y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton. Diferentsiaalarvutuse loomist hinnatakse matemaatikas uues ajastu alguseks. Matemaatika arenguperioodi 17 .sajandi lõpust kuni 19. sajandi alguseni nimetatakse tänapäeval kõrgema matemaatika perioodiks. Ilma kõrgema matemaatikata poleks olnud võimalik tööstuse ja tehnika tormiline areng, mis viis Euroopa riigid feodaalsest
üldtendentsina? Kognitiivne stiil ja loovus 26. Mis on kognitiivse stiili põhi erinevus intelligentsusest? Kui intelligentsus iseloomustab vaimset võimekust info töötlemisel, siis kognitiivne stiil ... 27. Millist kahte kognitiivse stiili ilmingut kasutatakse kõige sagedamini õpilaste eripära kirjeldamiseks? 28. Millises suunas areneb üldjuhul laste kontseptuaalne tempo vanuse kasvades? 29. Milline psühholoogilise diferentseerimiseks kalduvusega õpilased on üldjuhul akadeemilistes õpingutes edukamad? 30. Milline psühholoogilise diferentseerimiseks kalduvusega õpilased on üldjuhul suhtlemisel empaatilisemad? 31. Millist testiga saab hinnata õpilaste kontseptuaalset tempot? 32. Millist testiga saab hinnata õpilase psühholoogilise diferentseerimise eripära? 33. Kas õpetamisel kohandumine õpilase äärmuslikule kognitiivsele on alati õigustatud? On/Ei 34
krediiditingimused, garantiitingimused) 3. Distributsioon ehk jaotus ehk turustus (koht, kättesaadavus, ulatus, sortiment, asukohad, laod, transport) 4. Promotsioon ehk müügitoetus (müügitoetuskampaaniad, reklaam, suhtekorraldus, otseturundus, müük) 16. Mida sisaldab „turunduse 4-P-d“? 1. Product 2. Price 3. Place 4. Promotion 17. Mida nimetatakse toodete diferentseerimiseks? Diferentseerimise tegurid. Toote diferentseerimiseks nimetatakse seda, kui ettevõte püüdleb selle poole, et tema pakkumine oleks teistest erinev ehk diferentseeritud. Eriti on seda vaja tarbekaupade puhul (piim, kohv jne.). Ehk leida see n-ö X-faktor, miks tarbija peaks eelistama just sinu ettevõtte toodet. Diferentseerimise teguriteks on tegelikud ning psühholoogilised tegurid. 18. Nimeta toote erinevad osad ning kirjelda millest need koosnevad. 1
x 0 x 0 x y P f(x) x Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne 0 x x+x funktsiooni graafikule kohal x tõmmatud puutuja tõusuga. 9 Funktsiooni diferentseeruvus Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik
Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1. fikseerida argumendi mingi väärtus x 2. ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus 3. anda argumendile muut x ja arvutada uuele 4. argumendi väärtusele x + x vastav 5. funktsiooni väärtus 6. arvutada funktsiooni muut y y 7. moodustada suhe x 8. leida selle suhte piirväärtus eeldusel, 9. et argumendi muut x läheneb nullile 10. 11. Liitfunktsiooni tuletis. 12
Force) DiffServ gruppi poolt, ToS baitist sai DS bait, ning DiffServ kasutab 6 tema biti. Igale koodi väärtusele vastab oma saatmise klass PHB (Per-Hop Behavior Forwarding Class), mis määrab oodatud teenuse taset. Iga klaasi raamides paketid töödeldakse vastavalt nõuetele, määratud teenuse kvaliteediga. Traafik jagatakse piiratud klasside arvule või ,,käitumise gruppideks" (behavior), mis annab võimalust teenuste diferentseerimiseks. DiffServ mudeli plussid on selles, et see tagab ühist arusaamist kuidas peab traafikut töödelda. Ning see jagab traafikut suhteliselt väikeseks klasside arvuks, selle asemel, et eraldi analüüsida iga andmevoogu eraldi. Iga ruuteri võrk on konfigureeritud eristada traafikut vastavalt tema klassile. Iga traafiku klassi saab juhtida erinevalt, tagades sooduskohtlemist kõrgema prioriteediga traafikule võrgus.
väärtused kui tahes väikseks. 11. Defineerige funktsiooni y=f(x) tuletis argumendi x järgi ( ) ( ) ( ) Nimetatakse funktsiooni y=f(x) tuletiseks arguendi x suhtes. Suurust nimetatakse argumendi x muuduks. Suurust nim. funktsiooni uuduks üleminekul punktist x punkti Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. 12. Milline on funktsiooni tuletise füüsikaline ja geomeetriline tähendus? f f ( x x) f ( x) Geomeetriline tähendus: Kui eksisteerib piirväärtus lim x x 0 x , siis seda nimetatakse
Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57.Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine 58.Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? 59.Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis 60.Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks?
tarbijate huve, seetõttu toodi välja 4c Lahendus tarbijale(customer solution) Kulu tarbija jaoks (customer cost) Mugavus(convenience) Kommunikatsioon(communication) 16) Mida sisaldab ,,turunduse 4-P-d"? Product Customer value Price Cost to the Customer Place Convenience Promotion Communication 17) Mida nimetatakse toodete diferentseerimiseks? Diferentseerimise tegurid. Diferentseerimise all mõistetakse toote kohandamist mingi kindla turusegmendi vajadustega 18) Nimeta toote erinevad osad ning kirjelda millest need koosnevad. - Toote variatsioonid - Kvaliteet - Disain - Iseärasused - Kaubamärk - Pakend - Suurus - Teenused - Garantii - Tagastus 19) Nimeta toodete liigituse alused ning too välja erinevate aluste alaliigid. Lk 154
2) kapsli K- antigeen (happelised polüsahhariidid) 3) viburi H-antigeen (termolabiilne proteiin, tähistab serotüübi varianti) 4) fimbriate antigeen ( termolabiilne proteiin), mis varem arvati K antigeeniks, sellest ka tähistus K 88 (F 4), K99 (F5) Tuntakse 160 O-antigeeni, 80 K-antigeeni, 50 H-antigeeni ja kümneid fimbria (pilus) antigeene. E.coli antigeense struktuuri valemit (näiteks O 101:K99:H10) kasutatakse E.coli tüvede omavaheliseks diferentseerimiseks ja haiguste diagnoosimisel. 12)E. coli eksotoksiinid ja nende bioloogiline toime Eksotoksiinid e. enterotoksiinid - toimivad sooleepiteeli rakkudele, põhjustades häireid vee ja elektrolüütide liikumises, millega kaasneb vedeliku hüpersekretsioon soolevalendikku. Kestev diarröa põhjustab eksikoosi (veetustumist) . Eristatakse kaht liiki toksiine: 1) termolabiilne LT toksiin. Sarnaneb Vibrio cholerae
y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Näide 1: Leian funktsiooni y=x2 tuletise y' suvalises punktis ( nt. x=3) (2 2 y'= lim(xx0)= lim 2 + = 2x Kui x=3, siis y'=3*2=6 Definitsioon: Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x= x0, s.o. kui eksisteerib
<= f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y
Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ......................................18 24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ............................................18 25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. .................................................................................................................. 19 26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. ............................................................
Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 16.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) =
See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Kui funktsioon f omab punktis a l~oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3
Väljast sõltuvatel isikutel on seevastu raskusi ärritajate eristamisel nning neid mõjutavad hõlpsasti ümbritsev taust või väline struktuur. 3. Millises suunas areneb üldjuhul laste kontseptuaalne tempo vanuse kasvades? Praktika näitab, et õpilaste vanemaks saades muutub nende käitumine üldjuhul reflektiivsemaks (juurdlevad põhjalikult lahendusvariantide sobivuse üle). 4. Milline psühholoogilise diferentseerimiseks kalduvusega õpilased on üldjuhul akadeemilistes õpingutes edukamad? Psühholoogilise diferentseerimise puhul ei saa kindlalt väita, et ühel tunnetusviisil on teise ees selgeid eeliseid. Ometi on praktika näidanud, et väljast sõltumatud õpilased tulevad üldjuhul traditsioonilise õppimisega paremini toime kui väljast sõltuvad õpilased. 5. Milline psühholoogilise diferentseerimiseks kalduvusega õpilased on üldjuhul suhtlemisel empaatilisemad?
Telgmaa ja E. Nurk. Nende käsikiri tunnistatigi konkursil parimaks. Vastavad õpikud tõlgiti erinevatesse keeltesse ja võeti kasutusele enamikus liiduvabariikidest. Nende kirjutatud õpikuid kasutatakse mitmetes Venemaa koolides ka praegu ja 2003. aastal ilmus VI klassi õpik ka USAs. Järgnevatest konkurssidest meie autorid enam osa ei võtnud, sest Eestis algasid uued liikumised ja iseseisvuse püüdlemine. 1986. a toimus Eesti Õpetajate Kongress. Seal võeti vastu otsus hariduse diferentseerimiseks, humaniseerimiseks, demokratiseerimiseks ja humanitaarhariduse osatähtsuse suurendamiseks (ehk humanitariseerimiseks). Asuti koostama uusi õppeplaane, alates 1987. aastast ilmus igal aastal uus versioon. Õppeplaani lülitati valikained ja fakultatiivained. 1987. a loodi iga aine jaoks nn programmigrupp, kelle ülesandeks oli kokku panna uus aineprogramm. Matemaatikaprogrammi esimene variant valmis 1989.a, pärast arutelusid kinnitati see ametlikult 1991.a
olemasolevad irratsionaalsused, kasutades algebra põhivalemeid. 3. OLULISI PIIRVÄÄRTUSI lim (sin x)/x = 1, x0 lim (1+(1/x))x = e 2,71... x 5 TULETISTE ARVUTAMINE DEFINITSIOON. Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile nimetatakse selle funktsiooni TULETISEKS. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse tema DIFERENTSEERIMISEKS. d: f(x) f´(x). TULETISTE ARVUTAMISE PÕHIREEGLID 1. (f(x) + g(x))´= f´(x) + g´(x), 2. (f(x) g(x))´= f´(x) g(x) + f(x) g´(x), erijuhul (c f(x))´= c f´(x), 3. (f(x)/ g(x))´= ( f´(x) g(x) f(x) g´(x))/ g2(x), 4. f´(u(x)) = f´u u´x(x). TULETISTE ARVUTAMISE PÕHIVALEMID 5. (u)´= u-1 u´x , 6. (au)´= au (ln a) u´x , erijuhul (eu)´= eu u´x , 7. (log a u)´= (u ln a)-1 u´x , erijuhul (ln u)´= u-1 u´x , 8
· f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, · eksisteerib lõplik piirväärtus · Pidev punktis a asemel võib kasutada ka sünonüüme pidev kohal a või pidev argumendi väärtusel a. 12.1 Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. 15. Funktsiooni tuletise defintisioon 15.1 Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv . Tuletise arvutamist nim diferentseerimiseks. +tuletised peast! 16. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP
iga a,b X korral |f(a) f(b)| |a-b|. 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui viimane suvaliselt läheneb nullile. Seega definitsiooni põhjal saame: f'(x)= . Tuletist tähistatakse f'(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse
Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni ! tuletis punktis on defineeritud: ! ! !a lim ,+ Kui funktsioon ! omab punktis lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 15) Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni ! diferentsiaaliks punktis nimetatakse tuletise ! a ja argumendi muudu korrutist ja tähistatakse c või c!. Seega definitsiooni kohaselt c c ! a ! a
Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni tuletis - f'(a) = limxaf(x) - f(a) /x a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x Valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f (a) =dy/dx y dy. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral - 1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, 3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5
peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon: Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted: Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Siis . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus
(Kuulamiseks saab kasutada arvuti CD-ROM-i ja programmi Windows Media) Kirjutis trükkida Wordis ja saata e-mailiga õpetajale hindamiseks. KODUNE TÖÖ: Töölehelt õppida romantismi olemus. 2.TUND TEEMA: Romantiline luule. Byron. TUNNI EESMÄRK:Tutvustada õpilastele Byroni loomingut ja õpetada leidma romantilisi jooni tema luules. IKT AINETUNDI INTEGREERIMISE EESMÄRK: kasutada IKT vahendeid rühmatööks ja õppeprotsessi diferentseerimiseks. TUNNIKS VAJALIKUD VAHENDID JA MATERJALID: Õpik "Maailmakirjandus"II Maailmakirjanduse lugemik Arvutivõrk, Interneti olemasolu TUNNI KÄIK: I Eelmisel tunnil õpitu kontroll Romantismi üldiseloomustus Vastata suuliselt. II George Gordon Byron (1788-1824) 1. rühm (nõrgemad ja keskpärased õpilased) Lugeda õpikust lk 20-28 ja sõnastada baironismi põhijooned. 2. rühm (tugevamad) Avada Internetist aadress www.hot
hulgal X on määratud ühene funktsioon f. Kui funktsioon f omab punktis a loplikku tuletist, siis õeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse Tahistame f ∈ C^1(a) voi f ∈ D(a). Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust
- taustal harituse ideaal, eesmärgiks isiksuse kujunemine. Koolitus - organiseeritud, süstemaatiline - kindlatele eesmärkidele suunatud - perioodiline, koolitusel on algus ja lõpp - toimub institutsioonides - koolitust annavad professionaalsed pedagoogid. On väidetud, et kasvatus on pedagoogiline, koolitus aga poliitiline. Seda põhjendatakse tõsiasjaga, et kasvatusvõimalusi on rohkesti, koolitusvõimalusi seevastu napilt. Kui nappe koolitusvõimalusi hakatakse jagama, tuleb kodanike diferentseerimiseks kasutada võimu. Selle arusaama järgi on tegevus alati poliitiline, kui kõne all on nappide ressursside jagamine või kui püütakse saavutada eesmärki, milleks on vaja kasutada võimu. Õpetus ja õppimine kuuluvad teatud viisil kokku. Õpetamist võiks lühidalt defineerida kui õppimise suunamist. Kasvatusel ei ole omaette väärtust. Kasvatus on alati seotud mingite eesmärkide saavutamisega ja iseseisev väärtus on nendel eesmärkidel. Sama võib öelda ka õpetuse kohta.
ekstremaalsete väärtuste vahel. 10.Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Tuletis – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis deferentseeruv. Tähistame f ∈ C¹ (a) või f ∈ D(a). (Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks) Ühepoolsed tuletised - def Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x-)=lim Δy/Δx Δx→0- def Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x+)=lim Δy/Δx
muudu lähenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x ja ∆y lim tähistatakse f’(x): f ’(x) = ∆ x→ 0 ∆x Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. C ’ = 0, C - konstant a a−1 ( x )’ = a x x ( a )’ = a x lna, sealhulgas ( e x )’ = ex ) log ¿ 1 1 ¿ )’ = xlna , sealhulgas (lnx)’ = x ¿ (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx 1 (tanx)’ = cos2 x 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3
· Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg'
hulgal X. (pidevat funktsiooni võib piltlikult kirjeldada kui funktsiooni, mille graafikut saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata). Pidev funktsioon: f(x)=1+x ,Mittepidev funktsioon: f(x)=1/x-1 11. Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f'(x) või y'. f'(x) = lim Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Puutuja võrrand on y-y0=k(x-x0), normaali võrrand on y-y0= - 1/k * (x-x0) 13. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni
· Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg'
See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus · anda argumendile muut x ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+x vastav funktsiooni väärtus · arvutada funktsiooni muut y · moodustada suhe y/x · leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut x läheneb nullile Liitfunktsiooni tuletis
definitsiooni põhjal saame: f’(x)= lim . ∆ x→ 0 ∆x 1)k-1 (k-1)! ( 1+ x ) k JNE. Tuletist tähistatakse f’(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime Lisa: vastavalt f’(a+) ja f’(a-), ehk f’(a+)= Ühepoolne pidevus - f-n on pidev paremalt, kui argumendi muut läheneb 0+ile ja
individualiseerimist kui diferentseerimist. - Individualiseerimisel kohandatakse õppetöö konkreetse õpilase jaoks; diferentseerimisel õpilasrühmadele, kes jagavad ühisjooni, millega arvestamine hõlbustab nende õppimist. - Õppetöö individualiseerimise ja diferentseerimise aluseks on arusaamad õpilaste erinevustest vaimsetes võimetes, tunnetuslikes stiilides, loomingulisuses ning kognitiivses, sotsiaalses ja füüsilises arengus. 24. Metoodilised võimalused õppetöö diferentseerimiseks. - Töö õpilasrühmaga. Kõige levinum lähenemine õppetöö diferentseerimiseks. Näiteks, sellel ajal, kui algklasside õpetaja annab õpilastele iseseisva töö täisarvude kirjaliku lahutamise harjutamiseks, kutsub ta mõned õpilased, kes pole veel päris aru saanud laenamistehtest, klassi tagumises osas oleva laua taha, et aidata neil põhimõttest aru saada. - Õppematerjali täieliku omandamise kontseptsiooni rakendamine.
Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) =
Vastutav õppejõud: Priit Kasenõmm Kordamisküsimused eripedagoogika bakalaureuseeksamiks EMG ehk elektromüograafia Need on vajalikud une latentsiaja hindamiseks pindmise, sügava une ja REM-une proportsioonide ja ajalise kestuse väljaselgitamiseks. 2. Suu-nina õhuvoolu registreerimine Rindkere hingamise registreerimine Diafragmaalhingamise registreerimine Need on vajalikud obstruktiivse ja tsentraalse apnoe diferentseerimiseks ja AHI väljaselgitamiseks. 3. Norskamisheli registreerimine – norskamise ajaliseks objektiviseerimiseks 4. Kehaasendi registreerimine – apnoe ja kehaasendi seose selgitamiseks 5. EKG ehk elektrokardiograafia – südametegevuse hindamiseks 6. Pulssoksümeetria – pulsisageduse ja hapniku desaturatsiooni hindamiseks Uneapnoe puhul esinevad päevased ja öised kaebused.
saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi i) x=xa argumendi muut kohal a, y=f(x)f(a) funktsiooni muut kohal a 21) Siis · Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi i) x=xa argumendi muut kohal a, y=f(x)f(a) funktsiooni muut kohal a 21) Siis · Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
kuni 30 mmHg. Esineb patsiente, kelle meditsiiniasutuses või meditsiinitöötaja poolt mõõdetud vererõhk viitab hüpertensioonile, samas kui kodustes tingimustes mõõdetud vererõhk on normaalne. Senini pole lõpuni selge selle tekkepõhjus ja kliiniline tähendus. Isoleeritud kliiniline hüpertensioon tuleb aga ära tunda, vältimaks patsiendi asjatut tunnistamist hüpertoonikuks ning hoidmaks ära tema asjatut ravimist. Siiski peavad need isikud jääma regulaarsele järelkontrollile. Diferentseerimiseks kasutatakse ambulatoorset vererõhu monitooringut. („Valge kitli”... 2003, Eesti ... 2004, Suurorg 2006, Viigimaa 2007.) Arteriaalne hüpertensioon – lapse eale, soole ja pikkusele vastav süstoolne ja/või diastoolne vererõhk, mis on >= 95-dale protsentiilile vastavast vererõhu väärtusest. Hüpertensioon on südame-veresoonkonna haiguste riskifaktor. Hüpertensioon võib esineda asümptomaatilisena ja selle avastamise võimaluseks on vererõhu mõõtmine.
Mõttekas on vahet teha muutemorfoloogia ja sõnamoodustus-morfoloogia vahel. Nimeteadus e onomastika valdkond, kus tegeldakse pärisnimede (isikunimed e antroponüümid ja kohanimed e toponüümid) nii diakroonilise kui ka sünkroonilise uurimisega. Onomastika e nimeõpetus on leksikoloogia haru, mis käsitleb nimede struktuuri, algset tähendust, päritolu ja muutumist. Nimi e pärisnimi e prooprium on liik üksikobjekti tähistamiseks (diferentseerimiseks ja identifitseerimiseks) kasutatavaid nimisõnu ja nimisõnafraase. Üksikobjekti mõiste hõlmab nii ainulist objekti (nt Emajõgi, Jaan Kross, Võrumaa) kui ka üksikobjektide hulka, mida on võimalik pidada üksuseks, nt Audi, Valgetähe orden. 5. Arhaismid ja neologismid. arhaismid vananenud sõnad, mida tänapäeval keeles ei kasutata. Arhaismid eksisteerivad sõnavara perifeeriaalal. Arhaismide tekkeks on erinevaid põhjuseid:
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. a. Funktsiooni tuletise definitsioon Funktsiooni tuletis punktis a on defeineeritud järgmiselt f'(a)= b. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. c. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu x=x-a argumendi muut kohal a y= f(x)-f(a) funktsiooni muut kohal a d. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev e. Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu funktsioon diferentseeruv hulgas D
Kui funktsiooni otspunktides on erineva märgiga väärtused siis peab nende vahele jääma 0, muidu ei saaks funktsiooni väärtus ühelt märgilt teisele üle minna. 18. · Funktsiooni tuletise definitsioon Olgu meil funktsioon f ja punkt a, mis kuulub selle funktsiooni määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon omab punktis lõplikku tuletist siis nimetame teda diferentseeruvaks. Tuletise leidmist kutsume aga diferentseerimiseks. · Tuletise valem argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu argumendi muut kohal a funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev Tõestus Kuna punktsi a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a siis on täidetud pidevuse esimene tingimus. Tuleb veel tõestada, et eksisteerib ja võrdub -ga · Tuletis, kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv alamhulga D kõikides
f(c) = 0. Geomeetriliselt: Kui pideva joone üks otspunkt asub allpool x-telge ja teine pealpool x- telge, siis lõikab see joon kuskil x-telge. 18. FUNKTSIOONI TULETISE DEFINITSIOON Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: . Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu argumendi muut kohal a. funktsiooni muut kohal a. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev Teoreem: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus: Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. Tuleb näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st
dy(a,x). Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. f(a) =(dy)/(dx) 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. 1. (f + g) = f + g 2. (fg) = fg + fg 3.(fg)= (fg-fg)/g2 4. (Cf) = Cf + C f = 0 f + C f = C f , C - konstant, 5. (f - g) = [f + (-1)g] = f + [(-1)g] = f + (-1)g = f - g Korrutise reegli tõestus. Valemid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f(x) = (dy)/(dx) . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g(y) = (dz)/(dy) . Viimaks avaldame ka
EMG ehk elektromüograafia Need on vajalikud une latentsiaja hindamiseks pindmise, sügava une ja REM-une proportsioonide ja ajalise kestuse väljaselgitamiseks. 2. Suu-nina õhuvoolu registreerimine Rindkere hingamise registreerimine Diafragmaalhingamise registreerimine Need on vajalikud obstruktiivse ja tsentraalse apnoe diferentseerimiseks ja AHI väljaselgitamiseks. 3. Norskamisheli registreerimine – norskamise ajaliseks objektiviseerimiseks 3. Kehaasendi registreerimine – apnoe ja kehaasendi seose selgitamiseks 3. EKG ehk elektrokardiograafia – südametegevuse hindamiseks 3. Pulssoksümeetria – pulsisageduse ja hapniku desaturatsiooni hindamiseks Uneapnoe puhul esinevad päevased ja öised kaebused. PÄEVASED KAEBUSED: päevane väsimus, hommikune peavalu, ärgates kõrgenenud
Sisemine efektiivsus parem kaitstus hankijate rünnakute vastu 43 Tegevusharusse sisenejate vastu saab kasutada hinnaalandusi, mis tekitab sisenemisbarjääri Hästi positsioneeritud asenduskaupade vastu Kululiidri strateegia sobivus: Hinnakonkurents tegevusharus on eriti tugev Tegevusharu toode on väga standardiseeritud Vähe võimalusi on toote diferentseerimiseks, et tarbija seda väärtustaks Enamik tarbijaid kasutab toodet ühtemoodi Tarbijate kulud hankija vahetamiseks on madalad Ostjad on suured ja neil on mõjujõudu hindade allakauplemiseks. Riskid kululiidri strateegias: Tehnoloogia areng võimaldab konkurentidel kulusid vähendada. Turu pöördumiste "maha magamine" Oht jääda maha kvaliteedis, tooteuuenduses, teeninduse parandamises. Investeeringud kulude alandamisse seovad ettevõtte tehnoloogia ja strateegiaga 2
20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. 1. (f + g)′ = f′ + g′ 2. (fg)′ = f′g + fg′ 3.(fg)′= (f′g−fg′)/g2 4. (Cf)′ = C′f + C f′ = 0 f + C f′ = C f′ , C − konstant, 5. (f − g)′ = [f + (−1)g]′ = f′ + [(−1)g]′ = f′ + (−1)g′ = f′ − g′ Korrutise reegli tõestus. Valemid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f′(x) = (dy)/(dx) . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g ′(y) = (dz)/(dy) . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise
katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame diferentseerimiseks: Lim x->0 y/ x=y' *Märkus: vajadusel võib leida ka x + x - x ühe tuletise *Nt y=1/ x =>y'=lim x->0 y/ x=lim x->0 =1/2 x x 13.F-ni pidevus ja dif.-vus Olgu f-n y=f(x) dif-v piirkonnas D IR=> lim x->0 y/ x=y' => y/ x=y'+ ; -tõkestamatult kahanev suurus. y=y'* x+ * x=>kui x=0, siis y=0=> y=f(x) (vaadeldav f-n pidev) NB
Järelikult u u u u ( ) (10.2) = cos + cos + cos + s x y z Minnes üle piirväärtusele, kui 0 saame u u u u = cos + cos + cos s x y z s1 s2 s3 kus cos = , cos = , cos = s s s ? Tuletis antud vektori s suunas üldistab osatuletise mõistet diferentseerimiseks suvalises ? ? suunas. Kui võtta vektori s x-telje ühikvektor i = {1,0,0} siis saame valemist (10.2) u u = s x ? ? Analoogselt kui s = j = { 0,1,0} y-telje suunaline ühikvektor, siis u u = s y ? ? ja ka võttes s = k = { 0,0,1} z-telje suunaline ühikvektor u u = s z Märkus. ?
annaabi.ee 
