Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria (0)

Vektor . Joone võrrand. Analüütiline  geomeetria . 
Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium 
 
Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: 
analüütiline  geomeetria  tasandil,  mida  õpetatakse  nii   kitsas   kui   laias   kursuses  10.  klassi 
viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 
12.  klassis.  Esimene   kursus   kannab  pealkirja  „Vektor  tasandil.  Joone  võrrand“  nii  laias  kui 
kitsas matemaatikas, kuid erinevused  sisus  on olulised. 
 
Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle 
koordinaate;  liitma  ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt 
kui  ka  koordinaatkujul;   arvutama   vektori  pikkust;  leidma  vektorite  skalaarkorrutist  ning 
tundma  vektorite   ristseisu   ja  kollineaarsuse  tunnuseid.  Õpilane  koostab  sirge  võrrandi,  kui 
sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe  punktiga  ning määrab 
sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab 
sirgeid,  paraboole  ja  ringjooni  nende  võrrandite  järgi  ning  koostab  ringjoone  võrrandi 
keskpunkti   ja  raadiuse  järgi.  Samuti  peab  õpilane  oskama  leida  joonte  lõikepunkte,  kui  üks 
joontest on sirge, ja  lahendama  rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite 
abil. 
 
Laias  kursuses  peab  õpilane  –  lisaks  eelnevale  –  selgitama  ka  kahe  vektori  vahelist  nurka, 
lahendama  kolmnurka  vektorite  abil,  leidma  lõigu  pikkust  ja  selle  keskpunkti  koordinaate, 
koostama   sirge  võrrandit  ka  punkti  ja  sihivektori  kaudu  ning  teisendama  kõiki  sirge 
võrrandeid  üldkujule.  Õpilane  leiab  ka  kahe  sirge  vahelise  nurga,  koostab  hüperbooli, 
parabooli  ja ringjoone võrrandeid ning leiab kahe joone lõikepunkte. 
 
Soovitan kõigil õpetajatel tutvuda kirjastuse  Avita  poolt välja antud raamatuga „Gümnaasiumi 
kitsas   matemaatika   III.  Vektor  tasandil.  Joone  võrrand“.  Õpik  on  ladusas  keeles,  rohkete 
illustratsioonidega, järgib hästi  ainekava  ning sisaldab rohkesti  elulisi  ülesandeid. Ülesannete 
raskusaste  on  kitsale  kursusele  vastav.  Laia  kursuse  jaoks  sobivad  ka  senini  käibel  olnud 
õpikud, kuid ainekava tuleb tõesti tähelepanelikult jälgida. 
 
Enne  vektori  mõiste  sissetoomist  peaks   kordama   üle  need  teadmised,  mis  puudutavad 
koordinaatteljestikku  ja  punkti  koordinaate.  Selleks  sobib  kitsa  kursuse  õpiku  alguses  olev 
lähtetest. Õpetaja otsustab klassi tasemest lähtudes, kas selle võib anda koduseks kordamiseks 
või  on  otstarbekam  neid  ülesandeid  tunnis  koos  arutada.  Edasi  valib  juba  õpetaja,  kas  ta 
alustab  lõigust  ja  selle  keskpunktist  või  vektori  mõistest.  Lõigu  keskpunkti  koordinaatide 
leidmine  tundub  õpilastele  alguses  väga  lihtne  ja  loogiline  olevat,  kuid  pärast  vektori 
koordinaatide  tundmaõppimist  leitakse  keskpunkti  asemel  poolt   vektorit .  Sellisele 
põhimõttelisele  veale  tuleb  tähelepanu  juhtida  ning  minu  arvates  aitab,  kui  õpilane  ise  oma 
tehet suuliselt kommenteerib: “Leian lõigu AB keskpunkti K koordinaadid, selleks ….“, mitte 
„Leian pool  vektorist   AB “. 
 
Vektori  mõiste  sissetoomisel  tuleb  rõhutada,  et  vektorit  iseloomustavad  kolm  omadust:  siht, 
suund  ja  pikkus.  Selgitada  tuleb  sõnade  „siht“  ja  „suund“  erinevust.  Kindlasti  ei  saa  jätta 
selgitamata, et matemaatikas räägime vabavektorist ja füüsikas seotud vektorist.  
 
Varasemates  õpikutes  olid   tehted   vektoritega  geomeetriliselt  ja  analüütiliselt   vaheldumisi . 
Panin  tähele,  et  õpilastele  osutuvad  raskemaks   geomeetrilised   tehted.  Soovitan  kõigepealt 
tegelda vektorite liitmise,  lahutamise  ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 
 
1 
2 
4 
3 
 
Joonis 1 
 
Rääkides  vektoritest  (joonis  1),  mis  on  samasuunalised  või  vastassuunalised,  jõuame 
kollineaarsete  vektoriteni  ning  vektori  korrutamiseni  arvuga.  Vektorite  liitmisel  on  kõige 
olulisemaks  kolmnurga  reegel  (1),  mida  mitu  korda  järjest  rakendades  jõuame   hulknurga  
reeglini.  Kasulik  on  näidata  ka  rööpküliku  reeglit  (2).  See  töötab  hästi,  kui   vektorid   on  juba 
ühisesse  punkti  rakendatud.  Oluline  on  ka  fakt,  et  rööpküliku  teine  diagonaal  on  nende 
vektorite   vaheks   (3).  Geomeetriliste   tehete   juures  vektoritega  on  oluline,  et  igal  korral 
märgataks,  kuidas  vektorid  rakendatakse  (järjestikku  või  ühisesse  alguspunkti)  ja  milline 
vektor on tulemuseks. 
 
Kahe  vektori  vahe  mõiste  tuleb  kas  pähe  õppida  või  näidata  kohe  alguses,  et  vektori 
lahutamise saab  asendada  vastandvektori liitmisega. Kunagi ammu õpetati vektorit põhikooli 
viimases  klassis  ja  tolleaegses  töövihikus  olid  väga  head  ülesanded.  Enne  vektori 
koordinaatide  leidmist  on  aeg  sisse  tuua  ühikvektorid  ning  näidata  vektori  avaldamist  nende 
kaudu.  Vektori  koordinaatide  leidmise  reeglit  on  vaja  osata  selgitada  (lugeda).  Vektori 
pikkuse  leidmine  on  ju   Pythagorase   teoreemi  rakendamine.  Analüütilises  geomeetrias  on  tal 
väga  oluline  koht.  Tehteid  vektoritega  koordinaatides  on  võimalik  koordinaatteljestikus 
joonistega  kinnitada.  Oluline  mõiste  on  „punkti  kohavektor“.  Liiga  lihtne  mõiste   kipub  
meelest ära minema. Soovitan õpetajal teha õpilastele nende teemade käsitlemisel väiksemaid 
töid ja hoolikalt kontrollida tähistusi. Õpilaste tähelepanu tuleb ka vigadele juhtida. 
 
Näiteks pakun etteütlust. Kirjuta sümbolites: 
a)  punkti A x- koordinaat  on -2 ja y-koordinaat on 1; 
b)  vektori  AB  koordinaadid on 2 ja -6; 
c)  kui  (
A ;
2 )
3  ja  B( ;
3 − )
1 , siis lõigu AB keskpunkti K  koordinaadid on … 
r
r
d)  vektori  a = (− ;
2 )
3  lõpp-punkti koordinaadid, kui vektor  a  on rakendatud punkti 
A(3;4) on …... 
Nüüd  on  tarvis  juhtida  tähelepanu,  et  punkti  koodinaatide  puhul  ei  kasutata  võrdusmärki, 
vektori  koordinaatide  juures  aga  kasutatakse.  Seega  ka  lõigu  keskpunkti  koordinaatide 
leidmisel ei kasutata võrdusmärki.  
 
Tublimatele õpilastele võib anda järgmise ülesande: 
Leia kolmnurga ABC raskuskeskme koordinaadid, kui A(4;5), B(2;-5) ja C(-3;0). 
2
Traditsiooniline lahenduskäik (joonis 2) näeks ette, et leitakse mediaan  AK , seejärel 
AK ; 
3
nüüd rakendatakse saadud vektor punkti A ning saadakse punkti R koordinaadid. 
 
Joonis 2 
 
Kui  küsida,  kas  keegi  tegi  seda  teisiti,  siis  leidub  ehk  õpilane,  kes  leidis  kolmnurga  tippude 
vastavate  koordinaatide  aritmeetilise  keskmise  ning   saigi ,  et  R(1;0).  Seega  saab  püstitada 
 x + x + x
y + y + y
1
2
3
1
2
3 
hüpoteesi, et  R
 , kui kolmnurga tippude koordinaadid on  (x ; y , 
1
1 )

3
3

(x ; y  ja  (x ; y . Nüüd tuleb see vaid üldkujus ära näidata. Soovitan proovida. Järgmisel 
3
3 )
2
2 )
sügisel mäletatakse hästi, et terve tahvel sai tõestust täis. 
 
Kasutades  joonist  2  tahan   veelkord   juhtida  tähelepanu  kohavektori  mõistele.  Kui  rakendada 
vektor  AR = (− ;
3 −5)  punkti  A(4;5),  siis  punkti  R  koordinaatide  saamiseks  ei  saa  öelda,  et 
liidan  punkti  A  koordinaatidele  vektori  AR   koordinaadid;  õige  oleks,  et  punkti  A 
kohavektorile  OA   liidan  vektori  AR   ja  saan  punkti  R  kohavektori  OR = ( 0
1 ),  millest 
järeldan, et R(1;0).  
r
r
r
r
Vektorite  skalaarkorrutise  a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosϕ   definitsiooni  võib  küll  pähe  õppida  ja 
rakendamise  selgeks saada, kuid tema füüsikalisest tähendusest on ka tarvis aru saada.  
Olgu meil tarvis vedada liivakott (joonis 3) punktist A punkti K. Kasutame vedamiseks jõudu 
r
F , mis moodustab vedamise suunaga nurga  ϕ . Füüsikast teame, et liikumise suunaline jõud 
teeb tööd (A), mis on võrdne selle jõu suuruse ja läbitud tee pikkuse korrutisega. Läbitud tee 
r
F
r
T
r
S
 
Joonis 3 
r
r
pikkus on lõigu AK ehk vektori  AK pikkus  AK . Jõud  F  lahutub kaheks komponendiks  T  
r
r
(vertikaalsuunaline,  ei avalda kasulikku jõudu) ja  S  (liikumissuunaline). Vektori  S  pikkuse 
saame avaldada kolmnurgast ABL. Saame, et  
r
S
r
AB
r
r
cosϕ = r = r ,  millest  S = F ⋅ cosϕ   ning  jõu  töö  avaldub  kujul  A = AK ⋅ F ⋅ cosϕ . 
F
F
Jääb   loota ,  et  uutes  õpikutes  on  rohkem  füüsikalise  sisuga  ülesandeid.  Matemaatikas 
kasutame me skalaarkorrutist vektorite vahelise nurga leidmiseks.  Laias kursuses  lahendame  
kolmnurka vektoreid ja skalaarkorrutist kasutades. 
 
Sirgete  teema  ei  ole  gümnaasiumis  uudiseks,  sest  lineaarfunktsiooniga  tegeldi  juba 
põhikoolis. Võibki alustada sirgete joonestamisest etteantud valemi järgi. Näiteks  y = 2x − 3 , 
1
y =
5
0 x + 1   ja  2x + 4 y = −8   asuvad  joonisel  4.  Joonestamisega  koos  saab  meelde  tuletada 
2
lineaarfunktsiooni liikmete nimed ja  kordajate  tähendused. 
 
Joonis 4 
Järgmisena laseksin õpilastel  joonestada  sirgeid erinevate andmete põhjal. Näiteks: 
a)  antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(2;-4); 
b)  antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus 1; 
c)  antud on punkt D(2;-3) ja sirge tõusunurk 
o
60 ; 
r
d)  antud on punkt E(-4;-2) ja  sihivektor   s = (
1
3
; 
e)  antud on punkt F(5;2) ja on teada, et sirge on paralleelne y- teljega ; 
f)  antud on punkt G(0;-4) ja on teada, et sirge on paralleelne x-teljega; 
g)  sirge läbib punkti H(5;-4) ja on paralleelne  sirgega   y = 2x − 3 ; 
1
h)  sirge poolitab koordinaattasandi II ja IV veerandi; 
i)  sirge poolitab koordinaattasandi I ja III veerandi. 
Saame järgmise joonise (vt joonis 5): 
 
 
Joonis 5 
 
Märkame, et suudame sirgeid joonistada erinevate andmete järgi. Kas me suudame ka sirgete 
järgi võrrandid välja mõelda?  Vaatleme  saadud jooniseid ja püüame leida nende tõusud ning 
algordinaadid.  Mõnel  juhul  see  õnnestub  hästi,  mõnel  juhul  peame  vastuse  andma  väga 
ligikaudselt. Järelikult on joonisest vähe ja tuleb teadmisi laiendada. 
Asudes   tuletama  sirgete  võrrandeid,  peab  meeles   pidama ,  et  kitsas  kursuses  koostatakse 
võrrandit  kahe  punkti,  punkti  ja  tõusu  ning  punkti  ja  algordinaadi  abil;  lisaks  ka  telgedega 
paralleelsete  sirgete  võrrandid.  Laias  matemaatikas  koostatakse  sirge  võrrandit  ka  punkti  ja 
sihivektori  abil  ning  teisendatakse  sirgeid  üldkujule.  Eks  iga  õpetaja  otsustab  ise,  kas  ta 
tuletab need võrrandid eraldi või võtab kõik koos korraga ette. Kitsas kursuses võiks seda teha 
ükshaaval. Laias kursuses võib kasutada ka sirge tõusu väljakirjutamist mitmel  erineval  viisil. 
 
Joonis 6 
Olen  oma  praktikas  seda  kasutanud.  Joonistan  ühe  sirge  (joonis  6)  ja   kannan   sinna  kõik 
sirgete  võrrandite   koostamiseks   vajalikud  andmed  (2  punkti,  tõusunurk,  sihivektor,  sirge 
suvaline   punkt,  lõikepunkt  y-teljega).  Märkame  koos  õpilastega,  et  sirge  tõusu  saab  esitada 
mitmel  moel.  Sirge  tõusuks  on  tõusunurga   tangens ,  mida  saab  avaldada  kõigist  joonisele 
tekkinud 
kolmnurkadest 
ja 
ka 
sihivektori 
koordinaatide 
abil. 
Saame, 
et 
y − y
y − y
y
1
2
1
s
k = tanα =
 
x − x
x − x
x
1
2
1
s
(1.) 
(2.) 
(3.) 
(4.) 
(5.) 
Kui  neid  nüüd  2-kaupa  kokku  panna,  saame  kõikvõimalikud  sirgete  võrrandid.  Näiteks 
y − y
x − x
annavad  3.  ja  4.  osa  sirge  võrrandi  kahe  punkti  abil 
1
1
.  Kui  sellesse 
y − y
x − x
2
1
2
1
võrrandisse  asendada  punktid  x-  ja  y-teljelt,  saame  sirge  võrrandi  telglõikudes.  Kui  aga 
nimetajas   olevaid  punktide  koordinaatide  vahesid  vaadelda  vektorite  koordinaatidena,  siis 
y − y
x − x
ongi  meil  sirge  võrrand  punkti  ja  sihivektori  kaudu 
1
1
.  Võrduse  1.  ja  3.  osa 
y
x
s
s
annavad  sirge  võrrandi  punkti  ja  tõusu  kaudu  y − y = k x − x ,  millest  omakorda  saab 
1
1 )
punkti  A  punktiga  C  asendades  sirge  võrrandi  tõusu  ja  algorinaadi  järgi  y = kx + b .  Siit 
järeldus:  väga  hästi  peab  tundma  sirge  võrrandeid  kahe  punkti  ja  punkti  ning  tõusu  kaudu, 
kõik  ülejäänud  on  vaid  tõlgendamise  küsimus.  Oma   riigieksamite   hindaja   kogemustele  
toetudes  pean  tunnistama,  et  kõige  keerulisemaks  osutub  y-teljega  paralleelse  sirge  võrrandi 
kirjutamine, sest kõik funktsioonid algavad ju y = …., nüüd järsku näiteks  x = 3. 
Loomulikult võib sirgete võrrandid tuletada ka vektorite kollineaarsust kasutades. 
Sirgete  vastastikuste  asendite  määramist  on  õpitud  põhikoolis  (lineaarvõrrandite  süsteemi 
lahendite  arvu leidmine), nüüd saab ka teisi võimalusi pakkuda. Nurga leidmiseks kahe sirge 
k − k
vahel kasutatakse tavaliselt valemit 
2
1
tanϕ =
. Mida teha siis, kui valem meelest läks? 
1 + k k
1
2
Lihtne on sirgetevahelist nurka leida tõusunurkade vahena. Olgu ühe sirge tõus (joonis 7) k1 ja 
seega  tõusunurk  α =  arctan  k   ning  teise  sirge  tõus  k
β = arctan k ,  siis  nurk 
1
2  ja  tõusunurk 
2
sirgete  vahel  on  ϕ = α − β .  Lihtne  ja  töötab  alati.  Sirgetevahelise  nurga  leidmiseks  võib 
kasutada  ka  nende  sihivektoreid  või  normaalvektoreid  koos  skalaarkorrutisega.  Oluline  on 
õpilastele näidata, kuidas sirge võrrandist sihivektorite koordinaate lugeda.  
 
Joonis 7 
Normaalvektori  mõisteni  jõutakse  laia  matemaatika  12.  kursuses  „Geomeetria  I“.  Tasandi 
võrrandi  koostamisel  lähtutakse  normaalvektori  (tasandiga  risti  oleva  vektori)  ja  tasandil 
asetseva   vektori  ristseisust  ( skalaarkorrutis   on  võrdne  nulliga).  Nüüd  võib  näidata,  et  ka 
tasandil paikneva sirge võrrandit võib koostada sirgega risti oleva vektori (normaalvektori) ja 
sirgel  asuva  vektori  ristseisust  lähtudes.  Miks  see  hea  on?  Kui  sirge  on  antud  võrrandiga 
r
2x + 3y = 23 ,  siis  saame  võrrandist  lugeda  normaalvektori  n = ( ;
2
3 ,  mida  saaks  kasutada 
sirgete  vahelise  nurga  leidmisel  sihivektorite  asemel.  Normaalvektori  kasutamist  võibki 
näidata kas tasandi võrrandi õpetamise juures või eksamieelse kordamise ajal. 
 
Normaalvektorite  kasutamiseni  jõutakse  tavaliselt  alles  ruumigeomeetrias,  sest  ainekavasse 
jõuab  normaalvektori  mõiste  koos  tasandi  võrrandiga.  Seega  sobib  normaalvektor 
sirgetevahelise nurga leidmiseks eksamieelsel kordamisel. 
 
Sirgete  võrrandite  abil  saab  kirjeldada  ühtlast  liikumist,  temperatuuri  muutusi,  ürituse 
korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata 
õpikuid  ja  jälgi  meedias  toodud  graafikuid).  Saame  õpilastele  näidata,  et  õpitut  on  võimalik 
rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. 
 
Ruutfunktsiooni  ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on 
juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada – joonestada graafikuid nii  paberil  kui 
arvuti  abil,  meenutada  kõiki  ruutfunktsiooni  graafikuga  seotud  mõisteid  ( nullkohad ,  nende 
arv,   avanemine ,   telg ,  haripunkt,  lõikepunktid  telgedega).  Kitsa  kursuse  õppijad  sellega 
piirduvadki,  st  parabooli  ja  hüperbooli  võrrandeid  nad  koostama  ei  pea.  Laias  kursuses  võib 
õpetaja  graafiku  ette  anda  ja  lasta  joone  võrrandi  ära  arvata.  Näiteks  allpool  toodud 
− 5
0
9
hüperboolide  (joonis  8  ja  9)  korral  saame,  et  y =
  ja  y =
.  Vajalikud  andmed  tuleb 
x
x
õpilasel lugeda jooniselt, arutledes enne, milliseid fakte üldse vaja läheb. 
 
Joonis 8 
 
 
Joonis 9 
Analoogselt  saab  käituda  ka  parabooliga:  kõigepealt  skitseerime  graafiku  valemi  järgi,  siis 
analüüsime,  milliseid  andmeid  on  vaja,  et  valemit  joonise  järgi  tuletada.  Ühiselt  arutledes 
jõutakse  järeldusele,  et  valemis  y = ax 2 + bx + c   kordajate  a,  b  ja  c  määramiseks  vajame 
kolme punkti koordinaate. Võtame (joonis 10) punktid A(-1;4), B(1;0) ja C(2;4) ning asetame 
Joonis 10  
saadud koordinaadid võrrandisse. Saame 3 muutujaga kolmest võrrandist koosneva süsteemi 
a − b + c = 4

kordajate  a,  b  ja  c  suhtes: a + b + c = 0
.  Lahendades  saame:  a  =  2,  b  =  -2  ja  c  =  0  ehk 

4a + 2b + c = 4
y = 2x 2 − 2x .  Kas  saame  seda  teha  ka  teisiti?  Õpilased  pakuvad  kindlasti  kohe  nullkohti. 
Kasutades 
joonist 
11, 
saame, 
et 
x = −1 
ja 
x = 2 . 
Teades, 
et 
1
2
2
y = ax + bx + c = a(x − x
x − x
,  saame  y = a(x + )
1 (x − 2)  ning  tundmatuks  jääb  vaid 
1 )(
2 )
kordaja  a.  Selle  leidmiseks  valime  jooniselt  veel  ühe  punkti,  näiteks  (0;2).  Asendame  selle 
võrrandisse 
2 = a(0 + )
1 (0 − 2) 
ja 
saame, 
et 
a = −1 
ning 
valemi 
paraboolile 
y = − (
1 x + )
1 (x − 2)
2
= −x + x + 2 . 
 
Joonis 11 
 
Kindlasti on tarvis lahendada tekstist arusaamise oskusele suunatud ülesandeid. 
Näiteks:  leidke  ruutfunktsiooni  y = ax 2 + bx + c    kordajad ,  kui  x  =  6  on  ruutfunktsiooni 
nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. 
 
Kas õpilased saavad aru: 
•  et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8);  
•  seega parabool  avaneb  ülespoole; 
•   kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal 2 (sest parabooli telg on x = 4). 
Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. 
Iga  võtte  omandamiseks  tuleb  lahendada  teatud  arv  ülesandeid,  kuid  neid  tulebki  erinevalt 
esitada – sõnastada. 
 
Ringjoonega  on  tegeldud  põhikoolis   planimeetria   ülesandeid  lahendades.  Tuletage  meelde 
ringjoone  definitsioon  ja  näidake  ringjoone  võrrandi  saamist  koordinaatteljestikus.  Valem 
võib  õpilastel  meelest  minna,  kuid  tekkinud  pilt  peaks  jääma  silmade  ette.  Kindlasti  tasub 
toonitada, et me kasutame jälle Pythagorase teoreemi. Kitsas kursuses piirdutakse põhivalemi 
rakendamisega, st koostatakse ringjoone võrrand etteantud keskpunkti ja raadiuse järgi. Laias 
kursuses  saab  eelnevalt  lasta  leida  ka  võrrandi  kirjutamiseks  vajalikke  lähteandmeid.  Mulle 
endale  meeldivad  kombineeritud  üleanded,  kus  õpilane  peab  kasutama  erinevaid  teadmisi 
loovalt. 
 
Näiteks: kolmnurk ABC on antud oma  tippudega   A(-2;8), B(1;-1)  ja C(3;3) (joonis 12). 
*    Leia külgede AC ja BC pikkused ning kolmnurga sisenurk tipu C juures. 
*    Arvuta kolmnurga pindala. 
*    Leia vektori  AD koordinaadid ja pikkus, kui D on külje BC keskpunkt. 
*    Leia sirge AD võrrand. Millist nime kannab lõik AD kolmnurgas ABC? 
*    Leia külje AB keskristsirge võrrand ja tipust B tõmmatud kolmnurga kõrguse võrrand. 
*    Leia kolmnurga tippe läbiva parabooli võrrand. 
*    Leia kolmnurga ABC ümberringjoone võrrand. 
 
Joonis 12 
Selles  ülesandes  on  seotud  kogu  analüütilise  geomeetria  kursus.  Tuleb  märgata,  et  kogu 
lahendust   toetab  suurel  määral  joonis.  Õpilastel  on  võimalus  joonist  kogu  aeg  täiendada  ja 
visuaalselt   hinnata  oma  arvutuste  abil  saadud  tulemusi.  Pööran  tähelepanu  kolmnurga 
ümberringjoone  võrrandi  koostamise  erinevatele  võimalustele.  Senistel  riigieksamitel  on 
õpilased kasutanud selleks kolme moodust: 
1.  Otsitakse  ringjoone  keskpunkti  koordinaate  ja  raadiust.  Selleks  asendatakse  ringjoone 
võrrandisse  kolmnurga  tippude  koordinaadid  ja  saadakse  kolmest  muutujast  koosnev 
 − 2 − a)2 + (8 − b)2 = 2
r

süsteem (
 1− a)2 + (−1− b)2 = 2
r
.  

 3 − a)2 + (3 − b)2
2

= r
Sellise süsteemi lahendamise ideid peab õpetaja kindlasti näitama, sest õpilased ei pruugi ise 
ratsionaalse  võtteni jõuda. 
2. Kuna ühes alaülesandes on juba AB keskristsirge võrrand ( 3y − x = 11) leitud ja teades, et 
kolmnurga  ümberringjoone  keskpunkt  asub   keskristsirgete   lõikepunktis,   piisab ,  kui  leiame 
teise  keskristsirge  võrrandi.  Kasutame  selleks  külge  AC.  Selle  külje  keskpunkti  E 
3y − x = 11
koordinaadid on (0,5; 5,5) ja tõus   k = 1  (sest AC tõus on -1). Saame süsteemi  
, 
y − x = 5
millest ringjoone keskpunkti koordinaadid on O(-2;3) ja raadius 5 (näiteks OA pikkus). 
3.  Ringjoone  võrrandi  võib  anda  ka  kujul  2
2
x + y + ex + fy + g = 0 .  Kui  siia  asendada  nüüd 
4 + 64 − 2e + 8 f + g = 0

kolmnurga  tippude  koordinaadid,  saame  süsteemi:  1 + 1 + e − f + g = 0
,  millest  

9 + 9 + 3e + 3 f + g = 0
e  =  4,  f  =  -6  ja  g  =  -12.  Saame 
2
2
x + y + 4x − 6 y − 12 = 0 .  Soovi  korral  võime  saadud 
tulemuse teisendada kujule  (x + 2)2 + (y − 3)2 = 25 . 
Samuti  võib  lasta  leida  saadud  ringjoone  pikkust,  ringi  pindala  ja  ringjoonele  puutujate 
võrrandeid. 
 
Antud   kursust   saab  ainesiseselt  lõimida  „Funktsioonid  I“  kursusega,  planimeetria 
kordamisega ning laia matemaatika 12. kursusega. Ülesannete lahendamisega saab tähelepanu 
juhtida  läbivatele  teemadele  „Elukestev  õpe  ja  karjääriplaneerimine“  (hotelli  pidamine, 
liikluse   korraldamine  jne)  ,  „Keskkond  ja  jätkusuutlik  areng“  (ressursside  otstarbekas 
kasutamine),  „Teabekeskkond“  (leia  meedias  ilmunud   graafik   ja   koosta   ise  ülesanne)  ja 
„Tervis  ja  ohutus“  (sõidukite  liikumise  kiirust  ja  haiguste  levikut  puudutavate  graafikute 
uurimine ).  Samuti  saab  ülesannete  lahendamise  käigus  arendada  ettevõtlikkus-, 
enesemääratlus-ja  õpipädevust  ning  sotsiaalset  pädevust.  Ülesannete  keerukust  saab  valida 
vastavalt  klassi   tasemele ,  samas  saab  tublimatele  anda  keerukamaid  ja  mitterutiinseid 
ülesandeid ning lasta neil ka ise ülesandeid koostada.  Kolleegide  poolt valmistatud materjale 
leiab  Koolielu  portaalist   http://koolielu.ee/pg/waramu/browse2/curriculumSubject/78905838 
ning matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt:  http://mott.edu.ee. 
 
Laia  matemaatika  12.  kursuse  „Geomeetria  I“  lõppedes  peab  õpilane  oskama  kirjeldada 
punkti koordinaate ruumis, selgitama ruumivektori mõistet, tegema lineaartehteid vektoritega, 
teadma  vektorite  kollineaarsuse  ja  komplanaarsuse  tunnuseid  ning  vektorite  skalaarkorrutist, 
arvutama  kahe  punkti  vahelist  kaugust,  vektori  pikkust  ning  kahe  vektori  vahelist  nurka. 
Samuti tuletab õpilane sirge ja tasandi võrrandid ning kirjeldab sirge ja tasandi vastastikuseid 
asendeid, koostab sirge ja tasandi võrrandeid, määrab võrranditega antud kahe sirge ja tasandi, 
kahe  tasandi  vastastikuse  asendi  ning  arvutab  nurga  nende  vahel.  Õpilane  kasutab  neid 
teadmisi geomeetrilise ja füüsikalise sisuga ülesannete lahendamisel. 
 
Enne  ruumigeomeetria  juurde  asumist  tuleb  kindlasti  tuletada  meelde  10.  klassi  viimases 
kursuses  õpitu  ning  natuke  korrata  ka  tasandigeomeetriat  (kolmnurk,   ringjoon ,   puutuja   jne). 
Kohe  alguses  tuleb  aga  märkida,  et  selle  teema  käsitlemisel  on  suureks  abiks   Jane    Albre  
koostatud  dünaamilised  slaidid,  mida  on  kõigil  võimalik  kasutada.  Leiate  need 
matemaatikaõpetajate  virtuaalse  võrgustiku  kodulehelt,  lisaks  tasub  vaadata  ka  Koolielus 
olevaid  materjale.  Kursus  algab  punkti  asukoha  määramisega  ruumis  ning  kahe  punkti 
vahelise kauguse leidmisega. Siin oleks hea demonstreerida ka olukorda,  kus punktid jäävad 
pildil üksteise taha ja tundub, nagu kaugust ei  olekski . See on olukord, millega saame näidata, 
et joonis meid alati ei aita ja seega on tarvis appi võtta valemid. 
Olulisel  kohal  on   stereomeetria   asendilaused:  nurk  kahe  sirge,  sirge  ja  tasandi  ning  kahe 
tasandi vahel, sirgete ja tasandite ristseis ning paralleelsus, kolme  ristsirge  teoreem, hulknurga 
projektsiooni   pindala.  Neid  mõisteid  omandamata  pole  võimalik  hiljem  klassikalise 
stereomeetria  ülesandeid  lahendada.  Tuleb  tuua  hulgaliselt  näiteid  klassiruumist,  „mängida“ 
pliiatsite  (kui  sirge)  ja  raamatutega  (kui  tasand).  Võib  kasutada   ruumiliste   kehade   mudeleid , 
kus   servad   on  sirgeteks  ja  tahud  tasanditeks.  Suurt  tähelepanu  tuleb  pöörata  kolme  ristsirge 
teoreemile  ja  kahetahulise  nurga  mõistele,  mis   paljudele   lastele  jääb  arusaamatuks.  Nende 
mõistete  tundmiseta  pole  võimalik  lahendada  püramiidi  ülesandeid  järgmises  kursuses. 
Hulknurga  (kolmnurga)  projektsiooni  pindala  arvutamise  valemi  tuletamisel  aitab  kaasa  J. 
Albre vastav slaid ja kindlasti ka mudelite (kui neid koolis leidub) kasutamine.  
Tehted  vektoritega  ruumis  omandatakse  õpilaste  poolt  hästi  vaid  sel  juhul,  kui  ta  sai  need 
selgeks  10.  klassis.  Tuletades  seal  õpitu  kiiresti  meelde,  saab  väga  paljus   tugineda  
analoogiale.  Õpilased  jõuavad  kiiresti  järeldusele,  et  lisandub  ainult  kolmas  koordinaat  ning 
kõik  tehted  vektoritega  koordinaatides  toimuvad  analoogselt  tasandiga  (vektorite   liitmine , 
lahutamine,  korrutamine  arvuga, pikkuse ja skalaarkorrutise leidmine). Küll on aga tunduvalt 
keerulisem teha vektoritega tehteid geomeetriliselt. Eriti raske on see õpilastel, kellel puudub 
ruumitaju.  Vektorite  kollineaarsusele  ja  ristseisule  lisandub  nende  komplanaarsuse  mõiste. 
Õppekavas  pole  segakorrutise  mõistet  ning  seega  ei  saa  me  mittekomplanaarsust  siduda 
kolme vektoriga määratud rööptahuka ruumalaga. Küll võime arutada, kas nelja punktiga on 
määratud püramiid või mitte.  
Näiteks:  kas  punktid  A(-2;10;5),  B(4;-4;3),  C(3;4;7)  ja  D(2;-5;0)  võivad  olla  kolmnurkse 
püramiidi tippudeks? 
Nüüd peab õpilane mõtlema, milline on püramiid. Peab aru saama, et sel juhul on 3 punktiga 
määratud püramiidi põhi ja neljas on püramiidi tipuks. Järelikult ei saa nende nelja punkti abil 
moodustatud  vektorid  olla  komplanaarsed.  Seega  tuleb  tal  kontrollida,  kas  vektorid  on 
komplanaarsed  või  mitte.  Antud  näite  korral  osutuvad  vektorid  komplanaarseteks  ning 
järelikult ei saa need punktid esitada püramiidi. Oluline on ka näidata, et iga vektorit ruumis 
saab avaldada kolme mistahes mittekomplanaarse vektori abil.  
Asudes  koostama  sirgete  võrrandeid  ruumis,  tasub  meelde  tuletada  eelnev  tasandil.  Kui 
seejärel küsida, milliste andmete järgi saaksime kirjeldada sirget ruumis, siis kuulete ikka, et 
tõusu ja punkti abil, jne. Nüüd saabki küsida, kuidas nad kirjeldaksid ühe sirge tõusu ruumis – 
ja ei osata ära seletada. Kahjuks saamegi lähtuda vaid kahe vektori kollineaaarsusest. Oluline, 
et  õpilased  märkaksid  –  sirge  määravad  punkt  ja  sihivektor,  mida  me  alati  suudame  sirge 
võrrandist  lugeda.  Nende  abil  saame  otsustada  sirgete  vastastikuse  asendi  üle  ja  leida 
nendevahelise  nurga.  Võrreldes  tasandiga  lisandub  ruumis  uus  mõiste  –  kiivsed   sirged .  
Õpilane peab suutma leida ka sirgete lõikepunkti.  
Tasandi  võrrandi  koostamise  aluseks  on  kaks  võimalust:  1)  normaalvektori  ristseis  tasandil 
asuva  vektoriga  (normaalvektori  ja  tasandil  asuva  vektori  skalaarkorrutis  on  null);  2)  kolme 
vektori   komplanaarsus   (kolme  vektori  koordinaatidest  moodustatud  determinant  on  null). 
Kahe tasandi vastastikuse asendi määramiseks vajame nende normaalvektoreid, samuti saame 
nende abil (kasutades skalaarkorrutist) leida tasanditevahelise nurga. 
Sirge  ja  tasandi  vastastikuse  asendi  määrame  sirge  punkti  ja  sihivektori  ning  tasandi 
normaalvektori  abil.  Õpilane  leiab  ka  sirge  ja  tasandi  vahelise  nurga  (sihivektori  ja 
normaalvektori  skalaarkorrutist  kasutades)  ning  nende  lõikepunkti  (võrrandite  süsteemi 
lahendades). 
Õpetaja  võib  julgelt  toetuda  käibel  olevatele  õpikutele  (sobivad  ka  varem  ilmunud,  jälgige 
vaid  raskusastet)  ning  kasutada  kolleegide  poolt  valmistatud  õppematerjale,  mida  leiab  nii 
Koolielu kui matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt. 
 
 
Kasutatud kirjandus: 
1.   Tõnso, T.,  Veelmaa , A. (1998). Matemaatika X klassile. Tallinn:  Mathema . 
2.  Tõnso, T., Veelmaa, A. (1996). Matemaatika XII klassile. Tallinn: Mathema. 
3.  Lepmann,  L.,  Lepmann,  T.,  Velsker,  K.  (2002).  Matemaatika  10.  klassile.  Tallinn: 
Koolibri. 
4.  Lepmann,  L.,  Lepmann,  T.,  Velsker,  K.  (2003).  Matemaatika  12.  klassile.  Tallinn: 
Koolibri. 
5.  Afanasjeva,  H.,   Afanasjev ,  J.  (2012).Gümnaasiumi  kitsas  matemaatika  III.  Vektor 
tasandil. Joone võrrand. Tallinn: Avita. 
6.  Koolielu:  http://koolielu.ee/pg/waramu/browse2/curriculumSubject/78905838 
7.  Matemaatikaõpetajate virtuaalne võrgustik:  http://mott.edu.ee 
8.  Gümnaasiumi õppekava: www.oppekava.ee