
k
 
Kui korrutame  avaldise (28.5) mõlemaid pooli funktsiooniga ϕ *  ja integreerime, 
i
arvestades ON-tingimusi 
 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  39
∫ϕ *ϕ dq = δ , 
i
k
ik
 
saame  
 
a = ϕ *
 
k
k
(q) q dq
0 (
∫
 
 
29. Impulsi operaator 
 
Füüsikaliste suuruste operaatorite leidmiseks piisab, kui teame koordinaadi- ja 
impulsiooperaatoreid. Need on järgmised: 
 
ˆx = x   
, ˆy = y   
, ˆz = z,  
∂
∂
∂
pˆ = −ih
  
, pˆ = −ih
  
, pˆ = −ih
 
x
x
y
∂
y
z
∂
z
∂
 
ehk lühemalt kirjutades 
 
ˆr = r   
, ˆp = − h
i
∇  
 
Nagu näha, on impulsioperaator seotud gradiendioperaatoriga ja koordinaadioperaator 
võrdub vastava koordinaadiga ja kujutab seega arvuga korrutamise operaatorit. 
Impulsipoeraator aga diferentsiaaloperaatorit korrutatud  − h
i -ga. 
Ülejäänud füüsikaliste suuruste operaatorid  on saadavad järgmise vastavusprintsiibi 
alusel. Vastava klassikalise suuruse avaldises tuleb koordinaadid ja impulsid asendada  
vastavate operaatoritega. 
 
30. Impulsi omaväärtuste spekter  
 
Impulsi omaväärtuste spekter on pidev, kõik väärtused on võimalikud. 
 
 
31. Määramatuse printsiip 
 
Kvantmehhaanikast järeldub, et mitte kõik klassikalised suurused ei ole samaaegselt 
mõõdetavad. Nende suuruste korral ühe suurue täpsem mõõtmine viib sellele, et teise 
füüsikalise suuruse määramise täpsus väheneb. Matemaatiliselt väljendub samaaegselt 
mittemõõdetavus määramatuse seoste kujul. 
Kvantteooriast saame, et näiteks mingi koordinaatteljesihiline koordinaat ja impulss  
ei ole samaaegselt mõõdetavad. Olgu x-koordinaadi määramatus  x
∆  ja vastava impulsi 
px määramatus  p
∆ . Vastav määramatuse seos avaldub kujul 
x
 
h
∆x∆p ≥ . 
x
2
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  40
 
Analoogilised seosed saame ka y- ja z-telje korral: 
 
h
∆ ∆
y p ≥
y
2  
h
∆z∆p ≥ .
z
2
 
Määramatuse seosest on näha, et koordimaati ja  impulssi ei ole põhimõtteliselt 
korraga täpselt määrata. Määrates näiteks asukoha täiesti täpselt,  ∆x = ,
0  on impulsi 
määramatus lõpmata suur,  ∆p = ∞ , ja vastupidi. Kvantteooria erineb seetõttu 
x
oluliselt klassikalisest mehhaanikast. Klassikalise mehhaanika mõisted ei iseloomusta 
mikroosakest., sest mikroosakesel pole samaaegselt kindlat asukohta ja impulssi (ning 
seega ka kiirust). 
Teadse füüsikaliste suuruste operaatoreid, saab nende suuruste samaaegselt 
mõõdetavust kindlaks teha järgmiselt: kaks füüsikalist suurust on samaaegselt 
mõõdetavad parajasti siis, kui neile vastavad operaatorid kommuteeruvad 
( AˆBˆ = BˆAˆ ); kui aga operaatorid ei kommuteeru, siis vastavad suurused pole 
samaaegselt mõõdetavad ning nende jaoks kehtivad määramatuse seosed. Kui 
operaatorid  Aˆ  ja  Bˆ  
hc
Rahuldavad seost  ˆ B
A ˆ − ˆA
B ˆ = i
− c
h , siis kehtivad määramatuse seosed  ∆a ⋅ ∆b ≥
. 
2
Määramatuse printsiibi kohaselt ei eksisteeri niisuguseid füüsikalisi tingimusi, kus 
vaadeldava obkjektis kõik dünaamilised karakteristikud eviksid kindlaid väärtusi (s t, kus 
nende korduv mõõtmine annaks sama tulemuse). Teatud karakteristikute paaride 
väärtuste dispersioonide (määramatuse vahemike) vahel on olemas korrelatsioon, mida 
väljendavad määramatuse seosed. Osutub, et kanoonilise paari määramatuse vahemike 
korrutis ei saa üheski olukorras suurusjärgult väiksemaks Plancki konstandist  h . Sellest 
järeldub ka, et makrofüüsikas kaob vastav korrelatsioon, kuna makroskoopiliste 
mõjudega võrreldes on  h  kaduvväike suurus. 
Määramatuse printsiip on aluseks mikroobjektide mõõtmisteooriale näidates, mis liiki 
informatsiooni on võimalik saada. Määramatuse relatsioone kasutatakse mitmesuguste 
suuruste väärtusvahemikkude hindamiseks (nt energia suurusjärgud ja nivoode laiused 
nitmesugustes süsteemides). 
 
 
32. Kuidas tõlgendada määramatuse relatsiooni energia ja aja vahel? 
 
Määramatuse seos kehtib ja energia ja aja vahel: 
 
∆ ∆
E t ≥ h , (32.1) 
 
kus 
E
∆  on efektiivne energiavahemik, millesse langevad mõõdetavad 
energiaväärtused, 
t
∆  - ajavahemik, mille vältel mõõtmisi teostatakse. Kuna  t
∆  
suurusjärk ei saa ületada süsteemi keskmist eluiga antud olekus, siis teades näiteks 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  41
aatomi keskmist eluiga ergastatud olekus, saame arvutada valemi (32.1) põhjal vastava 
energianivoo loomuliku laiuse . 
 
 
33. Impulsi operaatori tuletamine 
 
Osakese koguenergia H avaldub kineetilise ja potentsiaalse energia summana: 
 
2
p
H =
−U (x, y, z). 
2m
 
Vastav operaator on saadav asendusega  p → ˆp ,   p → pˆ ,  p → ˆp ,   x → xˆ , 
x
x
y
y
z
z
ˆ 2
p
y → yˆ ,  z → zˆ :  ˆ
H =
+ U (ˆx, ˆy, ˆz). 
2m
Arvestades, et koordinaadioperaatorid võrduvad vastavate koordinaatidega, saame 
U (xˆ, yˆ, zˆ) = U (x, y, z), s t potentsiaalse energia avaldis jääb samaks nagu klassikalisel  
juhul. Arvutame nüüd operaatori  2
ˆp : 
 
ˆ 2
p = ˆ 2
p + ˆ 2
p + ˆ 2
p .  
x
y
z
 
Operaatorite korrutise definitsioonist  
 
∂ ⎛
∂ψ ⎞
∂ ψ
2
ˆp = ˆp
ψ − h ⎜− h
⎟ = −h
 
x
x ( ˆ
px )
2
2
i
i
2
x
∂ ⎝
x
∂ ⎠
x
∂
 
ehk 
 
2
∂
ˆ 2
2
p = −h
.  
x
2
x
∂
 
Analoogiliselt saame  
 
2
∂
2
∂
2
2
ˆp = −h
 ja  2
2
ˆp = −h
 
y
2
z
y
∂
2
z
∂
 
Seega 
 
⎛
2
∂2
2
∂2
∂2 ⎞
ˆp = −h ⎜⎜
 
2
2
2 ⎟
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
 
ehk 
 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  42
ˆ 2
2
p = −h .
∆  
 
 
34.  Impulssmomendi komponentide ja ruudu kommuteeruvus 
 
2
M , M , M , M  
1
2
3
Projektsiooni operaatorid ei kommuteeru, nende väärtused ei ole üheaegselt 
mõõdetavad. 
Ruuduga kommuteeruvad kõik. Nt võib olla korraga määratud m ja l. Teised 
projektsioonid on samal ajal superpositsioonis. S tVõime samaaegselt mõõta 
impulssmomendi ruutu ja tema ühte komponenti. 
 
 
35. Impulssmomendi komponendi omaväärtuste spekter 
 
Impulssmomendi komponentide omaväärtuste spekter on diskreetne . Tema 
komponentide väärtused on Plancki konstandi täisarvkordsed ( m = ,
0 ± ,
1 ± ,
2 ± ,...
3
) 
 
µ = h .
m  
 
 
36. Milline lainefunktsiooni nõue tingib impulssmomendi diskreetsust? 
 
Impulssmomendi diskreetsust tingib lainefunktsiooni ühesuse nõue. 
 
 
37. Millised on M2 omaväärtused? 
 
Impulsimomendi operaatori ruuduga kommuteeruvad üksikult kõik impulsimomendi 
komponendid  Mˆ
Mˆ
Mˆ
. 
x
y
z
Kuna kommuteeruvatel operaatoritel on ühised omefunktsioonid, siis tuleks 
lahendada järgmine omaväärtusülesanne: 
 
2
2
M Y = M Y ,  
M Y = L Y.
z
z
 
Sellisel omaväärtusülesandel on järgmised lahendid: 
 
ˆ m
2
Y
L
= h l l + Y
l
( )1 m,
l
 
m
m
L Y
= hmY ,
z
l
l
 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  43
kus kvant arvul l võivad olla väärtused 0, 1, 2, 3, ... ja  kvantarvul m võivad antud l 
korral olla väärtused  (2l + 1)  väärtust:  m = l, l −
1
,...,
1
0 − ,...,
1
−l + ,
1 −l.  
Kvantarvu l nimetatakse orbitaalseks kvantarvuks, kuna ta iseloomustab tsentraalses 
väljas liikuva osakese impulsimomenti (nn orbitaalset liikumist). Kvantarvu m 
nimetatakse  magnetiliseks kvantarvuks, kuna tema iseloomustab energianivoode 
lõhenemist välises magnetväljas. 
 
 
38. Kuidas on seotud M3 ja M2? 
 
M 2 = l(l + )
1 h2
m = m
2
h
 
m ≤ l
− l ≤ m ≤ l
 
 
39. Milliseid tingimusi rahuldab lainefunktsioon potentsiaaliseina juures? 
 
Funktsioon peab ka seina juures olema pidev.??? 
 
40. Kuidas seletada olekute ja energia väärtuste diskreetsust lõpmata sügavas 
potentsiaaliaugus? 
 
Lainefunktsioon langeb seina juure 0-iks. Kuid lainepikkusi mahub auku täpselt 
täisarvkorda. Augus on sinusoidaalne lainefunktsioon. Seal peab olema täisarv 
poollaineid, kus igale vastab oma energia 
 
 
 
41. Miks ei saa osakese energia potentsiaaliaugus olla 0? 
 
Siis pole ju osakest üldse olemas. Ja määramatuse printsiip ei luba. Koodrinaadi 
määramatus ja impulsi määramatus on lõplik. Kui impulss on 0, siis on ta ju määratud. 
 
∆ ∆
x p =
 
x
h
∆p ≠ 0 ⇒ ∆x ≠ ∞  
 
42. Kuidas jaguneb laine, kui osake kohtab potentsiaalibarjääri? 
 
Osa sellest peegeldub tagasi, osa aga läbib barjääri, kui barjäär on lõpliku suurusega. 
 
 
43. Tunnelefekt. Selle sõltuvus barjääri mõõtmetest. 
 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  44
Klassikalise teooria järgi saavad osakesed liikuda ainult esimeses piirkonnas. 
Kvantteooria järgi aga osa osakesi läbib potentsiaalitõkke. Seda nähtust nimetatakse 
tunnelefektiks. 
Koguenergia korral on tõkke läbilaskvus seda suurem, mida madalam ja kitsam on 
tõke. Tõkke läbilaskvustegur D iseloomustab ühtlasi tõkke läbimise tõenäosust. 
 
 
44. Lineaarne harmooniline ostsillaator 
 
Ostsillaator – võnkuja 
Harmooniline – võnkumine siinuse järgi 
 
Aatomid ja molekulid kristallvõres. 
Harmoonilisele võnkumisele saab taandada ka keerukamate võnkumiste juhte, nagu 
näiteks aatomite võnkumised molekulides. Tahkekehateooria ja väljateooria mitmed 
probleemid on taandatavad harmoonilise ostsillaatori ülesandele. 
Kui jõud, mis viib süsteemi tasakaaluasendi poole võrdub hälbega, siis nimetatakse 
seda harmooniliseks ostsillaatoriks.näiteks molekulid kristallvõres. 
 
 
 
45. Kvantmehhaanilise ostsillaatori erinevus klassikalisest 
 
1)  Ostsillaatori kogu energiaspekter on diskreetne ja tasemed  mittekõdunud 
⎛
1 ⎞
E = hω
. 
n
⎜n + ⎟
⎝
2 ⎠
1
2)  Ostsillaatori minimaalne energia  E =
 on tingitud määramatuse seosest 
0
hω
2
koordinaadi ja impulsi vahel, mistõttu esinevad nn nullvõnkumised. Klassikaline 
tasakaaluolek , kus koordinaadil ja impulsil oleksid korraga kindlad väärtused 
x = ,
0 p = 0 , ei eksisteeri. 
3)  Harmoonilise ostsillaatori statsionaarsed olekud on iseloomustatud kindla 
paarsusega  (− )n
1 . 
 
 
46. Spinn  
 
Spinne on kahte tüüpi: poolearvulised fermionidel ja täisarvulised bosonitel ehk 
vaheosakestel. 
Spinn – omaimpulsmoment 
 
 
47. Maatriksite 
korrutamine 
 
Rida korda veerg. 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  45
 
48. Elektroni spinni projektsiooni omaväärtused 
 
Projektsioonid: ½ ja -½. 
h
S = ±
. 
2
h - mõjukvant, ühik [J*s] 
 
49. Eristamatuse printsiip 
 
Kui süsteemi kuuluvad osakesed alluvad eristamatuse printsiibile, siis on nad ühte 
liiki, vastasel korral mitte. Eristamatuse printsiibi kohaselt kaotavad süsteemi kuuluvad 
osakesed oma individuaalsuse. 
Hamiltoniaani konstrueerimisel ei tohi eristamatuse printsiibi kohaselt  mistahes i-
ndaja k-nda osakese vahetamine kajastuda süsteemi käitumisel, s t ühte liiki osakeste 
süsteemi hamiltoniaan on invariantne mistahes osakeste paari vahetamise suhtes. 
 
 
50. Bosonid ja fermionid . Näited 
 
Kooskõlas eristamatuse printsiibiga jagunevad kõik osakesed kahte suurde klassi – 
bosoniteks ja fermionideks. 
Bosonid –  vaheosakesed (nt footonid, gluuonid ), nende spinn on 1 ja nad alluvad Bose-
Einsteini statistikale. Nende olekufunktsioon on sümmeetriline (paarsus). 
Fermionid – elementaarosakesed (nt elektronid, tauonid, müüonid, kvargid ), nende spinn 
on poolearvuline ning nad alluvad Ferm-Diraci statistikale. Nende olekufunktsioon on 
asümmeetriline (ta ei ole invariantne ruuniteisenduste suhtes).  
Fermionide kohta kehtib Pauli printsiip: tõenäosus leida fermionide süsteemis kahte 
osakest ühes ja samas kvantolekus on null. 
 
 
51. 
Potentsiaalid aatomis 
 
Aatom koosneb elektronidest, tuumast ning mõjuvad elektrostaatilised jõud. Omavahel 
elektronid tõukuvad omavahel ja seal on tegemist tõukuvate väljade potentsiaaliga. 
Elektronid ja tuum aga tõmbuvad, seega seal on tegemist tõmbuvate väljade 
potentsiaalidega. 
Ühe osakese potentsiaal on kõik temale mõjuvae potentsiaalide summa. 
 
2
e
U
 
1 2
r ,12
C = h = 1
2
Ze
 
U
= −
1t
r ,12
 
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  46
52. Vesinikusarnane aatom 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53. Vesinikusarnase aatomi lainevõrrand 
 
⎡
2
∆ − m (E −U )⎤ψ = 0
⎢
 
2
⎥
⎣
h
⎦
 
 
54. Energia pidevuse ja diskreetsuse sõltuvus potentsiaalist 
 
Energia spekter on pidev siis, kui potentsiaal on positiivne, diskreetne siis, kui 
potentsiaal on negatiivne. 
 
 
55. Elektroni kvantarvud aatomis. Nende võimalikud väärtused 
 
Peakvantarv n – eristab seisulaineid, mis on moodustunid keralaineist (radiaalselt 
levivast lainest, ringlained). Selle kvantarvu väärtuseks võib olla suvaline  positiivne 
täisarv. Määrab energiataseme. 
Orbitaalkvantarv l – määratleb orbitaallained, mis on sündinud tuuma läbiva telje 
ümber läbivaist laineist. Kuna l on seotud elektroni tiirlemisega, määrab ta ühtlasi 
elektroni orbitaal -impulsimomenti (pöördeimpulsi) L. Orbitaalkvantarv iseloomustab 
elektroni liikumishulga momentdi absoluuväärtust. l-ist oleneb orbiidi kuju – l=0, s-
orbitaal, l=1, p-orbitaal, l=2, d-orbitaal, l=3, f-orbitaal. Väärtuse on diskreetsed ja 
täisarvkordsed. 
 
Magnetkvantarv ml  – määrab orbitaallainete tiirlemistelje (impulsivektori  L ) 
orientatsiooni ruumis. Elektroni seisulaine tervikuna moodustab radiaalselt ja orbitaalselt 
kulgevate lainete summana. Magnetkvantarvu väärtusteks on  m = − ,
2 −
0
1
+ ,
1 +2.  
l
MLK 6004 Kvantmehhaanika 
  47
 
Spinnkvantarv ms – spinn on omaimpulsimoment, millel võib olla ainult kaks 
väärtust: + ½ ja - ½. 
 
 
56. Antiosake . Elektroni antiosake 
 
Antiosake on täpselt samasuguste omadustega, nagu osake, ainult et tema laeng on 
täpselt vastupidine . Näiteks prootoni antiosake on antiprooton, neutroni antiosake on 
antineutron ning elektroni antiosake on positron ja ta on vastaslaenguga. Vooton on oma 
antiosakesega aga täiesti identne. 
 
 
57. Paari teke ja annihilatsioon  
 
Kui vaakumile anda piisavalt energiat, siis tekib osake ja tema antiosake. Kui osake 
oma antiosakesega aga kokku põrkab, siis vabaneb gamma kvant energiana ning osake ja 
antiosake annihileeruvad. 
 
 
58. Kvargid 
 
Kvargid on subatomaarsed osakesed, milles koosnevad prootonid ja neutronid ning 
paljud teised osakesed. 
Kvarkide perekondi on kokku kolm, neil on murrulised laengud: 
 
Kvark  Laeng 
u ehk up 2/3 
d ehk down -1/3 
c ehk  charm  2/3 
s ehk  strange  -1/3 
t ehk top 2/3 
b ehk  bottom  -1/3 
 
Prooton koosneb u u d kvarkidest, neutron d d u kvarkidest.