Huvitavad punktid kolmnurgas Huvitavad punktid kolmnurgas I seeria • Külgede keskristsirgete lõikepunkt • Nurgapoolitajate lõikepunkt • Mediaanide lõikepunkt • Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt Neid huvitavaid punkte käsitletakse koolis Kolmnurga külje keskristsirge Keskristsirge (ehk mediatriss) – antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt - R Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib
nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad)
Nurgapoolitajate lõikepunkt siseringjoone keskpunkt, . Külgede keskristsirgete lõikepunkt ümberringjoone keskpunkt, . Kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte ja paralleelne kolmanda küljega ning ½ sellest. Siinusteoreem 2 Koosinusteoreem 2 ·
neliklemmiks. Neliklemmi konstandid on A, B, C, D Põhivalem: Passiivse neliklemmi konstantide vaheline seos: Sümmeetriline neliklemm: 2) Konstantide ühikud A, D – ühikuta suurused B - Ω (oom) C – S (siimens) 3) Neliklemmi ringdiagrammi valem Esimesed kaks vektorit kujutavad endast voole lühisel ja tühijooksul, kolmas vektor aga voolu ühes koormusolukorras (joon.9.16). Ringjoone keskpunkt c asub neid vektoreid ühendavate sirgjoonte (ringi kõõlude) keskristsirgete lõikepunktis. Kolmefaasilised voolud 1) Mitmefaasiliste süsteemide sümmeetria tingimused 2) Sümmeetriliste süsteemide põhiomadus 3) Tähtühendus – liini ja faasi suurustevahelised seosed sümmeetrilistel koormustel L1, L2 ja L3 - kolme juhet, millega koormus e. tarbija on ühendatud generaatori faasimähistega (antud juhul algustega A, B ja C) nimetatakse liinijuhtmeteks. - iga liinijuhtme ja neutraaljuhtme vahelist pinget nimetatakse faasipingeks.
lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11
lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11
70°-10°=60°, 30°-10°=20° Otsitavad nurgad on 90°-60°=30°, 90°-20°=70°, 180°-30°-70°=80° 16.Ringjoone märkimata jäänud keskpunkti leidmine - märkida ringjoonel kolm punkti nii, et tekivad ühise otspunktiga kõõlud; poolitada kõõlud sirkli abil (ehk joonestada nende keskristsirged); kõõlude keskristsirgete lõikepunkt ongi ringjoone keskpunkt NB kõõlude keskristsirgeid võib joonestada ka kolmnurga abil 17.Kolmnurga konstrueerimine Ül.1113 ümberringjoone raadiuse abil - võrdhaarne Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on c. kolmnurk: antud on alus ja ümberringjoone Leida kolmnurga ümberringjoone pikkus ja raadius; poolitada alus; võtta sirkli haarade vastava ringi pindala.
(- 2 - a )2 + (8 - b )2 = r 2 süsteem (1 - a ) + (- 1 - b ) = r 2 . 2 2 (3 - a ) + (3 - b ) = r 2 2 2 Sellise süsteemi lahendamise ideid peab õpetaja kindlasti näitama, sest õpilased ei pruugi ise ratsionaalse võtteni jõuda. 2. Kuna ühes alaülesandes on juba AB keskristsirge võrrand ( 3 y - x = 11 ) leitud ja teades, et kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub keskristsirgete lõikepunktis, piisab, kui leiame teise keskristsirge võrrandi. Kasutame selleks külge AC. Selle külje keskpunkti E 3 y - x = 11 koordinaadid on (0,5; 5,5) ja tõus k = 1 (sest AC tõus on -1). Saame süsteemi , y - x = 5 millest ringjoone keskpunkti koordinaadid on O(-2;3) ja raadius 5 (näiteks OA pikkus). 3
90°-80°=10° 70°-10°=60°, 30°-10°=20° Otsitavad nurgad on 90°-60°=30°, 90°-20°=70°, 180°-30°-70°=80° 16.Ringjoone märkimata jäänud keskpunkti leidmine - märkida ringjoonel kolm punkti nii, et tekivad ühise otspunktiga kõõlud; poolitada kõõlud sirkli abil; kõõlude keskristsirgete lõikepunkt ongi ringjoone keskpunkt NB kõõlude keskristsirgeid võib joonestada ka kolmnurga abil 17.Kolmnurga konstrueerimine Ül.1113 ümberringjoone raadiuse abil - võrdhaarne Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on c. kolmnurk: antud on alus ja ümberringjoone Leida kolmnurga ümberringjoone pikkus ja raadius; poolitada alus; võtta sirkli haarade vastava ringi pindala.
S= 1 4R S = ab sin 2 a, b, c küljed R ümberringjoone raadius** * Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurga poolitajate lõikepunkt, siseringjoone raadius on küljega risti (puutuja on risti). ** Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on külgede keskristsirgete lõikepunkt. Siinusteoreem a b c Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega, st = = sin sin sin Teoreem: EELDUS: a, b, c küljed;, , - nurgad a b c VÄIDE: = =
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 27 MEETRILISED SEOSED KOLMNURGAS II Kolmnurga ümberringjoon C R O R B D A Ümberringjoone keskpunkt asub keskristsirgete lõikepunktis. Täisnurkses kolm- nurgas on see hüpotenuusi keskpunkt, nürinurkses kolmnurgas asub väljaspool kolmnurka. Kolmnurga siseringjoon Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on nurgapoolitajate lõikepunkt. C 0,5 0,5 Sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis on võrdelised nurga lähis-
annaabi.ee 
